任保安，賈育秦，楊松華

(太原科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，太原 030024)

螺旋傘齒輪高精度實(shí)體建模

任保安，賈育秦，楊松華

(太原科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，太原 030024)

根據(jù)齒輪FG(Formate Generated)加工方法中的機(jī)床各部件運(yùn)動(dòng)關(guān)系，建立了坐標(biāo)系模型，推導(dǎo)了虛擬坐標(biāo)變換。分別運(yùn)用拋物線型刀具和直線型刀具加工大小齒輪，在有助于齒面修形的同時(shí)保證了齒輪的高生產(chǎn)率。在MATLAB中畫出了單個(gè)大小齒輪的齒廓圖，進(jìn)而將數(shù)據(jù)導(dǎo)入Creo中建立了實(shí)體螺旋傘齒輪模型，為后續(xù)的有限元分析奠定了基礎(chǔ)。

螺旋傘齒輪;三維建模;數(shù)學(xué)模型;坐標(biāo)變換

螺旋傘齒輪主要是用于相較軸間的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，需要配對加工且配對使用，廣泛應(yīng)用于航空、汽車、機(jī)床等工業(yè)中。其齒面幾何非常復(fù)雜，嚙合時(shí)，齒面是局部點(diǎn)接觸且不完全共軛。傳統(tǒng)加工方法中，主要靠加工師傅解決試切、機(jī)床調(diào)整參數(shù)、齒輪精度等問題。計(jì)算機(jī)虛擬技術(shù)可以很好的解決這些問題，并且可以減少材料的浪費(fèi)，縮短工時(shí)，提高效益。目前，螺旋傘齒輪計(jì)算機(jī)虛擬建模方法主要有三種［1-2］:(1)運(yùn)用NURBS進(jìn)行曲面逼近來模擬輪齒實(shí)體，此方法所建模型不能用于數(shù)控機(jī)床，對加工不具有指導(dǎo)意義;(2)根據(jù)螺旋傘齒輪設(shè)計(jì)公式算出齒輪基本參數(shù)，利用Pro/E方程曲線、參數(shù)化關(guān)系等功能建立參數(shù)化螺旋傘齒輪，此方法優(yōu)點(diǎn)在于參數(shù)可視化，缺點(diǎn)是不利于后續(xù)的有限元分析以及其他研究;(3)通過獲得齒面離散點(diǎn)數(shù)據(jù)來形成輪齒齒面。獲得齒面離散點(diǎn)主要有三種方法［3］: (1)由展成齒面方程生成;(2)由虛擬制造與仿真法給出;(3)由坐標(biāo)測量機(jī)測量得到。綜合考慮方法(1)效果最好，可以得出精確齒面的齒輪模型。本文根據(jù)螺旋傘齒輪的展成原理，基于加工方法和空間嚙合原理，通過刀盤參數(shù)和機(jī)床調(diào)整參數(shù)推導(dǎo)了大小齒輪的齒面方程。利用MATLAB軟件進(jìn)行坐標(biāo)變換和矩陣運(yùn)算，并求解非線性方程組后采集了大小齒輪凹凸齒面數(shù)據(jù)點(diǎn)。然后將齒面點(diǎn)數(shù)據(jù)導(dǎo)入了Creo中，建立了高精度的螺旋傘齒輪模型，為以后的干涉檢驗(yàn)、有載接觸分析和有限元分析打下了基礎(chǔ)。

