趙 妍 李志民 李天云

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)電氣工程及自動化學(xué)院 哈爾濱 150001 2.東北電力大學(xué)輸變電技術(shù)學(xué)院 吉林 132012）

0 引言

我國互聯(lián)電網(wǎng)規(guī)模和范圍的成倍增長以及特高壓電網(wǎng)的發(fā)展，提高了電網(wǎng)運(yùn)行的可靠性和經(jīng)濟(jì)性的同時，也帶來了新的安全隱患。近年來多次發(fā)生的低頻振蕩嚴(yán)重危及了電網(wǎng)的安全穩(wěn)定運(yùn)行，引起了工業(yè)界和學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注。目前研究的熱點(diǎn)主要集中在低頻振蕩辨識、低頻振蕩產(chǎn)生的機(jī)理和抑制低頻振蕩三個方面[1-6]。值得注意的是，這三類問題的研究前提是需要監(jiān)測是否發(fā)生了持續(xù)、穩(wěn)定的低頻振蕩。這是因?yàn)?，?shí)測低頻振蕩信號往往表現(xiàn)為一個典型的非線性、非平穩(wěn)隨機(jī)過程，即信號的統(tǒng)計(jì)性的時變特性（包括時域和頻域統(tǒng)計(jì)特性），而在動態(tài)電力系統(tǒng)分析中往往同時存在多個非線性振蕩模式，各振蕩模式間存在著或強(qiáng)或弱的非線性相互作用，衍生出新的振蕩模式，具有一定的不確定性和不穩(wěn)定性，使低頻振蕩的處理更加復(fù)雜。低頻振蕩信號時域的主要特點(diǎn)為振蕩模式出現(xiàn)的時間不確定、持續(xù)的時間不確定以及振幅帶有阻尼特性且隨時間變化。因此，在進(jìn)行低頻振蕩的參數(shù)辨識時，應(yīng)確定是否發(fā)生了持續(xù)、穩(wěn)定的低頻振蕩。電力系統(tǒng)在故障或異常運(yùn)行時，可能隨機(jī)出現(xiàn)短暫的“低頻振蕩”，這類振蕩模式存在時間短、可以自動平息，是無需處理的“瞬變的低頻振蕩模式”。然而，現(xiàn)在認(rèn)可度較高的電力系統(tǒng)振蕩分析方法都是以發(fā)生了低頻振蕩為假設(shè)前提的，并不進(jìn)行此判別，可能會將瞬變的低頻振蕩模式誤判為穩(wěn)定的低頻振蕩信號，缺乏真實(shí)性。

另外，當(dāng)電網(wǎng)發(fā)生低頻振蕩時，正確判斷振蕩模式和模式的阻尼特性，對合理選擇振蕩抑制措施、快速抑制振蕩具有重要意義。低頻振蕩產(chǎn)生的機(jī)理包括負(fù)阻尼理論、強(qiáng)迫功率振蕩理論和非線性理論等。負(fù)阻尼理論認(rèn)為，電力系統(tǒng)負(fù)阻尼低頻振蕩是系統(tǒng)受擾動后的自由振蕩，振蕩衰減與否由系統(tǒng)的阻尼特性決定，若系統(tǒng)不存在負(fù)阻尼，則不會發(fā)生增幅低頻振蕩[7,8]。強(qiáng)迫振蕩理論指出，持續(xù)的周期性小擾動會引起電力系統(tǒng)強(qiáng)迫振蕩，當(dāng)擾動頻率接近于系統(tǒng)固有頻率時，會導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)大幅度的功率振蕩，這種振蕩的表現(xiàn)形式類似于負(fù)阻尼低頻振 蕩[8,9]。雖然負(fù)阻尼振蕩和強(qiáng)迫功率振蕩具有非常相似的表現(xiàn)形式，但是由于具有不同的發(fā)生機(jī)理，采用的抑制措施也不相同。在調(diào)度運(yùn)行中，對于負(fù)阻尼機(jī)理引起的振蕩主要采用各種增強(qiáng)系統(tǒng)阻尼的措施，抑制強(qiáng)迫功率振蕩的最直接有效的方法就是迅速找到并切除擾動源。因此，在振蕩發(fā)生時能夠根據(jù)振蕩特征迅速判斷振蕩模式，對于快速抑制振蕩、防止振蕩擴(kuò)散具有重要意義。文獻(xiàn)[10]結(jié)合負(fù)阻尼振蕩和強(qiáng)迫功率振蕩不同振蕩階段的振蕩波形特征和振蕩模式分布統(tǒng)計(jì)特征，對電力系統(tǒng)低頻振蕩性質(zhì)進(jìn)行了分析和判斷，但是難以滿足實(shí)時監(jiān)測的需求。

