陳生昌，陳國(guó)新，王漢闖

(浙江大學(xué)地球科學(xué)系,浙江杭州310027)

稀疏性約束的地球物理數(shù)據(jù)高效采集方法初步研究

陳生昌，陳國(guó)新，王漢闖

(浙江大學(xué)地球科學(xué)系,浙江杭州310027)

信號(hào)變換系數(shù)的稀疏分布特性已廣泛應(yīng)用于信號(hào)壓縮、編碼和數(shù)據(jù)處理，作為一種先驗(yàn)知識(shí)也為信號(hào)的采樣方法研究奠定了基礎(chǔ)。地球物理數(shù)據(jù)是一種空間/空間-時(shí)間變化的信號(hào)，因此將地球物理數(shù)據(jù)的稀疏性應(yīng)用于地球物理數(shù)據(jù)的高效采集方法研究。在地球物理數(shù)據(jù)稀疏性的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)研究、針對(duì)不同數(shù)據(jù)變化特征的稀疏變換方法研究、隨機(jī)均勻分布的隨機(jī)采樣方法研究和數(shù)據(jù)重構(gòu)方法研究的基礎(chǔ)上,結(jié)合當(dāng)前數(shù)據(jù)采集中的Nyquist采樣理論、地球物理數(shù)據(jù)的稀疏性特征和當(dāng)前地球物理數(shù)據(jù)采集中常見的密集規(guī)則測(cè)網(wǎng)，提出了針對(duì)被動(dòng)源地球物理數(shù)據(jù)和主動(dòng)源地球物理數(shù)據(jù)的高效采集方法，通過數(shù)值試驗(yàn)驗(yàn)證了方法的正確性和有效性。

地球物理數(shù)據(jù);高效采集;稀疏性;隨機(jī)采樣;數(shù)據(jù)重構(gòu)

數(shù)據(jù)采集是勘探地球物理領(lǐng)域的基礎(chǔ)工作[1]，也是采集、處理、解釋三大工作步驟中花錢最多的一項(xiàng)。隨著地球物理勘探目標(biāo)的日趨復(fù)雜和勘探要求的日趨精細(xì)化，對(duì)地球物理數(shù)據(jù)采集的要求也越來越高，不僅要得到高精度的地球物理數(shù)據(jù)，而且要使用規(guī)則、密集(密集的測(cè)線、檢波點(diǎn)、炮點(diǎn))和/或?qū)挿轿?、高覆蓋觀測(cè)系統(tǒng)，致使地球物理數(shù)據(jù)采集的成本越來越高，采集的時(shí)間也越來越長(zhǎng)。因此，在滿足數(shù)據(jù)采集要求(規(guī)則、密集)的前提下，如何經(jīng)濟(jì)高效地進(jìn)行數(shù)據(jù)采集是當(dāng)前勘探地球物理方法技術(shù)應(yīng)用中的一個(gè)現(xiàn)實(shí)問題。

當(dāng)前地球物理數(shù)據(jù)采集方法的理論基礎(chǔ)是Fourier變換和Nyquist采樣定理，若要使采集到的數(shù)據(jù)不失真，采樣速率必須是數(shù)據(jù)頻帶寬度的兩倍及以上。根據(jù)Nyquist采樣定理，不同的地球物理方法技術(shù)適用不同的數(shù)據(jù)采集方案。對(duì)于基于位場(chǎng)理論的重磁電勘探，數(shù)據(jù)采集觀測(cè)系統(tǒng)一般為規(guī)則密集的空間測(cè)網(wǎng)，根據(jù)Nyquist采樣定理確定測(cè)網(wǎng)的空間采樣間隔(線距、點(diǎn)距)。對(duì)于基于波場(chǎng)理論的地震勘探，數(shù)據(jù)采集觀測(cè)系統(tǒng)不僅要根據(jù)Nyquist采樣定理確定規(guī)則空間測(cè)網(wǎng)的采樣間隔(包括檢波器測(cè)網(wǎng)的線距、點(diǎn)距和炮點(diǎn)測(cè)網(wǎng)的線距、點(diǎn)距)，還要根據(jù)Nyquist采樣定理確定地震記錄的時(shí)間采樣間隔。一般而言，地球物理數(shù)據(jù)采集的空間測(cè)網(wǎng)至少應(yīng)有5條測(cè)線通過主要異常或所要研究的地質(zhì)體，點(diǎn)距應(yīng)滿足反映異常特征的要求及處理解釋推斷的需要(盡可能密一些)，或點(diǎn)距應(yīng)保證至少有3個(gè)測(cè)點(diǎn)反映有意義的最小異常。上述地球物理數(shù)據(jù)采集方法盡管已經(jīng)在勘探地球物理領(lǐng)域中取得了巨大成功，但由于Nyquist采樣定理基于Fourier變換和數(shù)據(jù)的頻譜成分稠密地分布在數(shù)據(jù)頻帶內(nèi)這一假設(shè)條件，因此要求測(cè)線、測(cè)點(diǎn)分布均勻而且密集，致使數(shù)據(jù)采集成本高、效率低，還有可能在數(shù)據(jù)采集的空間上遇到困難(受自然或人文環(huán)境的影響而難以布置規(guī)則測(cè)網(wǎng))。

基于信號(hào)稀疏性的信號(hào)稀疏重構(gòu)也稱為壓縮感知(或壓縮采樣),是一種建立在矩陣分析、統(tǒng)計(jì)概率、拓?fù)鋷缀巍?yōu)化、運(yùn)籌學(xué)和泛函分析等基礎(chǔ)學(xué)科上的全新信息獲取與處理理論體系[2-5]，是在信號(hào)具有稀疏性或可壓縮性(近似稀疏性)的先驗(yàn)假設(shè)條件下，直接采集信號(hào)中少數(shù)“精挑細(xì)選”的數(shù)據(jù)(這些數(shù)據(jù)是包含了信號(hào)全部信息的“壓縮數(shù)據(jù)”)，也就是將經(jīng)典的基于Nyquist采樣理論的信號(hào)采樣(Signal Sampling)轉(zhuǎn)變?yōu)閷?duì)信號(hào)中的信息采樣(Information Sampling)，通過解一個(gè)稀疏性約束的優(yōu)化問題，從采集的壓縮數(shù)據(jù)中恢復(fù)出原始信號(hào)。在壓縮感知理論中，對(duì)信號(hào)的變換不再局限于Fourier變換，信號(hào)的采樣間隔不再取決于信號(hào)的帶寬，而是取決于信號(hào)的稀疏性以及信息在信號(hào)中的結(jié)構(gòu)與內(nèi)容。因此，信號(hào)稀疏重構(gòu)為信號(hào)的高效、大采樣間距采樣方案研究與設(shè)計(jì)奠定了理論基礎(chǔ)。

