馮桂群

隨著新課程改革的進一步推進，“用教材教”“教材無非是個例子”“教材的二次開發(fā)與優(yōu)化”等理念越來越得到大家的認(rèn)同。如何通過對教材的二次開發(fā)，使數(shù)學(xué)教學(xué)更好地符合數(shù)學(xué)自身的內(nèi)在發(fā)展邏輯，更好地遵循兒童的年齡特點和認(rèn)知規(guī)律，既突顯“數(shù)學(xué)味”又彰顯“兒童味”，使兒童真正享受到“既好吃又有營養(yǎng)”的數(shù)學(xué)呢？下面以蘇教版四年級下冊《圖形的旋轉(zhuǎn)》教學(xué)為例，談?wù)劷滩亩伍_發(fā)過程中在資源整合、模型建構(gòu)及實踐運用等方面采取的一些策略，以期拋磚引玉，得到大家的指點與賜教。

一、 資源整合策略：化單調(diào)為有趣，化單一為豐富

蘇教版四年級下冊的《圖形的旋轉(zhuǎn)》是學(xué)生在三年級初步感知生活中常見的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象后教學(xué)的，要求學(xué)生不僅要知道圖形旋轉(zhuǎn)的三要素（旋轉(zhuǎn)中心、方向及角度），還要在活動中體會平面圖形旋轉(zhuǎn)的規(guī)律，主動學(xué)會在方格紙上畫出簡單封閉圖形繞一點旋轉(zhuǎn)90°后的圖形，進一步發(fā)展空間觀念。在研讀教材安排的第一部分內(nèi)容“認(rèn)識旋轉(zhuǎn)三要素”時我們發(fā)現(xiàn)：這里教材只安排了兩項內(nèi)容——例題中轉(zhuǎn)桿的旋轉(zhuǎn)與練習(xí)中指針的旋轉(zhuǎn)。收費站轉(zhuǎn)桿的旋轉(zhuǎn)運動巧妙地涵蓋了旋轉(zhuǎn)的三要素，但對學(xué)生來說有一定的距離感，缺少童趣，同時，轉(zhuǎn)桿旋轉(zhuǎn)的方向只包括十字坐標(biāo)四個象限里8種旋轉(zhuǎn)情況中的2種，不具有代表性和全面性。

在深研教材和學(xué)生的過程中我們發(fā)現(xiàn)：簡單封閉圖形的旋轉(zhuǎn)最終要轉(zhuǎn)化到圍成此圖形的關(guān)鍵橫線段或豎線段的旋轉(zhuǎn)上來，而橫線段旋轉(zhuǎn)90°后會豎在旋轉(zhuǎn)中心的上邊或下邊，豎線段旋轉(zhuǎn)90°后會橫到旋轉(zhuǎn)中心的左邊或右邊。而能生動有趣地表征線段的旋轉(zhuǎn)要素和旋轉(zhuǎn)規(guī)律的現(xiàn)實模型是學(xué)生的手臂運動。為此，我們將書上“認(rèn)識旋轉(zhuǎn)三要素”的2個環(huán)節(jié)拓展、整合為以下5個環(huán)節(jié)：

1.課前做“手臂運動操”

離上課還有1分鐘時，組織學(xué)生玩一玩手臂運動操，要求舉手臂時做到橫平豎直，同時說出手臂所指的方向。如舉左側(cè)手臂，邊舉邊依次說出所指方向：左、上、左、下，舉右側(cè)手臂，同時說出所指方向：右、上、右、下。有趣、簡單的手臂運動操奇妙地蘊涵了旋轉(zhuǎn)三要素和線段旋轉(zhuǎn)的位置變化規(guī)律，為后面的逐步抽象和建模運用打下了伏筆。

2.觀察旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象并引導(dǎo)提問，從而導(dǎo)入新課

通過讓學(xué)生觀察屏幕中多種物體的旋轉(zhuǎn)運動，巧妙地激活學(xué)生已有的知識與經(jīng)驗，并通過“關(guān)于旋轉(zhuǎn)，你想研究哪些問題？”使學(xué)生在輕松愉快的提問情境中帶著疑問，順暢地進入新知識的探究之旅。

