張 杰,李 晗

(東北電力大學(xué)理學(xué)院,吉林吉林132012)

指標(biāo)加權(quán)數(shù)據(jù)包絡(luò)分析模型的研究及應(yīng)用

張 杰*,李 晗

(東北電力大學(xué)理學(xué)院,吉林吉林132012)

建立了指標(biāo)加權(quán)數(shù)據(jù)包絡(luò)分析(DEA)模型,證明了C2R有效與BC2有效、DEA有效與指標(biāo)加權(quán)DEA有效的關(guān)系,給出了求解指標(biāo)加權(quán)DEA模型的步驟,并通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證了加權(quán)DEA模型的合理性.指標(biāo)加權(quán)DEA模型既可以解決利用C2R模型或BC2模型評(píng)價(jià)具有多輸入和多輸出指標(biāo)的系統(tǒng)時(shí)造成有效單元過(guò)多的問(wèn)題,也能夠解決在評(píng)價(jià)過(guò)程中不能兼顧各評(píng)價(jià)指標(biāo)重要性的問(wèn)題.

C2R模型;BC2模型;加權(quán)數(shù)據(jù)包絡(luò)分析模型

Charnes等[1]在1978年提出C2R模型,該模型標(biāo)志著數(shù)據(jù)包絡(luò)分析(DEA)方法的產(chǎn)生,也是其他DEA模型的基礎(chǔ),在評(píng)價(jià)多投入多產(chǎn)出系統(tǒng)決策單元的規(guī)模有效性和技術(shù)有效性方面比較有效.Banker等[2]在1984年對(duì)C2R模型進(jìn)行了改進(jìn),提出了BC2模型,將其應(yīng)用于規(guī)模收益可變情況下的效率評(píng)價(jià)問(wèn)題,曲如等[3]利用該模型對(duì)學(xué)生有效努力程度進(jìn)行了測(cè)算.此后,隨著DEA模型的廣泛應(yīng)用及其在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)所出現(xiàn)的局限性,國(guó)內(nèi)外學(xué)者不斷對(duì)其進(jìn)行改進(jìn), DEA方法也得以不斷完善和發(fā)展.為了解決“黑箱”視角下DEA因忽略中間產(chǎn)品轉(zhuǎn)化信息及投入要素在各子過(guò)程中的配置信息,造成無(wú)法體現(xiàn)決策單元的實(shí)際生產(chǎn)技術(shù)的問(wèn)題,陳凱華等[4]提出共享投入型關(guān)聯(lián)兩階段生產(chǎn)系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)DEA效率測(cè)度與分解模型;趙萌等[5]提出了基于并聯(lián)決策單元的動(dòng)態(tài)DEA方法.為了測(cè)度決策單元的規(guī)模有效性,Fare和Grosskopf[6]提出了滿(mǎn)足規(guī)模收益非遞增的FG模型,Seiford和Thrall提出了滿(mǎn)足規(guī)模收益非遞減的ST模型[7],馬贊甫等[8]對(duì)這兩個(gè)模型與C2R模型和BC2模型間的關(guān)系進(jìn)行了論證;卞亦文等[9]提出了一種基于最優(yōu)虛擬前沿面的DEA評(píng)價(jià)模型,并基于TOPSIS排序思想提出了一種集成的DEA排序方法,實(shí)現(xiàn)了決策單元完全、合理地排序;針對(duì)C2R模型在測(cè)度決策單元的相對(duì)有效性時(shí),每個(gè)決策單元都選擇對(duì)自身有利而對(duì)其他決策單元不利的權(quán)系數(shù)而產(chǎn)生“偽有效”決策單元的情況,吳華清、董偉偉等[10-11]采取交叉效率模型以解決此類(lèi)問(wèn)題.1989年,Charnes等[12]給出了一個(gè)含有偏好的DEA模型——C2WH模型,該模型通過(guò)調(diào)整錐比率的方式反映決策者的偏好,但C2WH模型表述不具體,直觀性很差,針對(duì)不同的情況有許多特殊形式的模型被討論[13-15].

