龔樹鳳龍偉軍，2潘明海賁 德，2

基于模糊相關(guān)機會規(guī)劃的機會陣?yán)走_(dá)方向圖綜合

龔樹鳳1龍偉軍1，2潘明海1賁 德1，2

（1.南京航空航天大學(xué)雷達(dá)成像與微波光子技術(shù)教育部重點實驗室，江蘇南京210016；2.南京電子技術(shù)研究所，江蘇南京210038）

研究了機會陣?yán)走_(dá)的方向圖綜合問題，提出了一種基于模糊相關(guān)機會規(guī)劃的方向圖綜合算法.該算法基于可信性理論，綜合考慮天線單元分布的隨機性以及工作狀態(tài)的不確定性，以模糊變量來刻畫天線單元參與方向圖綜合時的復(fù)雜不確定環(huán)境，建立方向圖綜合的規(guī)劃模型.并結(jié)合模糊模擬算法和遺傳算法設(shè)計了一種混合智能優(yōu)化算法，用于求解該模型，仿真實驗驗證了所設(shè)計算法的有效性和穩(wěn)定性.

機會陣?yán)走_(dá)；方向圖綜合；可信性理論；相關(guān)機會規(guī)劃；模糊模擬；遺傳算法

引 言

機會陣?yán)走_(dá)［1－3］是國外學(xué)者近年來針對新一代海軍隱身驅(qū)逐艦DD（X）提出的一種新概念雷達(dá)，該雷達(dá)以平臺隱身性為設(shè)計核心，以數(shù)字陣列雷達(dá)為基礎(chǔ)，單元與數(shù)字收發(fā)組件可被任意布置于艦船的各個開放空間.機會陣?yán)走_(dá)“機會性”地選擇工作單元、工作方式及戰(zhàn)術(shù)功能等.考慮到大量天線單元的任意隨機分布，機會陣?yán)走_(dá)方向圖的綜合與優(yōu)化一直是國內(nèi)外學(xué)者關(guān)注的重要課題［1－6］.在機會陣?yán)走_(dá)的方向圖綜合中，如何合理地打開單元激勵，盡量用最少的單元數(shù)目綜合出滿足條件的方向圖，是一個十分重要的決策問題，屬于組合優(yōu)化中的NP－h(huán)ard問題，可借助運籌學(xué)的目標(biāo)優(yōu)化理論求解.但現(xiàn)實世界中絕大多數(shù)優(yōu)化問題或多或少含有不確定因素，在機會陣?yán)走_(dá)的方向圖綜合中，工作單元的激勵隨機打開與關(guān)閉，最終能夠合成所需方向圖的天線單元數(shù)目是不確定的；即使天線數(shù)目確定，由于單元分布的隨機性，最終綜合出的方向圖也會有所不同.因此，機會陣?yán)走_(dá)的方向圖綜合是一個在不確定環(huán)境下的組合優(yōu)化問題.目前，大量的文獻(xiàn)對確定條件下的天線方向圖綜合算法進(jìn)行了研究，歸納起來主要有以下幾種算法：智能優(yōu)化算法［7－9］、自適應(yīng)算法［1011］和多次規(guī)劃算法［12－13］等，但對含有不確定因素的方向圖綜合的研究還需進(jìn)一步加強.

