李煜

(西南交通大學(xué)交通運輸與物流學(xué)院)

考慮批量訂購的鐵路客運動態(tài)定價研究

李煜

(西南交通大學(xué)交通運輸與物流學(xué)院)

我國傳統(tǒng)的鐵路客運定價較少考慮旅客需求變化與運輸能力的限制等條件，使用比較單一的價格制定機制，這種方式由于缺乏對市場需求反映，難以試下實現(xiàn)企業(yè)收益的穩(wěn)步提升，同時也使得部分運輸能力閑置。針對固定價格存在的缺陷，在考慮批量訂購的基礎(chǔ)上，針對分類的乘客需求建立了離散時間馬爾科夫定價模型對高鐵客運進行定價決策。應(yīng)用最大凹向包絡(luò)理論，對離散時間的多維馬爾科夫模型進行了優(yōu)化求解，并提出了市場需求變化時價格動態(tài)調(diào)整的策略，最后通過數(shù)值仿真驗證了該模型的正確性。

收益管理;批量訂購;鐵路客運;最大凹向包絡(luò)理論

1 基于馬爾科夫決策的批量訂購動態(tài)定價模型

1.1 問題描述與假設(shè)

(1)鐵路公司銷售一趟從A地直達B地的班列車票，在有限時間內(nèi)完成銷售，班列的座位容量有限。

(2)公司面臨三種不同類型的顧客，第一類顧客為對價格非常不敏感，但對時間非常敏感，購票時選擇購買高價票;第二顧客對價格非常敏感，對時間不敏感，傾向于購買低價票;第三類顧客對時間和價格均輕微敏感，選擇購買中間價位車票。模型不考率低價顧客的升級購買行為。

(3)鐵路公司針對不同車票進行定價，顧客到達后根據(jù)心理保留價格判斷是否會購買車票。同一等級下顧客的心理保留價格獨立同分布，且分布函數(shù)為已知的。

(4)顧客到達后以一定的概率進行批量購買，批量購買享受固定折扣，鐵路公司設(shè)定最大購票數(shù)限制，限制倒賣車票行為。

(5)任何時間的訂座需求是一個非負(fù)隨機變量，并且不同時刻的需求相互獨立。

(6)不考慮超售、退票和no－show(指:顧客購票后未成功乘車)

2.2 符號說明

建立模型需要如下的基本參數(shù)。

C為班列座位容量，即班列可裝載的最大乘客數(shù);t為決策階段，0＜t＜T，t=0表示鐵路公司開始銷售車票，t=T表示銷售的最后一期;i為顧客購買的座位等級，i=(1，2，…，I);pi為鐵路公司針對第i個座位等級制定的價格。Λi=表示第i個座位等級的可行價格集，其中表示可行價格數(shù)目，不失一般性，假定:

(3)pi∈Λi=［1，2，3］，鐵路公司針對第i個座位等級制定的價格從價格集Λi中選取。

N為預(yù)期全部類型車票產(chǎn)品的潛在顧客總數(shù);βi為需求中i類顧客潛在需求的比例;為t時段需要i艙位票的潛在顧客需求到達率(到達率P=N/T，表示單位時間內(nèi)到達的顧客)，且記表示沒有顧客到達的概率;Vt(x)為在t時刻，各路段剩余座位容量為x的情況下，從開始銷售到t時刻鐵路公司能取得的最大期望收益;f(pi)為第i個座位等級顧客在面臨車票價格為pi時購買概率分布函數(shù)，為對應(yīng)的概率累積函數(shù)，記表示顧客購買的概率。記R(p)=P·(1－F(p))·p表示實際收益率。

P(y=j)表示顧客到達后購買j張車票的概率，記P(y=

Di(j)表示第i類顧客批量購買j張車票能享受的折扣。

1.2 模型

由假設(shè)知，鐵路公司的售票期間內(nèi)存在一個馬爾科夫生滅過程。在該過程內(nèi)，公司在離散時間下進行決策。將時間區(qū)間劃分為足夠多的決策階段，使得在單位階段內(nèi)到最多到達一個潛在顧客。鐵路公司通過定價影響消費者需求，在每個階段，分別對不同類型的購票請求進行接受或拒絕，以實現(xiàn)銷售期間內(nèi)總收益最大。

為了便于分析和計算，設(shè)定足夠大的離散時間階段(T個階段)，由此將時間區(qū)域［T，0］劃分成單位長度為1的決策周期。假設(shè)在任意時刻t，公司面臨剩余座位數(shù)量為K，則期望收益Vt(K)可以由前一階段多個狀態(tài)的收益轉(zhuǎn)移而來。鐵路售票公司面臨的馬爾科夫決策過程表示如圖1所示。

圖1 公司決策過程示意圖

由圖知，當(dāng)決策期間內(nèi)沒有顧客到達時，Vt(K)由轉(zhuǎn)移而來;當(dāng)?shù)趇類顧客到達后，因車票售價超出其心理保留價格選擇放棄購買的，由轉(zhuǎn)移而來;當(dāng)顧客到達后決定購買j張車票時，由轉(zhuǎn)移而來。鐵路公司選擇接受或是拒絕購買的條件為(當(dāng)且僅當(dāng))。