為了解決上述問題，本文將可停振動系統(tǒng)理論應(yīng)用于電力系統(tǒng)低頻振蕩監(jiān)測與分析中，提出了低頻振蕩監(jiān)測的Duffing 振子的可停振動系統(tǒng)分析方法。Duffing 振子的可停振動系統(tǒng)在受到微小隨機(jī)擾動時以概率1 漸近穩(wěn)定，其對應(yīng)的狀態(tài)稱為可停振動狀態(tài)。該系統(tǒng)輸入恒定幅值周期信號時，系統(tǒng)有周期解或擬周期解為不可停狀態(tài)。這類系統(tǒng)對周期信號敏感,對隨機(jī)微小擾動不敏感,利用可停振動狀態(tài)的改變，可以進(jìn)行周期未知微弱信號檢測[11]。

本文將量測信號輸入到Duffing 振子的可停振動系統(tǒng)中進(jìn)行分析，根據(jù)可停振動系統(tǒng)相軌跡的狀態(tài)改變，可以跟蹤系統(tǒng)運(yùn)行方式的變化，對電力系統(tǒng)低頻振蕩的全過程進(jìn)行可視化的監(jiān)測。為調(diào)度員提供可視化圖像，來判斷是否發(fā)生了低頻振蕩、振蕩模式和模式的阻尼特性。為快速準(zhǔn)確地告警、合理地選擇振蕩抑制措施和快速抑制振蕩提供依據(jù)。

1 Duffing 振子的可停振動系統(tǒng)

1.1 可停振動系統(tǒng)檢測理論

定義 設(shè)隨機(jī)微分方程

式中，X/F為二維矢量隨機(jī)過程；q為微分方程的階數(shù)，q∈ R；ξ(t)為系統(tǒng)輸入的隨機(jī)擾動；e為隨 機(jī)擾動幅度；η0是其平凡解（F(η0,t)=0）。

②當(dāng)系統(tǒng)（1）的輸入為周期信號時，系統(tǒng)有周期或者是擬周期解。文獻(xiàn)[11]中將其對應(yīng)的狀態(tài)稱為可停狀態(tài)，由定義可知：可停振動系統(tǒng)的可停振動狀態(tài)變化對噪聲不敏感，對周期信號敏感，因此通過系統(tǒng)的相平面軌跡可以在預(yù)先未知信號周期的情況下判斷系統(tǒng)輸入是否含有未知的周期信號。

1.2 Duffing 振子的可停振動系統(tǒng)

考慮Holmes 型Duffing 振子

式中，i(t)為系統(tǒng)輸入；k為阻尼系數(shù)。

將式（2）改寫成一階微分方程組的形式，并令系統(tǒng)輸入為Guass 白噪聲

設(shè)k、e都為ε階無窮小量[12,13]，則式（3）所示系統(tǒng)的Hamilton函數(shù)為

其中B(t)是標(biāo)準(zhǔn)的Winner 過程

因此，在式（3）的平衡點(diǎn)（±1,0），方程（5）的Lyapunov 指數(shù)為

當(dāng)k＞0時，Duffing 振子（見式（2））滿足定義中的條件①[12]。又當(dāng)k＞0時，系統(tǒng)輸入為恒定幅值的周期信號時，Duffing 振子是耗散系統(tǒng)[13]。所以，當(dāng)k＞0時，Duffing 振子是可停振動系統(tǒng)，因此可以利用Duffing 振子可停系統(tǒng)對未知周期、未知形式的微弱周期信號進(jìn)行檢測。

