封欽亞，許藝博，張欣，劉靜華，杜春雨，田玉明

（中國石油大學(xué)（北京）國家重點實驗室，北京102249）

0 引言

國內(nèi)外常規(guī)天然氣的產(chǎn)量不斷下降，開發(fā)的目標已經(jīng)開始轉(zhuǎn)向非常規(guī)資源，例如頁巖儲層中的頁巖氣。大多數(shù)頁巖儲層為天然裂縫儲層，其蘊藏著20%以上的世界油氣儲量［1］，具有非常大的開發(fā)價值。常規(guī)儲層一般由多孔并具有高滲透率的巖石組成，而頁巖通常是一種具有極低滲透率的烴源巖，且頁巖中產(chǎn)生的氣體多為甲烷，一般困于微孔隙空間或者附著在頁巖中的有機物質(zhì)上，不易從中分離出來；所以，從頁巖中開采氣體是相當困難的［2-7］。為了估計頁巖儲層中的可采氣體，就需要一個數(shù)學(xué)模型來描述氣體在頁巖中的流動過程。

在過去的幾年里，雙重介質(zhì)模型已經(jīng)廣泛被用作解釋氣體在頁巖基質(zhì)和裂縫中的流動［5-7］。傳統(tǒng)的雙重介質(zhì)模型假設(shè)所有的基質(zhì)在整個流動系統(tǒng)中具有相同的性能，裂縫具有高的滲透率。雙重介質(zhì)首先是Barenblatt 等［8］1960年引入的，模型假定在基質(zhì)和裂縫中流動為擬穩(wěn)定流；后來，Warren 等［9］延伸了Barenblatt模型，通過瞬態(tài)試井分析，引入2 個無量綱參數(shù)（彈性儲能比、竄流系數(shù)）來分別表示系統(tǒng)的儲存油氣能力、基質(zhì)和裂縫系統(tǒng)中流體流動的難易程度；de Swaan［10］和Ozkan 等［11］分 別 于1976年、1987年 在 假 設(shè) 基 質(zhì) 與裂縫間的流動為不穩(wěn)定流動的基礎(chǔ)上，提出了雙重介質(zhì)模型，但雙重孔隙介質(zhì)的缺陷在于忽略了基質(zhì)中存在微孔隙、基質(zhì)在整個系統(tǒng)中不是均質(zhì)的。

頁巖儲層的天然氣很大一部分來自于頁巖基質(zhì)。然而，頁巖樣品的滲透率太低，以至于在實驗室內(nèi)無法測量氣體從頁巖基質(zhì)到裂縫的流動，因此，一些隱藏的流動通道不易被發(fā)現(xiàn)。為解釋這種現(xiàn)象，近些年學(xué)者們提出來了一些假設(shè)。例如：Javadour 和Civan 等分別于2009年、2010年提出了分子擴散和Knudse 竄流作用［12-13］；F.P.Wang 等［14］2009年 提 出 了 在 頁 巖 基 質(zhì) 巖塊中存在具有滲透性的白云巖石和天然的裂縫。

本文在F.P.Wang 等人假設(shè)的基礎(chǔ)上，針對頁巖氣儲層，提出了一個三重介質(zhì)模型：考慮了頁巖氣吸附作用及一部分頁巖基質(zhì)具有滲透性；假設(shè)每個頁巖基質(zhì)是由具有納米達西滲透率的微裂縫組成；氣體在微裂縫中的流動機制主要是解吸；擴展了原有的瞬態(tài)和擬穩(wěn)態(tài)雙重介質(zhì)頁巖氣模型。新的三重介質(zhì)模型描述了頁巖儲層內(nèi)部氣體的流動行為。

1 頁巖氣吸附機理

頁巖氣與常規(guī)天然氣藏的最主要區(qū)別是頁巖氣主要以吸附狀態(tài)儲存于頁巖基質(zhì)中。頁巖氣藏在孔隙中的解吸、吸附流動過程如圖1所示。

圖1 微孔內(nèi)頁巖氣解吸、擴散、滲流分解過程示意

Langmuir 等溫吸附曲線能描述在恒溫條件下頁巖氣解吸與吸附的平衡關(guān)系，定量描述吸附氣體的壓力和被吸附量之間的關(guān)系。由于吸附是解吸的可逆過程，所以，等溫吸附曲線可以表征頁巖氣的解吸特征。Langmuir 從動力學(xué)的觀點出發(fā)，得出了單分子層吸附的吸附方程，即Langmuir 方程：

