白吉龍 溫廷敦

(中北大學(xué)理學(xué)院物理系太原030051)

EGUP與黑洞熵的修正值?

白吉龍 溫廷敦?

(中北大學(xué)理學(xué)院物理系太原030051)

目前,人們對黑洞Bekenstein-Hawking熵的量子修正值產(chǎn)生了極大的興趣,尤其是黑洞熵對數(shù)修正項的系數(shù).在廣義不確定關(guān)系(GUP)的基礎(chǔ)上,通過引入了推廣的廣義不確定關(guān)系(EGUP),運用面積定理計算了3類時空的黑洞熵的修正值,得到的黑洞熵的修正項的系數(shù)是正的.這種計算方法不僅對單視界時空適用,而且對有內(nèi)視界的黑洞時空依然成立,并且在EGUP基礎(chǔ)上計算出黑洞熵的修正值.相比GUP基礎(chǔ)上得到的黑洞熵, EGUP可以應(yīng)用于大尺度時空下,所以應(yīng)用范圍更廣.此計算方法簡潔明了,物理意義明確,可為黑洞熵對數(shù)修正值系數(shù)的確定提供參考.

黑洞物理學(xué),引力,恒星:黑洞,宇宙大尺度結(jié)構(gòu)

1 引言

從20世紀(jì)70年代Bekenstein提出黑洞視界和它的熵成正比之后[1?2],黑洞熱力學(xué)的研究取得了很大的成就,但是對于黑洞熵的起源問題還不清楚.為此人們提出了各種求黑洞熵的方法,比如Hooft提出的Brick-Wall方法以及之后改進(jìn)的薄層模型,弦理論和單圈量子引力理論等[3].最近對于黑洞熵修正值的研究[3?6],也是熱點之一,通過不同的方法求得的黑洞熵的修正值,都得到了不少有價值的結(jié)論.對于研究黑洞熵,必須考慮到黑洞的量子效應(yīng),就是說當(dāng)黑洞吸收和輻射粒子時必須考慮海森堡不確定關(guān)系,但是在黑洞這樣的強(qiáng)引力場中必須對原本的海森堡不確定關(guān)系進(jìn)行修正,用廣義不確定關(guān)系(GUP)取代[7],以確保態(tài)密度方程在視界附近收斂.近年來,在GUP基礎(chǔ)上計算黑洞熵得到了廣泛的研究[8?11],把GUP引入態(tài)密度方程來計算黑洞Dirac場熵[12?13],以及通過GUP并運用WKB近似法計算黑洞標(biāo)量場的熵[14?17].而在大尺度下,在廣義不確定關(guān)系的基礎(chǔ)上,人們引入了推廣的廣義不確定關(guān)系(EGUP)來計算黑洞熵的修正值[18].

本文在計算中認(rèn)為Benkenstein-Hawking定理在推廣的廣義不確定關(guān)系下仍然成立,我們給出的方法對具體的時空沒有要求.本文對3類具有代表性的黑洞時空進(jìn)行了探討,分別為Schwarzschild黑洞,Gar fi nkle-Horowitz-Strominger dilaton黑洞以及具有雙視界的Reissner-Nordstrom黑洞.

2 推廣的廣義不確定關(guān)系

由于我們考慮的黑洞輻射是量子效應(yīng),則能量為Δ≈cΔp的粒子就應(yīng)當(dāng)滿足海森堡不確定關(guān)系:

其中xi和pj分別為空間坐標(biāo)和動量,?為約化普朗克常數(shù),δij為克羅內(nèi)克函數(shù).而在引力場中應(yīng)當(dāng)引入修正項,修改為廣義不確定關(guān)系[19]:

不等式(3)式的左邊可以展開為Taylor級數(shù)[3],

在廣義不確定關(guān)系的基礎(chǔ)上,根據(jù)時空對稱性理論,可以得到[20?22]:

這里l是一個擁有大尺度的量,β是一個常數(shù)參量,和具體的時空有關(guān),由上式可得:

和

和廣義不確定關(guān)系相比,EGUP同時擁有位置和動量不確定度的最小值如下:

不等式(6)式的左邊給出了海森堡不確定關(guān)系的修正值,如果存在關(guān)系則有:

根據(jù)上式即可推導(dǎo)黑洞熵的修正值.下面我們通過(12)式來計算3類黑洞的修正熵.

3 Schwarzschild黑洞

Schwarzschild黑洞時空線元為:

其中?為立體角,M為黑洞的質(zhì)量.Hawking輻射的溫度T、黑洞視界面積A和黑洞熵S分別為:

式中rH=2M是Schwarzschild黑洞視界的位置.

當(dāng)黑洞吸收(或者輻射)一個能量為ΔM的粒子,則黑洞視界面積的增量(或者減小量)為:

由于我們考慮的黑洞輻射是量子效應(yīng),則由(1)式和(15)式可得到黑洞視界面積的變化如下:

由推廣的廣義不確定關(guān)系(12)式和(15)式可知,黑洞視界面積的變化可表示為:

則由(16)式和(17)式可得:

考慮到關(guān)系[3,23]:

將(19)式代入(18)式并積分可得:

式中S即為Bekenstein-Hawking熵,結(jié)果顯示修正項有1階、2階和對數(shù)項,而且這些修正項系數(shù)皆為正,由于l是擁有大尺度的量,所以1階修正項和2階修正項要比S小.