2 電力系統(tǒng)端部輸出信號分析

電力系統(tǒng)端部輸出信號即為模型（2）的i(t)，i(t)為Holmes 型Duffing 振子的激勵，將i(t)輸入到可停振動系統(tǒng)中進(jìn)行相軌跡分析。i(t)的類型主要有恒定幅值的周期信號、白噪聲信號、帶噪的恒幅周期信號、衰減振蕩信號、發(fā)散振蕩信號及復(fù)合仿真信號。

2.1 第一類測試信號——周期、白噪聲和帶噪的周期信號

i(t)為恒定幅值的周期信號（0.1 cost）、白噪聲為噪聲強(qiáng)度）和帶白噪聲的周期信號（信噪比為3.01dB、?9.03dB），相軌跡如圖1～圖3所示，阻尼系數(shù)k=0.5。

圖1 i(t)為白噪聲的相軌跡Fig.1 Phase trajectory of input white noise signal

圖2 i(t)為周期信號的相軌跡Fig.2 Phase trajectory of input periodic signal

圖3 i(t)為帶噪周期信號的相軌跡Fig.3 Phase trajectory of input periodic signal with white noise

當(dāng)i(t)中僅含有白噪聲時，相軌跡聚焦為一點(diǎn)，系統(tǒng)處于可停振動狀態(tài)；當(dāng)i(t)中含有恒定幅值周期信號時，相軌跡為封閉圓環(huán)，表明系統(tǒng)立即從可停振動狀態(tài)變化為小尺度周期狀態(tài)。增加或者減小周期分量的幅值，幅值不同，相軌跡的封閉圓環(huán)數(shù)量也不同，但均為小尺度周期狀態(tài)。注意小周期狀態(tài)時，輸入周期分量的幅值不應(yīng)超過0.36。

比較圖2和圖3，只要i(t)中含有周期信號不論是否含有噪聲，噪聲強(qiáng)弱都為小尺度周期狀態(tài)。噪聲附加在封閉環(huán)上，以周期信號作為骨架，含噪后信號相圖的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不變。根據(jù)文獻(xiàn)[11]噪聲為Gauss 白噪聲時，檢測門限可達(dá)到?66dB，達(dá)到了極低的檢測門限，該方法對噪聲具有免疫性。

綜上，可停振動狀態(tài)的改變對周期策動力敏感，對零均值隨機(jī)微小擾動不敏感。這就從仿真上也驗(yàn)證了系統(tǒng)（2）是可停振動狀態(tài)系統(tǒng)，可以用于未知周期信號的檢測。

2.2 第二類測試信號——衰減、發(fā)散振蕩信號

i(t)為衰減振蕩信號0.1e?0.1tcost、發(fā)散振蕩信號0.1e0.1tcost，初值均為（1，0），相軌跡如圖4和圖5所示。

由圖4和圖5可知，i(t)為衰減振蕩信號時，圖形以初值螺旋收縮，將從減幅的小周期狀態(tài)過渡到可停狀態(tài)；i(t)為發(fā)散振蕩信號時，圖形以初值螺旋 發(fā)散，從增幅的小周期狀態(tài)進(jìn)入多周期狀態(tài)。

圖4 i(t)為衰減振蕩信號的相軌跡Fig.4 Phase trajectory of input damped oscillation signal

圖5 i(t)為發(fā)散振蕩信號的相軌跡Fig.5 Phase trajectory of input divergent oscillation signal

