劉文浩

(深圳市建筑設(shè)計(jì)研究總院有限公司， 廣東深圳 518000)

集中荷載作用下雙向板等效荷載的簡(jiǎn)捷計(jì)算方法

劉文浩

(深圳市建筑設(shè)計(jì)研究總院有限公司， 廣東深圳 518000)

依據(jù)四邊簡(jiǎn)支的雙向板彎矩系數(shù)與板跨比大致成線性比例關(guān)系，利用一元線性回歸分析法近似得到彎矩計(jì)算公式，最后依據(jù)彎矩等值的原則得到集中荷載作用下的等效均布荷載公式。最后通過(guò)算例分析表明可得到滿意的結(jié)果，此方法可供類似工程設(shè)計(jì)參考。

雙向板; 彎矩系數(shù); 線性回歸; 等效均布荷載

在建筑設(shè)計(jì)中雙向板樓面經(jīng)常會(huì)遇到板上有設(shè)備等其他集中荷載作用于板面的情況，為方便此種情況的樓面設(shè)計(jì)，可將此集中荷載按照《建筑結(jié)構(gòu)荷載設(shè)計(jì)規(guī)范》[1](GB 50009-2012)附錄C中提出的內(nèi)力、變形等值等效為均布荷載，但規(guī)范中并不明確其具體的計(jì)算方法。本文利用線性回歸的相關(guān)原理，通過(guò)對(duì)文獻(xiàn)[2]有關(guān)集中荷載、均布荷載作用的彎矩系數(shù)表進(jìn)行回歸分析，最后得出將集中荷載等效為均布荷載的近似計(jì)算公式。

1 一元線性回歸分析法的原理

一元線性回歸分析法[3]是在考慮預(yù)測(cè)對(duì)象發(fā)展變化本質(zhì)的基礎(chǔ)上，分析因變量隨一個(gè)自變量變化而變化的關(guān)聯(lián)形態(tài)，借助回歸分析建立它們因果關(guān)系的回歸方程式，描述它們之間的平均變化數(shù)量的關(guān)系，據(jù)此進(jìn)行預(yù)測(cè)或控制。

假設(shè)預(yù)測(cè)目標(biāo)因變量為K，影響它變化的一個(gè)自變量為X，因變量隨自變量的變化大致呈線性關(guān)系，那么可采用一條直線來(lái)近似表示兩者的關(guān)系，而任意一條直線方程可寫(xiě)成

(1)

為避免n個(gè)考察點(diǎn)的誤差Ri的總和在總誤差中的正負(fù)抵消，采用誤差的平方和作為總誤差，即：

(2)

為使誤差平方和R達(dá)到最小值，則回歸直線方程的系數(shù)b0，b1有：

(3)

(4)

解上兩式得：

(5)

(6)

2 樣本回歸分析

按彈性理論荷載作用下四邊支承的雙向板，板的跨中彎矩[2]可按下式計(jì)算：

當(dāng)均布荷載作用時(shí)：

Mx=(系數(shù))xql2，My=(系數(shù))yql2(鋼筋混凝土板ν=0，l為雙向板的短邊)；

當(dāng)集中荷載作用于板跨中時(shí)：

Mx=(系數(shù))xP，My=(系數(shù))yP(鋼筋混凝土板ν=0，l為雙向板的短邊)；

式中(系數(shù))x、(系數(shù))y一般情況下可以查表[2]且有時(shí)需用一次或者兩次插值公式得到，不方便進(jìn)行快速計(jì)算。因此本文把均布荷載作用下的四邊簡(jiǎn)支雙向板的彎矩系數(shù)(表1)、集中荷載作用板跨中下的四邊簡(jiǎn)支雙向板的彎矩系數(shù)(表2)作為樣本，根據(jù)一元線性回歸的原理，假定(系數(shù))x、(系數(shù))y為因變量K，lx/ly為自變量X，分別對(duì)其進(jìn)行回歸分析，最終分別得到如下圖1～圖4中的直線回歸方程，圖中的散點(diǎn)(表1、表2的彎矩系數(shù))分別落在一元線性回歸方程的兩側(cè)且隨著X的增加保持相同的增減性，又有相關(guān)系數(shù)最大的為0.9923，最小的為0.9308，所以認(rèn)為這四條回歸方程是合適的。