在含有不確定因素的組合優(yōu)化中，不確定性不能簡單地用隨機性來刻畫.事實上，很多情況下隨機變量的概率密度函數(shù)是未知的，需要多次重復(fù)實驗進(jìn)行估計，但有些時候，無法進(jìn)行這樣的重復(fù)實驗，在這種情況下，模糊變量不失為一個更好的選擇.Zadeh［14］首先引入了模糊集的概念并用隸屬度函數(shù)來刻畫模糊現(xiàn)象.Zadeh為了測量一個模糊事件的需要提出了可能性測度的概念［15］.Liu等［16］提出了一種新的帶有自對偶性的可信性的測度，簡稱為可信度.在2004年，Liu更是給出了可信性理論的公理化體系［17］.并結(jié)合此前的模糊規(guī)劃［18］提出了模糊環(huán)境下的期望值模型、機會約束規(guī)劃和相關(guān)機會規(guī)劃模型［19－20］.近年來大量的研究已經(jīng)表明，在模糊理論的研究領(lǐng)域中，可信性無論在理論上還是在應(yīng)用上都起著重要的作用［21－23］.因此，本文將在可信性理論的基礎(chǔ)上，運用模糊相關(guān)機會規(guī)劃來實現(xiàn)機會陣?yán)走_(dá)的方向圖綜合.文中以總數(shù)目一定且任意隨機分布的陣列單元為環(huán)境，將整個陣列劃分為多個區(qū)域，將方向圖綜合時每個區(qū)域內(nèi)參與工作的單元數(shù)目均看作模糊變量，提出帶有模糊參數(shù)的模糊相關(guān)機會規(guī)劃模型；并結(jié)合模糊模擬算法和遺傳算法設(shè)計了一種智能優(yōu)化算法進(jìn)行求解；最后通過具體的數(shù)值例子來驗證算法的可行性和有效性.

1 模糊相關(guān)機會規(guī)劃模型的建立

1.1基本概念

1965年，美國控制論學(xué)家Zadeh通過隸屬函數(shù)首次提出了模糊集的概念.后來為了測量一個模糊事件的大小，Zadeh于1978年又提出了可能性測度的概念.在過去的幾十年里，經(jīng)過許多學(xué)者的共同努力，在模糊決策領(lǐng)域中可能性理論已經(jīng)得到了廣泛的發(fā)展和應(yīng)用，但是后來人們卻發(fā)現(xiàn)可能性測度不具備自對偶性.由于自對偶性在理論和應(yīng)用中都扮演著重要的角色，Liu等提出了一個具備自對偶性的集函數(shù)，即可信度的測度概念.基于可信度，近幾年來可信性理論得到了迅速的發(fā)展和廣泛的研究.下面，先介紹可信性理論及其相關(guān)的一些基本概念.

定義1［16］設(shè)Θ是一個非空集合，P是Θ的冪集.如果集函數(shù)Cr滿足下面條件：

（1）Cr｛Θ｝＝1；

（2）如果A?B，則Cr｛A｝≤Cr｛B｝；

（3）對于任意A∈P，有Cr｛A｝＋Cr｛AC｝＝1；

（4）對于P中的任意集族｛Ai｝，如果

則稱Cr為可信度，此時，稱三元組（Θ，P，Cr）為一個可信性空間.

定義2［17］模糊變量ξ是一個從可信性空間（Θ，P，Cr）到實數(shù)集R的函數(shù).

定義3［17］如果ξ是定義在可信性空間（Θ，P，Cr）上的模糊變量，則它的隸屬函數(shù)定義為

定理1［17］設(shè)ξ是一個模糊變量，其隸屬函數(shù)為μ.對于任意Borel集合B，有

1.2問題的描述和模型的建立

在機會陣?yán)走_(dá)方向圖綜合中，陣列單元隨機任意分布，且工作狀態(tài)的選擇具有隨機性.假設(shè)由N個各向同性輻射單元組成的隨機分布陣列，陣元的空間位置為（xxi，yyi，zzi），i＝1，2，…，N，信號波長為λ，俯仰角為θ，方位角為φ，則陣列方向圖為

式中：xi為陣元i的激勵狀態(tài)，1表示打開，0表示關(guān)閉；Ii為陣元i激勵電流的幅度，默認(rèn)為1；ψi為陣元i激勵電流的相位，默認(rèn)為0；τi（θ，φ）為陣元i相對參考點的時延，τi（θ，φ）＝（xxisinθcosφ＋yyisin θsinφ＋zzicosθ）／c，c為光速.

