張征

高三復(fù)習(xí)課不僅要復(fù)習(xí)舊知識(shí)，還要提升學(xué)生的認(rèn)知水平和能力。本節(jié)課重在引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)自主歸納、總結(jié)和探究，提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力和對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。下面從教學(xué)內(nèi)容、學(xué)情分析、教學(xué)過(guò)程、教學(xué)反思幾個(gè)方面進(jìn)行說(shuō)明。

一、教學(xué)內(nèi)容

函數(shù)的奇偶性、周期性和對(duì)稱性是函數(shù)的重要性質(zhì)，是研究函數(shù)的重要工具，也是高考熱點(diǎn)。本節(jié)課是在復(fù)習(xí)了奇偶性、單調(diào)性、周期性及基本初等函數(shù)后的一節(jié)內(nèi)容，也是函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用。

二、學(xué)情分析

學(xué)生對(duì)函數(shù)對(duì)稱性有了基本了解，但缺乏深入的研究，抽象思維能力弱，對(duì)問(wèn)題隱含的“對(duì)稱性”不能正確理解、區(qū)分、運(yùn)用，原因是不能將符號(hào)化的語(yǔ)言向描述性語(yǔ)言或圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)化?；谝陨戏治鲋朴喠吮竟?jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)。

重點(diǎn)：函數(shù)對(duì)稱性等性質(zhì)綜合應(yīng)用和符號(hào)化語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化。

難點(diǎn)：掌握描述性的語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)化。

三、教學(xué)過(guò)程

1.師生共同探究

例.函數(shù)f（x）=x2+bx+c對(duì)于任意t∈R均有f（1+t）=f（1-t），則f（1），f（2），f（4）大小關(guān)系是 。

（1）設(shè)計(jì)意圖

從學(xué)生熟悉的二次函數(shù)對(duì)稱引導(dǎo)其關(guān)注自變量，掌握符號(hào)化語(yǔ)言和描述性語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)化，正確理解f（1+t）=f（1-t），從“關(guān)注函數(shù)自變量具有什么關(guān)系時(shí)函數(shù)值才能相等”的代數(shù)角度分析對(duì)稱。

（2）問(wèn)題啟發(fā)

①現(xiàn)在的問(wèn)題是什么？

②一般的，如何比較幾個(gè)數(shù)的大小？

③這幾個(gè)數(shù)是二次函數(shù)的函數(shù)值，如何比較大?。?/p>

④如何判斷二次函數(shù)的單調(diào)性？

⑤如何理解f（1+t）=f（1-t）這個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式？它反映了函數(shù)的什么性質(zhì)？

（3）反思

學(xué)生一般先畫圖，教師可追問(wèn)上面的問(wèn)題，幫助學(xué)生轉(zhuǎn)化符號(hào)語(yǔ)言：在x軸上，自變量所取的兩個(gè)值在軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是以1為中點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等。對(duì)任意t∈R均有f（1+t）=f（1-t），圖象又有什么特征？顯然圖象關(guān)于x=1對(duì)稱。故函數(shù)在（1，+∞）上單調(diào)遞增，則f（1）

由上例可知：若函數(shù)f（x）滿足f（1+x）=f（1-x）， 則圖象關(guān)于直線對(duì)稱。教師可繼續(xù)啟發(fā)并由學(xué)生自主探究。

追問(wèn)1：若函數(shù)數(shù)f（x）滿足f（2-x）=f（x），圖象有什么特點(diǎn)？你是怎樣發(fā)現(xiàn)的？

追問(wèn)2：你能寫出“函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=a對(duì)稱”的數(shù)學(xué)表達(dá)式嗎？

結(jié)論1：f（x）圖象關(guān)于x=a對(duì)稱的充要條件是f（a+x）=f（a-x），即f（2a-x）=f（x）。

2.小組合作，自主探究

【探究一】

例1.若函數(shù)f（x）滿足f（1+x）=f（1-x），圖象有什么特征？你是怎樣發(fā)現(xiàn)的？

（1）設(shè)計(jì)意圖

引導(dǎo)學(xué)生分析自變量，得到函數(shù)圖象中心對(duì)稱，培養(yǎng)其觀察探究能力與合作精神。充分思考并對(duì)比結(jié)論1符號(hào)化語(yǔ)言的意義，探究自己的結(jié)論。

（2）問(wèn)題啟發(fā)