美國(guó)Rice大學(xué)的Baraniuk教授于2011年在Science雜志第331卷上介紹了壓縮感知理論及其應(yīng)用前景[6]。近年來，壓縮感知理論在地震勘探的波場(chǎng)高效模擬[7-9]、地震數(shù)據(jù)表示[10]、地震數(shù)據(jù)重建[11-14]和地球物理的非線性反演[15-17]等方面得到了一定的應(yīng)用，并取得了一定的效果。Lin等[18]提出將壓縮感知理論應(yīng)用于多震源地震數(shù)據(jù)采集的思路，并進(jìn)行了地震一次波場(chǎng)的數(shù)值模擬試驗(yàn)。清華大學(xué)的馬堅(jiān)偉教授在2011年中國(guó)地球物理年會(huì)上提出的基于壓縮感知理論的“稀疏促進(jìn)地震勘探”思想[19]，則為信號(hào)稀疏重構(gòu)理論在地震勘探中的應(yīng)用提供了借鑒。

本文通過對(duì)Nyquist采樣原理的分析研究，在地球物理數(shù)據(jù)的變換稀疏性特征和稀疏重構(gòu)理論的基礎(chǔ)上，結(jié)合地球物理數(shù)據(jù)采集的具體要求，提出了基于稀疏性約束的地球物理數(shù)據(jù)高效采集方法，并用理論數(shù)據(jù)和實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 帶限信號(hào)的Nyquist采樣及其局限

頻帶有限信號(hào)x(t)的Fourier變換對(duì)為：

(1)

其中,-f0為X(f)的頻帶下限，f0為X(f)的頻帶上限,X(f)的頻帶寬度為L(zhǎng)=2f0。根據(jù)Fourier變換對(duì)(1)，信號(hào)x(t)的Nyquist采樣原理可表述為：由信號(hào)x(t)的離散采樣值x(nΔ)(其中Δ≤1/L)，可以重構(gòu)出X(f)和信號(hào)x(t)，即：

(2)

(3)

通過對(duì)Fourier變換和頻帶有限信號(hào)Nyquist采樣定理進(jìn)行研究分析,我們得到以下幾點(diǎn)基本認(rèn)識(shí)：①在對(duì)信號(hào)進(jìn)行采樣前，需要得到有關(guān)信號(hào)的先驗(yàn)知識(shí)，Nyquist采樣方法所用到的有關(guān)信號(hào)先驗(yàn)知識(shí)是由信號(hào)的Fourier變換得到的，即假定信號(hào)的頻帶有限。②應(yīng)根據(jù)有關(guān)信號(hào)的先驗(yàn)知識(shí)來確定采樣方案，Nyquist采樣所要求的最大采樣間隔與均勻規(guī)則采樣方案是由信號(hào)的頻帶有限和頻譜成分稠密地分布在整個(gè)頻帶上(先驗(yàn)知識(shí))決定的。③采集到的數(shù)據(jù)必須是有關(guān)信號(hào)的真實(shí)反映，即由采集數(shù)據(jù)能重構(gòu)信號(hào)。不同的采樣方法對(duì)應(yīng)不同的重構(gòu)方法，Nyquist采樣的數(shù)據(jù)重構(gòu)方法是Sinc函數(shù)線性插值。這些認(rèn)識(shí)是研究、發(fā)展新型信號(hào)采樣方法理論的基礎(chǔ)。

基于頻譜成分在頻帶上的分布，我們不難分析Nyquist采樣的局限：如果信號(hào)的頻譜成分稠密地分布在整個(gè)頻帶上，則頻帶有限信號(hào)的Nyquist采樣是高效的;反之，如果信號(hào)的頻譜成分稀疏地分布在整個(gè)頻帶上，則頻帶有限信號(hào)的Nyquist采樣就不是高效的。圖1為[0,250Hz]頻帶內(nèi)不規(guī)則稀疏分布的10個(gè)正弦頻譜成分，其中最低頻率為5Hz，對(duì)應(yīng)的時(shí)間域信號(hào)如圖2所示。根據(jù)帶限信號(hào)的Nyquist采樣定理，若要由信號(hào)離散采樣準(zhǔn)確地重構(gòu)出信號(hào)的頻譜和波形，則要求離散采樣間隔滿足Δ≤2ms，最低頻率諧波成分對(duì)應(yīng)的周期為0.2s。以2ms的采樣間隔，至少需要采集100個(gè)離散值才能準(zhǔn)確地重構(gòu)出圖2所示信號(hào)的頻譜和波形。而根據(jù)正弦諧波的表示式：

(4)

確定一個(gè)正弦諧波只需要幅度A,頻率f和相位φ等3個(gè)參數(shù)。由線性代數(shù)可知，只要在一個(gè)正弦諧波的周期內(nèi)采集3個(gè)樣點(diǎn)值就可以確定這個(gè)正弦諧波。對(duì)于圖2所示長(zhǎng)度為0.2s的時(shí)間信號(hào)，在理論上我們只需要采集30個(gè)樣點(diǎn)值就可以準(zhǔn)確地重構(gòu)出信號(hào)的頻譜和波形。

圖1 信號(hào)的頻譜成分分布

圖2 圖1頻譜成分所對(duì)應(yīng)的時(shí)間域信號(hào)

