王寶賢, 張艷杰

(1. 三峽大學(xué) 理學(xué)院，湖北 宜昌 443002；2. 國網(wǎng)技術(shù)學(xué)院，山東 濟(jì)南 250002)

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新分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的線性反饋控制及投影同步分析

王寶賢1, 張艷杰2

(1. 三峽大學(xué) 理學(xué)院，湖北 宜昌 443002；2. 國網(wǎng)技術(shù)學(xué)院，山東 濟(jì)南 250002)

為探求分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的混合投影同步的實現(xiàn)機(jī)理，基于一類新的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)和Lyapunov穩(wěn)定性理論，采用線性反饋控制方法將系統(tǒng)的混沌運動狀態(tài)控制到穩(wěn)定態(tài)，系統(tǒng)達(dá)到控制目標(biāo)時，控制增益只需要滿足線性矩陣不等式，且控制策略簡潔易于實現(xiàn)。并將結(jié)論應(yīng)用到投影同步中，得到了分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)實現(xiàn)混合投影同步的控制增益的必要條件。通過Matlab數(shù)值仿真，分析了不同的投影因子矩陣情形下的混沌同步，驗證了控制策略與同步方法的可行性。

反饋控制；分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)；混合投影同步；Lyapunov穩(wěn)定性；漸近穩(wěn)定

王寶賢,張艷杰.2015.新分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的線性反饋控制及投影同步分析[J].東華理工大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，38(4)：454-457.

Wang Bao-xian, Zhang Yan-jie.2015.Linear feedback control and projective synchronization of a new fractional-order chaotic system[J].Journal of East China Institute of Technology (Natural Science), 38(4)：454-457.

混沌現(xiàn)象是現(xiàn)實世界中普遍存在的非線性現(xiàn)象，在物理學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域均發(fā)現(xiàn)了混沌現(xiàn)象，由于混沌系統(tǒng)在保密通信、信號處理等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，近年來對混沌系統(tǒng)的研究達(dá)到頂峰。至今已發(fā)現(xiàn)多種經(jīng)典整數(shù)階混沌系統(tǒng)，如Lorenz系統(tǒng)，Rossler系統(tǒng)等。隨著分?jǐn)?shù)階微積分理論的發(fā)展，分?jǐn)?shù)階微積分模型能更好地描述自然界中的物理機(jī)制及其變化規(guī)律，眾多學(xué)者發(fā)現(xiàn)了一系列更具豐富混沌現(xiàn)象的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)。如多渦卷混沌系統(tǒng)均具有兩個或兩個以上的渦卷，比單渦卷系統(tǒng)具有更加復(fù)雜的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及更豐富的動力學(xué)行為，已經(jīng)成為混沌研究領(lǐng)域的新熱點。文獻(xiàn)Wang(2009)提出了每項微分方程均包含一個二階非線性項的一個新的三維自治多渦卷混沌系統(tǒng)，選取不同參數(shù)可產(chǎn)生單渦卷，雙渦卷，三渦卷及四渦卷混沌吸引子。Chen等(2013)在此基礎(chǔ)上推廣到分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)階數(shù)低于3時，該系統(tǒng)同樣存在與整數(shù)階系統(tǒng)類似的動力學(xué)行為?；煦缤接捎谠诒Ｃ芡ㄐ蓬I(lǐng)域(呂冰等，2012)有著潛在的應(yīng)用價值，成為非線性科學(xué)領(lǐng)域研究熱點之一。Zhou等(2011a)提出了一類新型混合函數(shù)投影同步，其中投影因子為與驅(qū)動系統(tǒng)狀態(tài)相關(guān)的有界函數(shù)。劉景琳(2014)基于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性理論，該文通過設(shè)計自適應(yīng)控制器和參數(shù)更新率，提出了一種自適應(yīng)混合函數(shù)投影同步方案。Wu等(2012)研究了一類新的分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)動力學(xué)行為，同時研究了相應(yīng)的修正投影同步。混合投影同步(Chang et al.,2010; Zhang et al.,2012；Zhou et al.,2011b;吳耿等，2008；王亞民等，2013；Kengne et al.,2013; Monje et al.,2010)在混沌保密通信中有著更好的抗破譯功能，于是研究分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步是有意義的。

1 分?jǐn)?shù)階微積分

分?jǐn)?shù)階算子是整數(shù)階算子的推廣，至今分?jǐn)?shù)階微分算子通常有三種定義：Grunwald-Letnikov定義，Riemann-Liouville定義與Caputo定義?？紤]如下分?jǐn)?shù)微分方程：

Dqx(t)=f(x(t))

(1)

引理1 對分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)(1)，當(dāng)分?jǐn)?shù)階數(shù)q≤1，若存在實對稱正定矩陣P，使得對任意狀態(tài)變量x，函數(shù)J=xTPDqx≤0恒成立，則系統(tǒng)(1)漸近穩(wěn)定(Zhao et al.,2010)。

2 新分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)模型

考慮如下新分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)模型(Chen et al.,2013)：

(2)

本文中仿真均采用預(yù)估-校正法(Zhou et al.,2005)。當(dāng)參數(shù)取a=1.46,b=9,c=5,d=0.06及分?jǐn)?shù)階階數(shù)q=0.95，系統(tǒng)(2)存在混沌現(xiàn)象。

