羅仁澤,何國林,黃元溢

(1.油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國家重點實驗室,四川成都610500;2.西南石油大學(xué)地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,四川成都610500;3.中國石油集團東方地球物理勘探有限責(zé)任公司,河北涿州072751)

一種優(yōu)化系數(shù)的混合域疊前深度偏移方法

羅仁澤1,2,何國林1,2,黃元溢3

(1.油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國家重點實驗室,四川成都610500;2.西南石油大學(xué)地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,四川成都610500;3.中國石油集團東方地球物理勘探有限責(zé)任公司,河北涿州072751)

為提高偏移中頻散方程單平方根算子漸近式的逼近程度,提出了優(yōu)化系數(shù)的混合域疊前深度偏移方法。該方法對頻散方程的單平方根算子采用了有理切比雪夫逼近；與連分式展開的逼近算法對比后發(fā)現(xiàn)，該優(yōu)化算法能降低偏移逼近算子與頻散方程的單平方根算子的相對誤差,從而提高了在陡傾構(gòu)造及強橫向速度變化地區(qū)偏移成像的精度。二維SEG/EAGE鹽丘模型的偏移成像結(jié)果證明：在陡傾角構(gòu)造及橫向速度變化劇烈的地區(qū),優(yōu)化系數(shù)的混合域疊前深度偏移方法比常規(guī)的傅里葉有限差分(FFD)法的成像效果更好。

疊前深度偏移;混合域;優(yōu)化系數(shù);有理式;強橫向速度變化

目前,地震勘探的目標(biāo)逐步轉(zhuǎn)向山地復(fù)雜高陡構(gòu)造區(qū),而山地復(fù)雜構(gòu)造區(qū)地震偏移成像精度亟需提高。在現(xiàn)有偏移成像技術(shù)中,疊前深度偏移成像技術(shù)是山地復(fù)雜高陡構(gòu)造區(qū)及強橫向速度變化介質(zhì)精確成像最有效的方法[1-2]。

波動方程疊前深度偏移成像是通過計算波場外推算子實現(xiàn)的[3],波場外推算子的計算精度直接關(guān)系到偏移剖面的成像精度。常規(guī)計算波場外推算子的方法有：基于射線理論的Kirchhoff積分法[4]、相移(PS)法[5]、Stolt法[6]、相移加插值(PSPI)法[7]、頻率-空間域有限差分(FD)法[8-11]、分步傅里葉(SSF)法[12]、傅里葉有限差分(FFD)法[13]及廣義屏(GSP)法[14-19]。

近幾年,在常規(guī)波場延拓算子計算方法的基礎(chǔ)上,國內(nèi)外學(xué)者對波場延拓算子做了進一步的研究。Ristow[20]提出利用有理函數(shù)展開式對頻散方程進行系數(shù)的局部優(yōu)化,該方法具有較高的成像精度,但在每次深度延拓步長內(nèi)都要計算相應(yīng)的優(yōu)化系數(shù),計算效率低。雷秀麗等[21]提出了復(fù)padé近似逼近差分算子的疊前深度偏移方法,該算法降低了偏移過程中噪聲對偏移剖面成像的影響,能對起伏地表條件下地質(zhì)體精確成像,但不能對地下復(fù)雜高陡構(gòu)造精確成像。郭愷等[22]提出了算子優(yōu)化的傅里葉有限差分疊前深度偏移方法,該偏移方法提高了對簡單構(gòu)造的成像效果,但不適用于復(fù)雜構(gòu)造區(qū)偏移成像。劉定進等[23]研究了高精度屏算子的偏移成像方法,該方法對寬角度信息成像效果更好,但存在計算效率的問題,偏移算子逼近階數(shù)越高,計算效率越低。楊慶道等[24]提出利用克?；舴蚱?反偏移得到的數(shù)據(jù)作為映射算子來提高地震數(shù)據(jù)信噪比的方法,該方法能夠很好地消除偏移過程中產(chǎn)生的隨機噪聲,提高了偏移剖面的成像精度,但該方法基于水平層狀介質(zhì)偏移成像,對復(fù)雜構(gòu)造區(qū)偏移成像效果沒有驗證。周偉等[25]利用切比雪夫多項式對單平方根算子進行展開,利用模擬退火法對展開的算子進行系數(shù)優(yōu)化,優(yōu)化的算子對高陡構(gòu)造精確成像的構(gòu)造傾角角度能達到60°,但對更高角度的高陡構(gòu)造不能精確成像。

以上對單程波平方根算子改進的方法,在應(yīng)用單程波方法時,其上、下行波的波場必須是解耦的,這就要求在單個深度延拓步長之內(nèi),介質(zhì)在縱向上必須均勻(在橫向上可以不均勻),這一點在實際的沉積地層中往往能得到滿足[26-28],但在復(fù)雜的非沉積地層中一般得不到滿足。