在x軸上，自變量所取兩個(gè)值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)還是以1為中點(diǎn)，且其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等嗎？如果不是，哪些地方變了？（在x軸上，自變量所取兩個(gè)值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)以1為中點(diǎn)，函數(shù)值互為相反數(shù)，故關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱）。

結(jié)論2：函數(shù)f（x）圖象關(guān)于點(diǎn)（a，0）對(duì)稱的充要條件是f（a+x）+f（a-x）=0，即f（x）+f（2a-x）=0

追問(wèn)：你還能說(shuō)出函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，b）對(duì)稱的充要條件嗎？[f（x）=f（2a-x）=2b]

（3）反思： 學(xué)生類比引例，得出關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的充要條件，教師可指導(dǎo)學(xué)生多表達(dá)。

【探究二】

例2.在R上定義的函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，且f（x）=f（2-x），若f（x）在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，則f（x）（ ）

A.在區(qū)間[-2，-1]上是增函數(shù)，在區(qū)間[3，4]上是增函數(shù)

B.在區(qū)間[-2，-1]上是增函數(shù)，在區(qū)間[3，4]上是減函數(shù)

C.在區(qū)間[-2，-1]上是減函數(shù)，在區(qū)間[3，4]上是增函數(shù)

D.在區(qū)間[-2，-1]上是減函數(shù)，在區(qū)間[3，4]上是減函數(shù)

（1）設(shè)計(jì)意圖

鞏固對(duì)稱性的符號(hào)表達(dá)，引導(dǎo)學(xué)生探究?jī)纱屋S對(duì)稱可得到周期性。

（2）問(wèn)題啟發(fā)

①現(xiàn)在的問(wèn)題是什么？

②一般的，如何判斷函數(shù)的單調(diào)性？

③這個(gè)函數(shù)沒(méi)有給解析式，怎樣判斷它在某區(qū)間上的單調(diào)性？

④畫出示意圖，還能得出什么結(jié)論？為什么會(huì)產(chǎn)生周期？

⑤你能說(shuō)出一個(gè)一般性結(jié)論嗎？

結(jié)論3：若函數(shù)y=f（x）圖象同時(shí)關(guān)于直線x=a和直線x=b成軸對(duì)稱 （a≠b），則y=f（x）是周期函數(shù)，且2a-b是其一個(gè)周期。

（3）反思

教師搭建問(wèn)題臺(tái)階，引導(dǎo)學(xué)生數(shù)形結(jié)合，發(fā)現(xiàn)周期性和對(duì)稱性的關(guān)系。

【探究三】

例3.設(shè)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x+2）=f（x），當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x，則f（7.5）= （ ）

A.0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5

（1）設(shè)計(jì)意圖

引導(dǎo)學(xué)生對(duì)已知一段解析式的函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行探究。發(fā)現(xiàn)具有周期性的奇函數(shù)也具有對(duì)稱性。

（2）問(wèn)題啟發(fā)

①現(xiàn)在的問(wèn)題是：已知自變量的取值求函數(shù)值。

②一般的，如何求函數(shù)值？

③這個(gè)函數(shù)的解析式是已知的嗎？

④只知道函數(shù)在一段區(qū)間的解析式，怎么求其他區(qū)間上的函數(shù)值呢？

（3）反思

高考?？疾榉侄魏瘮?shù)的周期性和對(duì)稱性，學(xué)生利用周期性和奇函數(shù)易得結(jié)果，但畫圖得知函數(shù)有周期且為奇函數(shù)，故得知又有對(duì)稱性。

3.歸納小結(jié)

師生共同總結(jié)，追問(wèn)“我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)習(xí)奇函數(shù)和偶函數(shù)？”目的是研究函數(shù)對(duì)稱性的本質(zhì)，關(guān)注函數(shù)自變量間的關(guān)系，注意符號(hào)化語(yǔ)言的理解和轉(zhuǎn)化，提升學(xué)生對(duì)函數(shù)本質(zhì)的理解。

總之，本節(jié)課學(xué)生通過(guò)師生共同探究、自主探究、總結(jié)函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)函數(shù)的對(duì)稱性達(dá)到更深層次的理解，進(jìn)一步掌握符號(hào)化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和描述性的數(shù)學(xué)語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)化，并能用函數(shù)的思維解決函數(shù)的問(wèn)題。

？誗編輯 李 姣