李長紅 陳明俊 韓耀鵬

（西北機電工程研究所 咸陽 712099）

0 引言

位置伺服系統(tǒng)（定位伺服系統(tǒng)或跟蹤伺服系統(tǒng)）在國防、機械制造業(yè)、微電子行業(yè)等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用，隨著技術(shù)的發(fā)展，對其動態(tài)性能及跟蹤準確度的要求越來越高，大致可分為直流位置伺服系統(tǒng)與交流位置伺服系統(tǒng)。近年來，隨著電力電子技術(shù)及微處理器技術(shù)的發(fā)展，交流位置伺服系統(tǒng)得到了廣泛的應(yīng)用，而永磁同步電動機以其體積小，功率密度高的優(yōu)點，并采用矢量控制[1-5]可實現(xiàn)優(yōu)良的動態(tài)性能和寬的調(diào)速范圍，成為眾多位置伺服系統(tǒng)的首選。盡管各種先進的控制方法如滑模控制[6]、迭代學習控制[7]、自適應(yīng)模糊反步控制[8]和分數(shù)階控制[9]應(yīng)用于位置伺服控制系統(tǒng)中以提高其控制性能，但是PID/PI 控制器在絕大多數(shù)伺服系統(tǒng)中仍占據(jù)著主導位置。

PID/PI 控制器由于其結(jié)構(gòu)簡單且參數(shù)調(diào)節(jié)方便被廣泛應(yīng)用于位置伺服系統(tǒng)及工業(yè)過程控制中[10,11]，關(guān)于其控制參數(shù)整定的問題，已有大量的文獻對其進行了研究，最常用的控制參數(shù)整定法有Ziegler- Nichols 法，及改進的Ziegler-Nichols 法，文獻[12-15]對其進行了研究，Ziegler-Nichols 整定方法一般分為頻率法和時域法，頻率法是先去掉積分和微分項，只保留比例項，逐漸加大比例系數(shù)使系統(tǒng)產(chǎn)生等幅振蕩，記錄此時的臨界增益和臨界振蕩周期，并根據(jù)經(jīng)驗公式確定PI（PID）調(diào)節(jié)器增益，時域法通過對被控對象的階躍響應(yīng)，按照一階慣性環(huán)節(jié)加延遲環(huán)節(jié)的模型，確定出模型增益、延遲時間與時間常數(shù)，利用經(jīng)驗公式計算出控制器參數(shù)，如果模型延遲環(huán)節(jié)延遲時間很小或無延時，利用 Ziegler- Nichols 法整定的參數(shù)則偏大，另外，產(chǎn)生臨界的等幅振蕩容易使系統(tǒng)毀壞，不利于實際應(yīng)用。文獻[16]提出了PID 控制器自整定的PM 法，通過加入繼電環(huán)節(jié)，使Nyquist 曲線上的某個點移動到給定相位裕度的單位圓上，該點對應(yīng)的角頻率即為截止頻率，該方法在滿足一定相位裕度情況下，存在多組PID參數(shù)解。文獻[17]針對文獻[16]的不足，對其多組PID 參數(shù)進行了尋優(yōu)，相對于上面的實驗整定法，文獻[14,15]針對一階慣性環(huán)節(jié)加延遲環(huán)節(jié)或積分環(huán)節(jié)加延遲環(huán)節(jié)模型給出了PID 的AMIGO 整定公式，由于該模型不能完整地表達伺服系統(tǒng)模型，因而該整定方法用于位置伺服控制效果并不理想。

數(shù)字伺服系統(tǒng)在采樣頻率低時，延遲作用會顯現(xiàn)出來，而需要圖形處理的光電伺服系統(tǒng)，如電視、紅外跟蹤系統(tǒng)其所包含的數(shù)字取差環(huán)節(jié)不可避免地具有一場或兩場的延遲（一拍或兩拍的遲后），因而，在做這類系統(tǒng)的校正綜合時，應(yīng)考慮具有延遲環(huán)節(jié)的位置伺服系統(tǒng)模型，這與工業(yè)過程控制類似，具有普遍意義。本文提出的方法其思路是：在實際系統(tǒng)動力學約束下，確定滿足動態(tài)要求的相位裕度及中頻區(qū)寬度，按最大相位裕度準則選取截止頻率，設(shè)計控制器保證具有最大穩(wěn)定儲備，使?jié)M足系統(tǒng)控制性能的同時，對開環(huán)增益變化的魯棒性最好。為保證此種情況下伺服系統(tǒng)跟蹤準確度，給出了被控對象帶有延遲環(huán)節(jié)的前饋補償方法，并按伺服模型構(gòu)建位置信號的微分觀測器，實現(xiàn)了平滑的數(shù)字前饋補償，仿真與實驗驗證了本文方法的有效性。