2 地球物理數(shù)據(jù)的稀疏性

信號(hào)經(jīng)某種變換(可以是正交變換或冗余變換)后，如果所得到的變換系數(shù)的值大多數(shù)為零或接近于零，則稱該信號(hào)相對(duì)于這種變換具有變換稀疏性，相應(yīng)的變換稱為這種信號(hào)的稀疏變換。信號(hào)變換系數(shù)的稀疏分布特性已廣泛應(yīng)用于信號(hào)壓縮、編碼和數(shù)據(jù)處理[20]，作為一種先驗(yàn)知識(shí)也為信號(hào)的采樣方法研究奠定了基礎(chǔ)。地球物理數(shù)據(jù)是一種空間/空間-時(shí)間變化的信號(hào)，因此首先需要研究其稀疏性的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)以及使地球物理數(shù)據(jù)具有變換稀疏性的稀疏變換。

2.1 地球物理數(shù)據(jù)稀疏性的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)

地球物理數(shù)據(jù)的空間/空間-時(shí)間變化特征是由地球物理場(chǎng)所滿足的數(shù)學(xué)物理方程決定的。地球物理中的重、磁、電和地震數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的場(chǎng)u都滿足偏微分方程：

Lu=-f(x,t)

(5)

其中，L為二階偏微分算子,f(x,t)為源項(xiàng)。

對(duì)于重磁勘探方法，偏微分算子L為：

(6)

對(duì)于電磁勘探方法，偏微分算子L為：

(7)

對(duì)于地震勘探方法，偏移微分算子L(考慮聲波波動(dòng)方程)為：

(8)

方程(5)對(duì)應(yīng)的單頻Green函數(shù)G(x,x0)滿足方程：

(9)

對(duì)于三維無界空間，重磁勘探方法中位場(chǎng)的Green函數(shù)G(x,x0)為：

(10)

電磁勘探方法中電磁場(chǎng)的Green函數(shù)G(x,x0)為：

(11)

地震勘探方法中波場(chǎng)的Green函數(shù)G(x,x0)為：

(12)

利用Green函數(shù)G(x,x0)，我們可以得到單頻場(chǎng)的表達(dá)式：

(13)

式中：?Ω表示域Ω的邊界;n表示?Ω的外法線方向。

由公式(13)可知，地球物理場(chǎng)是以Green函數(shù)的線性積分表示的，也可視為Green函數(shù)的線性疊加，地球物理場(chǎng)的空間變化特征與Green函數(shù)的空間變化特征相關(guān)。因此，地球物理中位場(chǎng)數(shù)據(jù)(重磁和靜電場(chǎng)數(shù)據(jù))的空間變化主要受控于距離倒數(shù)的退化函數(shù);波場(chǎng)數(shù)據(jù)(電磁場(chǎng)和地震波場(chǎng)數(shù)據(jù))的時(shí)空變化主要由距離倒數(shù)的退化函數(shù)和旅行時(shí)變化決定。地球物理場(chǎng)的這種空間/空間-時(shí)間變化特征為地球物理數(shù)據(jù)的稀疏變換方法研究和地球物理數(shù)據(jù)的變換稀疏性研究提供了依據(jù)，是地球物理數(shù)據(jù)具有稀疏性的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)。

2.2 地球物理數(shù)據(jù)的稀疏變換

根據(jù)地球物理場(chǎng)的一般表示式(13)可知，地球物理數(shù)據(jù)在空間/空間-時(shí)間域具備一定的變化特征，我們可以根據(jù)這些變化特征來研究和構(gòu)造相應(yīng)的變換，使變換后的地球物理數(shù)據(jù)具備稀疏性。研究表明，變換的基本波形(也稱為變換的原子)與信號(hào)的變化特征越相似，則信號(hào)變換得到的變換系數(shù)就越稀疏。由于不同的地球物理數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)物理方程具有的Green函數(shù)空間/空間-時(shí)間變化特征不同，因此不同的地球物理數(shù)據(jù)應(yīng)由不同的變換來實(shí)現(xiàn)其變換后的稀疏性，即不同的地球物理數(shù)據(jù)有不同的稀疏變換。

2.2.1 位場(chǎng)數(shù)據(jù)的稀疏變換/離散余弦變換

由位場(chǎng)中重磁數(shù)據(jù)所滿足的數(shù)學(xué)物理方程對(duì)應(yīng)的Green函數(shù)表示式(10)可知，位場(chǎng)數(shù)據(jù)的Green函數(shù)是一個(gè)點(diǎn)擴(kuò)展形態(tài)的空間退化函數(shù)，具有空間上的光滑性。位場(chǎng)數(shù)據(jù)Green函數(shù)的這種空間變化特征為我們尋找重磁數(shù)據(jù)的稀疏變換提供了依據(jù)。基于位場(chǎng)的Green函數(shù)與余弦函數(shù)的變化特征相似，我們認(rèn)為應(yīng)用離散余弦變換對(duì)重磁數(shù)據(jù)進(jìn)行變換可以得到強(qiáng)稀疏性的變換系數(shù)。

離散重磁數(shù)據(jù)p(n1,n2)的二維離散余弦變換可寫為：

(14)

式中，P(k1,k2)為重磁數(shù)據(jù)p(n1,n2)在離散余弦變換域的變換系數(shù)。二維離散余弦變換的反變換與正變換有相同的形式，即：

(15)

將公式(14)和(15)用矩陣形式表示，分別為：

P=Dp

(16)

p=D*P

(17)

