楊廷高1,2? 高玉平1,2 童明雷1,2 趙成仕1,2 高 峰1,2,3,4

(1中國科學(xué)院國家授時中心西安710600) (2中國科學(xué)院時間頻率基準(zhǔn)重點實驗室西安710600) (3中國科學(xué)院大學(xué)北京100049) (4西安科技大學(xué)應(yīng)用物理系西安710054)

計時觀測測量脈沖星參數(shù)的數(shù)學(xué)模型與精度估計?

楊廷高1,2? 高玉平1,2 童明雷1,2 趙成仕1,2 高 峰1,2,3,4

(1中國科學(xué)院國家授時中心西安710600) (2中國科學(xué)院時間頻率基準(zhǔn)重點實驗室西安710600) (3中國科學(xué)院大學(xué)北京100049) (4西安科技大學(xué)應(yīng)用物理系西安710054)

脈沖星計時觀測能夠精確測量脈沖星自轉(zhuǎn)參數(shù)和天體測量參數(shù).概述了脈沖星計時模型和利用最小二乘擬合測量脈沖星各個參數(shù)并估計其方差的數(shù)學(xué)方法.在黃道坐標(biāo)系導(dǎo)出了脈沖星各個參數(shù)誤差與計時殘差之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式.給出了脈沖星黃經(jīng)、黃緯和周年視差測量精度與脈沖星黃緯絕對值之間的關(guān)系曲線.討論了脈沖星各個天體測量參數(shù)測量精度與脈沖星緯向參數(shù)本身的關(guān)系.

天體測量學(xué),參考系,脈沖星,方法:解析

1 引言

脈沖星計時觀測能夠高精度地測量脈沖星的自轉(zhuǎn)參數(shù)(脈沖星在參考?xì)v元的自轉(zhuǎn)相位、頻率及其導(dǎo)數(shù))和脈沖星的天體測量參數(shù)(脈沖星位置、自行與周年視差).分布于天空各個方向、其自轉(zhuǎn)參數(shù)和天體測量參數(shù)已經(jīng)精確測定的一組脈沖星構(gòu)成脈沖星時空參考架,脈沖星時空參考架作為時間和空間參考坐標(biāo)具有重要應(yīng)用價值.射電望遠(yuǎn)鏡的脈沖星計時觀測提供脈沖星脈沖到達(dá)望遠(yuǎn)鏡時刻(TOA),利用同一望遠(yuǎn)鏡對相同脈沖星多年觀測的TOA時間序列,能夠分析得到脈沖星的自轉(zhuǎn)參數(shù)和天體測量參數(shù).我們討論利用脈沖星計時觀測測量脈沖星參數(shù)的數(shù)學(xué)模型和測量精度問題.

2 脈沖星計時模型概述

在脈沖星參考架,脈沖星自轉(zhuǎn)相位與其自轉(zhuǎn)參數(shù)關(guān)系可表示為

式中t和t0均為脈沖星時，t0對應(yīng)參考?xì)v元.?0、ν和˙ν分別是t0時刻脈沖星的自轉(zhuǎn)相位、頻率及其1階導(dǎo)數(shù).設(shè)脈沖星鐘預(yù)報的脈沖時刻是tp,P(t)是t時刻脈沖星自轉(zhuǎn)周期,有

假設(shè)tobs是以原子鐘為參考,地面射電望遠(yuǎn)鏡觀測得到的脈沖星同一脈沖的到達(dá)時刻(TOA),tobs與tp有下述關(guān)系:

式中,Δtc包括計時觀測參考原子鐘到地球時TT的改正和TT到質(zhì)心坐標(biāo)時TCB的改正,這兩項改正通常采用事先計算好的數(shù)值表內(nèi)插得到[1].一般說來,Δtc還應(yīng)包括TCB到脈沖星時的改正.c是光速,?n是脈沖星在(太陽系)質(zhì)心坐標(biāo)系的單位矢量,→V是脈沖星相對于太陽系質(zhì)心速度矢量.Δt=t?t0,即觀測時刻與參考?xì)v元差值.→r是觀測時刻望遠(yuǎn)鏡相對于太陽系質(zhì)心的位置矢量.R0是參考?xì)v元脈沖星相對于太陽系質(zhì)心距離.G是牛頓引力常數(shù),Mk是第k個太陽系天體的質(zhì)量,→rk是在觀測時刻望遠(yuǎn)鏡相對于第k個太陽系天體位置矢量,rk是→rk的模,n是計算Shapiro延遲采用的太陽系主要天體數(shù)量. r⊙是觀測時刻望遠(yuǎn)鏡到太陽的距離,m⊙是太陽質(zhì)量,ψ是太陽和脈沖星在觀測時刻相對望遠(yuǎn)鏡的張角.Δtob是脈沖雙星軌道運動延遲改正,包括Roemer延遲、Shapiro延遲和Einstein延遲改正等[2?3].(3)式中,tobs(觀測得到的TOA)和→r(望遠(yuǎn)鏡相對于太陽系質(zhì)心矢量)為已知量,其中→r由已知的望遠(yuǎn)鏡相對于地心矢量和地心歷表計算得到.脈沖星在參考?xì)v元t0的自轉(zhuǎn)相位?0、自轉(zhuǎn)頻率ν及其導(dǎo)數(shù)˙ν是待求的自轉(zhuǎn)參數(shù).對于毫秒脈沖星,自轉(zhuǎn)頻率的2階導(dǎo)數(shù)可以忽略,但對于自轉(zhuǎn)較慢的普通脈沖星,自轉(zhuǎn)參數(shù)還應(yīng)該包括自轉(zhuǎn)頻率的2階及其以上導(dǎo)數(shù).脈沖星位置矢量(包括方向和距離)以及自行是待求的天體測量參數(shù).脈沖星計時觀測只能測量自行,不能測量視向速度.對于脈沖雙星,待求的參數(shù)還應(yīng)該包括脈沖星的軌道參數(shù).(3)式是脈沖星計時觀測方程的精確數(shù)學(xué)模型[4].

3 脈沖星參數(shù)最小二乘擬合與精度估計

通常脈沖星參數(shù)的近似值總是知道的,將參數(shù)(包括自轉(zhuǎn)參數(shù)和天體測量參數(shù))近似值作為采用值分別代入(2)式和(3)式,利用脈沖星的長期計時觀測得到的TOA時間序列(n個TOA),可以計算得到每個TOA的計時殘差,計時殘差的系統(tǒng)性變化是由脈沖星參數(shù)誤差所致.利用脈沖星計時殘差(稱為擬合前殘差)采用最小二乘擬合,得到脈沖星參數(shù)采用值的改正值及其方差.最小二乘擬合需要將非線性方程(3)在各個參數(shù)采用值處進(jìn)行級數(shù)展開,從而把(3)式轉(zhuǎn)換成包含脈沖星天體測量參數(shù)采用值誤差的線性方程.將(2)式表示成脈沖星自轉(zhuǎn)參數(shù)誤差的線性方程.假設(shè)向量→R是擬合前的計時殘差,脈沖星自轉(zhuǎn)參數(shù)和天體測量參數(shù)采用值的誤差向量為→P,脈沖星參數(shù)的系數(shù)矩陣(也稱為計時模型矩陣)為M,如果觀測TOA數(shù)量為n,脈沖星自轉(zhuǎn)參數(shù)和天體測量參數(shù)總數(shù)量為m(n＞m),則M是n×m的矩陣.用矩陣表示的最小二乘擬合的線性方程為

脈沖星參數(shù)估計值的協(xié)方差矩陣是

(6)式中σ是TOA測量誤差.由于TOA測量誤差不一定能反映擬合后計時殘差的均方根(rms)誤差,考慮到最小二乘采用的TOA數(shù)量與被估計的參數(shù)數(shù)量,實際給出的協(xié)方差矩陣是

(7)式表示的協(xié)方差矩陣中,主對角線元素是脈沖星被估計參數(shù)的方差,主對角線上下元素對稱,它們是脈沖星參數(shù)之間的協(xié)方差.在TOA測量精度不一致的情況下,通常采用加權(quán)最小二乘法擬合脈沖星參數(shù).類似地,可以寫出加權(quán)最小二乘的脈沖星參數(shù)估計及其協(xié)方差的矩陣表達(dá)式,詳情可參閱文獻(xiàn)[5].

