張正言，李小波，徐旭宇，鄒純燁

（電子工程學(xué)院，合肥 230037）

低信噪比條件下改進(jìn)ESPRIT方法

張正言，李小波，徐旭宇，鄒純燁

（電子工程學(xué)院，合肥 230037）

在低信噪比時(shí)，針對估計(jì)信源DOA實(shí)時(shí)性的問題，提出了一種新的適合于ESPRIT算法的多級維納濾波器（MSWF）結(jié)構(gòu)，找到了一種能判別信號子空間的方法。首先將多級維納濾波器（MSWF）與ESPRIT算法相結(jié)合，采用多級維納濾波器（MSWF）的前向遞推，得到子空間，不需要通過特征值分解。低信噪比時(shí)，針對噪聲子空間泄漏到信號子空間的現(xiàn)象，提出一種判別方法，找到了更精確的信號子空間，結(jié)合ESPRIT方法實(shí)現(xiàn)信號的DOA估計(jì)。由于該算法實(shí)現(xiàn)了真實(shí)的信號子空間的判斷，因此，比傳統(tǒng)基于MSWF算法具有更高地估計(jì)精度。特別是在低信噪比時(shí)，增強(qiáng)了算法的實(shí)用性，仿真結(jié)果證明了算法的有效性。

角度估計(jì)，低信噪比，低復(fù)雜度，信號子空間

0 引言

波達(dá)方向（DOA）估計(jì)是陣列信號處理的重要方面，在無線電通信、雷達(dá)、聲納、導(dǎo)航、地震探測和醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用［1］，子空間類算法因其良好估計(jì)性能和分辨力，開創(chuàng)了超分辨處理的新局面［2］，已經(jīng)成為DOA估計(jì)中經(jīng)典的方法。但是，常規(guī)ESPRIT算法需要得到信號子空間，而通常方法是通過估計(jì)樣本協(xié)方差矩陣并對其作特征值分解，需要的運(yùn)算量約為O（L2N+L3）。顯然，如果陣元數(shù)較多的話，該方法所需要的運(yùn)算量是相當(dāng)大的，難以實(shí)時(shí)處理，相關(guān)資料見文獻(xiàn)［3-10］。

本文基于文獻(xiàn)［10］在低信噪比時(shí)不能正確估計(jì)信號波達(dá)方向的問題，提出了一種新算法。首先構(gòu)建適合于ESPRIT算法的多級維納濾波器（MSWF）結(jié)構(gòu)，再利用協(xié)方差矩陣的一列作為參考信號，通過多級維納濾波器，得到P'級匹配濾波器，通過參考信號與觀測信號的自相關(guān)模值，判斷出所需的匹配濾波器級數(shù)，再根據(jù)參考信號的自相關(guān)模值大小找出最接近真實(shí)信號子空間的P級維納濾波器。該算法具有低運(yùn)算量，增強(qiáng)了處理的實(shí)時(shí)性，在低信噪比情況下，仍能實(shí)現(xiàn)信號的DOA估計(jì)。

1 信號模型

圖1 均勻線陣示意圖

如圖1所示，均勻線陣陣元間距為d，陣元個(gè)數(shù)為L。假設(shè)有P個(gè)窄帶信號（P＜L），為遠(yuǎn)場點(diǎn)目標(biāo)，入射角度為θi（i=1，2，…，P），波長為λ。則陣列接收向量可以表示為

x（t）、S（t）、n（t）、A分別為陣列輸出向量、入射信號向量、陣列噪聲向量和陣列流型向量，假設(shè)n（t）服從零均值，方差為σ2的復(fù)高斯白噪聲。且有

k=1，2，…，L；i=1，2，…，P。以第1個(gè)陣元為參考陣元，則第k個(gè)陣元的輸出信號可以表示為：

其中，（·）T表示矩陣（向量）的轉(zhuǎn)置。

2 改進(jìn)的ESPRIT算法

2.1 子空間的估計(jì)算法

維納濾波是最小均方誤差（MMSE）準(zhǔn)則下的線性濾波，它在已知信號和噪聲的相關(guān)函數(shù)情況下，通過求解維納—霍普方程，對平穩(wěn)信號進(jìn)行最優(yōu)濾波。經(jīng)典維納濾波器結(jié)構(gòu)如圖2所示。求得，維納濾波器的原理是通過X0（k）和d0（k）對消掉彼此相關(guān)的信號分量完成濾波過程。