式中：VE為單位巖石體積的總吸附量，m3；VL為Langmuir體積，m3/t；pA為Langmuir 壓力，MPa；pL為氣藏壓力，MPa。

2 數(shù)學(xué)模型的建立

三重介質(zhì)模型的假設(shè)條件：

1）人工裂縫具有高滲透率和極小的孔隙度，是頁巖氣唯一流向井筒的介質(zhì)。

2）頁巖基質(zhì)m 具有滲透性和孔隙性（帶有微裂縫），并且向裂縫中提供氣源。

3）頁巖基質(zhì)n 具有微小滲透性和孔隙性，并且既向裂縫又向頁巖基質(zhì)m 提供氣源。

三重介質(zhì)（裂縫、基質(zhì)m、基質(zhì)n）連續(xù)性方程分別為

其中

式中：ρg，ρs分別為氣體和巖石密度，g/cm3；vf，vm分別為氣體在裂縫中的流動速度和氣體在基質(zhì)中的流動速度，cm/s；t 為時間，d；qmf，qnf，qmn分別為基質(zhì)m 系統(tǒng)與裂縫系統(tǒng)、基質(zhì)n 系統(tǒng)與裂縫系統(tǒng)、基質(zhì)m 系統(tǒng)與基質(zhì)n 系統(tǒng)之間的竄流量，m3/d；φf，φm，φn分別為裂縫系統(tǒng)、 基質(zhì)m 系統(tǒng)和基質(zhì)n 系統(tǒng)的孔隙度；下標m，n，f分別代表基質(zhì)m、基質(zhì)n、裂縫。

將上述3 個連續(xù)性方程化簡，并將引入連續(xù)性方程，則簡化裂縫、基質(zhì)m、基質(zhì)n 的連續(xù)性方程分別為

其中

式中：K 為滲透率，μm2；ψ 為擬壓力，MPa2/（mPa·s）；αfm，αfn，αmn分別為系統(tǒng)的形狀因子（與基質(zhì)m、基質(zhì)n和裂縫的幾何形狀、裂縫的密集程度有關(guān)）；p 為壓力，MPa；C，Cgι，Ct分別為壓縮系數(shù)、系統(tǒng)原始壓縮系數(shù)、綜合壓縮系數(shù)，MPa－1；μ 為氣體黏度，mPa·s；ps為巖石顆粒壓力，MPa；M 為氣 體相對分子質(zhì)量，g/mol；Z 為壓縮因子；T 為氣體溫度，K；R 為通用氣體常數(shù)，取值0.008 314 MPa·m3/（kmol·K）。

2 數(shù)學(xué)模型的解

以上建立的頁巖氣三重介質(zhì)數(shù)學(xué)模型是一個復(fù)雜的非線性偏微分方程（組），無法用解析法直接求解，需將這類復(fù)雜的偏微分方程離散化后進行數(shù)值法求解［5-7］。

定義適當?shù)某跏紬l件和邊界條件。初始條件：

外邊界條件：

內(nèi)邊界條件：

式中：ψfD為裂縫無因次擬壓力；ψmD′，ψnD′分別為基質(zhì)m、基質(zhì)n 的無因次擬壓力導(dǎo)數(shù)；rD為無因次距離；tD為無因次時間。

以基質(zhì)m（考慮三維滲流）的連續(xù)性方程為例。

式中：x，y，z 為空間坐標。

1）對式（21）左邊項進行差分。

2）以x 方向為例。

令

于是式（21）變成：

3）形狀因子的簡化。

αfn和αmn使用Warren 和Root 1963年［9-10］定義的：

式中：L 為基質(zhì)巖塊的特征長度，m；w 為裂縫面維數(shù)。

假設(shè)基質(zhì)巖塊呈正方體狀時，巖塊正方體單元的邊長為αs，則w=3，L=αs，于是Ln分別為基質(zhì)巖塊和微基質(zhì)巖塊的長度，m）。對于αfm，使用Wu 等2007年［15］定義的：