1 位置伺服系統(tǒng)設(shè)計

圖1給出了位置伺服系統(tǒng)控制框圖，包括位置調(diào)節(jié)器、電機和驅(qū)動器組成的速度環(huán)、齒輪減速單元和反饋環(huán)節(jié)構(gòu)成，齒輪減速單元被認為是一個積分環(huán)節(jié)，其中，i是減速比，kfb是反饋系數(shù)。

圖1 位置伺服系統(tǒng)框圖Fig.1 Position servo system diagram

1.1 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性

該控制系統(tǒng)由位置調(diào)節(jié)器和被控對象組成，對于電機和驅(qū)動器構(gòu)成的速度環(huán)，在作者的前期工作中已進行了研究[3,18]，本文重點研究位置伺服系統(tǒng)設(shè)計。速度環(huán)是構(gòu)成位置伺服系統(tǒng)的重要環(huán)節(jié)，PMSM 或直流電動機速度環(huán)的精確模型通常為二階或三階，而通過調(diào)節(jié)速度環(huán)參數(shù)可使過渡過程具有較小超調(diào)或無超調(diào)，此時在分析設(shè)計時，可將速度環(huán)簡化為一階慣性環(huán)節(jié)，這已為作者前期開發(fā)的多個實際位置伺服產(chǎn)品設(shè)計證明這種近似是可行的，即

式中，KΩ為速度環(huán)增益；TΩ為速度環(huán)時間常數(shù)；ω*為電動機轉(zhuǎn)速給定量；ω為電動機轉(zhuǎn)速。

被控對象的傳遞函數(shù)為

式中，K=KΩkfb/i為被控對象的增益，當位置控制采用比例-積分（PI）時，其控制器傳遞函數(shù)為

式中，Kp和Ti分別為位置調(diào)節(jié)器比例增益和積分時間常數(shù)；τ為延遲時間，是由數(shù)字取差環(huán)節(jié)產(chǎn)生的（如需要圖形處理的光電伺服系統(tǒng)）。

位置伺服系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

式中，開環(huán)增益KOL為

開環(huán)系統(tǒng)的幅頻和相頻特性為

1.2 相位裕度和截止頻率的計算

設(shè)開環(huán)系統(tǒng)的截止頻率為ωc，該頻率處對應(yīng)的相角為 m??π+，其中?m為相位裕度。一般地，伺服系統(tǒng)閉環(huán)響應(yīng)超調(diào)量σ與相位裕度的關(guān)系為[19]

故由式（8），可根據(jù)超調(diào)量指標確定相位裕度，而截止頻率的選取滿足

即保證系統(tǒng)對開環(huán)增益變化的魯棒性，根據(jù)式（7），有

令

式中，L為中頻區(qū)寬度；β為延遲系數(shù)。則式（10）可以簡化為

解得關(guān)于ω′的方程為

則截止頻率為

相位裕度為

時間常數(shù)TΩ和延遲參數(shù)β為系統(tǒng)固有參數(shù)，可通過實驗法測得，當給定中頻區(qū)寬度L后，可按照式（14）～式（16）計算出系統(tǒng)的相位裕度。圖 2給出了在不同的延遲系數(shù)下系統(tǒng)開環(huán)相對截止頻率與中頻區(qū)寬度的關(guān)系，圖3給出了不同延遲系數(shù)下中頻區(qū)寬度與相位裕度的關(guān)系，圖4為采用本文方法時的系統(tǒng)開環(huán)Bode 圖，可以看到，在截止頻率處，對應(yīng)的系統(tǒng)相位取最大值，保證了系統(tǒng)對開環(huán)增益變化的魯棒性。