鑒于此,本文首先論證了C2R模型和BC2模型有效性的關(guān)系;然后,提出了實(shí)用性強(qiáng)且具有直觀性的加權(quán)DEA模型,即根據(jù)各評(píng)價(jià)指標(biāo)重要性程度對(duì)多個(gè)輸入指標(biāo)以及多個(gè)輸出指標(biāo)分別加權(quán)得到單輸入、單輸出指標(biāo).此時(shí),就將多輸入多輸出評(píng)價(jià)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為單輸入單輸出評(píng)價(jià)系統(tǒng).該模型既可以解決具有多輸入多輸出評(píng)價(jià)指標(biāo)的系統(tǒng)中“有效單元”過(guò)多的問(wèn)題,還可以在評(píng)價(jià)過(guò)程中兼顧到各評(píng)價(jià)指標(biāo)的重要性;最后,分別利用DEA模型和加權(quán)DEA模型對(duì)某高校十個(gè)教學(xué)院系的科研績(jī)效進(jìn)行了評(píng)價(jià),驗(yàn)證了加權(quán)DEA模型的合理性.

1 DEA模型及DEA有效性

1.1 基本的DEA模型

基本的DEA模型包括C2R模型和BC2模型.設(shè)有n個(gè)決策單元,每個(gè)決策單元有m種“輸入”和s種“輸出”;xij表示第j個(gè)決策單元對(duì)第i種輸入的投入量,Xj=(x1j,x2j,…,xmj)T;yrj表示第j個(gè)DMU第r種輸出的產(chǎn)出量,Yj=(y1j,y2j,…,ysj)T;Xj0、Yj0表示被評(píng)價(jià)DMU的輸入和輸出向量,則評(píng)價(jià)第j0個(gè)DMU有效性的C2R模型和BC2模型分別為[16]:

1.2 DEA有效性

定義1[17]模型(PC2R)和(PBC2)中時(shí),稱(chēng)決策單元j0為弱C2R)且ωj0＞0、μj0＞0時(shí),稱(chēng)決策單元j0為C2R(BC2)有效.

若決策單元j0為DEA(C2R)有效,則j0既為技術(shù)有效,也為規(guī)模有效;若決策單元j0僅為DEA (BC2)有效,則j0為技術(shù)有效.下面證明兩種有效性的關(guān)系.

定理1 若決策單元j0為DEA(C2R)有效,則其必為DEA(BC2)有效.

證明 設(shè)決策單元j0為DEA(C2R)有效,則由模型(PC2R)可知,存在ˉω≥0,ˉμ≥0,使得

所以決策單元j0為DEA(BC2)有效.

證畢.

定理1的逆命題不一定成立,即DEA(BC2)有效單元未必DEA(C2R)有效,舉例如下.

表1給出了5個(gè)決策單元的3組輸入和2組輸出數(shù)據(jù).

表1 5個(gè)決策單元的輸入輸出數(shù)據(jù)表Tab.1 The input and output data of five DMUs

分別利用C2R模型和BC2模型對(duì)每個(gè)決策單元進(jìn)行評(píng)價(jià),得到如表2所示的結(jié)果.

表2 2個(gè)模型所求得的效率值表Tab.2 The efficiency value of the two models

由表2可知,決策單元B既為DEA(C2R)有效,也為DEA(BC2)有效;決策單元A、C、D在模型(PC2R)和(PBC2)下均為DEA無(wú)效;而決策單元E為DEA (BC2)有效,但為DEA(C2R)無(wú)效.

2 指標(biāo)加權(quán)DEA模型及加權(quán)DEA有效性

2.1 指標(biāo)加權(quán)DEA模型

設(shè)V=(v1,v2,…,vm)為輸入指標(biāo)的權(quán)重向量,其中vi表示第i種輸入指標(biāo)的權(quán)重(i=1,2,…,m),vi為輸出指標(biāo)的權(quán)重向量,其中ur表示第r種輸出指標(biāo)的權(quán)重(r=1,2,

則對(duì)指標(biāo)加權(quán)的(PWC2R)模型和(PWBC2)模型分別為:

2.2 DEA有效性

定理2 決策單元j0為DEA(C2R)有效的充要條件是存在一組權(quán)VT=(v1,v2,…,vm)和UT=(u1, u2,…,us),使決策單元j0為加權(quán)DEA(WC2R)有效.

