晨旭

體現(xiàn)數(shù)學文化 突出實踐能力──2015年高考數(shù)學試題評析

晨旭

2015年高考數(shù)學試題穩(wěn)中有新，體現(xiàn)了立德樹人的要求。試卷很好地體現(xiàn)了課改理念，時代特征和數(shù)學文化，突出了對中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的考查，在應(yīng)用創(chuàng)新，能力考查方面進行了積極有效的探索，突出對實踐能力的考查，對中學數(shù)學教學有著較好的引導作用。

高考數(shù)學；能力考查

2015年高考數(shù)學試卷遵循考試大綱的各項規(guī)定[1]，重視數(shù)學基礎(chǔ)，堅持能力立意，運用新材料，設(shè)置新情境，考查學生的邏輯推理能力和數(shù)學素養(yǎng)。今年數(shù)學試卷落實立德樹人的根本任務(wù)，突出對中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化和創(chuàng)新應(yīng)用能力的考查，體現(xiàn)時代特征和數(shù)學文化。

試卷全面考查數(shù)學基礎(chǔ)知識，突出中學數(shù)學主干內(nèi)容，深入考查認知能力，有利于科學選拔人才，有利于學生全面發(fā)展，有利于促進社會公平。試卷創(chuàng)新試題設(shè)計，體現(xiàn)了科學性、規(guī)范性、基礎(chǔ)性、公平性、選擇性、選拔性的特點，對提高考生對數(shù)學應(yīng)用價值和文化價值的認識，促進考生獨立思考、創(chuàng)新精神和實踐能力的養(yǎng)成發(fā)揮了積極的導向作用。

1 體現(xiàn)數(shù)學文化

數(shù)學文化是人類文化的重要組成部分，其重要特點是理性思維。加強數(shù)學文化教育最重要的價值在于提升學生的數(shù)學素養(yǎng)，本質(zhì)上體現(xiàn)了文化整體育人的基本要求，也是素質(zhì)教育的基本要求。中國數(shù)學文化歷史悠久，在長期的發(fā)展過程中，形成了不同西方數(shù)學的特點：注重歸納、強調(diào)實用、講究算法。我國古代數(shù)學家的研究品質(zhì)、研究特點和研究成果對學生的影響不容忽視。在數(shù)學科試題中滲透中國古代數(shù)學文化，強調(diào)中國古代數(shù)學文化的傳統(tǒng)特色，在考查過程中使考生感受和學習前人嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度，讓考生潛移默化地接受我國古代數(shù)學文化的熏陶，從而傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，弘揚愛國主義精神。

2015年高考數(shù)學試卷選取了體現(xiàn)中國古代優(yōu)秀數(shù)學文化并與中學數(shù)學內(nèi)容結(jié)合緊密的素材，編擬數(shù)學試題，要求考生運用所學的基礎(chǔ)知識，基本思想解決問題。

例1：（全國一卷第6題）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖1所示，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有

圖1

（A）14斛 （B）22斛 （C）36斛 （D）66斛

《九章算術(shù)》是中國古代數(shù)學的代表性著作就。從《九章算術(shù)》各章內(nèi)容看，都是與生產(chǎn)、生活息息相關(guān)的知識和內(nèi)容。例2中的問題即來源于第五章“商功”，試題源于生活生產(chǎn)中谷物儲存的問題，結(jié)合立體幾何中的基礎(chǔ)知識進行設(shè)問，試題的設(shè)計讓考生感受到我國古代數(shù)學的優(yōu)秀傳統(tǒng)——數(shù)學要關(guān)注生產(chǎn)、生活等社會問題。優(yōu)秀文化的傳承對考生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)將起到積極的作用，試題的設(shè)計引導考生通過了解數(shù)學文化，體會數(shù)學知識方法在認識現(xiàn)實世界中的重要作用，這些都體現(xiàn)了文化內(nèi)涵整體育人的功能。

例2：（全國二卷第8題）程序框圖（如圖2所示）的算法思路源于我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”.執(zhí)行該程序框圖，若輸入的a，b分別為14，18，則輸出的a=

圖2

（A）0 （B）2 （C）4 （D）14

例1中的“更相減損術(shù)”是為了解決“求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)”問題，國外的歐幾里得算法可以解決這個問題，但是我國古代數(shù)學家發(fā)現(xiàn)的“更相減損術(shù)”比歐幾里得算法更簡單，操作方便，更符合算法的要求。通過設(shè)計這樣的試題背景，不僅讓考生通過學習理解數(shù)學文化，形成理性思維，同時也讓考生感受我國古代數(shù)學研究的成就，增強愛國情懷。

2 突出實踐能力

數(shù)學學科兼具應(yīng)用性和實踐性的特點。2015年數(shù)學試題充分體現(xiàn)了這一特點，對應(yīng)用性考查進行了新的探索。考查實踐能力的試題涉及二氧化硫年排放量、產(chǎn)品的滿意度調(diào)查、年利潤預測等背景，體現(xiàn)了數(shù)學在解決實際問題中的巨大作用和應(yīng)用價值。于此同時，2015年試題還突出了對實踐能力的考查，要求考生動手實驗，積極探索，運用所學數(shù)學知識技能和方法解決問題。