4 Gar fi nkle-Horowitz-Strominger dilaton黑洞

Gar fi nkle-Horowitz-Strominger dilaton黑洞時空線元為[24?25]:

在a不變的情況下,我們可以得到:

在考慮了EGUP后,可得:

取Δx=2rH,則上式可寫為:

積分可得:

在上式計算中應(yīng)用了a?rH.根據(jù)Bekenstein-Hawking面積定理,即可得到考慮了EGUP后熵的表達(dá)式,即熵的修正式:

上式中S即為Bekenstein-Hawking熵.

5 Reissner-Nordstrom黑洞

Reissner-Nordstrom黑洞時空線元為:

黑洞內(nèi)外視界為:

黑洞外視界面積A和熵S分別為:

當(dāng)Q不變時,有如下關(guān)系:

在考慮了EGUP后,可得:

因此,對于Reissner-Nordstrom黑洞,我們?nèi)ˇ=2(r+?r?),忽略高階項,則上式可寫為:

積分可得:

在上式的計算中應(yīng)用了Q?r+.根據(jù)Bekenstein-Hawking面積定理,即可得到考慮了EGUP后熵的表達(dá)式,即熵的修正式:

上式中S為Bekenstein-Hawking熵.

6 總結(jié)

用EGUP得到的不同黑洞熵的修正項,結(jié)果顯示有1階、2階和對數(shù)項等,而且這些修正項的系數(shù)皆為正,且比Bekenstein-Hawking熵要小.EGUP是一個適用于大尺度的理論,與弦理論得到的很多結(jié)論是一致的,因此和GUP相比,適用范圍更廣.對于擁有單視界以及非極端內(nèi)視界的黑洞均有效,所以可以對復(fù)雜時空的熵修正進(jìn)行研究,并可以為黑洞熵對數(shù)修正項系數(shù)的確定提供參考.

[1]Bekenstein J D.PhRv,1973,7:2333

[2]Hawking S W.Nature,1974,248:30

[3]Medved A J M,Vegenas E C.PhRv,2004,70:124021

[4]Chatterjee A,Majumdar P.PhRvL,2004,92:141301

[5]Das S.CQGrv,2002,19:2355

[6]趙仁.雁北師范大學(xué)學(xué)報,2006,22:21

[7]Medved C A.PhRvD,1964,135:849

[8]Yang R J,Zhang S N.PhRvD,2009,79:124005

[9]Kim Y W,Park Y J.PhLB,2007,655:172

[10]Liu W B.ChPhL,2003,20:440

[11]Wang F J,Gui Y X,Zhang Y.GReGr,2009,41:2381

[12]楊學(xué)軍,趙崢.物理學(xué)報,2011,60:060401

[13]韓亦文,洪云,楊樹政.物理學(xué)報,2007,56:10

[14]賀峰,趙凡.物理學(xué)報,2009,58:740

[15]黃海,賀峰,孫航賓.物理學(xué)報,2012,61:110403

[16]劉曉瑩,張甲.物理學(xué)報,2006,55:5638

[17]趙仁,李懷繁,張麗春.物理學(xué)報,2009,58:2193

[18]Park M.PhLB,2008,659:698

[19]Chang L N,Minic D,Okaruma N,et al.PhRv,2002,65:125028

[20]Kempf A.JMP,1994,35:4483

[21]Hinrichsen H,Kempf A.JMP,1996,38:1347

[22]Brett B,Marco C.GReGr,2005,37:1255

[23]Camellia G A,Majumdar P.PhRv,2004,70:107501

[24]Gar fi nkle D,Horowitz,Strominger A.PhRv,1991,43:3140

[25]Shen S,Jing J L.CQGrv,2005,22:533

Extended Generalized Uncertainty Principle and the Correction Value to the Black Hole Entropy

BAI Ji-long WEN Ting-dun
(Department of Physics,North University of China,Taiyuan 030051)

Recently,great attention has been paid to the quantum correction value of black hole’s Bekenstein-Hawking entropy,especially for the coefficient of the logarithmic correction term of the black hole entropy.On the basis of the GUP(Generalized Uncertainty Principle),we introduced the EGUP(Extended Generalized Uncertainty Principle),and calculated the correction value of three types of space-time by using the area theorem.The results showed that the coefficient of black hole entropy correction is positive.The calculation method is not only applied to the single horizon space-time, but also suitable for the double horizon space-time.The black hole entropy correction value was calculated based on the EGUP.Compared with the GUP,the EGUP can be applied in a large scale space-time,thus,its application scope is wider.The calculation method is concise,and the physical meaning is clear.It provides a reference for the determination of the coefficient of the logarithmic correction term to the black hole entropy.

black hole physics,gravitation,stars:black holes,large-scale structure of universe

P145;

A

10.15940/j.cnki.0001-5245.2015.01.001

2014-05-16收到原稿,2014-08-11收到修改稿

?國家自然科學(xué)基金項目(60776062,50730009)資助?tdwen@nuc.edu.cn