圖2 ωcT?與中頻區(qū)寬度L的關(guān)系Fig.2 Characteristic ofωcT?vs.width of mid-frequency interval

圖3 相位裕度與中頻區(qū)寬度的關(guān)系Fig.3 Characteristic of phase margin vs.width of mid-frequency interval

圖4 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性Fig.4 Characteristic of system open loop

特別地，當β=0（無延遲環(huán)節(jié)）時，式（12）變?yōu)?/p>

相位裕度為

從而有

1.3 控制器設(shè)計

控制器傳遞函數(shù)如式（3），根據(jù)中頻區(qū)寬度的定義，解得位置控制器積分時間常數(shù)為

由式（6），根據(jù)A(jωc)=0，有

解得開環(huán)增益為

特別地，當β=0時，有

根據(jù)式（5）和式（23），解得

當β=0時，有

綜合上述推導過程，位置控制器的設(shè)計過程為

（1）根據(jù)實驗法或解析法得到被控對象的增益K、速度環(huán)時間常數(shù)T?和延遲時間τ。

（2）根據(jù)給定系統(tǒng)時域性能要求，由式（8）確定相位裕度φm，根據(jù)式（14）～式（16）得到截止頻率、相位裕度與中頻區(qū)寬度的特性，并由給定的相位裕度φm，確定中頻區(qū)寬度L和截止頻率ωc。

（3）根據(jù)式（21）計算積分時間常數(shù)。

（4）根據(jù)式（25）或式（26），計算比例增益。

在得到控制器的具體參數(shù)后，即可按照式（3）對位置控制器進行離散化，有

式中，uc(k)為位置控制器在k時刻的輸出；e(k)為位置誤差；Ts為位置環(huán)采樣周期。

由于按照最大相位裕度設(shè)計系統(tǒng)，相頻特性在截止頻率處的斜率為零，因此當開環(huán)增益發(fā)生變化時，系統(tǒng)穩(wěn)定性變化小，魯棒性好。

2 前饋補償與飽和非線性的處理

2.1 考慮延遲時的前饋控制器設(shè)計

按上述方法設(shè)計的系統(tǒng)，增益通常較低，為保證伺服系統(tǒng)的跟蹤準確度，要增加前饋補償，其控制框圖如圖5所示。

圖5 前饋補償控制框圖Fig.5 Feedforward control block diagram

圖5中，F(xiàn)(s)為前饋補償環(huán)節(jié)，可以求得帶有前饋補償?shù)乃欧到y(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)為

由于數(shù)字取差環(huán)節(jié)帶來的延遲，前饋設(shè)計時得不到當前時刻主令值，有

式中，D(s)為前饋補償量；令θin=θ*e?sτ為由數(shù)字取差環(huán)節(jié)產(chǎn)生的主令延遲；F′(s) 為主令輸入點θin時的前饋控制器傳遞函數(shù)。根據(jù)不變性原理，當

時，誤差傳遞函數(shù)為零，輸出完全復現(xiàn)輸入。根據(jù)式（2）的被控對象傳遞函數(shù)，利用泰勒級數(shù)展開公式，有

式中

可以看到，進行前饋控制時需要對位置給定求各階微分，工程中，高階微分求取困難，通常取至二階微分，在數(shù)字控制系統(tǒng)中，可以采用差分運算，但量化誤差會引入噪聲，尤其進行二階差分計算時，噪聲大甚至可淹沒有用信號，不可用。由于伺服系統(tǒng)本身是低通濾波器，對信號平滑起到很好的作用。本文給出了可實用的按伺服模型構(gòu)建觀測器的一階微分和二階微分計算框圖，如圖6所示。