應(yīng)該指出的是,只有在脈沖星參數(shù)采用值誤差非常小的情況下,采用線性最小二乘才能夠得到脈沖星參數(shù)的精確估計,因為(3)式的線性方程忽略了高階項,只能看作是近似方程,脈沖星參數(shù)采用值誤差越小,(3)式的線性表達(dá)式越精確.因此,實際的脈沖星參數(shù)擬合是采用逐步逼近的迭代方法.每次擬合后,需要檢查擬合后計時殘差,如果存在任何系統(tǒng)性變化趨勢,則修正相關(guān)的脈沖星參數(shù)采用值后,重新擬合,直到得到滿意的結(jié)果為止[6].下面,我們討論脈沖星計時殘差與脈沖星參數(shù)采用值誤差之間的數(shù)學(xué)關(guān)系.

4 脈沖星計時殘差與自轉(zhuǎn)參數(shù)誤差的數(shù)學(xué)關(guān)系

對(2)式進(jìn)行微分,有

計時殘差是“模型－觀測”,(8)式中Δtp就是脈沖星自轉(zhuǎn)參數(shù)采用值誤差引起的計時殘差. (8)式描述了計時殘差與脈沖星在參考?xì)v元t0的自轉(zhuǎn)相位?0、頻率ν及其1階導(dǎo)數(shù)˙ν采用值誤差之間的數(shù)學(xué)關(guān)系.?0誤差Δ?0使得計時殘差產(chǎn)生常數(shù)偏差,ν誤差Δν引起計時殘差線性變化,˙ν誤差Δ˙ν使得計時殘差呈現(xiàn)二次曲線變化.因為我們通常并不知道脈沖星自轉(zhuǎn)參數(shù)的精確值,只能根據(jù)計時殘差變化特征擬合得到精確的脈沖星自轉(zhuǎn)參數(shù).

5 脈沖星計時殘差與位置、自行誤差的數(shù)學(xué)關(guān)系

下面我們導(dǎo)出脈沖星位置、自行參數(shù)誤差與脈沖星計時殘差的關(guān)系表達(dá)式.脈沖星位置和自行誤差影響Roemer延遲.由(3)式可知,Roemer延遲項為?→r·?n/c=?(→s+→rE)·?n/c,式中→r是望遠(yuǎn)鏡相對于太陽系質(zhì)心SSB的矢量,→s是望遠(yuǎn)鏡相對于地心矢量,→rE是地心相對于SSB的位置矢量,?n是脈沖星單位矢量,c是光速.因為脈沖星位置和自行誤差對脈沖TOA從望遠(yuǎn)鏡到地心轉(zhuǎn)換的影響非常小,可以忽略[7].研究脈沖星位置和自行誤差對Roemer延遲的影響,主要考慮TOA從地心到太陽系質(zhì)心SSB轉(zhuǎn)換的Roemer延遲,有

在黃道坐標(biāo)系內(nèi),脈沖星的位置為黃經(jīng)λ、黃緯β,脈沖星單位矢量令脈沖星黃經(jīng)自行為μλ、黃緯自行為μβ,參考?xì)v元t0時刻脈沖星的位置為λ0和β0,則與t0的差值為t的時刻,脈沖星的黃經(jīng)、黃緯分別為λ=λ0+μλt和β=β0+μβt,則有

假設(shè)地球繞SSB的周年運動軌道為圓軌道,因為我們的目的是計算脈沖星位置誤差對Roemer延遲的影響,將地球公轉(zhuǎn)軌道視為圓軌道是安全的[7].地心到SSB的平均距離R=1 au,令t時刻地心沿黃道面公轉(zhuǎn)位置角為ωt,ω=2π/yr,則地心在黃道坐標(biāo)系的位置矢量為