式中：D和D*分別代表正、反二維離散余弦變換矩陣。由于離散余弦變換的特殊性，所以有D*=D。圖3為8×8二維離散余弦變換矩陣圖。

圖3 8×8二維離散余弦變換矩陣

2.2.2 波場(chǎng)數(shù)據(jù)的稀疏變換/Curvelet變換

由波場(chǎng)中的地震數(shù)據(jù)所滿足的數(shù)學(xué)物理方程對(duì)應(yīng)的Green函數(shù)表示式(12)可知，波場(chǎng)數(shù)據(jù)的Green函數(shù)除了含有一個(gè)點(diǎn)擴(kuò)展形態(tài)的空間退化函數(shù)，具有空間上的光滑性外，還含有一個(gè)與地震波旅行時(shí)聯(lián)系在一起的子波波形函數(shù)，即波場(chǎng)的Green函數(shù)在空間-時(shí)間域的變化特征不僅具有空間上的光滑性，而且具有時(shí)間上有限延續(xù)的暫態(tài)性。波場(chǎng)數(shù)據(jù)Green函數(shù)的這種空間-時(shí)間變化特征為我們尋找地震數(shù)據(jù)的稀疏變換提供了依據(jù)。對(duì)于具有光滑性(也稱為正則性)的信號(hào)或圖像，經(jīng)Fourier變換或余弦變換等都可以得到良好的稀疏變換結(jié)果，而對(duì)于具有有限延續(xù)的暫態(tài)性信號(hào)或圖像，經(jīng)小波變換可以得到良好的稀疏變換結(jié)果。因此，對(duì)于空間-時(shí)間域的地震數(shù)據(jù)，比較適用的稀疏變換為Fourier變換和小波變換的結(jié)合體，與局部平面波變換類似。Candès等[21]提出的具有多尺度-多方向的Curvelet變換就屬于局部平面波變換，他們還從理論上證明了利用Curvelet變換的原子可以實(shí)現(xiàn)對(duì)波動(dòng)傳播算子(即波動(dòng)方程的Green函數(shù))的最優(yōu)表達(dá)[22]。因此，我們選用Curvelet變換來實(shí)現(xiàn)地震數(shù)據(jù)的變換稀疏性。圖4為Curvelet變換在波數(shù)-頻率域(即平面波域)的多尺度-多方向分解示意圖。

圖4 Curvelet變換在波數(shù)-頻率域的多尺度-多方向分解

3 稀疏性約束的信號(hào)采樣與重構(gòu)

在地球物理方法技術(shù)中，信號(hào)采樣或采集就是首先以離散的方式獲取信號(hào)的樣本值，然后由這些離散的樣本值準(zhǔn)確地重構(gòu)出信號(hào)。稀疏性約束就是假定信號(hào)自身或信號(hào)經(jīng)某種變換后的系數(shù)具有稀疏性，相對(duì)而言，信號(hào)的變換稀疏性假定更具有普遍意義。如果信號(hào)經(jīng)某種變換后具有稀疏性，則意味著在變換域僅需要很少的系數(shù)就可以實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)的表達(dá)。

3.1 稀疏性約束的信號(hào)采樣

對(duì)于信號(hào)的采集(采樣)，可以用以下公式來表示：

y=Gx

(18)

式中：x為原始信號(hào)，有x∈RN;y為采集得到的信號(hào)，有y∈RM;G代表信號(hào)采樣(或觀測(cè))矩陣，有G∈RM×N，通常有N>M。

在數(shù)學(xué)上通常應(yīng)用所謂的0-范數(shù)來度量一個(gè)信號(hào)的稀疏性，即信號(hào)矢量中不等于0的分量個(gè)數(shù)：

(19)

因此，

(20)

表示一個(gè)信號(hào)x的最稀疏性約束。本文我們只考慮x的變換稀疏性，有：

c=Sx

(21a)

x=S*c

(21b)

式中：S和S*分別代表正、反稀疏變換矩陣，如果S是正交變換，則有S∈RN×N，如果S是冗余變換，則有S∈RL×N，L>N;c為x的變換(分解)系數(shù)，有c∈RN或c∈RL。因此x的變換最稀疏性約束可表示為：

(22)

由于c的稀疏性，所以c中非零值系數(shù)的數(shù)目(也稱為c的稀疏度)K?N，而且這些非零值系數(shù)ci在c中的分布位置也是隨機(jī)的。如果知道K個(gè)非零值系數(shù)ci的值及其位置，也就知道了x的稀疏變換系數(shù)c，可以用(21b)式反變換得到信號(hào)x。

將(21b)式代入(18)式，有：

(23)

令A(yù)=GS*，得：

y=Ac

(24)

式中：A稱為壓縮采樣矩陣，有A∈RM×N或A∈RM×L。(24)式也稱為壓縮(稀疏)采樣表達(dá)式。

由于非零值系數(shù)ci在c中隨機(jī)分布，如果想要通過采樣值y來估計(jì)出非零值系數(shù)ci，那么得到采樣值y的最有效采樣方式就應(yīng)該是隨機(jī)的，即壓縮采樣矩陣A應(yīng)為隨機(jī)分布矩陣。由于稀疏變換矩陣及其反變換矩陣都是確定性的(如2.2節(jié)討論的離散余弦變換矩陣和Curvelet變換矩陣)，因此要求采樣矩陣G為一個(gè)隨機(jī)分布矩陣，只有這樣才能保證壓縮采樣矩陣A為一個(gè)隨機(jī)分布矩陣。

3.2 隨機(jī)且均勻的采樣方法

由于實(shí)際信號(hào)采樣數(shù)目M的有限性，我們難以做到使采樣矩陣G中采樣點(diǎn)的分布完全真正隨機(jī)，因此常會(huì)出現(xiàn)采樣點(diǎn)分布的過于聚集或過于分散的情況。如圖5所示的二維高斯隨機(jī)采樣點(diǎn)分布圖，是從128×128規(guī)則網(wǎng)格測(cè)點(diǎn)中隨機(jī)抽取1024個(gè)測(cè)點(diǎn)而得到的測(cè)點(diǎn)分布圖?？紤]在隨機(jī)采集中出現(xiàn)過于聚集或過于分散的測(cè)點(diǎn)分布是極其不利的，我們提出一種避免出現(xiàn)采樣點(diǎn)過于聚集的隨機(jī)采樣方法。