假設(shè)在陣元分布及總數(shù)目N確定的條件下進(jìn)行方向圖綜合，優(yōu)化的目標(biāo)是極小化副瓣電平.由于陣元工作狀態(tài)的隨機性，最終參與方向圖合成的單元數(shù)目是不確定的，隨機抽取的單元數(shù)目小于N時就有可能綜合出滿足條件的方向圖，所有陣元都工作時反而帶來資源的浪費.在此用xi表示陣元i的工作狀態(tài)，值為1表示激勵打開，即陣元參與方向圖綜合；值為0表示激勵關(guān)閉，陣元不參與方向圖綜合，因此有決策向量x＝［x1，x2，…，xN］，xi＝0或1.同時受陣元分布隨機性的影響，同樣數(shù)目的天線單元有多種分布狀態(tài)，有多種組合形式，無法大量重復(fù)實驗來取得其隨機分布函數(shù)，此時，采用模糊變量來描述參與方向圖綜合的單元數(shù)目，同時將陣元分區(qū)進(jìn)行分區(qū)處理.受模糊性的影響，認(rèn)為在方向圖綜合時，參與的單元數(shù)目總和在一定程度上滿足約束就可以了，綜合的結(jié)果有些時候不能完全達(dá)到優(yōu)化目標(biāo).在這種情況下，比較現(xiàn)實的辦法是盡可能地達(dá)到優(yōu)化目標(biāo)，即最大化達(dá)成滿足副瓣電平的機會.

本文以非均勻面陣為例，將其分為四個區(qū)域，每個區(qū)域內(nèi)天線單元激勵打開的數(shù)目分別為ξ1，ξ2，ξ3，ξ4，均為模糊變量.假設(shè)波束綜合時天線單元激勵打開的數(shù)目最大值為ˉN，則有約束條件：

用f（x）表示方向圖歸一化后的最大副瓣電平，f（x）＝max（Lsbj），其中：Lsbj為第j個旁瓣電平，j＝1，2，…，J，J為旁瓣電平的數(shù)目.可以得到機會陣?yán)走_(dá)方向圖綜合的模糊相關(guān)機會約束規(guī)劃模型為

式中：Cr｛·｝表示事件｛·｝的可信度；x是決策向量；f0為預(yù)先給定的參考電平.那么模型的含義是在機會約束條件下，目標(biāo)函數(shù)機會最大化.

2 模型求解算法

2.1模糊模擬

如何使用模糊模擬技術(shù)計算給定事件的機會函數(shù).設(shè)E是模糊決策系統(tǒng)中的一個事件，又假設(shè)在點x處事件E的誘導(dǎo)約束為

y由點x導(dǎo)出，則事件E的機會函數(shù)為

若x?E，可以立即得到l（x）＝0.對每一個固定的決策x∈E，首先置l（x）＝0，然后由模糊向量ξ隨機生成一個清晰向量ξ0.實際上，對可能性較低的決策向量不感興趣，所以，可以實現(xiàn)置一水平α0，然后從模糊向量ξ的α0水平截集中隨機產(chǎn)生清晰向量ξ0.如果模糊向量ξ的α0水平截集過于復(fù)雜難于處理，可以從包含模糊向量ξ的α0水平截集的超幾何體W中抽取向量，接受與否依賴于Cr｛ξ0｝＞α0是否成立.如果gj（y，ξ）≤0，j＝1，2，…，p及l(fā)（x）＜Cr｛ξ0｝，則置l（x）＝Cr｛ξ0｝，重復(fù)以上過程N次，則值l（x）可以作為它的估計值.具體步驟可以寫為：

1）置l（x）＝0；

2）從模糊向量ξ的α0水平截集中隨機產(chǎn)生清晰向量ξ0；

3）若gj（y，ξ）≤0，j＝1，2，…，p及l(fā)（x）≤Cr｛ξ0｝成立，則置l（x）＝Cr｛ξ0｝；

4）重復(fù)步驟2和3共N次；

5）返回l（x）.

在本文的方向圖綜合規(guī)劃模型中，僅有一個事件f（x）≤f0，它的誘導(dǎo)約束為

2.2混合智能優(yōu)化算法

為了找到模糊相關(guān)機會約束規(guī)劃模型的最優(yōu)解，需要設(shè)計求解最優(yōu)解的啟發(fā)式優(yōu)化算法.作為應(yīng)用范圍相當(dāng)廣泛的一種算法，遺傳算法很適合作為求解工具［24－25］.將上一節(jié)設(shè)計的模糊模擬的方法嵌入到遺傳算法中得到用來求解機會最大化模型的混合智能優(yōu)化算法.算法的過程概括如下：

1）初始化輸入?yún)?shù)：種群個數(shù)psize，交叉和變異概率pc，pm等，并產(chǎn)生psize個染色體，根據(jù)約束條件檢驗染色體的可行性；

2）通過交叉和變異操作更新染色體，并檢驗可行性；

3）使用模糊模擬計算所有染色體的目標(biāo)值；

4）根據(jù)目標(biāo)值使用基于序的評價函數(shù)計算每個染色體的適應(yīng)度；

5）旋轉(zhuǎn)賭輪盤選擇染色體；

6）重復(fù)步驟2到步驟5直到給定的次數(shù)完成為止；

7）將最優(yōu)染色體作為模型的最優(yōu)解.