圖2 維納濾波器

多級維納濾波器是維納濾波器的一種等效多級實(shí)現(xiàn)形式，它利用一序列正交投影，將輸入信號向量進(jìn)行多級分解，再進(jìn)行多級標(biāo)量維納濾波。多級維納濾波器的結(jié)構(gòu)如圖3所示，這里以N=3為例。

圖3 多級維納濾波器

多級維納濾波處理的主要原理是：對觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行正交空間投影，一個(gè)子空間是通過參考信號與觀測信號的互相關(guān)向量得到的稱為信號相關(guān)空間，另一子空間正交于這個(gè)子空間。然后把觀測數(shù)據(jù)投影到信號相關(guān)空間得到新的參考信號，投影到另一子空間得到新的觀測數(shù)據(jù)，然后按照上述方法繼續(xù)投影?；ハ嚓P(guān)向量只能提取di（k）和Xi（k）相關(guān)的信號分量，由于信號是相關(guān)的，而噪聲干擾則是無關(guān)的，因此，互相關(guān)向量rx0d0只提取了信號分量，噪聲分量對互相關(guān)向量是沒有貢獻(xiàn)的。因此，通過不斷投影，信號分量將被全部提取，di（k）和Xi（k）只包含噪聲，達(dá)到把信號和噪聲分離的目的。

多級維納濾波器，只需要各級數(shù)據(jù)Xi（k）和參考信號di（k）估計(jì)互相關(guān)向量rx0d0，并且只有標(biāo)量求逆（倒數(shù)）運(yùn)算，因此，多級維納濾波器的計(jì)算量較小，特別是對大型陣、協(xié)方差矩陣求逆計(jì)算量較大時(shí)，多級維納可有效降低計(jì)算量。另外，MSWF很容易應(yīng)用在降秩處理，將多級維納濾波器在r級分解處截?cái)?，得到降秩MSWF。

具體步驟如下：

（1）預(yù)處理:數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣

（2）初始化：

其中，R為式（9）中構(gòu)造協(xié)方差矩陣，d0為R的第一列。

E［·］為均值，（·）*為共軛運(yùn)算，（·）H為共軛轉(zhuǎn)置運(yùn)算，‖·‖2為2范數(shù)。

2.2 信號子空間的估計(jì)

可以證明信號子空間可以由多級維納濾波器的匹配濾波器得到。如果沒有噪聲干擾時(shí)可以由前P級匹配濾波器張成。然而實(shí)際中只含有信號的參考信號無法得到，采用陣元接收到的數(shù)據(jù)作為參考信號，不可避免地引入噪聲，此時(shí)由于參考信號向量不再和噪聲向量正交，匹配濾波器中就加入了噪聲向量，而信號子空間則泄漏到噪聲子空間，因此，前P級維納濾波器此時(shí)不是正確的信號向量。

從表中看出，特征分解產(chǎn)生大特征值，代表信號的“交叉譜能量”，主要集中在前兩級，與其相對應(yīng)的子空間就是信號子空間，與信號個(gè)數(shù)相同。而多級維納濾波分解的能量則泄漏到了第3級，尤其在低信噪時(shí)能量甚至泄漏到第4級。因此，前P級的維納濾波器不能表示所有的信號矢量，需要重新選取信號子空間。根據(jù)上述分析可知，σi和λ特征值有著類似的性質(zhì)，都代表者參考信號的能量，它體現(xiàn)出了信號能量的“分布情況”。因此，可以用σi作為選取信號子空間的參數(shù)。