2.3 第三類測試信號——復(fù)合信號

2.3.1 復(fù)合測試信號1

構(gòu)造一個含有噪聲的復(fù)合測試信號模擬弱阻尼振蕩，如圖6所示。其表達(dá)式為

式中，λ(t)為白噪聲，此信號包含了一個區(qū)域間振蕩頻率和一個區(qū)域內(nèi)振蕩頻率，信噪比為9.17dB。為了使信號處于小尺度周期狀態(tài)，將信號歸一后乘以0.1 的系數(shù)，輸入到可停振動系統(tǒng)中，改變仿真時間連續(xù)觀察其相軌跡，其相軌跡如圖7所示。此相軌跡以初值螺旋收縮，噪聲附加在螺旋上，由小周期狀態(tài)過渡到可停狀態(tài)?？梢耘袛嘈盘栔邪兴p振蕩信號，為弱阻尼振蕩模式，噪聲不影響相軌跡的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。仿真時間為20s時，形成具有明顯特征的軌跡圖，通過對相軌跡的實(shí)時監(jiān)測可以對低頻振蕩的過程進(jìn)行可視化的監(jiān)測，滿足實(shí)時監(jiān)測的快速性要求。

圖6 含噪聲的復(fù)合測試信號1Fig.6 The input composite test signal 1 with white noise

圖7 含噪聲的復(fù)合測試信號1 的相軌跡Fig.7 Phase trajectory of the input composite test signal 1

2.3.2 復(fù)合測試信號2

在文獻(xiàn)[8]中指出，強(qiáng)迫功率振蕩的特點(diǎn)是振蕩波形瞬態(tài)階段出現(xiàn)了明顯的拍頻，進(jìn)入穩(wěn)態(tài)階段后其振蕩幅值較為穩(wěn)定，為等幅振蕩的穩(wěn)態(tài)振蕩階段。根據(jù)文獻(xiàn)[8]構(gòu)造另一個含有噪聲的復(fù)合測試信號模擬強(qiáng)迫功率振蕩；即

圖8 含噪聲的復(fù)合測試信號2Fig.8 The input composite test signal 2 with white noise

將該信號歸一后乘以0.1 的系數(shù)輸入到可停振動系統(tǒng)中，改變仿真時間連續(xù)地觀察其相軌跡，信噪比為23.02dB，相軌跡如圖9所示。

該相軌跡以初值螺旋收縮為封閉圓環(huán)（極限環(huán)），噪聲附加在軌跡上，最終為小周期狀態(tài)?？梢耘袛嘈盘栔邪兴p振蕩信號和不衰減的振蕩信號。仿真時間為25s時，形成具有明顯特征的軌跡圖。

圖9 復(fù)合測試信號2 的相軌跡Fig.9 Phase trajectory of the input composite test signal 2

2.3.3 復(fù)合測試信號3

圖10為Kunder 四機(jī)兩區(qū)域系統(tǒng)接線圖，具體參數(shù)見文獻(xiàn)[14]，基于Matlab 平臺搭建仿真系統(tǒng)。采用白噪聲激勵G1的勵磁模塊參考電壓，作用時間為20s。采集G4的相對功角搖擺曲線，如圖11所示。

圖10 四機(jī)兩區(qū)域系統(tǒng)接線圖Fig.10 Four machine two area system wiring diagram

圖11 G4相對功角振蕩曲線Fig.11 G4relative power angle oscillation curve

G4的相對功角搖擺曲線歸一后乘以0.1 的系數(shù)輸入到可停振動系統(tǒng)中，得到其相軌跡如圖12所示。此相軌跡以初值螺旋發(fā)散，從增幅的小周期狀態(tài)，進(jìn)入多周期狀態(tài)可以判斷信號中包含有發(fā)散振蕩信號。

圖12 G4相對功角振蕩曲線的相軌跡Fig.12 Phase trajectory of G4relative power angle oscillation curve

利用中國電力科學(xué)研究院的PSD-SSAP 小干擾穩(wěn)定分析模塊，進(jìn)行特征值分析，計(jì)算得到的區(qū)域間模式模態(tài)、其振蕩頻率和阻尼比見表1。表1 證明了該系統(tǒng)對這兩種區(qū)域間的阻尼嚴(yán)重不足，是負(fù)阻尼類型的低頻振蕩。