式中：A12為單位體積巖石中裂縫和基質(zhì)連接的面積，m2；L12為基質(zhì)長度，m。

將基質(zhì)塊視為由微基質(zhì)塊包圍的交叉網(wǎng)格塊，并且裂縫厚度為l；因此，每個基質(zhì)塊都由長為Ln的微基質(zhì)塊組成，長為Lm［16-17］（見圖2）。

圖2 基質(zhì)理想化網(wǎng)格

由式（21）的簡化分別得到基質(zhì)m、基質(zhì)n 和裂縫的差分方程：

3 井底壓力曲線分析

將式（30）、式（31）和式（32）進行Matlab 編程求解，對以下幾種因素進行討論。

3.1 竄流系數(shù)對井底壓力變化的影響

圖3a、圖3b、圖3c分別表示裂縫與基質(zhì)m 間的竄流系數(shù)λfm、裂縫與基質(zhì)n 間的竄流系數(shù)λfn、基質(zhì)m和基質(zhì)n 之間的竄流系數(shù)λmn對井底壓力的影響，竄流系數(shù)的數(shù)值大小反映了原油在2 種介質(zhì)間流動的難易程度。

圖3 竄流系數(shù)對井底壓力的影響

從圖3中可以看出，竄流系數(shù)λ 越小，出現(xiàn)過渡段時期越晚，但整體形態(tài)不變。這說明：在三重介質(zhì)模型中，當壓力不斷降低，發(fā)生基質(zhì)m 向裂縫的竄流后，也將發(fā)生基質(zhì)n 向裂縫的竄流；基質(zhì)m 和基質(zhì)n 系統(tǒng)只控制著氣體的傳播，它們之間的竄流系數(shù)幾乎對井底壓力沒有影響。

3.2 儲容比對井底壓力變化的影響

圖4a、圖4b、圖4c分別表示裂縫、基質(zhì)m、基質(zhì)n系統(tǒng)的彈性儲容比（各系統(tǒng)儲容系數(shù)與總儲容系數(shù)之比）ωf，ωm和ωn對井底壓力變化的影響。

圖4 彈性儲容比對井底壓力的影響

從圖4a可以看出：裂縫彈性儲容比影響曲線的前半段，其值越小，其第1 個下凹越淺且越窄；ωf影響2條曲線間的關(guān)系，當ωf越小時，其第1 條曲線與第2條曲線的直線間距離就越小，這表明基巖與裂縫間的竄流時間就越長。從圖4b、圖4c可看出，基質(zhì)m、基質(zhì)n 系統(tǒng)的彈性儲容比幾乎對井底壓力沒有影響。

3.3 滲透率比值對井底壓力變化的影響

圖5表示的是裂縫滲透率與基質(zhì)m 滲透率的比值K*對井底壓力的影響。從圖中可以看出，隨著滲透率比值的增大，第1 條曲線和第2 條曲線之間的距離越來越大，同時第1 條曲線在圖上變短且變高，表明基質(zhì)與裂縫之間的竄流時間就越長。由于基質(zhì)n 的滲透率特別小，所以可以忽略不計。

圖5 滲透率比值對井底壓力的影響

4 現(xiàn)場實際應(yīng)用

以四川威遠縣龍馬溪組的一口頁巖氣井為例。首先對這口井的儲層特征、壓裂參數(shù)、生產(chǎn)參數(shù)通過Eclipse 數(shù)值模擬軟件進行歷史擬合，之后采用本文所提出的頁巖氣三重介質(zhì)模型進行模擬，最后與實際數(shù)據(jù)進行對比?；緟?shù)如表1所示。

圖6反映了考慮吸附解吸與不考慮吸附解吸對壓裂頁巖氣井產(chǎn)能動態(tài)曲線的影響。頁巖氣藏考慮吸附解吸比不考慮吸附解吸產(chǎn)量遞減更慢，且生產(chǎn)時間更長，產(chǎn)量更加穩(wěn)定。

表1 儲層參數(shù)