故T期間內(nèi)，最大座位容量為C時，鐵路公司能獲得期望收益

式(1)的約束條件為:

(1)V0(x)=0，?x∈［0，T］，這表明銷售期開始前，不論剩余座位多少，期望總收益為零。

(2)Vt(0)=0，這表明，剩余座位為零的情況下，期望總收益為零。

定義一組包含所有產(chǎn)品的價格的數(shù)組為一個價格方案，那么記P*=arg max(VT(C))，P*∈Γ為最優(yōu)價格方案，其中Γ為價格方案的全集。

1.3 求解簡化過程——最大凹向包絡(luò)理論

最大凹向包絡(luò)定理:取任意k≥0，收益函數(shù)V(t，k)對任何預(yù)先確定的價格集合Γ，存在一組價格子集

Γ0∈Γ，Γ0={p1，p2，…，pnum}，滿足:

(1)在價格Γ0下，R(λ)是的λ凹函數(shù)，單調(diào)遞增;

(2)對任意價格Γ1，Γ0?Γ1?Γ，且Γ1≠Γ0，R(λ)不是λ的凹函數(shù)或者遞增函數(shù);

(3)如果pi∈/Γ0，任意時刻pi不能成為決定價值函數(shù)Vt(k)的最優(yōu)價格。

2 算例求解和分析

本節(jié)通過數(shù)值仿真(利用Matlab2010b)展現(xiàn)模型的實際運用過程，分析市場供求關(guān)系、銷售周期長短和最大運力對期望收益的影響。

基本參數(shù)如下:銷售區(qū)間劃分為T=1 000，車廂最大容量C為220，初始潛在顧客需求總數(shù)K為300，三二一等級顧客占總?cè)藬?shù)的比例βi=［0.4，0.5，0.1］

假設(shè)各ODF各座位等級允許的最大折扣Di=［0.8，0.9，0.95］

模型假設(shè)各ODF各等級顧客按照隨機正態(tài)分布在銷售區(qū)間內(nèi)到達。且各產(chǎn)品需求分布概率函數(shù)應(yīng)滿足:1，則t時刻需求到達率，設(shè)fi(t)服從正太分布，且三類顧客的各自的到達概率密度服從圖2(左)，從此可得到單位周期內(nèi)的顧客到達率圖2(右)。

圖2 各類型顧客到達概率密度和到達率圖

假定需求－價格反應(yīng)函數(shù)f(x)服從指數(shù)函數(shù)，從而可以計算出顧客購買的概率為F(x)=φ·1/σ·e(－σ·p/u－1)，其中p代表產(chǎn)品價格，u為消費者心理保留價格的均值，σ為消費者價格彈性，φ為使得最低價格下購買概率為1的修正系數(shù)。

對每個產(chǎn)品，可選價格集為在最低價格和全價間均勻生成的num個價格的數(shù)組，本文仿真中num=10，由此計算出戶Λ'=［pi·Di:(1－Di)pi/num:pi］，可選價格方案Γ的個數(shù)為10^3=1000組。本文使用最大凹向包絡(luò)方法對價格方案集進行精簡，精簡后價格方案包含在數(shù)量為17的子集中，優(yōu)化結(jié)果如圖3所示。

圖3 最大凹向包絡(luò)優(yōu)化結(jié)果示意圖

將精簡后的價格方案子集作為可選價格方案集進行迭代求解，搜索最優(yōu)價格方案P*。

論文假設(shè)模型條件下，不同潛在需求總量下最優(yōu)定價方案與最大期望收益見表1。

表1 不同潛在需求總量下最優(yōu)定價方案與最大期望收益

由表1可知，當(dāng)市場需求潛在總需求較小時，定價應(yīng)采用低價策略以吸引顧客提升運載率，當(dāng)市場需求上升，運能一定的情況下應(yīng)提升定價，并可以優(yōu)先提升價格敏感度較小的顧客人群的客票價格。

當(dāng)K值不變(k=220)，網(wǎng)絡(luò)運輸下動態(tài)定價期望總收益和邊際收益，隨銷售時長T和座位容量C變動情況如圖4。

圖4 總收益、邊際收益隨T、C值變化圖

基于乘客分類的批量訂購動態(tài)定價模型期望總收益特性如圖5。

圖5 總收益隨、邊際收益隨T、C值變化剖面圖

從圖6可以看出，當(dāng)T值不變，期望邊際收益隨C值的增加而減小;當(dāng)C值不變，期望邊際收益隨T值的增加而增減。從原因上分析，這是由于當(dāng)座位數(shù)一定，銷售時長增加可以增大將座位銷售給高價顧客的幾率，從而使單張票的銷售收益增加;而銷售時常一定時，可供銷售的座位越多，人們傾向于支付的購買價格就越低。

3 結(jié)論

本文建立考慮批量訂購的馬爾科夫動態(tài)定價模型，并通過算例實現(xiàn)論證了模型的正確定，這說明動態(tài)定價能有效提升企業(yè)收益，實現(xiàn)有限運輸能力的利益最大化。本文將批量訂購的因素引入到消費者購買行為中，從而避免了僅銷售單張車票情況下潛在消費者流失的問題。本文暫未討論消費者策略性購買行為，未來可進一步深入研究。

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