例3：（全國二卷第3題）根據(jù)圖3給出的2004年至2013年我國二氧化硫年排放量（單位：萬噸）柱形圖，以下結(jié)論中不正確的是

圖3

（A）逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著

（B）2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效

（C）2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢

（D）2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)

環(huán)境保護是近年來社會關(guān)注的熱點問題，隨著我國環(huán)境保護法的頒布，人們對大氣環(huán)境也越發(fā)關(guān)注。試題選取了2004年至2013年我國二氧化硫排放量作為試題情景，考查統(tǒng)計的基本知識和基本方法，引導考生關(guān)注日常生活中的數(shù)學問題，增強考生數(shù)學的應(yīng)用意識。

例4：（全國二卷第19題）如圖4所示，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，點E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1E=D1E=4.過點E，F(xiàn)的平面α與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形.

圖4

（Ⅰ）在圖中畫出這個正方形（不必說明畫法和理由）；

（Ⅱ）求直線AF與平面α所成角的正弦值.

試題要求考生畫出“交線圍成的正方形，不必說明畫法和理由”，很有新意。試題鼓勵考生動手實驗，修正實驗，在數(shù)學理性的指導下獲得正確的實驗。數(shù)學家歐拉說過：“數(shù)學這門學科，需要觀察，還需要實驗?！盵2]當考生在實驗中假設(shè)正方形另一個頂點H在AA1上時，會發(fā)現(xiàn)由此修正實驗，H應(yīng)在上AB，且AH=10?；蛘弋斂忌趯嶒灂r假設(shè)正方形的另一個頂點在BB1上時，會發(fā)現(xiàn)EH≥EB1≥12>10，由此修正H應(yīng)在AB上。在探索中強調(diào)求真的品質(zhì)也是數(shù)學文化的重要內(nèi)容。杜威說：“如果學生不能籌劃自己解決問題的方法，自己尋找出路，他就學不到什么，即使他能背出一些正確的答案，百分之百正確，他還是學不到什么”。[3]當前真正讓學生主動動手實驗，主動思考問題的課堂教學還不多，離課改的要求還有距離。因此，試題的設(shè)計對當前數(shù)學教學的改革也起到了積極的導向作用。

3 注重邏輯推理

數(shù)學是培養(yǎng)理性思維的重要學科，數(shù)學的概念、思想和方法空前廣泛地滲透到數(shù)學之外的其他學科領(lǐng)域并影響著我們的生活。2015年數(shù)學高考堅持把考查邏輯推理能力作為命題的首要任務(wù)，突出體現(xiàn)思維系統(tǒng)邏輯性、方法嚴密實證性、問題解決實效性的特點。在考查中注意以促進考生學習掌握數(shù)學方法為手段、以考查考生的數(shù)學素養(yǎng)為目的，實現(xiàn)數(shù)學知識、思想和方法的遷移。

例5：（全國一卷第8題）函數(shù)f(x)=cos(wx+φ)的部分圖像如圖5所示，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為

圖5

試題給出了三角函數(shù)的部分圖像，考查考生對三角函數(shù)概念及三角函數(shù)性質(zhì)（周期性、單調(diào)性與對稱性）的三種表征的理解與轉(zhuǎn)換，考查考生邏輯推理能力。問題解決的途徑并不是唯一的，考生通過觀察圖像可以推出三角函數(shù)的最小正周期與最小值點，也可以得到該三角函數(shù)的周期性、最值點、對稱軸、零點等信息，最終得到一般解析表達式。在邏輯推理過程中，考生的數(shù)形結(jié)合、整體與部分、函數(shù)與方程等數(shù)學思想方法得到了不同程度的考查。

良好的思維品質(zhì)是人的核心素養(yǎng)的重要方面，新課改也在不斷強調(diào)“要發(fā)揮數(shù)學在培養(yǎng)邏輯思維和創(chuàng)新能力方面不可替代的作用”。對邏輯推理的考查不僅要求考生能綜合運用知識，而且要求考生能融合貫通方法。這本質(zhì)上也考察了思維的嚴密性和思維的靈活性。近年來數(shù)學命題的一個特點就是從數(shù)學學科的整體體系和思維價值的高度出發(fā)，在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯處設(shè)計試題，要求考生能夠理解其中的邏輯關(guān)系。例如2015年課標一卷文科第（4）題，首先給出了勾股數(shù)的概念，考生需要理解此概念，然后根據(jù)勾股數(shù)的性質(zhì)從5個數(shù)中推理得到可以構(gòu)成勾股數(shù)的3個數(shù)，最后計算出概率。

4 倡導創(chuàng)新思維

創(chuàng)新是一個民族的靈魂，創(chuàng)新能力是社會經(jīng)濟文化發(fā)展的重要助推力，也是學生在青少年階段集中體現(xiàn)的特征性能力。創(chuàng)新不只是一種思想意識，更是一種認識水平，不只是一種方法，更是一種能力。2015年數(shù)學試題對創(chuàng)新能力的考查著重體現(xiàn)在對創(chuàng)新思維的要求：一方面要求考生能夠打破常規(guī)思路，獨立思考，積極探究；另一方面要求考生能夠?qū)⒍喾N思維融合，創(chuàng)造性解決問題。

例6：（全國一卷第16題）在平面四邊形中ABCD，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是 .