通過上述分析可以看出在信噪比較高時(shí)，信號能量集中在前兩級，與信號源個(gè)數(shù)P相同，因此，只需要前P級維納濾波器，而當(dāng)信噪比較低時(shí)，由于噪聲子空間泄漏到信號子空間，前P級維納濾波器不是真實(shí)的信號子空間，信號可能包含在前P'級維納濾波器中，因此，需要通過設(shè)定判斷條件，首先確定信號子空間所需的維納濾波器級數(shù)，再根據(jù)σi選取真實(shí)的信號子空間。

具體過程如下：

2.2.1 確定信號子空間估計(jì)所需的濾波器級數(shù)

根據(jù)信噪比的高低調(diào)節(jié)多級維納濾波器的級數(shù)，通過如下語句可以判斷：

其中：σmax和σmin分別表示i級分解中自相關(guān)向量σ最大和最小的模值。

2.2.2 確定信號子空間

根據(jù)對信號自相關(guān)σi（i=1，2，…，P'）進(jìn)行排序，選取最大的P個(gè)σi，對應(yīng)的子空間就是信號子空間。

2.3 ESPRIT算法

又由UB=UFΨ得Ψ=T-1ΦT=UF-1UB，對Ψ進(jìn)行特征分解即可得到Φ（Ψ和Φ具有相同的特征值），從而利用ESPRIT方法完成DOA估計(jì)。

2.4 算法流程

步驟1根據(jù)式（9）計(jì)算協(xié)方差矩陣R，并且根據(jù)式（10）選取初始參考信號和數(shù)據(jù)；

步驟2 i=i+1；

步驟3根據(jù)式（11）～式（14）得到子空間，其中由式（13）得到信號的能量σi；

步驟4如果i＜2，跳轉(zhuǎn)步驟2。否則通過式（15）～式（19）進(jìn)行判斷，如果式（18）成立，那么得到包含信號子空間的，對信號自相關(guān)σi（i=1，2，…，P'）進(jìn)行排序，選取最大的P個(gè)σi，對應(yīng)的子空間就是信號子空間。如果式（18）不成立，跳轉(zhuǎn)步驟2；

步驟5根據(jù)2.3節(jié)ESPRIT算法得到信號的波達(dá)方向。

3 算法的性能分析

采用上述算法估計(jì)DOA具有如下的優(yōu)點(diǎn)：①由于本文算法不進(jìn)行矩陣的特征值分解，所需的運(yùn)算量較低，能夠更好解決DOA估計(jì)的實(shí)時(shí)性；②本文算法的計(jì)算量為O（NL2+P'L2），而常規(guī)ESPRIT算法所需的計(jì)算量為O（NL2+L3），在陣元數(shù)較多時(shí)，本文算法能減小計(jì)算量。

4 實(shí)驗(yàn)仿真

使用陣元數(shù)為 16的均勻線陣，陣元間隔d=λ/2，噪聲為加性復(fù)高斯白噪聲，定義。其中p表示角度的估計(jì)值，θp表示角度的真實(shí)值。MC為Monte Carlo仿真次數(shù)。

實(shí)驗(yàn)1：采用本文算法實(shí)現(xiàn)信號源的DOA估計(jì)，驗(yàn)證算法有效性。

2個(gè)波長為λ的非相干信號，入射角度分別為-45°，45°，信噪比SNR=0dB，快拍數(shù)N=256，試驗(yàn)次數(shù)M=100，仿真結(jié)果如圖4所示，信噪比SNR=-10 dB，仿真結(jié)果如圖5所示。

從圖4可以看出在信噪比為0 dB時(shí)，本文算法和文獻(xiàn)［10］算法估計(jì)出來的角度與真實(shí)角度基本重合，因?yàn)樵谛旁氡容^高時(shí)，噪聲子空間沒有泄漏到信號子空間，本文算法和文獻(xiàn)［10］算法估計(jì)出的信號子空間相同，因此，估計(jì)性能相當(dāng)。