證明 (充分性)若存在一組權(quán)ˉVT=(ˉv1,ˉv2,…, ˉvm)和ˉUT=(ˉu1,ˉu2,…,ˉus),使決策單元j0為加權(quán)DEA(WC2R)有效,則由模型(PWC2R)可知,存在ˉωj0≥0,ˉμj0≥0使得

因?yàn)?ˉω,ˉμ)為模型(PC2R)的可行解,又由式(4)可知

(必要性)若決策單元j0為DEA(C2R)有效,則由模型(PC2R)可知,存在ˉω≥0,ˉμ≥0,使得式(1)～(3)成立.

證畢.

定理3 決策單元j0為DEA(BC2)有效的充要條件是存在一組權(quán)VT=(v1,v2,…,vm)、UT=(u1,u2,…,us)和δj0,使決策單元j0為加權(quán)DEA(WBC2)有效.

證明方法與定理2類(lèi)似,證略.

由定理2和定理3的證明過(guò)程可知,若決策單元j0為加權(quán)DEA有效,則其必DEA有效;反之,若決策單元j0為DEA有效,則在適當(dāng)權(quán)重下才能滿(mǎn)足加權(quán)DEA有效.

3 指標(biāo)加權(quán)DEA模型求解步驟及應(yīng)用

3.1 指標(biāo)加權(quán)DEA模型求解步驟

利用指標(biāo)加權(quán)DEA模型對(duì)決策單元進(jìn)行評(píng)價(jià),首要的是對(duì)數(shù)據(jù)規(guī)范化,其核心是指標(biāo)權(quán)重的確定.確定指標(biāo)權(quán)重的方法很多,如層次分析法、模糊綜合評(píng)價(jià)法、灰色關(guān)聯(lián)度分析法等等,在此不再贅述.

指標(biāo)加權(quán)DEA模型求解步驟如下:

1)輸入輸出指標(biāo)數(shù)據(jù)的規(guī)范化.

設(shè)xij為第j個(gè)決策單元的第i種輸入指標(biāo)的投入量(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n),則規(guī)范化后的指標(biāo)值ˉxij為:

設(shè)yrj為第j個(gè)決策單元的第r種輸入指標(biāo)的投入量(r=1,2,…,s;j=1,2,…,n),則規(guī)范化后的指標(biāo)值ˉyrj為:

2)確定輸入輸出指標(biāo)的權(quán)重.

設(shè)vi表示第i(i=1,2,…,m)種輸入指標(biāo)的權(quán)重, ur表示第r(r=1,2,…,s)種輸出指標(biāo)的權(quán)重,則有

4)合理性判斷.

5)若

3.2 實(shí)例應(yīng)用

本文對(duì)某高校10個(gè)教學(xué)院系的科研績(jī)效情況進(jìn)行評(píng)價(jià).投入指標(biāo)有7項(xiàng),產(chǎn)出指標(biāo)有3項(xiàng),具體數(shù)據(jù)見(jiàn)表3.

將表3數(shù)據(jù)進(jìn)行規(guī)范化處理,得到的結(jié)果見(jiàn)表4.

基于高校對(duì)科研投入及科研成果的重視程度確定各指標(biāo)權(quán)重如下:

V=(0.2,0.15,0.1,0.2,0.15,0.1,0.1),

對(duì)表4各指標(biāo)進(jìn)行加權(quán)后,得到的數(shù)據(jù)見(jiàn)表5.

分別利用C2R、BC2模型以及WC2R、WBC2模型進(jìn)行求解,得到的結(jié)果見(jiàn)表6.

由表6可知,S01、S07、S10均為DEA(C2R)有效,但為加權(quán)DEA(WC2R)無(wú)效;S03、S04、S05、S07、S10為DEA(BC2)有效,但為加權(quán)DEA(WBC2)無(wú)效;S06利用4種模型評(píng)價(jià)的結(jié)果都為DEA有效.評(píng)價(jià)結(jié)果表明,利用加權(quán)DEA模型進(jìn)行評(píng)價(jià)比利用DEA模型評(píng)價(jià)時(shí)有效單元個(gè)數(shù)明顯減少,這是因?yàn)榧訖?quán)DEA模型考慮了各指標(biāo)的重要性.