將(10)式和(11)式代入(9)式,做矩陣乘運算,并將三角函數(shù)進(jìn)行級數(shù)展開,忽略二次以上高階項(這些項都是小量),整理后得到

在(12)式中,λ0、β0的單位是rad,μλ和μβ的單位是rad/yr.應(yīng)用(12)式對β0求偏導(dǎo)數(shù),我們得到

(13)式中,δΔRβ是黃緯β0的誤差δβ0對計時殘差的影響,右邊第2項包括乘積δβ0μλ,是小量,可以略去,右邊第3項包括乘積δβ0μβ,同樣是小量,可以略去.于是(13)式變成

應(yīng)用(12)式對λ0求偏導(dǎo)數(shù),略去高階小量項,有

(15)式中δΔRλ是黃經(jīng)λ0誤差δλ0對計時殘差的影響.應(yīng)用(12)式對μβ求偏導(dǎo)數(shù),有

(16)式中δΔRμβ是黃緯自行μβ誤差δμβ對計時殘差的影響.應(yīng)用(12)式對μλ求偏導(dǎo)數(shù),有

(17)式中δΔRμλ是黃經(jīng)自行μλ誤差δμλ對計時殘差的影響.

由(14)式至(17)式可以看出,脈沖星黃緯誤差導(dǎo)致計時殘差按周期為1 yr的余弦曲線變化;脈沖星黃經(jīng)誤差導(dǎo)致計時殘差按周期為1 yr的正弦曲線變化;脈沖星黃緯自行誤差導(dǎo)致計時殘差按周期為1 yr的余弦曲線變化,且幅度隨時間線性增加;脈沖星黃經(jīng)自行誤差導(dǎo)致計時殘差按周期為1 yr的正弦曲線變化,且幅度隨時間線性增加.

利用長期的TOA觀測資料,采用最小二乘法擬合確定脈沖星的黃道坐標(biāo)位置和自行參數(shù).脈沖星位置和自行誤差導(dǎo)致計時殘差周期性變化,根據(jù)計時殘差的變化特征,可以修正脈沖星的有關(guān)天體測量參數(shù),重新擬合,直到計時殘差沒有周年性變化趨勢,從而獲得精確的脈沖星天體測量參數(shù)為止.假設(shè)TOA精度為σ,數(shù)量為n,根據(jù)誤差傳遞理論,脈沖星黃經(jīng)、黃緯及其自行測量精度分別可表示為下面的比例關(guān)系表達(dá)式:從以上公式還可以看出,脈沖星位置和自行測量精度與脈沖星的緯向參數(shù)本身有關(guān).

6 脈沖星計時殘差與周年視差誤差的數(shù)學(xué)關(guān)系

下面我們討論脈沖星周年視差誤差與計時殘差的關(guān)系.由(3)式,視差延遲項為該式中R0是脈沖星到太陽系質(zhì)心SSB的距離,是脈沖星單位矢量,望遠(yuǎn)鏡相對于SSB矢量是測站相對于地心矢量,是地心相對于SSB矢量.由于矢量→s影響,脈沖星視差誤差導(dǎo)致的時間延遲是小量,可以忽略,我們只考慮→rE的視差延遲效應(yīng).于是視差延遲Δp可寫為