3.研究轉(zhuǎn)桿旋轉(zhuǎn)的三要素

先讓學(xué)生觀看轉(zhuǎn)桿打開與關(guān)閉的動態(tài)視頻，再觀察打開與關(guān)閉的靜態(tài)對比圖，并引導(dǎo)學(xué)生思考開放性的問題——“有什么發(fā)現(xiàn)”。觀察中，學(xué)生最易發(fā)現(xiàn)的是——都旋轉(zhuǎn)了90°。借助旋轉(zhuǎn)的角度，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)——這個90°的角是轉(zhuǎn)桿繞下端（左端）的點旋轉(zhuǎn)得到的，這個點是固定不動的，是旋轉(zhuǎn)的中心。“還有什么發(fā)現(xiàn)呢？”在進一步的觀察、交流和手勢比劃中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了順時針旋轉(zhuǎn)與逆時針旋轉(zhuǎn)。最后通過讓學(xué)生說一說“關(guān)閉（打開）時，轉(zhuǎn)桿繞什么點怎樣旋轉(zhuǎn)了多少度？”使學(xué)生對旋轉(zhuǎn)三要素有了一個完整的認(rèn)識。

4.在想象中交流手臂運動游戲中的旋轉(zhuǎn)規(guī)律

“還記得課前的手臂運動操嗎？如果用這個箭頭表示手臂朝下的動作，借助旋轉(zhuǎn)手臂的經(jīng)驗，想象一下：將它依次繞a點順時針旋轉(zhuǎn)90°，朝下的箭頭會依次朝哪里呢？”借助以上的啟發(fā)以及想象之后的直觀驗證，學(xué)生輕松地發(fā)現(xiàn)了其中的旋轉(zhuǎn)要素與規(guī)律：將它依次繞a點順時針旋轉(zhuǎn)90°，朝下的箭頭會依次變?yōu)槌?、上、右、下。如果是繞a點逆時針旋轉(zhuǎn)90°，箭頭會依次由朝下變?yōu)槌?、上、左、下。此環(huán)節(jié)既鞏固了旋轉(zhuǎn)三要素，又及時地將學(xué)生旋轉(zhuǎn)手臂的經(jīng)驗進行了理性提升，使學(xué)生自主提煉出帶箭頭的線段在十字坐標(biāo)的四個象限中旋轉(zhuǎn)后的位置變化規(guī)律，感悟到豎線段旋轉(zhuǎn)90°后會橫過來，橫線段旋轉(zhuǎn)90°后會豎起來，為后面將簡單封閉圖形的旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為主要橫、豎線段的旋轉(zhuǎn)做了“位置變化”方面的鋪墊。

5.獨立完成書上的練習(xí)“看圖填空”

在練習(xí)指針的旋轉(zhuǎn)運動中，進一步鞏固旋轉(zhuǎn)三要素，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光與運用意識。

在以上教學(xué)過程中，我們在教學(xué)資源的整合上狠下功夫，通過將做手臂運動操、觀察轉(zhuǎn)桿運動中提問、想象中發(fā)現(xiàn)線段旋轉(zhuǎn)的規(guī)律等活動引入課堂，竭力化單調(diào)為有趣、化單一為豐富、化呆板為生動，使學(xué)生借助有趣、豐富、生動的學(xué)習(xí)資源在興趣盎然的觀察、操作、想象、發(fā)現(xiàn)及表述等活動中對“物體旋轉(zhuǎn)的三要素”及“線段旋轉(zhuǎn)的位置變化規(guī)律”有了生動、豐滿而深刻的認(rèn)識，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)活動的豐富性與層次性、思維活動的有序性與提升性，并為后面研究圖形的旋轉(zhuǎn)打下了堅實的認(rèn)知基礎(chǔ)。

二、 模型建構(gòu)策略：由整體到局部再到整體，由直觀到表象再到抽象

弗賴登塔爾將數(shù)學(xué)化分為橫向數(shù)學(xué)化和縱向數(shù)學(xué)化。橫向數(shù)學(xué)化是“把生活世界引向符號世界”，縱向數(shù)學(xué)化是“在符號世界里，符號的生成、重塑和被使用”?！秷D形的旋轉(zhuǎn)》中橫向數(shù)學(xué)化的部分包括由手臂、轉(zhuǎn)桿、指針的旋轉(zhuǎn)讓學(xué)生認(rèn)識旋轉(zhuǎn)的三要素——中心、方向與角度，還包括由手臂的旋轉(zhuǎn)到相對應(yīng)的帶箭頭線段的旋轉(zhuǎn)，由三角形紙片的旋轉(zhuǎn)到相對應(yīng)的最簡單的封閉平面圖形——三角形的旋轉(zhuǎn)。然而，僅有橫向數(shù)學(xué)化是遠遠不夠的。要畫出由三條或四條線段圍成的封閉平面圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形，關(guān)鍵是要化整為零，將面的旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為部分主要線段圍繞定點的旋轉(zhuǎn)，即由面到線再到定點，之后循序漸進，再由定點到線再到面，從而引領(lǐng)學(xué)生有序經(jīng)歷由整體到局部再到整體、由復(fù)雜到簡單再到復(fù)雜、由形象到表象再到抽象、由想象到推理和建模的縱向數(shù)學(xué)化過程，使學(xué)生在輕松自如、有序提升的探究中掌握圖形旋轉(zhuǎn)的策略與步驟，感受轉(zhuǎn)化、變與不變等數(shù)學(xué)思想。具體的教學(xué)安排如下：