3 線性反饋控制

設(shè)計采用線性反饋控制器如下：

(u1u2u3)=(k1x1k2x2k3x3)

(3)

相應(yīng)受控系統(tǒng)為

(4)

定理1 若存在線性反饋控制增益K=diag(k1,k2,k3)，使得

(5)

成立，則受控系統(tǒng)(4)是漸近穩(wěn)定的。

xTPDqx=(x1,x2,x3)P(Dqx1,Dqx2,Dqx3)T=

由(5)知xTPDqx=xTΦx≤0成立，所以根據(jù)引理1，知系統(tǒng)(4)是漸近穩(wěn)定的。

這里采用的方法可以推廣到其他類似類型中，如分?jǐn)?shù)階Newton-Leipnik系統(tǒng)(Zhangetal.,2012)。

4 投影同步

形如(1)的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)都可以寫成如下形式：

Dqx=Ax+g(x)

(6)

其中A為系統(tǒng)的線性部分矩陣，g(x)=(g1(x),…,gn(x))T∈Rn為其系統(tǒng)的非線性部分?？紤](6)作為驅(qū)動系統(tǒng)，則其對應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)為：

Dqy=Ay+g(y)+u(x,y),

(7)

其中，u(x,y)=(u1(x,y),…,un(x,y))∈Rn為實現(xiàn)全狀態(tài)的混合投影同步的控制器。定義誤差為e=y-Λx∈Rn，其中Λ稱為投影同步的投影因子矩陣，則誤差系統(tǒng)為

Dqe=Dqy-ΛDqx=Ay-ΛAx+g(y)-Λg(x)+u(x,y).

根據(jù)誤差的定義，上式可以簡化為如下形式：

(8)

若矩陣Λ=I，I為單位矩陣，則該同步稱為完全同步；若Λ=-1，稱為反相同步；若Λ=al,a≠±1且非零實數(shù)，稱為投影同步；若Λ=diag(λ1,λ2,…,λn)，且λ1,λ2,…,λn是不相同的非零常數(shù)，稱為修正投影同步。上述同步定義均是該文混合投影同步的特例。

推論1 若選取控制器

u(x,y)=(ΛA-AΛ)X-g(y)+Λg(x)+g(e)+Ke,

(9)

其中K=diag(k1,k2,k3)為常實數(shù)矩陣。若反饋控制增益K滿足(5)，則驅(qū)動系統(tǒng)(6)與響應(yīng)系統(tǒng)(7)實現(xiàn)混合投影同步。

證明：將控制器(9)代入誤差系統(tǒng)(8)得

Dqe=Ae+g)(e)+Ke

(10)

5 數(shù)值仿真

仿真中初始值為x(0)=(7.4777,-4.1685,-5.3684)T，y(0)=(0.5,0.5,0.5)T，且控制器均為K=diag(-2,2,3)。系統(tǒng)參數(shù)均取為a=1.46,b=9,c=5,d=006。對受控系統(tǒng)(4)，控制增益K作用下其混沌狀態(tài)均快速收斂到穩(wěn)定態(tài)(圖1)。

圖1 驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的混合投影同步誤差曲線Fig.1 Synchronization error between drive system and response system

針對混合投影同步，若選取投影因子矩陣分別為=Λdiag(0.3,0.3,0.3)與=Λdiag(2,0.5,1)，則其對應(yīng)的驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的相圖如圖2-3所示。

圖2 驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)相圖Fig.2 Phase portrait of drive system and response system

圖3 驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)相圖Fig.3 Phase portrait of drive system and response system

6 結(jié)論

本文通過構(gòu)造一類特殊的矩陣，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，采用線性反饋控制方法實現(xiàn)新的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定化，得到了系統(tǒng)達(dá)到控制目標(biāo)時控制增益所滿足的條件。同時得到了系統(tǒng)實現(xiàn)混合投影同步的控制增益的必要條件。最后通過Matlab仿真研究了不同的投影因子矩陣情形下投影同步，驗證了所采用的控制策略的可行性。

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Linear Feedback Control and Projective Synchronization of a New Fractional-order Chaotic System

WANG Bao-xian1, ZHANG Yan-jie2

(1. China Three Gorges University, College of Science, Yichang HB, 443002, China; 2. State Grid of China Technology College, Jinan SD, 250002, China)

The mechanism of the hybrid projective synchronization of a new fractional-order chaotic system on the basis of the Lyapunov stability theory is explored. By the method of linear feedback control, chaotic states are controlled to the stable states and the crita for control gain are derived. The control gain matrix only needs to statisfy the condition of the linear matrix inequality and the method is easy to implement. The results are also applied to the projective synchronization of a new fractional-order chaotic system and a necessary condition for control gain to achieve the hybrid projective synchronization is obtained. Finally, the chaotic synchronization with different projective matrix is analyzed and the feasibility of control strategy and synchronization method is verified via MATLAB numerical simulation.

feedback control; fractional-order chaotic system; hybrid projective synchroniztion; Lyapunov stability; asymptotic stability

2015-03-24

國家自然科學(xué)基金項目(61304162)；三峽大學(xué)科研啟動基金(KJ2012B075)

王寶賢(1981—), 女, 博士, 講師, 主要從事非線性控制、性能分析等研究工作。E-mail: bxwang2012@126.com

10.3969/j.issn.1674-3504.2015.04.019

TP13

A

1674-3504(2015)04-0454-04