表1 特征值計(jì)算結(jié)果Tab.1 The results of eigen values computation

綜上，強(qiáng)迫功率振蕩相軌跡是以初值螺旋收縮為極限環(huán)。弱阻尼模式低頻振蕩的相軌跡是以初值螺旋收縮為單個點(diǎn)。本文將這兩種模式定義為“低頻振蕩吸引子”。負(fù)阻尼模式低頻振蕩的相軌跡是以初值螺旋發(fā)散，由增幅的小周期狀態(tài)進(jìn)入多周期狀態(tài)，文中定義為“低頻振蕩排斥子”。因此，將電力系統(tǒng)的實(shí)測信號歸一化后，乘以比例系數(shù)（＜0.36），輸入到可停系統(tǒng)，根據(jù)其輸出信號的相軌跡，是聚焦于一點(diǎn)，還是存在“低頻振蕩吸引子”或“低頻振蕩排斥子”就可以監(jiān)測是否發(fā)生了低頻振蕩，而且可以判斷是何種機(jī)理模式的低頻振蕩，并得到該模式的阻尼特性。

3 低頻振蕩監(jiān)測的步驟

3.1 自動識別算法

圖形變化的特征識別需要人的參與，為了自動給出計(jì)算機(jī)可識別的定量指標(biāo)滿足自動監(jiān)測的要求，本文提出了一種定量的自動識別算法。分別計(jì)算相軌跡中各點(diǎn)與其平衡點(diǎn)（1,0）的歐氏距離（Euclidean distance）的期望值及其對數(shù)距離，文中簡稱為平衡距dav和對數(shù)平衡距dlog（logarithm distance with equilibrium point）。平衡距

對數(shù)平衡距

不同強(qiáng)度白噪聲、周期信號及含噪周期信號的相軌跡的對數(shù)平衡距如圖13所示。其中，曲線1、2 和3 為白噪聲，噪聲強(qiáng)度分別為和1（D為噪聲強(qiáng)度）。曲線4 為圖2的周期信號。曲線5、6 為圖3信噪比為3.01dB 和?9.03dB 的帶噪周期信號。

圖13 白噪聲、周期信號及含噪周期信號的 對數(shù)平衡距Fig.13 dlogof white noise,periodic signal and periodic signal white noise

由圖13可知，白噪聲、周期信號（包括含噪周期信號）的對數(shù)平衡距dlog明顯分成兩類。第一類為白噪聲相軌跡圖（曲線1～曲線3），其dlog在?25dB以下波動，即可以判定輸出為可停狀態(tài)。第二類為周期信號相軌跡的dlog為?15～10dB 之間的一個穩(wěn)態(tài)值，對應(yīng)為小尺度周期狀態(tài)。對比圖13中曲線4～曲線6 可知，噪聲對周期信號的dlog的影響不大。通過大量的仿真并考慮到一定的裕度，將信號的相軌跡圖的dlog＜?20dB 判定為可停狀態(tài)。

圖14 白噪聲、弱阻尼、負(fù)阻尼和強(qiáng)迫功率振蕩的 平衡距和對數(shù)平衡距Fig.14 davanddlogof white noise,weak damping, negative damping signal and forced oscillation

從圖14中可見，曲線1～曲線4 存在著較明顯的差異，白噪聲相軌跡圖的平衡距dav在0 附近波動，負(fù)阻尼低頻振蕩的dav和dlog為先增加后穩(wěn)定為穩(wěn)態(tài)值。弱阻尼的低頻振蕩和強(qiáng)迫振蕩的dav和dlog都是持續(xù)衰減，前者衰減到可停狀態(tài)，后者衰減到小尺度周期狀態(tài)。

3.2 低頻振蕩監(jiān)測的步驟

主要包括三部分：

（1）數(shù)據(jù)預(yù)處理。將PMU 采集得到的信號經(jīng)過低通濾波器，截止頻率為2.5Hz。

（2）自動識別算法。預(yù)處理后的信號輸入到Duffing 振子可停振動系統(tǒng)，得到其相軌跡。每間隔一定的時間（2～5s）計(jì)算dlog值判斷狀態(tài)。