脈沖星視差π=R/R0,π的單位是rad(以下π均指視差).將π=R/R0代入(18)式,有

將(10)式和(11)式代入(19)式,做矩陣乘運算,并將三角函數(shù)進(jìn)行級數(shù)展開,忽略二次以上高階項(這些項都是小量),整理后得到

應(yīng)用(20)式對π求偏導(dǎo)數(shù),有

(21)式中δΔpπ是周年視差π的誤差δπ引起的計時殘差,前兩項是常數(shù)項,由第3項可看出, δπ導(dǎo)致計時殘差按照周期為半年的余弦曲線變化.視差π的誤差對計時殘差影響,具有與其他天體測量參數(shù)不同的特征.根據(jù)脈沖星計時殘差中存在的周期為半年的余弦曲線變化趨勢,修正視差π的采用值,重新擬合計時殘差,直到殘差不再存在半年周期余弦曲線變化趨勢為止,從而擬合得到精確的視差π值.實際上脈沖星位置、自行和視差參數(shù)誤差對計時殘差影響,還有脈沖星自轉(zhuǎn)參數(shù)誤差對計時殘差影響,是按照時間t疊加在一起的,雖然它們具有可識別的不同特征,但在實際參數(shù)擬合時的經(jīng)驗判斷也非常重要.

利用長期的TOA觀測資料,采用最小二乘法擬合確定脈沖星的周年視差參數(shù).假設(shè)脈沖星TOA觀測序列包含n個TOA,TOA的觀測精度為σ,根據(jù)誤差傳遞理論,由(21)式可知,脈沖星周年視差的測量精度

7 討論

利用射電望遠(yuǎn)鏡的計時觀測,能夠高精度地測量脈沖星自轉(zhuǎn)參數(shù)和天體測量參數(shù).脈沖星參數(shù)測量需要高精度原子時作參考,目前,最好用地球時TT作脈沖星計時觀測的參考時間尺度[8].脈沖星天體測量參數(shù)的測量精度與脈沖星的緯向參數(shù)本身數(shù)值有關(guān).假設(shè)脈沖星TOA觀測精度約1μs,TOA采樣間隔約5 d,射電望遠(yuǎn)鏡計時觀測3 yr,利用上文給出的有關(guān)表達(dá)式,計算得到脈沖星黃經(jīng)、黃緯和周年視差測量精度與脈沖星黃緯β絕對值的關(guān)系曲線,并分別繪于圖1.在圖1中,橫坐標(biāo)是脈沖星黃緯的絕對值|β|(單位:?),脈沖星黃經(jīng)、黃緯和周年視差測量精度曲線分別為σλ、σβ和σπ(單位:mas).脈沖星黃經(jīng)自行測量精度與脈沖星黃緯絕對值之間的關(guān)系與σλ曲線變化趨勢相同;脈沖星黃緯自行測量精度與脈沖星黃緯絕對值之間的關(guān)系與σβ曲線變化趨勢相同.由圖1可見,同一射電望遠(yuǎn)鏡對不同脈沖星的參數(shù)測量精度不相同,與脈沖星的緯向參數(shù)絕對值有關(guān),并具有小的盲區(qū);緯度接近0?的星不能測其緯度,緯度絕對值接近90?的星不能測量其經(jīng)度和周年視差.隨脈沖星緯度絕對值的增加,其周年視差的測量精度下降得更快.

安裝于不同地理位置的射電望遠(yuǎn)鏡有利于觀測不同天區(qū)的脈沖星,但圖1所示脈沖星天體測量參數(shù)測量精度曲線適用于任何地面射電望遠(yuǎn)鏡.進(jìn)一步改進(jìn)TOA測量精度、增加TOA采樣密度、擴(kuò)大TOA序列的時間跨度,能夠提高脈沖星參數(shù)測量精度.但對位于測量盲區(qū)的脈沖星,只能用其他觀測技術(shù)獲得其高精度天體測量參數(shù).

從脈沖星計時殘差與脈沖星參數(shù)誤差的關(guān)系表達(dá)式,我們還可看出:脈沖星計時觀測參考的時間尺度如果具有線性、二次性或周年性變化系統(tǒng)誤差,在最小二乘擬合時,這種線性、二次性誤差會被不同程度地吸收到脈沖星自轉(zhuǎn)參數(shù)中去,周年性誤差會被吸收到天體測量參數(shù)中去.計時觀測參考的地球歷表如果有線性、二次性或周年性系統(tǒng)誤差,也會對擬合得到的脈沖星參數(shù)產(chǎn)生影響.所以,計時觀測測量脈沖星參數(shù),應(yīng)該采用高精度的原子時系統(tǒng)(如TT時間系統(tǒng))和高精度的近代地球歷表作參考.