為解決復(fù)雜高陡構(gòu)造區(qū)偏移剖面成像精度不高的問題,本文提出采用有理切比雪夫多項式優(yōu)化逼近偏移算子的算法,對混合域偏移算子的漸近式系數(shù)進行優(yōu)化,從而減少其與精確頻散方程單平方根算子的誤差,提高混合域優(yōu)化系數(shù)疊前深度偏移方法在復(fù)雜構(gòu)造區(qū)及強橫向速度變化介質(zhì)的成像精度。

1 一種新的優(yōu)化系數(shù)的混合域疊前深度偏移方法

二維波動方程為：

(1)

式中：v=v(x,z)為介質(zhì)速度(m/s);(x,z)為二維坐標(biāo);u=u(x,z;t)為地震波場值;t為時間(s)。

對上述二維波動方程進行傅里葉變換到頻率-空間域,則下行波單程波方程為：

(2)

基于速度場分裂思想,將整個速度分裂為常速背景和變速擾動,設(shè)背景速度為v0(x,z),用v0(x,z)代替介質(zhì)速度v(x,z),則(2)式可化為：

(3)

對比(2)式和(3)式,則(2)式中的單平方根算子A的誤差E為：

(4)

采用傅里葉變換,將(4)式變換到頻率-波數(shù)域,有：

(5)

式中：kx為x方向上的波數(shù)。

(6)

假設(shè)(6)式的最佳逼近式為：

(7)

將(7)式代入(5)式,則有：

(8)

將(8)式變換到頻率-空間域,并代入(3)式得：

(9)

則偏移延拓算子A可表示為：

(10)

下行波的外推過程可表示為：

(11)

式中：A1表示f-k域相移法的偏移延拓算子;A2表示f-x域的時移校正算子;A3表示f-x域擾動項波場有限差分算子。

現(xiàn)有計算混合域疊前深度偏移波場延拓算子的方法為連分式展開。有理切比雪夫逼近算子比常用的連分式展開逼近算子的誤差更小,逼近精度更高。我們采用有理切比雪夫多項式[29]對所求的偏移算子系數(shù)進行優(yōu)化,并分析優(yōu)化系數(shù)后的偏移算子誤差,進而調(diào)整系數(shù),使優(yōu)化系數(shù)后的偏移算子能夠更精確地逼近偏移算子的精確值,從而提高偏移成像的精度。

2 優(yōu)化系數(shù)的混合域疊前深度偏移性能分析

為了檢驗優(yōu)化系數(shù)的混合域疊前深度偏移的性能,將優(yōu)化系數(shù)的混合域疊前深度偏移算子與連分式展開求取的系數(shù)的混合域疊前深度偏移算子進行對比。

2.1 有理切比雪夫逼近

有理切比雪夫算法的原理是對一個函數(shù)f(x)展開成切比雪夫多項式[30]：

(12)

式中：N為展開式的階數(shù);Ck為切比雪夫系數(shù);Tk(x)為切比雪夫多項式。Ck與Tk(x)滿足以下的關(guān)系式：

T0(x)=1

T1(x)=x

(13)

(14)

假設(shè)用如下的n次有理函數(shù)P(x)逼近函數(shù)f(x),則

(15)

式中：n=N/2為p,q項的階次,且q0=1。

在區(qū)間[-1,1]的函數(shù)f(x)與P(x)的差值為：

(16)

為使函數(shù)f(x)高度逼近函數(shù)P(x),選擇系數(shù)q0,q1,…,qn和p0,p1,…,pn使(16)式等號右邊對于Tk(x)(k=1,2,…,N)為0。

利用切比雪夫多項式Ti(x)的性質(zhì),則可得到系數(shù)關(guān)系式為:

(17)

(18)

(19)

2.2 有理切比雪夫逼近優(yōu)化系數(shù)

利用有理切比雪夫逼近算法對(7)式進行逼近,求得的混合域疊前深度偏移算子的優(yōu)化系數(shù)為：a=0.4557和b=0.3996,則(7)式可轉(zhuǎn)化為：

(20)

(7)式的連分式表達為：

(21)

設(shè)波的入射角為θ,由波數(shù)定義可得：

(22)

則(20)式與偏移延拓算子精確值的相對誤差為：

(23)

(21)式與偏移延拓算子精確值的相對誤差為：

(24)

圖1為(23)式、(24)式的相對誤差Er(θ)隨入射角θ變化的誤差曲線。

對比圖1中兩條相對誤差曲線,可以看出：在角度小于51°時,本文優(yōu)化后的延拓算子與連分式展開的延拓算子的相對誤差基本相同;但在角度大于51°時,隨著構(gòu)造傾角的增大,本文優(yōu)化后的延拓算子相對誤差比連分式展開的延拓算子的相對誤差更小,這說明本文提出的優(yōu)化系數(shù)的混合域疊前深度偏移算子在構(gòu)造陡傾角處能更好地逼近單平方根算子的精確值。

為了進一步驗證本文提出的優(yōu)化系數(shù)的混合域疊前深度偏移算子逼近精確算子的效果,通過計算上述兩種方法的相對誤差絕對值的數(shù)學(xué)期望值E進行驗證,即：