要想在隨機(jī)采樣中避免采樣點(diǎn)過于聚集，就應(yīng)該在隨機(jī)采樣中控制采樣點(diǎn)之間的最小距離?？刂撇蓸狱c(diǎn)之間的最小距離不僅能保證采樣點(diǎn)分布的隨機(jī)性，而且還能避免采樣點(diǎn)的聚集現(xiàn)象，使采樣點(diǎn)分布均勻?？刂谱钚【嚯x的隨機(jī)采樣方法是一種隨機(jī)且均勻的采樣方法，圖6是應(yīng)用該方法從128×128規(guī)則網(wǎng)格測(cè)點(diǎn)中隨機(jī)抽取1024個(gè)測(cè)點(diǎn)的結(jié)果。對(duì)比圖5和圖6可以看出，圖6中的隨機(jī)采樣點(diǎn)分布較圖5中的隨機(jī)采樣點(diǎn)均勻，沒有出現(xiàn)采樣點(diǎn)過于聚集和過于分散的現(xiàn)象。

3.3 稀疏性約束的信號(hào)重構(gòu)

圖5 二維高斯隨機(jī)采樣點(diǎn)分布(128×128測(cè)網(wǎng)中的1024個(gè)隨機(jī)樣點(diǎn))

圖6 控制最小距離的隨機(jī)采樣點(diǎn)分布(128×128測(cè)網(wǎng)中的1024個(gè)隨機(jī)樣點(diǎn))

根據(jù)壓縮采樣數(shù)據(jù)重構(gòu)原始信號(hào)可視為(24)式所表示的壓縮數(shù)據(jù)采樣的反演問題及(21b)式所表示的稀疏反變換。利用壓縮采樣數(shù)據(jù)y反演原始信號(hào)的稀疏變換系數(shù)c在形式上屬于一個(gè)欠定線性反演問題，但利用c的稀疏性，并假定采樣數(shù)據(jù)y的采樣數(shù)目M相對(duì)于c的稀疏度K有M>K(根據(jù)經(jīng)驗(yàn)一般假定M≥6K)，則我們就能很高概率地反演出稀疏變換系數(shù)c。因此，在信號(hào)的變換稀疏性約束下，由壓縮采樣數(shù)據(jù)y重構(gòu)原始信號(hào)x可寫為下述最小化問題：

(25)

(26)

(25)式所表示的非凸約束優(yōu)化問題就被轉(zhuǎn)化為(26)式所表示的凸約束優(yōu)化問題。

目前常用的稀疏性約束重構(gòu)算法主要有以下3類：①貪婪算法，如正交匹配追蹤法[23];②反演及去噪算法，如迭代閾值法[24];③迭代再加權(quán)算法，如迭代再加權(quán)最小二乘法[25-26]。由于正交匹配追蹤方法和迭代再加權(quán)最小二乘方法都涉及矩陣求逆運(yùn)算，所以難以適應(yīng)大數(shù)據(jù)量的信號(hào)重構(gòu)問題。

4 地球物理數(shù)據(jù)的高效采集方法

地球物理數(shù)據(jù)分為兩類，一是被動(dòng)源地球物理數(shù)據(jù)，如重磁數(shù)據(jù)、被動(dòng)地震數(shù)據(jù)等;二是主動(dòng)源地球物理數(shù)據(jù)，如人工地震數(shù)據(jù)、電磁數(shù)據(jù)等。對(duì)于被動(dòng)源地球物理數(shù)據(jù)采集，我們僅關(guān)心測(cè)點(diǎn)的布置，而對(duì)于主動(dòng)源地球物理數(shù)據(jù)采集，我們不僅要關(guān)心測(cè)點(diǎn)的布置，還要顧及源點(diǎn)的布置以及源點(diǎn)與測(cè)點(diǎn)之間的組合。在常規(guī)的被動(dòng)源地球物理數(shù)據(jù)采集中，我們首先要根據(jù)勘探目標(biāo)的情況和勘探工作的要求設(shè)計(jì)一定比例尺的規(guī)則測(cè)網(wǎng)，即適當(dāng)大小的測(cè)線間距和測(cè)點(diǎn)間距，然后在設(shè)計(jì)好的測(cè)網(wǎng)上進(jìn)行被動(dòng)源地球物理數(shù)據(jù)的采集。在常規(guī)的主動(dòng)源地球物理數(shù)據(jù)采集中，我們首先要根據(jù)勘探目標(biāo)的情況和勘探工作的要求分別設(shè)計(jì)一定比例尺的規(guī)則測(cè)點(diǎn)測(cè)網(wǎng)和一定比例尺的規(guī)則源點(diǎn)網(wǎng)格，即適當(dāng)大小的測(cè)線間距、測(cè)點(diǎn)間距和適當(dāng)大小的源線間距、源點(diǎn)間距，然后在設(shè)計(jì)好的測(cè)點(diǎn)測(cè)網(wǎng)和源點(diǎn)網(wǎng)格上進(jìn)行主動(dòng)源地球物理數(shù)據(jù)的采集。

4.1 被動(dòng)源地球物理數(shù)據(jù)的高效采集方法

根據(jù)常規(guī)被動(dòng)源地球物理數(shù)據(jù)采集方法，結(jié)合稀疏性約束信號(hào)采樣的要求，我們提出如下被動(dòng)源地球物理數(shù)據(jù)高效采集方法與步驟：

1) 根據(jù)勘探目標(biāo)的情況和勘探工作的要求，應(yīng)用當(dāng)前常規(guī)的觀測(cè)系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)出具有密集規(guī)則測(cè)線與測(cè)點(diǎn)的常規(guī)規(guī)則測(cè)網(wǎng)，這一步也就是常規(guī)被動(dòng)源地球物理數(shù)據(jù)采集的測(cè)網(wǎng)設(shè)計(jì);

2) 應(yīng)用3.2節(jié)所述的隨機(jī)且均勻的采樣方法，按設(shè)計(jì)好的比例(隨機(jī)測(cè)點(diǎn)數(shù)與步驟1)中的規(guī)則測(cè)點(diǎn)數(shù)之比，如果待采集數(shù)據(jù)的稀疏性強(qiáng)，則該比例小，如果待采集數(shù)據(jù)的稀疏性弱，則該比例大)，對(duì)規(guī)則測(cè)網(wǎng)的測(cè)點(diǎn)進(jìn)行隨機(jī)抽樣，得到非規(guī)則、大間距的隨機(jī)測(cè)網(wǎng)，其測(cè)點(diǎn)分布隨機(jī)且數(shù)目大為減少;