①dlog穩(wěn)定在一個小的值，且dlog＜?20dB，相軌跡聚焦于一點(diǎn)，處于可停狀態(tài)，未發(fā)生低頻振蕩。

②dlog持續(xù)下降，30s 內(nèi)衰減到?20dB 以下，或30s 仍舊下降，且dlog＜?15dB。存在“低頻振蕩吸引子”，吸引子是單個點(diǎn)，為弱阻尼低頻振蕩。

③dlog衰減小尺度周期狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)值基本不變，或30sdlog＞?15dB。吸引子為穩(wěn)定極限環(huán)，為強(qiáng)迫功率振蕩。

④dlog為先增加后穩(wěn)定為穩(wěn)態(tài)值，存在“低頻振蕩排斥子”，為負(fù)阻尼的低頻振蕩。

（3）結(jié)合其他方法對振蕩頻率、阻尼比、振型進(jìn)行識別。

4 仿真及實(shí)例分析

4.1 實(shí)例一

圖15為南方電網(wǎng)在豐大運(yùn)行方式下，對系統(tǒng)施加小擾動，用BPA 穩(wěn)定計(jì)算程序得到的貴天線（貴陽變—天生橋II 級）的有功功率時域仿真圖形[15,16]。輸入到可停振動系統(tǒng)中分析，得到其相軌跡和對數(shù)平衡距如圖16所示。

圖15 貴天線功率振蕩曲線Fig.15 Power oscillation waveform of Gui-Tian transmission system

圖16 貴天線功率振蕩曲線的相軌跡和對數(shù)平衡距Fig.16 Phase trajectory anddlogof power oscillation waveform of Gui-Tian transmission system

圖16以初值螺旋收縮，存在“低頻振蕩吸引子”，吸引子是單個點(diǎn)，其dlog12s 內(nèi)衰減到?20dB以下，為弱阻尼模式的低頻振蕩。采用隨機(jī)子空間的方法進(jìn)行辨識[17]，得出振蕩模式的振蕩頻率和阻尼比，具體見表2。表2 證明了該系統(tǒng)對這兩種區(qū)域間的阻尼不足，是弱阻尼模式的低頻振蕩。

表2 低頻振蕩模態(tài)分量參數(shù)Tab.2 Parameters of low frequency oscillation model functions

4.2 實(shí)例二

采用南方電網(wǎng)作為研究對象。圖17為云南小灣機(jī)組存在頻率為 0.496Hz 的周期性機(jī)械功率擾動時，小灣機(jī)組與廣東大亞灣機(jī)組的功角振蕩曲線。

圖17 小灣、大亞灣機(jī)組功角振蕩曲線Fig.17 Power-angle oscillation of XW,DYW generators

圖18為大亞灣和小灣功角振蕩曲線輸入到可停振動系統(tǒng)中得到的相軌跡。該相軌跡以初值螺旋收縮為封閉圓環(huán)，存在“低頻振蕩吸引子”，吸引子為穩(wěn)定極限環(huán)，dlog15s 衰減到穩(wěn)態(tài)值?10dB，可以判斷為強(qiáng)迫功率振蕩，應(yīng)該迅速找到并切除擾動源。

圖18 小灣、大亞灣機(jī)組功角振蕩曲線的相軌跡Fig.18 Phase trajectory anddlogof power-angle oscillation of XW,DYW generators

5 結(jié)論

本文將Duffing 可停系統(tǒng)理論應(yīng)用于電力系統(tǒng)低頻振蕩的監(jiān)測中。該方法的核心思路是將端口上的量測信號輸入到可停系統(tǒng)中，根據(jù)輸出的相軌跡是聚焦為一點(diǎn)還是存在低頻振蕩吸引子或排斥子來判斷是否發(fā)生低頻振蕩，是何種機(jī)理模式、阻尼特性的低頻振蕩。與其他方法（prony、HHT 和原子稀疏分解等）相比，該方法是一種可視化的圖像分析方法。具有實(shí)時和可視化的優(yōu)點(diǎn)，且對噪聲具有免疫力，為后期低頻振蕩參數(shù)定量識別，提供預(yù)判的依據(jù)。

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