表3 某高校10個(gè)教學(xué)院系的科研投入和產(chǎn)出數(shù)據(jù)表Tab.3 The input and output data of ten teaching departments on scientific research

表4 表3數(shù)據(jù)規(guī)范化結(jié)果Tab.4 The normalized results of Tab.3

表5 指標(biāo)加權(quán)后各教學(xué)院系的科研投入與產(chǎn)出數(shù)據(jù)表Tab.5 The data of weighted indices of ten teaching departments on scientific research

在此,我們將式(7)的權(quán)重視為“客觀權(quán)重”,將由模型(PC2R)得到得的各個(gè)決策單元的權(quán)重視為“主觀權(quán)重”,為了進(jìn)一步深入分析DEA(C2R)有效而加權(quán)DEA(WC2R)無(wú)效的原因,現(xiàn)將決策單元S01、S06、S07、S10的“主觀權(quán)重”和“客觀權(quán)重”列于表7.

分析表7中的權(quán)重值可知,利用模型(PC2R)評(píng)價(jià)時(shí),每個(gè)決策單元都選擇對(duì)自身最有利的主觀權(quán)重.為達(dá)到DEA(C2R)有效,S01、S06、S07、S10對(duì)投入量較大或者輸出量較小的指標(biāo)賦權(quán)很小,甚至為0,而客觀權(quán)重則兼顧到各個(gè)指標(biāo)的重要性,因此決策單元S01、S07及S10僅DEA(C2R)有效而加權(quán)DEA(WC2R)無(wú)效.由表3的數(shù)據(jù)可知,S06的各項(xiàng)輸入指標(biāo)值都比較小,而輸出值均居于中上等,因此S06不僅DEA(C2R)有效且加權(quán)DEA(WC2R)有效.

原始DEA模型具有只依賴(lài)于原始數(shù)據(jù)并對(duì)其進(jìn)行客觀分析的特點(diǎn),各決策單元選取對(duì)自身最有利的權(quán)重進(jìn)行相對(duì)效率評(píng)價(jià).而在實(shí)際評(píng)價(jià)過(guò)程中,不同指標(biāo)的重要性是不同的.本文所提出的加權(quán)DEA模型為效率評(píng)價(jià)提供了一種新的方法,實(shí)現(xiàn)了客觀分析與主觀偏好的完美結(jié)合,使DEA模型更能滿(mǎn)足實(shí)際需要,又簡(jiǎn)便易實(shí)現(xiàn).

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表6 十個(gè)教學(xué)院系科研績(jī)效評(píng)價(jià)結(jié)果表Tab.6 The evaluation results of ten teaching departments on scientific research

表7 決策單元S01、S06、S07、S10的主、客觀權(quán)重表Tab.7 The“subjective weight“and“objective weight“of S01、S06、S07、S10

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Research and Application of the Index Weighted DEA Models

ZHANG Jie*,LI Han
(College of Science,Northeast Dianli University,Jilin 132012,China)

:The index weighted DEA model has been established.The relationship between C2R model effectiveness and BC2model effectiveness,and the relationship between DEA model effectiveness and the index weighted DEA model effectiveness are proved. Steps to solve the index weighted DEA model and an example to verify the rationality of the index weighted DEA model were then given.The index weighted DEA model can not only solve problems that involved with too many effective units when we use the C2R model or BC2model to evaluate the system with multi input and multi output indexes,but also is able to take into account the importance of each evaluation index in the evaluation process.

C2R model;BC2model;index weighted DEA model

O 223

A

0438-0479(2015)03-0372-06

10.6043/j.issn.0438-0479.2015.03.015

2014-06-26 錄用日期:2015-01-14

國(guó)家自然科學(xué)基金(10671082)

*通信作者:jlzj2005@163.com

張杰,李晗.指標(biāo)加權(quán)數(shù)據(jù)包絡(luò)分析模型的研究及應(yīng)用[J].廈門(mén)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2015,54(3):372-377.

:Zhang Jie,Li Han.Research and application of the index weighted DEA model[J].Journal of Xiamen University:Natu

ral Science,2015,54(3):372-377.(in Chinese)