1.在想象與驗證中研究三角形紙板的旋轉(zhuǎn)

教師借助三角形硬紙片，組織學(xué)生進行“想象與驗證”的游戲。具體過程如下：先通過愛因斯坦的名言“想象力比知識更重要”引出想象游戲——讓學(xué)生拿出三角形紙板，將它與方格紙上的三角形完全重合，用手指一指三角形的頂點a，在頭腦里想象將它繞a點旋轉(zhuǎn)90°。之后提問：它的位置到了哪里？想出來了嗎？想得對不對呢？于是引導(dǎo)學(xué)生進行操作驗證。驗證之后，讓學(xué)生通過實物展臺進行交流，使學(xué)生進一步明確：可以將三角形紙板繞a 點順時針旋轉(zhuǎn)90°，也可以繞a 點逆時針旋轉(zhuǎn)90°。以上的實物操作游戲通過先想象再操作驗證和準(zhǔn)確表述的活動過程，很好地發(fā)展了學(xué)生的整體感受力和空間想象力，并促使學(xué)生的思維及時地由實物操作提升為表象操作與符號操作。

2.在觀察與交流中發(fā)現(xiàn)圖形旋轉(zhuǎn)前后的變化規(guī)律

在操作與驗證之后組織學(xué)生進行觀察與交流：旋轉(zhuǎn)前后，圖形的什么變了，什么沒變？旋轉(zhuǎn)前后的對應(yīng)邊呢？交流中學(xué)生發(fā)現(xiàn)：圖形的位置變了，形狀與大小沒變；對應(yīng)邊的位置變了，長度沒變。至此，橫線段或豎線段旋轉(zhuǎn)的兩個重要因素——位置變化（第一部分的第4環(huán)節(jié)）與長度不變的規(guī)律已經(jīng)水落石出了，從而巧妙地分散了學(xué)習(xí)難點，使得將封閉圖形的旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為主要線段的旋轉(zhuǎn)的思路得以水到渠成。

3.在獨學(xué)與互動中探究平面圖形（三角形）的旋轉(zhuǎn)方法與步驟

先啟發(fā)學(xué)生進行表象操作與符號操作：不借助紙板，你能根據(jù)頭腦中想象的結(jié)果，畫出這個三角形繞a點旋轉(zhuǎn)90°后的圖形嗎？先想一想，哪幾條邊旋轉(zhuǎn)之后的位置比較容易確定？想好了就用水彩筆和尺子畫一畫，并標(biāo)出旋轉(zhuǎn)方向。在交流畫法時，重點追問3個問題：在這個三角形中，哪幾條邊旋轉(zhuǎn)之后的位置比較容易確定呢？（相交于中心點的長直角邊和短直角邊）將長直角邊怎樣旋轉(zhuǎn)，到了a 點的哪邊，畫幾格，短直角邊呢？為什么長直角邊和短直角邊各畫了5格和3格？在以上獨立探究與互動交流中，學(xué)生自然生成了圖形旋轉(zhuǎn)的解題模型：想圖、找邊、畫邊圍圖。

在以上教學(xué)過程中，教師創(chuàng)設(shè)了三個階梯，由淺入深地引領(lǐng)學(xué)生充分地觀察、想象、驗證、比較、作圖、概括，從想象、驗證三角形紙板的旋轉(zhuǎn)，到對比、發(fā)現(xiàn)圖形與對應(yīng)邊的旋轉(zhuǎn)規(guī)律，到最后動手畫出頭腦中想象的旋轉(zhuǎn)后的三角形并用語言表述出來，學(xué)生成功地擺脫了外在具象的束縛，使數(shù)學(xué)思維成功地上升到表象與抽象、想象與推理的理性層面，并在充分的探究與體驗中真切地把握了畫旋轉(zhuǎn)圖形的關(guān)鍵要領(lǐng)：先找與定點相連的幾條橫豎線段，借助想象畫出主要線段旋轉(zhuǎn)后的位置與長度，最后連成封閉圖形。這樣就巧妙地將看似與面有關(guān)的封閉圖形的旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)化為幾條橫豎線段的旋轉(zhuǎn)，而橫、豎線段旋轉(zhuǎn)90°后又總會豎或橫到定點的上下左右四個方位中的某一方位，長度不變，使復(fù)雜問題簡單化，從而突破了教學(xué)難點，為學(xué)生后面獨自解決變式情境中各種圖形的旋轉(zhuǎn)打下了扎實的模型基礎(chǔ)。