1 螺旋傘齒輪展成原理

螺旋傘齒輪展成時(shí)，被加工傘齒輪相對于刀盤按根錐角γmi安裝，并繞自身軸線作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。安裝在搖臺(tái)上的刀盤相當(dāng)于一個(gè)行星輪，即在繞自身軸線作自轉(zhuǎn)的同時(shí)繞搖臺(tái)軸線作公轉(zhuǎn)。刀盤是由一系列具有相同形狀的刀具構(gòu)成的。搖臺(tái)機(jī)構(gòu)可假象為一個(gè)齒輪，通常稱為產(chǎn)形輪，產(chǎn)形輪和被加工傘齒輪的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)是相互聯(lián)系的，產(chǎn)形輪與被加工齒輪按一定傳動(dòng)比繞各自自身軸線旋轉(zhuǎn)從而進(jìn)行嚙合，嚙合的同時(shí)展成齒面［4］。齒面是間歇性展成的，一個(gè)展成完成時(shí)切出一個(gè)齒槽，然后暫停一下，重復(fù)展成過程，直至展成全部完成，最后展成所有齒面。刀具旋轉(zhuǎn)形成的曲面與齒輪齒面是完全共軛的，其繞自身軸線的旋轉(zhuǎn)角速度與齒輪展成無關(guān)，只是提供所需的切削角速度［5］。事實(shí)上，展成的空間曲面不是螺旋形的，但人們普遍稱這種齒輪為螺旋傘齒輪。

圖1 螺旋傘齒輪展成圖Fig.1 Generation schematic of a spiral bevel gear

2 大齒輪齒面數(shù)學(xué)模型

2.1刀具數(shù)學(xué)模型

圖2 拋物線型刀具Fig.2 Parabolic blade profile

圖3 展成曲面Fig.3 Generating surfaces

傳統(tǒng)方法中只對直線型刀具進(jìn)行了研究，但拋物線型刀具更有利于齒面修形。圖2為拋物線型刀具示意圖，圖3為展成曲面圖。刀具繞刀盤軸線zg旋轉(zhuǎn)形成拋物線型刀盤的展成曲面，刀具的外刀刃和內(nèi)刀刃分別對應(yīng)展成的凹凸面。刀具壓力角αg是由刀具在點(diǎn)M的切線和垂直中心線相交而成，拋物線的頂點(diǎn)M由參數(shù)sgo決定。

2.2 大齒輪數(shù)學(xué)模型

大齒輪用仿形法加工，在加工過程中，搖臺(tái)保持不動(dòng)，刀具繞其自身軸線旋轉(zhuǎn)，此時(shí)被加工齒輪和搖臺(tái)相對其自身旋轉(zhuǎn)軸線是靜止的，加工出的大輪齒面是對刀具表面的復(fù)制［6］。為了保持高生產(chǎn)率，大輪齒面并不是刀具表面的包絡(luò)，因此，大齒輪齒面方程非常復(fù)雜。

根據(jù)切齒機(jī)床運(yùn)動(dòng)關(guān)系，假定以下各坐標(biāo)系，如圖4所示。

圖4 右旋大齒輪虛擬坐標(biāo)系Fig.4 Virtual coordinate system for right-hand gear

sm2——?jiǎng)傂怨探佑谇旋X機(jī)床;

sg——?jiǎng)傂怨探佑诘侗P;

s2——?jiǎng)傂怨探佑诖簖X輪。

應(yīng)用坐標(biāo)變換，把刀具旋轉(zhuǎn)曲面表示在坐標(biāo)系s2中，即大齒輪齒面位置矢量為:

解方程組(1)，(3)和(2)，(4)即可得大齒輪齒面數(shù)據(jù)點(diǎn)。

3 小齒輪齒面數(shù)學(xué)模型

3.1刀具數(shù)學(xué)模型

圖5 直線型刀具Fig.5 Straight blade profile

小齒輪加工用直線型刀具，刀具的每一面展成兩個(gè)子表面，如圖5所示。刀具直線刃部分(即圖中a段)展成齒輪齒面的工作曲面，刀具圓角部分(即圖中b段)展成齒根過度曲面，如圖6所示。刀具繞刀盤軸線Zp旋轉(zhuǎn)形成了刀盤的展成曲面。刀盤展成曲面的工作部分的方程表示在坐標(biāo)系sg中:

圖6 展成曲面Fig.6 Generating surfaces

Rp是刀尖半徑，上下符號對應(yīng)于展成的齒輪齒面的凹凸面。

單位法向量為:

3.2 小齒輪數(shù)學(xué)模型

小齒輪用變性法加工，變性法加工時(shí)在展成法加工小齒輪的機(jī)床上加入了變性機(jī)構(gòu)，即變性輪，在加工過程中，產(chǎn)形輪節(jié)錐角為90°，刀具刀尖平面與小輪根錐相切，而且傳動(dòng)比是隨時(shí)間的變化而變化的［7］。如圖7所示，sm1sa1，sb1，是固定坐標(biāo)系，固接于機(jī)床上。s1，sc1是活動(dòng)坐標(biāo)系，分別固接于小輪和搖臺(tái)上，s1繞軸zm1轉(zhuǎn)動(dòng)，sc1繞軸zb1轉(zhuǎn)動(dòng)。它們的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)與函數(shù)ψ1(ψc1)有關(guān)。小齒輪與搖臺(tái)的瞬時(shí)角速度比為時(shí)，稱m1c(ψ1)為滾比。參數(shù)XD1，XB1，Em1，γm1為機(jī)床調(diào)整參數(shù)。

圖7 左旋小齒輪虛擬坐標(biāo)系Fig.7 Virtual coordinate system for left-hand pinion

小齒輪齒面矢量為:

變性輪在展成過程中使得小輪轉(zhuǎn)角ψ1和搖臺(tái)轉(zhuǎn)角ψc1有如下關(guān)系:

其中，b1，b2，b3是變性輪參數(shù)。

嚙合方程:

小齒輪齒面是刀具展成面的包絡(luò)曲面，嚙合方程表示在坐標(biāo)系sm1如下:

消去矩陣Mm1c1和Mc1p的最后一行、最后一列之后，得到矩陣Lm1c1和Lc1p:

由于運(yùn)用了變性輪，所以角速度比m1c(ψc1)是一個(gè)變量，現(xiàn)將它表示如下:

解方程組(5)，(6)和(7)，(8)即可得小齒輪齒面數(shù)據(jù)點(diǎn)。

4 齒面離散點(diǎn)的計(jì)算

齒輪齒面方程中，有三個(gè)未知量，即s，θ，ψ，嚙合方程中s對與其它變量是線性的，消去s最容易。消去s后，齒面方程是θ，ψ的雙參數(shù)表示，但θ，ψ的取值范圍很難控制，范圍太小時(shí)，得到的曲面不完整，范圍太大時(shí)，曲面在齒根會(huì)出現(xiàn)彎折。故本文采用s和θ表示齒面方程，即給定一定范圍內(nèi)的s和θ的值，由嚙合方程算出ψ的值，從而得出齒面離散點(diǎn)。齒面方程確定的曲面是形狀復(fù)雜的空間曲面，某些范圍內(nèi)不具有連續(xù)性，而且輪齒齒面只是曲面的一部分［8］。因此必須確定s和θ的范圍。將齒面旋轉(zhuǎn)投影到一軸向剖面上，如圖8，齒面上的點(diǎn)必定位于由前錐面，背錐面，頂錐面，根錐面所圍成的空間內(nèi)。邊界條件可由輪坯參數(shù)算出，適當(dāng)增大取值范圍有利于建模時(shí)的布爾運(yùn)算［9-10］。在MATLAB軟件中，把齒面方程中一個(gè)參數(shù)設(shè)置為變量，另一個(gè)參數(shù)設(shè)置一定步長，不斷改變其值，就能得到一系列的s線和θ線。s和θ取值密度的大小決定了齒面精度的大小，但取值密度越大，所耗費(fèi)時(shí)間越多，建模所需時(shí)間就越多，所以要在滿足精度需求的情況下，采取合理的取值密度。利用MATLAB畫出單個(gè)齒的齒面圖形，如圖9所示。

圖8 齒面邊界Fig.8 The boundary of tooth surface

5 實(shí)體建模

在Creo軟件中建立了大小齒輪的實(shí)體模型。齒坯參數(shù)和機(jī)床調(diào)整參數(shù)如表1.