3) 在非規(guī)則大間距的隨機(jī)測(cè)網(wǎng)上進(jìn)行被動(dòng)源地球物理數(shù)據(jù)采集，這樣的數(shù)據(jù)采集具有采集量小、采集工作周期短的優(yōu)點(diǎn);

4) 利用3.3節(jié)所述的稀疏性約束信號(hào)重構(gòu)方法技術(shù)，由非規(guī)則大間距隨機(jī)測(cè)網(wǎng)上的觀測(cè)數(shù)據(jù)重構(gòu)出步驟1)設(shè)計(jì)的密集規(guī)則測(cè)網(wǎng)上的觀測(cè)數(shù)據(jù)。

4.2 主動(dòng)源地球物理數(shù)據(jù)的高效采集方法

根據(jù)常規(guī)主動(dòng)源地球物理數(shù)據(jù)的采集方法，結(jié)合稀疏性約束信號(hào)采樣的要求，我們提出如下主動(dòng)源地球物理數(shù)據(jù)高效采集方法與步驟。

1) 根據(jù)勘探目標(biāo)的情況和勘探工作的要求，應(yīng)用當(dāng)前常規(guī)的觀測(cè)系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)出具有密集規(guī)則的測(cè)線、測(cè)點(diǎn)和密集規(guī)則的源線、源點(diǎn)的常規(guī)規(guī)則觀測(cè)系統(tǒng)，這一步也就是常規(guī)主動(dòng)源地球物理數(shù)據(jù)采集的觀測(cè)系統(tǒng)設(shè)計(jì)。

2) 設(shè)計(jì)高效采集的測(cè)點(diǎn)分布和源點(diǎn)分布方案：①保持步驟1)中源點(diǎn)的密集規(guī)則網(wǎng)格不動(dòng)，應(yīng)用隨機(jī)且均勻的采樣方法，按設(shè)計(jì)好的比例對(duì)規(guī)則測(cè)網(wǎng)的測(cè)點(diǎn)進(jìn)行隨機(jī)抽樣，得到非規(guī)則大間距的隨機(jī)測(cè)網(wǎng)，在該方案中，測(cè)點(diǎn)分布隨機(jī)且數(shù)目大為減少;②保持步驟1)中測(cè)點(diǎn)的密集規(guī)則測(cè)網(wǎng)不動(dòng)，應(yīng)用隨機(jī)且均勻的采樣方法，按設(shè)計(jì)好的比例對(duì)規(guī)則的源點(diǎn)網(wǎng)格中的源點(diǎn)進(jìn)行隨機(jī)抽樣，得到非規(guī)則大間距的隨機(jī)源點(diǎn)網(wǎng)格，在該方案中，源點(diǎn)分布隨機(jī)且數(shù)目大為減少;③應(yīng)用隨機(jī)且均勻的采樣方法，按設(shè)計(jì)好的比例對(duì)規(guī)則測(cè)網(wǎng)的測(cè)點(diǎn)進(jìn)行隨機(jī)抽樣，得到非規(guī)則大間距的隨機(jī)測(cè)網(wǎng)，同時(shí)應(yīng)用隨機(jī)且均勻的采樣方法，按設(shè)計(jì)好的比例對(duì)規(guī)則的源點(diǎn)網(wǎng)格中的源點(diǎn)進(jìn)行隨機(jī)抽樣，得到非規(guī)則大間距的隨機(jī)源點(diǎn)網(wǎng)格，在該方案中，測(cè)點(diǎn)和源點(diǎn)的分布都是隨機(jī)的，而且數(shù)目都大為減少。

3) 在步驟2)設(shè)計(jì)出的高效數(shù)據(jù)觀測(cè)系統(tǒng)上進(jìn)行主動(dòng)源地球物理數(shù)據(jù)采集，得到高效采集測(cè)網(wǎng)上的觀測(cè)數(shù)據(jù)，這樣的數(shù)據(jù)采集具有采集量小、采集工作周期短的優(yōu)點(diǎn)。

4) 利用稀疏性約束信號(hào)重構(gòu)方法技術(shù)由非規(guī)則大間距的隨機(jī)測(cè)網(wǎng)上的觀測(cè)數(shù)據(jù)重構(gòu)出步驟1)設(shè)計(jì)的密集規(guī)則測(cè)網(wǎng)上的觀測(cè)數(shù)據(jù)。

在上述地球物理數(shù)據(jù)高效采集方法中，野外的數(shù)據(jù)采集工作量大為減少，采集周期也能大大縮短，但增加了室內(nèi)的數(shù)據(jù)重構(gòu)計(jì)算。在理論上，數(shù)據(jù)的稀疏性越強(qiáng)，則壓縮采集的數(shù)據(jù)量越小。

5 地球物理數(shù)據(jù)高效采集試驗(yàn)

分別針對(duì)被動(dòng)源地球物理數(shù)據(jù)(重磁數(shù)據(jù))和主動(dòng)源地球物理數(shù)據(jù)(人工反射地震數(shù)據(jù))進(jìn)行高效采集試驗(yàn)。在試驗(yàn)中，我們首先按常規(guī)地球物理數(shù)據(jù)采集方法設(shè)計(jì)密集規(guī)則測(cè)網(wǎng)，進(jìn)行地球物理數(shù)據(jù)的采集(或正演模擬)，得到密集規(guī)則測(cè)網(wǎng)上的地球物理數(shù)據(jù)Dt，再應(yīng)用本文提出的地球物理數(shù)據(jù)高效采集方法進(jìn)行地球物理數(shù)據(jù)的采集(或正演模擬)，得到非規(guī)則大間距隨機(jī)測(cè)網(wǎng)上的觀測(cè)數(shù)據(jù)(壓縮采樣數(shù)據(jù))Dc，利用稀疏性約束的信號(hào)重構(gòu)方法由Dc重構(gòu)出密集規(guī)則測(cè)網(wǎng)上的觀測(cè)數(shù)據(jù)Dr，最后把密集規(guī)則測(cè)網(wǎng)上的重構(gòu)數(shù)據(jù)Dr與密集規(guī)則測(cè)網(wǎng)上的采集數(shù)據(jù)Dt進(jìn)行比較，以驗(yàn)證本文高效采集方法的正確性和有效性。