因此，均布荷載作用于四邊簡(jiǎn)支雙向板的跨中彎矩方程可由式(7)表示，式中l(wèi)01為短邊。

(7)

表1 均布荷載作用四邊簡(jiǎn)支雙向板的彎矩系數(shù)

表2 集中荷載作用于四邊簡(jiǎn)支雙向板跨中的彎矩系數(shù)

圖1 mx彎矩系數(shù)回歸分析(均布荷載)

圖2 my 彎矩系數(shù)回歸分析(均布荷載)

圖3 mx彎矩系數(shù)回歸分析(集中荷載)

圖4 my彎矩系數(shù)回歸分析(集中荷載)

集中荷載作用于四邊簡(jiǎn)支雙向板跨中的彎矩方程可由式(8)表示：

(0.5≤x≤1)

(8)

3 等效荷載的確定

(9)

公式中僅含x=lx/ly，p，l01三個(gè)未知量，其中ν為混凝土泊松比(1/6≤ν≤0.2),由此在三個(gè)未知量都已知的情況便可快速求出等效荷載值，而不需反復(fù)查表計(jì)算，便于工程設(shè)計(jì)及運(yùn)用。

4 算例分析

假設(shè)某建筑工程有6塊雙向板，分別為板1：lx=1 750 mm，ly=3 500 mm；板2：lx=2 100 mm，ly=3 500 mm；板3：lx=2 450 mm，ly=3 500 mm；板4：lx=2 800 mm，ly=3 500 mm；板5：lx=3 150 mm，ly=3 500 mm；板6：lx=3 500 mm，ly=3 500 mm；板的厚度均為h=130 mm，板跨中有一集中荷載42 kN，試求此集中荷載的等效均布荷載(混凝土泊松比ν=0.2)？

如表3可以看出，用本文的計(jì)算方法與查結(jié)構(gòu)靜力手冊(cè)彎矩系數(shù)的方法所得結(jié)果誤差很小，滿足工程設(shè)計(jì)的要求。

表3 兩種計(jì)算方法所得等效均布荷載的比較

5 結(jié)論

由于集中荷載、均布荷載作用下的四邊簡(jiǎn)支雙向板的彎矩系數(shù)變化呈現(xiàn)一定的線性關(guān)系，因此分別對(duì)其進(jìn)行一元線性回歸分析，以這些簡(jiǎn)單的直線方程重新揭示按彈性理論計(jì)算的彎矩系數(shù)和彎矩的變化規(guī)律，最后得到集中荷載等效為均布荷載的近似計(jì)算公式。計(jì)算時(shí)不必事先反復(fù)查系數(shù)表、插值計(jì)算，而是直接使用比插值公式更加簡(jiǎn)單的方程計(jì)算出等效荷載。通過(guò)例題計(jì)算分析可以看出，本文方法非常方便、快捷、直觀且能很好的滿足工程要求，可供參考。

[1] GB 50009-2012建筑結(jié)構(gòu)荷載設(shè)計(jì)規(guī)范[S].

[2] 國(guó)振喜,張樹(shù)義.實(shí)用建筑結(jié)構(gòu)靜力計(jì)算手冊(cè)[M]. 北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2009:357-378.

[3] 吳勇明.鋼筋混凝土雙向板彎矩系數(shù)的簡(jiǎn)捷計(jì)算方法[J].華南理工大學(xué)學(xué)報(bào),1995(1):76-82.

劉文浩(1982～)，男，碩士研究生，工程師，從事建筑工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。

TU311.4

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[定稿日期]2015-01-28