表1 輪坯參數(shù)Tab.1 Blank data

表2 大輪機(jī)床調(diào)整參數(shù)Tab.2 Gear machine tool settings

建模步驟如下:

(1)根據(jù)所給齒輪毛坯參數(shù)，建立齒坯實(shí)體。

(2)把上文計(jì)算得到的齒面數(shù)據(jù)點(diǎn)，整理為一定格式，將后綴名改為ibl，導(dǎo)入Creo中。運(yùn)用邊界混合功能進(jìn)行齒面重構(gòu)，此時(shí)齒面邊界應(yīng)超出實(shí)際邊界以便于建模，使用邊界縫合命令把整個(gè)齒面連續(xù)光滑的連接起來。

(3)利用修剪工具對齒輪齒面和齒坯實(shí)體進(jìn)行布爾運(yùn)算［11］。形成齒槽后，即得到運(yùn)用加工方法加工齒輪時(shí)應(yīng)當(dāng)去除材料的部分曲面。

表3 小輪機(jī)床調(diào)整參數(shù)Tab.3 Pinion machine tool settings

(4)陣列齒槽，得到高精度的大小齒輪實(shí)體模型，如圖11所示。

圖11 實(shí)體模型Fig.11 Solid model

6 結(jié)論

根據(jù)螺旋傘齒輪的展成原理，針對FG(Format Generated)加工方法，分別對大小齒輪采用了拋物線型刀具和直線型刀具，建立了刀具的數(shù)學(xué)模型(包括刀尖圓角)，基于空間嚙合原理進(jìn)行齊次坐標(biāo)變換，參考刀盤參數(shù)和機(jī)床調(diào)整參數(shù)，推導(dǎo)了大小齒輪的齒面方程。在齒輪軸向旋轉(zhuǎn)投影面上確定了齒面邊界后，利用MATLAB軟件進(jìn)行坐標(biāo)變換和矩陣運(yùn)算，并求解非線性方程組，采集了大小齒輪凹凸齒面數(shù)據(jù)點(diǎn)。并將齒面吃據(jù)點(diǎn)以一定格式導(dǎo)入Creo中，運(yùn)用Creo中豐富的曲面造型功能建立了高精度實(shí)體螺旋傘齒輪。將本文模型導(dǎo)入有限元分析軟件后，可以進(jìn)行齒面接觸分析和有載齒面接觸分析等各種研究。本文所建模型可由現(xiàn)實(shí)中的機(jī)床實(shí)際加工出來，對數(shù)控加工齒輪具有一定意義，為弧齒錐齒輪的優(yōu)化設(shè)計(jì)及制造奠定了基礎(chǔ)。

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High-Precise Solid Modeling of Spiral Bevel Gears

REN Bao-an，JIA Yu-qin，YANG Song-hua
(School of Mechanical Engineering，Taiyuan University of Science and Technology，Taiyuan 030024，China)

According to the relationships among the movements of machine parts in the method of FG，the system model is established，and a virtual coordinate transformation is deduced.Gears and pinions are respectively made by using parabolic and linear blade profiles.This is benefical to modify the tooth surface and keep high productivity.The profiles of pinion and gear are drawn in MATLAB，and the data is imported to establish the model of spiral bevel gears in Creo，which has laid a foundation for the subsequent finite element analysis.

spiral bevel gear，3D modeling，mathematical model，coordinate conversion

TH113

A

10.3969/j.issn.1673-2057.2015.02.011

1673-2057(2015)02-0137-07

2014-12-03

任保安(1989-)，男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)楝F(xiàn)代制造技術(shù)。