因此，本文事件的機會函數(shù)可以表示為

3 仿真實例

現(xiàn)假設(shè)一非均勻面陣，陣元隨機分布在長寬均為10λ內(nèi)的平面上，陣元總數(shù)目110，隨機生成的陣元間距最小為0.05λ.按照天線單元的位置，將面陣劃分為四個區(qū)域，與坐標(biāo)平面內(nèi)的象限區(qū)域劃分一致，四個區(qū)域內(nèi)的天線單元數(shù)目分別為44，15，18，33，如圖1所示.

圖1 天線單元優(yōu)化前分布

假設(shè)波束綜合時每個區(qū)域激勵打開的天線單元數(shù)目均為梯形模糊變量，用ξ1，ξ2，ξ3，ξ4表示，其中：

ξ1（26，32，35，39），ξ2（4，8，11，14），

ξ3（7，10，13，17），ξ4（15，21，25，28）.

假設(shè)已知最大副瓣參考電平f0取值為－13.6 dB，綜合時單元激勵允許打開的最大數(shù)目ˉN為85，基于此，模型（1）可以改寫為

仿真時，程序中參數(shù)種群規(guī)模psize，交叉概率pc和變異概率pm等預(yù)先給定.通過賦予這些參數(shù)不同的數(shù)值，可以得到多組最優(yōu)解和最優(yōu)值.

天線單元分布圖如圖1所示時，共有110只天線單元.假設(shè)所有天線的激勵幅度均為1，相位為0，則可以得到優(yōu)化前的波束綜合圖，如圖2所示，用G表示歸一化方向圖，最大副瓣電平－13.54dB，方向圖圖形表達(dá)中用U，V空間代替角度θ，φ，其中θ表示俯仰角，φ表示方位角，它們之間的關(guān)系為

U＝sinθcosφ，V＝sinθsinφ.

圖2 優(yōu)化前110只天線波束綜合圖

在程序中參數(shù)設(shè)置種群規(guī)模psize＝40，交叉概率pc＝0.8，變異概率pm＝0.1，迭代50次后，最大副瓣電平小于－13.6dB的機會為0.708，得到其中的一組最優(yōu)解是優(yōu)化后有71只天線單元工作，四個分區(qū)工作的單元數(shù)目為［29，6，13，23］，分布情況如圖3所示.圖3中的“＊”表示天線激勵打開，“o”表示天線激勵關(guān)閉.圖4為優(yōu)化后71只天線激勵打開時的波束綜合圖，最大副瓣電平－14.06dB，比優(yōu)化前有所提高，且工作天線單元數(shù)目變少節(jié)省了雷達(dá)資源.

改變程序中參數(shù)的設(shè)置，種群規(guī)模不變，交叉概率pc＝0.7，變異概率pm＝0.2，迭代50次后，仿真結(jié)果最大副瓣電平小于－13.6dB的機會為0.712，得到其中的一組最優(yōu)解是優(yōu)化后有78只天線單元工作，四個分區(qū)工作的單元數(shù)目為［32，12，13，21］，分布情況如圖5所示.圖5中的“＊”表示天線激勵打開，“o”表示天線激勵關(guān)閉.圖6為優(yōu)化后78只天線激勵打開時的波束綜合圖，最大副瓣電平－14.6 dB，比優(yōu)化前提高了1dB，且工作天線單元數(shù)目節(jié)省了32只.