5.1 被動(dòng)源地球物理數(shù)據(jù)試驗(yàn)

5.1.1 二維海洋磁測(cè)數(shù)據(jù)試驗(yàn)

圖7為一條二維密集規(guī)則測(cè)網(wǎng)上的海洋磁力異常觀測(cè)數(shù)據(jù)Dt，共有353個(gè)等間隔的觀測(cè)數(shù)據(jù)。應(yīng)用本文提出的地球物理數(shù)據(jù)高效采集方法得到非規(guī)則大間距隨機(jī)測(cè)網(wǎng)上的海洋磁力異常數(shù)據(jù)Dc(圖8)，其共有70個(gè)隨機(jī)不等間隔的觀測(cè)數(shù)據(jù)，高效數(shù)據(jù)采集的工作量?jī)H為常規(guī)密集規(guī)則測(cè)網(wǎng)數(shù)據(jù)采集工作量的1/5。應(yīng)用稀疏性約束的信號(hào)重構(gòu)方法由圖8所示的70個(gè)隨機(jī)不等間隔觀測(cè)數(shù)據(jù)得到了密集規(guī)則測(cè)網(wǎng)上353個(gè)等間隔的重構(gòu)數(shù)據(jù)Dr(圖9)。圖10為密集規(guī)則測(cè)網(wǎng)上的重構(gòu)數(shù)據(jù)與觀測(cè)數(shù)據(jù)之間的差異Dt-Dr，可見差異值非常小。由圖10可以看出，本文提出的高效采集方法在本試驗(yàn)中取得了很好的效果。

圖7 密集規(guī)則測(cè)網(wǎng)上的海洋磁力異常觀測(cè)數(shù)據(jù)

圖8 非規(guī)則大間距隨機(jī)測(cè)網(wǎng)上的海洋磁力異常數(shù)據(jù)

5.1.2 三維重力數(shù)據(jù)試驗(yàn)

圖11為一個(gè)三維密集規(guī)則測(cè)網(wǎng)上的重力異常觀測(cè)數(shù)據(jù)Dt，有59條等間隔測(cè)線，每條測(cè)線有125個(gè)等間隔測(cè)點(diǎn)，共有7375個(gè)數(shù)據(jù)。應(yīng)用本文提出的地球物理數(shù)據(jù)高效采集方法得到非規(guī)則大間距隨機(jī)測(cè)網(wǎng)，共有2000個(gè)不規(guī)則測(cè)點(diǎn)，圖12為2000個(gè)不規(guī)則測(cè)點(diǎn)的分布，高效數(shù)據(jù)采集的工作量不到常規(guī)密集規(guī)則測(cè)網(wǎng)數(shù)據(jù)采集工作量的1/3。應(yīng)用稀疏性約束的信號(hào)重構(gòu)方法由2000個(gè)隨機(jī)不等間隔觀測(cè)數(shù)據(jù)Dc得到了59×125密集規(guī)則測(cè)網(wǎng)上的重構(gòu)數(shù)據(jù)Dr(7375個(gè))，見圖13所示。圖14為密集規(guī)則測(cè)網(wǎng)上的重構(gòu)數(shù)據(jù)與觀測(cè)數(shù)據(jù)之間的差異Dt-Dr，除了邊界處個(gè)別數(shù)據(jù)存在一些邊界效應(yīng)外，差異值都很小。由圖14可以看出，本文提出的高效采集方法在本試驗(yàn)中也取得了很好的效果。

圖9 由壓縮采樣數(shù)據(jù)重構(gòu)的密集規(guī)則測(cè)網(wǎng)上的海洋磁力異常數(shù)據(jù)

圖10 密集規(guī)則測(cè)網(wǎng)上的重構(gòu)數(shù)據(jù)與觀測(cè)數(shù)據(jù)間的差異

圖11 3D密集規(guī)則測(cè)網(wǎng)上的重力異常觀測(cè)數(shù)據(jù)

在上述重磁數(shù)據(jù)試驗(yàn)中，我們應(yīng)用了離散余弦變換進(jìn)行重磁數(shù)據(jù)的稀疏變換。

5.2 主動(dòng)源地球物理數(shù)據(jù)試驗(yàn)

應(yīng)用人工反射地震數(shù)據(jù)的共炮點(diǎn)道集進(jìn)行了高效采集試驗(yàn)。試驗(yàn)中炮點(diǎn)布置為密集規(guī)則網(wǎng)格，檢波點(diǎn)則采用4.2節(jié)中提出的高效采集方案①，布置為高效的非規(guī)則大間距隨機(jī)網(wǎng)格。

圖12 控制最小距離得到的2000個(gè)不規(guī)則測(cè)點(diǎn)的分布

圖13 由壓縮采樣數(shù)據(jù)重構(gòu)的3D密集規(guī)則測(cè)網(wǎng)上的重力異常數(shù)據(jù)

圖14 3D密集規(guī)則測(cè)網(wǎng)上的重力異常重構(gòu)數(shù)據(jù)與觀測(cè)數(shù)據(jù)之間的差異

5.2.1 二維共炮點(diǎn)道集試驗(yàn)

