彭超權(quán)，陶 婷

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院,武漢 430074)

可穿透腔體外有障礙物的正散射問(wèn)題

彭超權(quán)，陶 婷

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院,武漢 430074)

分析了用點(diǎn)源作為入射波，散射體由一個(gè)可穿透腔體和一個(gè)外部不可穿透的障礙物組成的正散射問(wèn)題，指出了該問(wèn)題可歸結(jié)為對(duì)具有一定邊界條件的Helmholtz方程的求解. 通過(guò)邊界積分方程的方法, 利用位勢(shì)理論和Fredholm定理，證明了該問(wèn)題解的存在性和唯一性.

邊界積分方程的方法；Helmholtz方程；Fredholm定理；可穿透腔體

1 主要問(wèn)題及結(jié)果

(1)

其中正常數(shù)k1，k0分別是區(qū)域D1和D內(nèi)的波數(shù)，ν為外單位的法向量，λ1和λ2為正常數(shù)，總場(chǎng)u=ui+us，ui=Φ1(·,z)，z∈D1, 其中Φ1(·，z)為Helmholtz方程的基本解, 定義如下:

通常的散射問(wèn)題可用有界障礙物外的無(wú)界區(qū)域的Helmholtz方程來(lái)刻畫[1,2]. 近年來(lái), 有關(guān)腔體的內(nèi)散射問(wèn)題受到了一定的關(guān)注. 2010年, Qin和Colton在文[3]中利用腔體內(nèi)部的點(diǎn)源和測(cè)量值研究了確定腔體的反散射問(wèn)題. 更多關(guān)于腔體的正反散射問(wèn)題，可參考文[4],[5]. 然而可穿透腔體外部有障礙物的情形卻很少有文獻(xiàn)涉及，本文借助于文獻(xiàn)[6]中的想法和技術(shù)來(lái)研究問(wèn)題 (1). 我們將在適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)空間中，利用邊界積分方程的方法將問(wèn)題 (2) 轉(zhuǎn)化成一個(gè)邊界積分系統(tǒng)， 并證明積分算子的Fredholm性質(zhì)和單射性，從而得到問(wèn)題的解的存在唯一性.

(2)

注意問(wèn)題(1)是問(wèn)題(2)的特殊情況.文章主要結(jié)論為以下兩個(gè)定理.

定理1 混合邊界問(wèn)題(2)的解至多只有一個(gè).

定理2 問(wèn)題(2)具有唯一解，它滿足下列估計(jì):

2 預(yù)備知識(shí)

定理4(Green公式) 設(shè)Ω是一個(gè)多連通區(qū)域，其邊界為Γ，令w(x,y)和v(x,y)在其邊界Γ上具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則我們有格林第一恒等式：

和格林第二恒等式：

定理5 (Fredholm定理) 設(shè)X是一個(gè)賦范空間，A:X|→X是一個(gè)線性緊算子，若齊次方程：

(I+A)φ=0,

只有零解，則對(duì)任意的f∈X非齊次方程：

(I+A)φ=f,

有唯一解φ∈X，并且解連續(xù)依賴于f.

的散射解，并且在邊界?D上滿足：

那么在R3D上w≡0.

3 定理1的證明

根據(jù)問(wèn)題(2)中的邊界條件有：

由于k0,k1,λ1,λ2均為正實(shí)數(shù)，所以可得：

由定理6可知在D1中w≡0, 即證.

4 定理2的證明

引理1 積分方程 (12) 是一個(gè)第二類的Fredholm積分算子.

證明 假設(shè)問(wèn)題(2)具有以下形式的解：

Φ0(x,y)φ(y)}ds(y),x∈D1,

(3)

(4)

下面我們根據(jù)單雙層位勢(shì)的性質(zhì)，推導(dǎo)出w,v所滿足的邊界條件. 利用單層位勢(shì)在邊界處的跳躍關(guān)系，當(dāng)x從D1的內(nèi)部趨向于邊界?D1時(shí)，將其限制在?D1，可得：

(5)

當(dāng)x從D1的外部趨向于邊界?D1時(shí)，可得：

(6)

聯(lián)立(5),(6)式得：

化簡(jiǎn)即為：

ψ(x)-m(λ1K11,0-K11,1)Ψ(x)-m(S11,0-S11,1)φ(x)+m(S12,1+iηK12,1S2)φ(x)=-mfon ?D1.