圖6 前饋控制器框圖Fig.6 Feedforward controller diagram

根據(jù)圖6，近似有

根據(jù)式（31）的誤差傳遞函數(shù)可以看出系統(tǒng)具有四階無差度，相對于無前饋時提高了二個無差度，可有效提高跟蹤性能。

2.2 飽和非線性的處理

當系統(tǒng)進行大角度調(diào)轉(zhuǎn)的時候，會進入飽和區(qū)，系統(tǒng)過渡過程性能一般較差，如較大的超調(diào)和多次的振蕩，此時應(yīng)采用雙?？刂?。在非線性區(qū)（大誤差），可按照運動學規(guī)律實現(xiàn)無超調(diào)，即保證誤差與速度同時趨零，采用下面的控制律

式中，uc為控制器輸出；e為位置誤差；Ksq為根號系數(shù)，決定著系統(tǒng)的制動加速度。

當誤差比較小的時候，系統(tǒng)進入線性區(qū)，采用PI 加前饋的控制方式。

3 仿真研究

設(shè)位置被控對象的傳遞函數(shù)形式如式（2），根據(jù)實驗平臺得到的參數(shù)TΩ=23.5ms ,K=6，對延遲時間τ取0、20ms 和40ms（對應(yīng)實際系統(tǒng)的0、2 拍和4 拍延遲）情形分別進行仿真，仿真過程中，為使系統(tǒng)具有大概33%的超調(diào)量，根據(jù)式（8）取相位裕度?m=45°，根據(jù)圖3或式（14）～式（16）確定中頻區(qū)寬度L。為了驗證本文方法的有效性，還對工程中常用的基于振蕩度指標的PI 整定法[18]以及Ziegler-Nichols 法（Z-N 法）進行仿真對比。其中，基于振蕩度指標的PI 整定法整定規(guī)則為[18]：根據(jù)中 頻區(qū)寬度確定振蕩度指標Mp=(L+1)/(L? 1)，再確定中頻段左轉(zhuǎn)折頻幅值LM=20lg(Mp/(Mp? 1))和右轉(zhuǎn)折頻幅值Lm=20lg(Mp/(Mp+1))，從而確定系統(tǒng)期 望開環(huán)頻率特性，進而進行控制器參數(shù)整定。其中基于振蕩度指標的PI 整定法選取與本文方法相同的中頻區(qū)寬度。Z-N 法基于實驗和試探，整定規(guī)則為[12]：只給比例項使其產(chǎn)生等幅振蕩，記錄此時的比例增益Kc和振蕩周期Tc，按照經(jīng)驗公式Kp=0.45Kc，Ti=Tc/1.2進行整定。利用三種方法設(shè)計系統(tǒng)參數(shù)，觀察其動態(tài)性能以及開環(huán)增益在±20%變化時的魯棒性。

3.1 無延遲環(huán)節(jié)

此時Z-N 法不適用，對本文方法及基于振蕩度指標方法進行比較，中頻段寬度為L=5.9，對系統(tǒng)開環(huán)增益進行±20%的變化，設(shè)計的不同控制器的比例增益Kp、積分時間常數(shù)Ti、相位裕度及超調(diào)量變化見表1，階躍響應(yīng)如圖7所示。

表1 無延遲時各參數(shù)Tab.1 Parameters when no delay

圖7 當τ=0時增益變化±20%采用不同方法的 單位階躍響應(yīng)Fig.7 Step response of different methods whenτ=0 and gain varies from ±20%

3.2 延遲時間τ=20ms

本文方法及基于振蕩度指標方法的中頻段寬度L=11.3，按照三種方法設(shè)計的控制器參數(shù)和對應(yīng)的相位裕度以及當開環(huán)增益發(fā)生±20%范圍變化時對應(yīng)的超調(diào)量變化見表2，單位階躍響應(yīng)如圖8所示。

表2 延遲時間τ=20ms時各參數(shù)Tab.2 Parameters whenτ=20ms

圖8 當τ=20ms時增益變化±20%采用不同方法的 單位階躍響應(yīng)Fig.8 Step response of different methods whenτ=20ms and gain varies from ±20%

3.3 延遲時間τ=40ms

本文方法及方法2 的中頻區(qū)寬度L=16.6，按三種方法設(shè)計的控制器參數(shù)、相位裕度及開環(huán)增益變化±20%時超調(diào)量的變化見表3，階躍響應(yīng)如圖9所示。