圖3 優(yōu)化后71只天線單元分布

圖4 優(yōu)化后71只天線波束綜合圖

圖5 優(yōu)化后78只天線單元分布

圖6 優(yōu)化后78只天線單元波束綜合圖

表1給出了不同參數(shù)設(shè)置下的機會最大化模型結(jié)果比較.由表中數(shù)據(jù)可以看出，不同參數(shù)設(shè)置下，最終得到的可信度均在0.7左右，說明算法是穩(wěn)定和有效的.

表1 機會最大化模型結(jié)果比較

4 結(jié) 論

本文針對不確定環(huán)境下的機會陣波束綜合問題進(jìn)行了研究.機會陣陣元任意分布，波束綜合時工作狀態(tài)不確定，同時為節(jié)省天線資源，對最終參與工作的天線單元數(shù)目進(jìn)行約束，提出了一種基于模糊相關(guān)機會規(guī)劃的方向圖綜合算法.在綜合時，給定約束條件，將隨機參與方向圖綜合的天線單元數(shù)目看作模糊變量建立相關(guān)機會規(guī)劃模型，并結(jié)合模糊模擬技術(shù)和遺傳算法設(shè)計了一種新的混合智能優(yōu)化算法對其進(jìn)行優(yōu)化求解.最后，仿真結(jié)果表明了在不確定環(huán)境條件的約束下，最大副瓣電平滿足條件的機會為0.7左右，且不同參數(shù)的結(jié)果表明算法是穩(wěn)定和有效的.本文方法也可用于任意陣陣元的布局，對工程實踐有一定的指導(dǎo)意義.

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Pattern synthesis for opportunistic array radar based on fuzzy dependent－chance programming

GONG Shufeng1LONG Weijun1，2PAN Minghai1BEN De1，2
（1.Key Laboratory of Radar Imaging and Microwave Photonics，Nanjing Univ Aeronaut Astronaut，Ministry of Education，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing Jiangsu 210016，China；2.Nanjing Research Institute of Electronics Technology，Nanjing Jiangsu 210038，China）

In this paper，the problem of pattern synthesis for opportunistic array radar is studied，and a new pattern synthesis algorithm based on fuzzy dependent－chance programming is proposed.The algorithm based on credibility theory，considers antenna elements with random distribution and excited state of uncertainty，uses fuzzy variables to characterize the complex and uncertain environment of antenna elements，and creates the programming model for pattern synthesis.A searching method integrating the technique of fuzzy simulation and genetic algorithm is designed to search the quasi－optimal schedule under some decision－making criterion.Simulation examples are given to demonstrate the feasibility of the searching method for solving the proposed model.

opportunistic array radar；pattern synthesis；credibility theory；dependentchance programming；fuzzy simulation；genetic algorithms

TN911.7

A

1005－0388（2015）02－0201－07

龔樹鳳（1985－），女，河北人，南京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院在讀博士研究生，主要研究方向為新體制雷達(dá)、雷達(dá)信號處理等.

龍偉軍（1978－），男，云南人，博士，目前就職于南京電子技術(shù)研究所，研究方向為新體制雷達(dá)、陣列波束綜合、雷達(dá)信息處理和信號傳輸.

潘明海（1962－），男，河北人，南京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向為新體制雷達(dá)、射頻仿真以及雷達(dá)信號處理.

賁 德（1938－），男，吉林人，中國工程院院士，南京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院院長，教授，博士生導(dǎo)師，就職于南京電子技術(shù)研究所，主要研究方向為新體制雷達(dá)、雷達(dá)信號處理等.

龔樹鳳，龍偉軍，潘明海，等.基于模糊相關(guān)機會規(guī)劃的機會陣?yán)走_(dá)方向圖綜合［J］.電波科學(xué)學(xué)報，2015，30（2）：201－207.

10.13443／j.cjors.2014051901

GONG Shufeng，LONG Weijun，PAN Minghai，et al.Pattern synthesis for opportunistic array radar based on fuzzy dependent－chance programming［J］.Chinese Journal of Radio Science，2015，30（2）：201－207.（in Chinese）.doi：10.13443／j.cjors.2014051901

2014－05－19

國家自然科學(xué)基金（No.61071164、61271327）；江蘇高校優(yōu)勢學(xué)科建設(shè)工程項目

聯(lián)系人：龔樹鳳E－mail：suffy＿nuaa＠163.com