圖4 信噪比為0dB估計(jì)結(jié)果

圖5 信噪比為-10dB估計(jì)結(jié)果

從圖5可以看出本文算法在信噪比SNR=-10dB仍然有效。在低信噪比時(shí)，本文算法估計(jì)得到的角度與真實(shí)角度重合，準(zhǔn)確地估計(jì)了真實(shí)的角度。而文獻(xiàn)［10］估計(jì)出的角度有較大的偏差，算法已經(jīng)失效。這是因?yàn)樵诘托旁氡葧r(shí)本文算法能夠識別真實(shí)信號子空間，而文獻(xiàn)［10］的算法中的信號子空間包含噪聲子空間。

實(shí)驗(yàn)2:本文算法、文獻(xiàn)［10］算法的估計(jì)性能比較。

3個(gè)波長為λ的全相干信號，入射角度為-45°，-30°，60°，陣元數(shù)為24，快拍數(shù)N=256，信噪比從-10 dB變化到25 dB，每dB做200次Monte Carlo實(shí)驗(yàn)，比較兩種算法的RMSE，仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 RMSE與SNR之間的關(guān)系

從圖6中可以看出本文算法與文獻(xiàn)［10］算法相比，在信噪比較高時(shí)（SNR＞-4 dB），估計(jì)精度和估計(jì)效果相當(dāng)，這是因?yàn)樵诟咝旁氡葧r(shí)，噪聲子空間沒有泄漏到信號子空間，本文算法與文獻(xiàn)［10］算法估計(jì)的信號子空間相同。而在低信噪比的情況下，本文算法仍然能成功估計(jì)出信號的波達(dá)方向，文獻(xiàn)［10］算法已經(jīng)失效。這是因?yàn)槎嗉壘S納濾波在低信噪比時(shí)，噪聲子空間泄露到信號子空間，文獻(xiàn)［10］的算法估計(jì)出信號子空間不是真實(shí)的信號子空間，本文算法以參考信號的自相關(guān)能量為標(biāo)準(zhǔn)，選取了正確的信號子空間，從而估計(jì)出真實(shí)的信號角度。

5 總結(jié)

本文研究了低信噪比時(shí)，基于多級維納濾波器的ESPRIT算法估計(jì)波達(dá)方向的問題，提出了一種新的適合于 ESPRIT算法的多級維納濾波器（MSWF）結(jié)構(gòu)，找到了一種能判別信號子空間的方法。首先通過研究多級維納濾波器在低信噪比時(shí)的性質(zhì)，指出此時(shí)存在子空間泄漏問題，再通過參考信號自相關(guān)能量σi作為信號子空間的判斷標(biāo)準(zhǔn)，從而找到真實(shí)信號子空間，正確地估計(jì)出信號的波達(dá)方向，特別是在低信噪比的情況下估計(jì)性能仍然較好。該算法不需要特征值分解，因此，所需的運(yùn)算量較低，在低信噪比時(shí)仍然有效，提高了該算法的實(shí)用性，適用于對信號處理實(shí)時(shí)性要求較高的陣列天線系統(tǒng)。

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The Modified ESPRIT Method Under Low SNR Condition

ZHANG Zheng-yan，LI Xiao-bo，XU Xu-yu，ZHOU Chun-ye
（Electronic Engineering Institute，Hefei 230037，China）

In low SNR，a new multistage wiener filtering（MSWF）suitable for ESPRIT is proposed for the instant problem among direction-of-arrival（DOA）estimation of signals.Firstly，the MSWF is combined with ESPRIT.Then subspace can be acquired through spatially smoothed forward recursion of the multistage wiener filtering，not through the matrix eigenvalue decomposition.In low SNR，the noise subspace leaked to the signal subspace，a discriminated method is proposed to find a more accurate signal subspace.The DOA of singles can be estimated combining with the subspace kind algorithms such as ESPRIT.Because this algorithm has realized the judgment of the real signal subspace，it has higher estimation precision than the traditional algorithm based on MSWF.Especially in low SNR，enhance the practicability of the algorithm.Simulation results verify that the proposed algorithm is effective.

DOA estimation，low SNR，low complexity，signal subspace

TN957

A

1002-0640（2015）06-0091-05

2014-05-07

2014-06-23

張正言（1991- ），男，安徽宿州人，碩士研究生。研究方向：MIMO雷達(dá)信號處理，陣列信號處理。