圖1 脈沖星黃經(jīng)、黃緯和周年視差測量精度與黃緯絕對值之間關(guān)系Fig.1 The relationship between precision of ecliptic longitude,latitude,and annual parallax of pulsars versus absolute ecliptic latitude of pulsars

關(guān)于脈沖雙星軌道參數(shù)的測量問題,其測量原理方法與脈沖星自轉(zhuǎn)參數(shù)和天體測量參數(shù)類似.雙星軌道參數(shù)誤差會導(dǎo)致計時殘差的系統(tǒng)性變化,不同軌道參數(shù)誤差對計時殘差的影響具有各自可識別的特征,它們都是脈沖星軌道周期的函數(shù).為測量脈沖星軌道參數(shù),對于脈沖雙星的TOA測量,必須在其軌道周期上加密采樣,以便擬合得到滿意精度的雙星軌道參數(shù).

[1]Irwin A W,Fukushima T.A&A,1999,348:642

[2]Damour T.AnIHP,1986,44:3263

[3]Taylor J H,Weisberg J M.ApJ,1989,345:434

[4]Edwards R T,Hobbs G B,Manchester R N.MNRAS,2006,372:1549

[5]Coles W,Hobbs G,Champion D J,et al.MNRAS,2011,418:561

[6]Hobbs G B,Edwards R T,Manchester R N.MNRAS,2006,369:655

[7]Madison D R,Chatterjee S,Cordes J M.AJ,2013,777:2

[8]Guinot B,Petit G.A&A,1991,248:292

Mathematical Model for Measuring Pulsar Parameters and Precision Estimation with Pulsar Timing Observations

YANG Ting-gao1,2GAO Yu-ping1,2TONG Ming-lei1,2ZHAO Cheng-shi1,2GAO Feng1,2,3,4
(1 National Time Service Center,Chinese Academy of Sciences,Xi’an 710600) (2 Key Laboratory of Time and Frequency Primary Standards,National Time Service Center,Chinese Academy of Sciences,Xi’an 710600) (3 University of Chinese Academy of Sciences,Beijing 100049) (4 Department of Applied Physics,Xi’an University of Science and Technology,Xi’an 710054)

Pulsar rotational and astrometric parameters can be measured with a very high precision by pulsar timing observations.The pulsar timing model,the estimation method of pulsar parameters and their covariances by least square solution are brie fl y described.The relationship between the timing residuals of a pulsar and errors of its rotational parameters is denoted with the polynomial of time.The relationship between the timing residuals of a pulsar and errors of its astrometric parameters can be derived from the Roemer delay due to the Earth motion around the solar system barycenter. The mathematical expressions for the relationship between timing residuals and errors of pulsar astrometric parameters adopted for timing solution are derived within the ecliptic coordinate reference system using the transformation from analytical vector expression of the Roemer delay to the corresponding spherical coordinate expression. The precision of pulsar astrometric parameters determined by timing observation is dependent on the absolute ecliptic latitude of pulsar.For the pulsar located close to the ecliptic plane,it is difficult to precisely measure the pulsar latitude parameter by timing observations.For the pulsar located close to the ecliptic pole,it is difficult to precisely measure the pulsar longitude and annual parallax parameters by timing observations.The precision of pulsar ecliptic coordinate and annual parallax parameters determined by timing observations versus pulsar absolute ecliptic latitude is shown.The relationship between the precision of proper motion parameters of pulsar measured by timing observations and pulsar absolute latitude is also discussed.

astrometry,reference system,pulsar,methods:analytical

P127;

:A

2014-11-28收到原稿,2015-03-24收到修改稿

?國家自然科學(xué)基金項目(11103024,11373028,11403030)、中國科學(xué)“西部之光”人才培養(yǎng)計劃西部博士項目(中國科學(xué)院人教[2011]180號)和西部之光–聯(lián)合學(xué)者項目(2010LH02)資助

?yangtg@ntsc.ac.cn

10.15940/j.cnki.0001-5245.2015.04.007