在某一炮點(diǎn)的二維共炮點(diǎn)道集數(shù)據(jù)采集(或數(shù)值模擬)中，我們首先根據(jù)勘探要求設(shè)計(jì)一條密集規(guī)則的二維檢波點(diǎn)測(cè)線，得到其對(duì)應(yīng)的規(guī)則共炮點(diǎn)道集數(shù)據(jù)Dt，如圖15所示，共有500道。應(yīng)用本文提出的地球物理數(shù)據(jù)高效采集方法得到非規(guī)則大間距隨機(jī)檢波點(diǎn)測(cè)網(wǎng)上的共炮點(diǎn)道集數(shù)據(jù)Dc，見圖16所示，共有200個(gè)隨機(jī)不等間隔的地震道數(shù)據(jù)，高效數(shù)據(jù)采集的工作量?jī)H為常規(guī)密集規(guī)則測(cè)網(wǎng)數(shù)據(jù)采集工作量的2/5。應(yīng)用稀疏性約束的信號(hào)重構(gòu)方法由圖16所示的200個(gè)隨機(jī)不等間隔地震道數(shù)據(jù)得到了密集規(guī)則檢波點(diǎn)測(cè)網(wǎng)上500個(gè)等間隔地震道，重構(gòu)出共炮點(diǎn)道集數(shù)據(jù)Dr，見圖17所示。圖18為密集規(guī)則檢波點(diǎn)測(cè)網(wǎng)上的重構(gòu)共炮點(diǎn)道集數(shù)據(jù)與觀測(cè)共炮點(diǎn)道集數(shù)據(jù)之間的差異Dt-Dr，除了邊界個(gè)別道數(shù)據(jù)外，差異值都很小。由圖18可以看出，本文提出的高效采集方法在本試驗(yàn)中也取得了很好的效果。在本試驗(yàn)中，我們應(yīng)用Curvelet變換進(jìn)行地震數(shù)據(jù)的稀疏變換。

根據(jù)地震波場(chǎng)的互易性原理，上述針對(duì)共炮點(diǎn)道集數(shù)據(jù)試驗(yàn)的方法也可應(yīng)用于共檢波點(diǎn)道集數(shù)據(jù)的高效采集。將檢波點(diǎn)布置為固定的密集規(guī)則網(wǎng)格，炮點(diǎn)布置為高效的非規(guī)則大間距隨機(jī)網(wǎng)格，即可驗(yàn)證4.2節(jié)中所提出的高效采集方案②和③的正確性和有效性。

圖15 密集規(guī)則采樣的共炮點(diǎn)道集觀測(cè)數(shù)據(jù)

圖16 稀疏不規(guī)則壓縮采樣的共炮點(diǎn)道集數(shù)據(jù)

圖17 由壓縮采樣數(shù)據(jù)重構(gòu)的密集規(guī)則采樣共炮點(diǎn)道集數(shù)據(jù)

圖18 密集規(guī)則采樣共炮點(diǎn)道集重構(gòu)數(shù)據(jù)與觀測(cè)數(shù)據(jù)之間的差異

6 結(jié)束語

常規(guī)的地球物理數(shù)據(jù)采集方法是基于Nyquist采樣原理發(fā)展起來的，Nyquist采樣原理則基于信號(hào)的Fourier分析理論。如果信號(hào)的頻譜成分在頻帶內(nèi)是稠密分布的，則基于Nyquist采樣原理的數(shù)據(jù)采集方法是高效的，但如果信號(hào)的頻譜成分在頻帶內(nèi)是稀疏分布的，則基于Nyquist采樣原理的數(shù)據(jù)采集方法就不是高效的。本文提出的地球物理數(shù)據(jù)高效采集方法是對(duì)常規(guī)地球物理數(shù)據(jù)采集方法的發(fā)展，其理論基礎(chǔ)是地球物理數(shù)據(jù)的變換稀疏性。而不同空間/空間-時(shí)間變化特征的地球物理數(shù)據(jù)經(jīng)過不同的正交變換或冗余變換才能具備稀疏性，地球物理數(shù)據(jù)的變化特征與變換原子越接近，則地球物理數(shù)據(jù)的變換稀疏性越強(qiáng)，高效采集方法的效果越好。由于稀疏變換后地球物理數(shù)據(jù)有效變換系數(shù)分布的稀疏性與隨機(jī)性，要求地球物理數(shù)據(jù)高效采集方法中觀測(cè)點(diǎn)的分布應(yīng)具備隨機(jī)且均勻的特性。數(shù)據(jù)重構(gòu)中的非凸約束雖然對(duì)信號(hào)稀疏的度量?jī)?yōu)于凸約束，但求解凸約束的優(yōu)化問題易于求解非凸約束的優(yōu)化問題?？紤]到地球物理數(shù)據(jù)重構(gòu)中的數(shù)據(jù)規(guī)模和稀疏變換矩陣的表達(dá)問題，重構(gòu)的實(shí)現(xiàn)應(yīng)以梯度類算法為主。本文提出的高效采集方法雖然在數(shù)值試驗(yàn)中取得了理想的效果，但還需要得到實(shí)際野外地球物理數(shù)據(jù)采集的進(jìn)一步檢驗(yàn)。

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(編輯：戴春秋)

The preliminary study on high efficient acquisition of geophysical data with sparsity constraints

Chen Shengchang,Chen Guoxin,Wang Hanchuang

(DepartmentofEarthSciences,ZhejiangUniversity,Hangzhou310027,China)

The sparsity in the transform domain of geophysical data (also known as the sparsity of geophysical data) has been widely used in data compression coding and data processing.In the paper,we apply the sparsity of geophysical data for the study on high efficient acquisition method of geophysical data.Based on the study of the mathematical physics foundation of the sparsity of geophysical data,the sparse transform methods aiming at variation characteristics in different geophysical data,the random sampling methods with random and even distribution,and the data recovery methods,we proposed high efficient acquisition methods for passive source geophysical data and active source geophysical data by combining the Nyquist sampling principle used in current data acquisition,the sparsity of the geophysical data and the conventional dense and regular measurement network used in the current geophysical data acquisition.The numerical tests on theoretical geophysical data and field geophysical data obtained ideal results.

geophysical data,high efficient acquisition,sparsity,random sampling,data recovery

2014-05-06;改回日期：2014-12-12。

陳生昌(1965—)，男，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事勘探地球物理和計(jì)算地球物理研究工作。

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(41374001)資助。

P631

A

1000-1441(2015)01-0024-12

10.3969/j.issn.1000-1441.2015.01.004