(7)

當(dāng)x從D1的內(nèi)部趨向于邊界?D1時(shí)，將其限制在?D1上，可得：

(8)

當(dāng)x從D1的外部趨向于邊界?D1時(shí)，我們有：

首先，要求國(guó)家立法機(jī)關(guān)制定或修改相應(yīng)的社會(huì)保障法律，將農(nóng)業(yè)勞動(dòng)者納入到現(xiàn)行的社會(huì)保險(xiǎn)體系中來(lái)，真正建設(shè)統(tǒng)籌城鄉(xiāng)的社會(huì)保障體系。現(xiàn)行的社會(huì)保險(xiǎn)法主要以職工為核心建立起來(lái)，實(shí)際上并不重視幾億農(nóng)業(yè)勞動(dòng)者的醫(yī)療、養(yǎng)老問(wèn)題，這是我國(guó)農(nóng)村資源和資金分配地位的具體表現(xiàn)。所以，在立法上重構(gòu)社會(huì)保險(xiǎn)法成為最關(guān)鍵課題。

(9)

(10)

(Tij,hφ)(x)=

由v(x)在D2上的跳躍關(guān)系，當(dāng)x從D2的外部趨向于?D2的邊界，并將其限制在?D2上，同理也可得：

(11)

那么聯(lián)合 (7)，(10)，(11)式，我們得到如下的邊界積分系統(tǒng)：

(I+A)U=R.

(12)

其中I是恒等算子. 若我們能夠求解出唯一的解U=(ψ,φ,φ)T，則問(wèn)題(2)就有形如(3)，(4)式的唯一解.

引理2 邊界積分方程(12)存在唯一的解.

證明 根據(jù)定理5，由于A的緊性，我們只需證明齊次算子方程：

(I+A)U=0.

(13)

只有零解，便可得(I+A)U=R存在唯一性的解.令R=0，則此時(shí)w，v是問(wèn)題(2)的具有齊次邊界條件的解，由定理1知：

w=0,x∈D1,
v=0,x∈D.

我們也可以將v定義在D2內(nèi)，且v滿足：

由跳躍條件：

根據(jù)格林恒等式有：

可知Sφ=0,x∈?D1.以上積分函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處和?D2上恒為0，由調(diào)和函數(shù)的極值原理可知S在R3恒為0，從而由跳躍條件：

(14)

Φ1(x,y)φ(y)}ds(y),x∈D1.

(15)

由單雙層位勢(shì)的跳躍關(guān)系得:

(16)

故ψ,φ,φ都為0，從而(I+A)U=0只有零解. 故算子I+A也是單射. 由Freholm定理，I+A逆算子(I+A)-1存在且有界. 所以積分方程 (12) 存在唯一的解.

定理2的證明 由引理2的結(jié)論知I+A的逆算子(I+A)-1是存在且有界的，再利用位勢(shì)函數(shù) (3)，(4)可得.

[1] Colton D,Kress R.Integral equation methods in scattering theory [M]. New York： Wiley,1983:1-271.

[2] Hsiao G C, Wendland W L. Boundary integral equations[J]. Applied Mathematical Sciences， 2013,76(4):509-547.

[3] Qin H H, Colton D. The inverse scattering problem for cavities[J]. Applied Numerical Mathematicals, 2012,62 (2):699-708.

[4] Liu X. The factorization method for cavities[J]. Inverse Problem, 2014,30 (1):015006.

[5] Meng S, Haddar H, Cakoni F. The factorization method for cavity in an inhomogeneous medium[J]. Inverse Problem, 2014,30 (4): 045008.

[6] Liu X, Zhang B. Direct and inverse obstacle scattering problems in a piecewise homogeneous medium[J]. SIAM Journal on Applied Mathematics, 2010,70 (8):3105-3120.

Direct Scattering Problem for A Penetrable Cavity and An External Obstacle

PengChaoquan,TaoTing

(College of Mathematics and Statistics,South-Central University for Nationalities, Wuhan 430074,China)

By using a point source as the incident wave,we consider the scattering problem by a mixed scatterer which is composed of a penetrable cavity and an external impenetrable obstacle, and regard that this problem comes down to solving the Helmholtz equation with certain boundary conditions. By using the boundary integral equation method and based on the Fredholm theorem,we prove that the scattering problem has a unique solution in the form of combined potentials.

boundary integral equation method; Helmholtz equation; Fredholm theorem;a penetrable cavity

2015-05-25

彭超權(quán)(1979-)，男，副教授，博士，研究方向：偏微分方程，E-mail：pcq1979@163.com

中南民族大學(xué)研究生創(chuàng)新基金資助項(xiàng)目(2015sycxjj125)

O175.25

A

1672-4321(2015)03-0118-05