(25)

通過數(shù)值計算,本文提出的優(yōu)化系數(shù)混合域疊前深度偏移算子和常規(guī)連分式展開的混合域疊前深度偏移算子與精確疊前深度偏移算子相對誤差的數(shù)學(xué)期望值分別為：E優(yōu)=0.170000,E連=0.314285。由于E優(yōu)

圖1 優(yōu)化系數(shù)、連分式展開的單平方根算子與精確單平方根算子的相對誤差曲線

3 基于優(yōu)化系數(shù)的混合域疊前深度偏移算子模擬成像

為了檢驗本文提出的優(yōu)化系數(shù)的混合域疊前深度偏移方法的成像效果,采用本文提出的優(yōu)化系數(shù)的混合域疊前深度偏移方法和基于連分式展開的混合域疊前深度偏移算子的偏移算法分別對二維SEG/EAGE鹽丘模型進行疊前深度偏移成像。對比這兩種算法所獲得的偏移成像剖面,以檢驗本文算法的成像效果。

二維SEG/EAGE鹽丘模型(圖2)具有復(fù)雜的地質(zhì)特征,構(gòu)造復(fù)雜及橫向速度變化劇烈,尤其是中間高速部分的鹽丘,往往是成像的難點。該模型的速度場參數(shù)為：橫向采樣點1290個,縱向采樣點300個,橫向采樣間隔12m,縱向采樣間隔12m。

對二維SEG/EAGE鹽丘模型分別采用基于連分式展開的混合域疊前深度偏移算法和優(yōu)化系數(shù)的混合域疊前深度成像算法進行疊前深度偏移成像,結(jié)果如圖3和圖4所示。

對比圖3和圖4中紅框區(qū)域成像效果可見,圖4 偏移剖面的成像精度得到了大幅度的提高,鹽丘模型構(gòu)造形態(tài)、構(gòu)造邊界以及深層構(gòu)造成像更加清晰,尤其是鹽丘模型的陡傾構(gòu)造形態(tài)更加清晰,并且繞射波更收斂。這說明,本文提出的優(yōu)化系數(shù)的混合域疊前深度偏移方法能使地震波振幅得到加強,繞射波得到收斂,對陡傾構(gòu)造具有更高的成像精度。

圖3 二維SEG/EAGE鹽丘模型連分式展開的混合域疊前深度偏移剖面

圖4 二維SEG/EAGE鹽丘模型優(yōu)化系數(shù)的混合域疊前深度偏移剖面

4 結(jié)論

采用優(yōu)化系數(shù)的混合域疊前深度偏移方法對二維SEG/EAGE鹽丘模型進行偏移成像,驗證了采用優(yōu)化系數(shù)的混合域疊前深度偏移的成像效果要優(yōu)于連分式展開的混合域疊前深度偏移。

由于本文提出的優(yōu)化系數(shù)的混合域疊前深度偏移能更好地逼近精確值,提高了對復(fù)雜構(gòu)造及強橫向速度變化介質(zhì)的描述精度,因此,在陡傾角及橫向速度劇烈變化的地區(qū)采用本文提出的優(yōu)化系數(shù)的混合域疊前深度偏移能取得更好的成像效果。

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(編輯：顧石慶)

A new prestack depth migration method in hybrid domain with optimization coefficient

Luo Renze1,2,He Guolin1,2,Huang Yuanyi3

(1.StateKeyLaboratoryofOilandGasReservoirGeologyandExploitation,Chengdu610500,China; 2.SchoolofGeoscienceandTechnology,SouthwestPetroleumUniversity,Chengdu610500,China; 3.BGP,CNPC,Zhuozhou072751,China)

To improve the approximation degree of single square-root operator of frequency dispersion,prestack depth migration by hybrid domain with optimization coefficient was proposed.This method is designed to calculate the optimization coefficient by rational Chebyshev approximation to approach the single square-root operator of frequency dispersion.By comparison on the rational Chebyshev approximation and continued fraction approximation,it is discovered that the rational Chebyshev approximation can reduce the relative error between optimization coefficient migration operator and single square-root operator of frequency dispersion.Therefore,our method can improve the precision of migration imaging in the area with high-steep structures and strong lateral velocity variation.The application on 2-D SEG/EAGE salt dome model proves the prestack depth migration in hybrid domain with optimization coefficient has better imaging effect than conventional Fourier finite difference (FFD) in the area with high-steep structures and strong lateral velocity variation.

prestack depth migration,hybrid domain,optimization coefficient,rational expression,strong lateral velocity variation

2014-11-16;改回日期：2015-03-18。

羅仁澤(1973—),男,教授,博士生導(dǎo)師,長期從事地震信號采集和處理方法研究工作。

油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國家重點實驗室開放基金項目(PLC201104)資助。

P631

A

1000-1441(2015)05-0501-07

10.3969/j.issn.1000-1441.2015.05.003