試題給出了四角形的一條邊的度量值，以及三個角的大小，是一個局部可解的四邊形問題。考生需要運用思維創(chuàng)新，將解三角形的原理推廣運用到四邊形中，試題的考查重點不在具體運用正弦定理、余弦定理等傳統(tǒng)解三角形的工具，而在需要考生在理解與掌握數(shù)學基本原理的基礎(chǔ)上，分析問題本質(zhì)，并發(fā)揮創(chuàng)新思維，從而解決問題。

例7：（全國一卷第10題）如圖6所示，長方形ABCD的邊AB=2，BC=1，O是AB的中點.點P沿著邊BC，CD與DA運動，記∠BOP=x.將動點P到A，B兩點距離之和表示為x的函數(shù)f(x)，則y=f(x)的圖像大致為

圖6

試題的題干似乎與三角函數(shù)毫不相關(guān)，但考生在計算距離時會發(fā)現(xiàn)，其形式化表征就是三角函數(shù)，通過分析該三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，即可解決問題。本題的問題情境設(shè)置為考生熟悉的簡單平面幾何問題，解決問題的思維方法是豐富的，給不同思維（代數(shù)思維與幾何思維）的考生提供了不同的發(fā)揮空間。

5 合理區(qū)分考生

2015年數(shù)學試題，依然體現(xiàn)分梯度設(shè)置試題難度的特點。試題由易到難，有利于穩(wěn)定考生心態(tài)，促進考生發(fā)揮正常水平。同時，體現(xiàn)高考數(shù)學是考查數(shù)學基礎(chǔ)的考試——為高校選拔合格的新生，必須測試其必備的數(shù)學基礎(chǔ)；也體現(xiàn)高考數(shù)學是注重能力的考試——要測試考生已有的和潛在的學習能力。而空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力以及應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識對人的發(fā)展（學習和工作）非常重要。例如，選擇題中一般涉及集合、復數(shù)等基礎(chǔ)內(nèi)容，呈現(xiàn)形式也是考生熟悉的，考查的是數(shù)學中的通性通法；解答題則對多種能力提出了要求，要求考生具有較好的數(shù)學基礎(chǔ)、數(shù)學能力、數(shù)學視野和理性精神。這樣的試卷設(shè)計，保持了試卷結(jié)構(gòu)和難度的穩(wěn)定，有利于試題難度與考生水平的平衡，合理區(qū)分考生，為高校錄取新生提供了有效的數(shù)學成績依據(jù)。

與此同時，2015年數(shù)學試卷注意文、理科考生在相同知識的不同要求，梯度設(shè)問，合理區(qū)分文、理科考生。文、理科數(shù)學試卷中有不少試題屬于姊妹題，這樣的設(shè)計體現(xiàn)出了對文、理科考生在相同知識背景下，有不同考查要求的特點。例如課標二卷文科第（20）題和理科第（20）題為姊妹題，兩道試題背景都是考查直線與橢圓，但是設(shè)計有所區(qū)分，文科試題中的橢圓是給定的，在此基礎(chǔ)上，再進一步探究直線斜率之間的關(guān)系；理科試題則是在文科試題基礎(chǔ)上，更進一步，讓考生探究此時的四邊形OAPB能否為平行四邊形？這樣的設(shè)計針對文、理科考生要求的不同，進行了區(qū)分，文科試題難度明顯低于理科試題。

2015年數(shù)學試卷充分滲透了數(shù)學文化，體現(xiàn)了立德樹人的要求。試題在應(yīng)用創(chuàng)新，能力考查方面進行了積極有效的探索，突出對實踐能力的考查，對中學數(shù)學教學有著較好的引導作用。

[1]教育部考試中心.2015年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試大綱[M].北京：高等教育出版社，2015.

[2]徐利治.數(shù)學方法論選講[M].武漢：華中工學院出版社，1983.

[3]杜威，著.王承緒，譯.民主主義與教育[M].北京：人民教育出版社，1990.

[4]教育部考試中心.高考數(shù)學測量理論與實踐[M].北京：高等教育出版社，2006.

Reflect Mathematical Culture and Highlight Practice Ability: An Analysis of College Entrance Examination of Mathematics in 2015

CHEN Xu

2015 mathematics subject in College Entrance Examination encourages innovation while following conventional guidance,and emphasizes“strengthening morality education”.This examination reflects very well the New Curriculum Reform,epochal features of mathematics education,and the culture of mathematics.The College Entrance Examination also examined precious traditional Chinese culture and explored application,creativity, ability aspects of mathematics assessment.

College Entrance Examination of Mathematics；Ability Testing

G405

A

1005-8427（2015）11-0011-5