表3 延遲時間τ=40ms時各參數(shù)Tab.3 Parameters whenτ=40ms

圖9 當τ=40ms時增益變化±20%采用不同方法的 單位階躍響應(yīng)Fig.9 Step response of different methods whenτ=40ms and gain varies from ±20%

根據(jù)上面三種情況的仿真可以看出，在系統(tǒng)參數(shù)穩(wěn)定的無延遲系統(tǒng)中，本文方法的魯棒性略優(yōu)于基于振蕩度指標方法，而基于振蕩度指標方法可獲得較高的帶寬和開環(huán)增益，因而有較快的動態(tài)響應(yīng)和較小的跟蹤誤差，廣泛用于無延遲環(huán)節(jié)的伺服系統(tǒng)設(shè)計。

而當被控對象存在延遲時，基于振蕩度指標方法和Z-N 法設(shè)計的系統(tǒng)超調(diào)量已變大到難以接受的程度。當開環(huán)增益發(fā)生±20%變化時，超調(diào)量變化很大，對開環(huán)增益變化的魯棒性差。相反，采用本文設(shè)計的方法，所設(shè)計的系統(tǒng)，超調(diào)量在期望的設(shè)計值（約33%）內(nèi)，且超調(diào)量對開環(huán)增益變化不靈敏，可始終與設(shè)計值保持相近，魯棒性能好，有顯著的優(yōu)越性。

對于工業(yè)過程控制，本方法在一定場合，或許能替代廣泛采用的Z-N 方法，以期取得更好的控制效果。

延遲環(huán)節(jié)的出現(xiàn)使得開環(huán)增益降低，帶寬變窄，為了保證跟蹤性能，加入前饋補償，圖10給出了被控對象延遲時間為20ms時，輸入幅值1 000、周期6.28s 正弦信號時有前饋補償及無前饋補償?shù)奈恢谜`差，可以看出，加入前饋補償后，誤差大大降低，跟蹤性能得到了顯著的提高。

圖10 τ=20ms時幅值為1 000 周期為6.28s 的 正弦跟蹤位置誤差Fig.10 Position error of 1 000 amplitude and 6.28s period sinusoidal tracking whenτ=20ms

4 實驗研究

在實際中，開發(fā)了一套基于數(shù)字信號處理器（DSP）的位置伺服系統(tǒng)，位置控制單元處理器采用TI 公司的DSP，型號為TMS320LF2407，電動機選用 Kollmorgen 公司的永磁同步電動機，型號為 M—205—B，配備自行開發(fā)的驅(qū)動器完成速度環(huán)，電動機軸安裝有慣量輪，電動機和慣量輪的總轉(zhuǎn)動慣量為0.003 4kg·m2，慣量輪連接減速器，減速比為i＝ 160∶ 1，減速器末端安裝雙通道的旋轉(zhuǎn)變壓器（簡稱旋變），經(jīng)過RDC 電路轉(zhuǎn)換為角度的數(shù)字量，經(jīng)過組合糾錯后作為位置反饋量。圖11給出了永磁同步電動機位置伺服系統(tǒng)硬件框圖。

圖11 永磁同步電動機位置伺服系統(tǒng)硬件框圖Fig.11 PMSM position servo system hardware block diagram

利用階躍響應(yīng)法測得實驗平臺的速度環(huán)時間常數(shù)TΩ=23.5ms，速度環(huán)增益TΩ=0.092（數(shù)字量4 096對應(yīng)3 600r/min＝376.8rad/s），反饋系數(shù)kfb=10 435（數(shù)字量65 536 對應(yīng)2πrad），因此被控對象增益K=KΩkfb/i=6，系統(tǒng)的采樣周期為10ms，為了驗證本文方法的適應(yīng)性，將控制器輸出延時2 拍及4拍來模擬數(shù)字取差環(huán)節(jié)20ms 及40ms 的滯后，分別對延遲時間τ=0、τ=20ms和τ=40ms三種情形進行實驗。按照本文方法設(shè)計，選取45°的相位裕度設(shè)計控制器，對開環(huán)增益在±20%范圍變化時進行實驗，為了驗證該方法的有效性，與基于振蕩度指標的工程設(shè)計方法（與本文方法取相同中頻區(qū)寬度）及Z-N 整定方法進行了對比。