三、 變式運用策略：由雙基到四基，由運用到欣賞

2011年出版的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》把原有的雙基拓展為四基——除了我們熟悉的基礎(chǔ)知識和基本技能外，還增加了“基本數(shù)學(xué)思想和基本活動經(jīng)驗”。那么在建模基礎(chǔ)上通過變式練習(xí)靈活運用模型時，我們的著眼點就不能僅僅停留在鞏固基礎(chǔ)知識和基本技能上，還應(yīng)將學(xué)生的視野引向更廣闊的現(xiàn)實世界和更深邃的數(shù)學(xué)世界，實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的外化與深化，使學(xué)生在豐富而多層面的實踐活動中積累基本活動經(jīng)驗、感悟基本數(shù)學(xué)思想，強烈地感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的現(xiàn)實意義與實用價值，欣賞到數(shù)學(xué)自身內(nèi)在的思想魅力與發(fā)展規(guī)律。為此，在《圖形的旋轉(zhuǎn)》變式運用中，我們設(shè)計了以下4個層次的練習(xí)：

1.又快又好地畫出旋轉(zhuǎn)之后的長方形

教師啟發(fā)：在這個長方形中，哪幾條長或?qū)捫D(zhuǎn)之后的位置比較容易確定呢？

2.先交流作圖思路再畫出旋轉(zhuǎn)后的小旗圖

畫圖前啟發(fā)：先想象一下小旗旋轉(zhuǎn)后的位置在哪兒，是什么樣兒的？哪幾條邊旋轉(zhuǎn)之后的位置比較容易確定？先在4人小組里交流，再動手畫。交流時啟發(fā)：結(jié)合旋轉(zhuǎn)手臂的經(jīng)驗想象一下，旗面原來在旗桿的右面，逆時針旋轉(zhuǎn)之后，旗面肯定在旗桿的哪面？旋轉(zhuǎn)后橫邊到底豎在哪兒呢？為什么？（這條橫邊跟B點相距1格，旋轉(zhuǎn)后與b仍然相距1格。）

3.動態(tài)展示生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象

今天我們只是學(xué)習(xí)了圖形旋轉(zhuǎn)的冰山一角，放眼生活，我們隨時能看到更多旋轉(zhuǎn)創(chuàng)造的美麗。（多媒體動態(tài)顯示通過旋轉(zhuǎn)得到美麗圖案的動畫。）這些精美的圖案是通過什么創(chuàng)造的？（旋轉(zhuǎn)）

4.動態(tài)展示圖形中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象

旋轉(zhuǎn)的美麗和神奇遠不止這些。（出示平行四邊形，明確它不是軸對稱圖形。）動態(tài)演示左邊的三角形繞著對角線的中心點順時針旋轉(zhuǎn)180度，結(jié)果左右兩邊完全重合，進而指出——這一神奇的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象到中學(xué)會做深入的研究。

在以上的練習(xí)中，第一個練習(xí)鞏固作圖三步驟——想圖、找邊、畫邊圍圖，讓學(xué)生在模仿中獲得成功的體驗，積累畫圖經(jīng)驗；第二個練習(xí)是提升性的練習(xí)，極富挑戰(zhàn)性，使學(xué)生在想象中更好地發(fā)展空間觀念，在理性思辯中培養(yǎng)合情推理能力和模型運用能力，感受轉(zhuǎn)化、“變與不變”等數(shù)學(xué)思想。第三個練習(xí)是讓學(xué)生欣賞圖形旋轉(zhuǎn)在實踐運用中創(chuàng)造的神奇與美麗，激發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)知識創(chuàng)造生活美的熱情，實現(xiàn)由數(shù)學(xué)世界向生活世界的回歸，也為學(xué)生五年級時進一步學(xué)習(xí)圖形的連續(xù)旋轉(zhuǎn)打下伏筆。第四個練習(xí)是讓學(xué)生在縱向數(shù)學(xué)化的世界里更進一步，拓展數(shù)學(xué)思維的視界，感受旋轉(zhuǎn)在圖形世界的發(fā)展與聯(lián)系中所創(chuàng)造出的精彩與奇妙。

在數(shù)學(xué)教材的二次開發(fā)中，如果通過資源整合策略使乏味生硬的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得生動活潑了，通過模型建構(gòu)策略使艱澀難懂的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得輕松自如了，通過變式運用策略使機械單調(diào)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得愉悅豐厚了，那么我們的數(shù)學(xué)課堂也就離黃克劍教授所說的“授受知識、開啟智慧、潤澤生命”的至高境界越來越近了，那么借助優(yōu)質(zhì)高效的數(shù)學(xué)課堂培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神與實踐能力的夙愿也就一定能實現(xiàn)。

【責(zé)任編輯：陳國慶】