圖12為被控對象無延遲、開環(huán)增益在±20%范圍內(nèi)變化時采樣本文方法與基于振蕩度指標方法的10mrad 位置階躍響應(yīng)，圖13為被控對象延遲時間為20ms、開環(huán)增益在±20%范圍內(nèi)變化時采樣本文方法、基于振蕩度指標方法及 Z-N 整定方法的10mrad 位置階躍響應(yīng)，圖14為被控對象延遲時間為40ms、開環(huán)增益在±20%范圍內(nèi)變化時采樣本文方法、基于振蕩度指標方法及 Z-N 整定方法的10mrad 位置階躍響應(yīng)，在圖14b 中，當增益變?yōu)樵瓉淼?.2 倍時，系統(tǒng)已不穩(wěn)定，對圖12～圖14不同延遲時間下、每種方法對應(yīng)不同開環(huán)增益（KOL、0.8KOL和1.2KOL）的階躍響應(yīng)超調(diào)量分別見表4～表6。

圖12 無延遲時開環(huán)增益變化±20%的 10mrad 位置階躍響應(yīng)Fig.12 10mrad position step response when 0 delay time and ±20% open loop gain variation

圖13 延遲時間為20ms 增益變化±20%的 10mrad 位置階躍響應(yīng)Fig.13 10mrad position step response when 20ms delay time and ±20% open loop gain variation

圖14 延遲時間為40ms 增益變化±20%的 10mrad 位置階躍響應(yīng)Fig.14 10mrad position step response when 40ms delay time and ±20% open loop gain variation

表4 τ=0時不同方法的超調(diào)量Tab.4 Overshoots of different methods whenτ=0(%)

表5 τ=20ms時不同方法的超調(diào)量Tab.5 Overshoots of different methods whenτ=20ms(%)

表6 τ=40ms時不同方法的超調(diào)量Tab.6 Overshoots of different methods whenτ=40ms(%)

從實驗結(jié)果可以看出，當開環(huán)增益發(fā)生±20%變化時，采樣本文的設(shè)計方法，階躍響應(yīng)超調(diào)量變化小，對開環(huán)增益變化不敏感，魯棒性好。

為了保證跟蹤性能，加入前饋補償，圖15為被控對象延遲時間τ＝20ms、正弦輸入幅值1 000 mrad、周期6.28s 的正弦跟蹤誤差，可以看出，加入前饋補償后，誤差大大縮小，系統(tǒng)跟蹤性能顯著提高。

圖15 τ=20ms、幅值1 000mrad、周期6.28s 的 正弦跟蹤誤差Fig.15 Position error of 1 000mrad amplitude and 6.28s period sinusoidal tracking whenτ=20ms

5 結(jié)論

本文研究了基于相位裕度的位置伺服系統(tǒng)設(shè)計，提高系統(tǒng)對開環(huán)增益變化的魯棒性，按系統(tǒng)具備最大相位裕度準則，通過開環(huán)截止頻率處相位對角頻率的導數(shù)為零的方法，得出了相位裕度、截止頻率與中頻區(qū)寬度的關(guān)系，給出位置控制器參數(shù)設(shè)計的新方法。

采用最大相位裕度設(shè)計可有效克服系統(tǒng)遲后環(huán)節(jié)對性能下降的不利影響，并保有強魯棒性。本文提出的方法，增加了一個新的控制系統(tǒng)設(shè)計手段，以針對具有延遲環(huán)節(jié)的被控對象。

給出的基于微分觀測器的前饋補償控制方法，彌補了延遲環(huán)節(jié)導致的開環(huán)增益降低、帶寬變窄，有效保證了系統(tǒng)的跟蹤準確度。

最后，在一套基于永磁同步電動機的位置伺服系統(tǒng)進行了實驗驗證，對不同遲后的被控對象，設(shè)計的控制器均滿足期望的指標要求，對于開環(huán)增益變化魯棒性好，跟蹤準確度高，證明當系統(tǒng)存在延時環(huán)節(jié)和大遲后環(huán)節(jié)時本文方法的有效性和工程實 用性。

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