圖6 吸附對產(chǎn)量的影響

通過現(xiàn)在頁巖氣實際數(shù)據(jù)和擬合數(shù)據(jù)進行分析（見圖7），輸入值和擬合值變化規(guī)律基本符合，相對誤差在范圍內(nèi)，可以看出本文所建立的頁巖氣三重介質(zhì)模型基本符合現(xiàn)場應(yīng)用。

圖7 頁巖氣實際數(shù)據(jù)和擬合數(shù)據(jù)分析

5 結(jié)論

1）頁巖氣藏比較復(fù)雜，且基質(zhì)性能不同，本文所建立的三重介質(zhì)模型考慮了頁巖氣吸附性能及微孔隙的存在，并通過離散差分及Matlab 程序進行求解。

2）分別分析了裂縫、基質(zhì)、基質(zhì)系統(tǒng)中的竄流系數(shù)、彈性儲容比、裂縫與基質(zhì)滲透率比值對井底壓力特征曲線的影響：竄流系數(shù)決定出現(xiàn)過渡段時期的早晚，彈性儲容比決定曲線下凹深度與寬度，滲透率比決定2條曲線之間的距離。這些結(jié)果可為以后頁巖氣藏開發(fā)提供試井模型和理論依據(jù)。

3）根據(jù)四川威遠縣龍馬溪組頁巖氣井的現(xiàn)場數(shù)據(jù)，利用求得的模型進行計算。分析表明，實際數(shù)據(jù)與擬合數(shù)據(jù)基本規(guī)律一致。建立的模型得到有效驗證。

［1］Sarma P，Aziz K.New transfer functions for simulation of naturally fractured reservoirs with dual-porosity models ［R］.SPE 90231，2004.

［2］Doddy Abdassah，Iraj Ershaghi.Triple-porosity systems for representing naturally fractured reservoirs［R］.SPE 13409，1986.

［3］Ali Al-Ghamdi，Chen Bo，Hamish Behmanesh，et al.An improved triple-porosity model for evaluation of naturally fractured reservoirs［R］.SPE 132879，2011.

［4］Escobar F H，Saavedra N F，Escorcia G D，et al.Pressure and pressure derivative analysis without type-curve matching for triple porosity reservoirs［R］.SPE 88556，2004.

［5］尹虎，襲問平，王新海.頁巖氣藏試井解釋方法研究［D］.武漢：長江大學(xué)，2013.

［6］李登華，李建忠，王社教，等.頁巖氣藏形成條件分析［J］.天然氣工業(yè)，2009，29（5）：22-26.

［7］陳更生，董大忠，王世謙，等.頁巖氣藏形成機理與富集規(guī)律初探［J］.天然氣工業(yè)，2009，29（5）：17-21.

［8］Barenblatt G I，Zhelto I P，Kochina I N.Basic concepts of the theory of seepage of homogeneous liquids in fissured rocks［J］.Journal of Applied Mathematical Mechanics，1960，24（5）：852-864.

［9］Warren J E，Root P J.The behavior of naturally fractured reservoir［R］.SPE 426，1963.

［10］de Swaan O.Analytic solutions for determining naturally fractured reservoir properties by well testing［R］.SPE 5346，1976.

［11］Ozkan E，Ohaeri U，Raghavan R.Unsteady flow to a well produced at a constant pressure in fractured reservoir ［R］.SPE 19902，1987.

［12］Javadpour F.Nanopores and apparent permeability of gas flow in mudrocks（Shales and Siltstone）［J］.Journal of Canadian Petroleum Technology，2009，48（8）：16-21.

［13］Civan F，Rai C S，Sondergeld C H.Shale-gas permeability and dififfusivity inferred by improved formulation of relevant retention and transport mechanisms［J］.Transport in Porous Media，2010，86（3）：925-944.

［14］Wang F P，Reed R M，A.Pore network and fluid flow in gas shales［R］.SPE 124253，2009.

［15］Wu Y S，Ehlig E C，Qin G，et al.A triple-continuum pressuretransient model for a naturally fractured vuggy reservoir［R］.SPE 110044，2007.

［16］張利軍，程時清，尹紅軍.雙滲三重介質(zhì)油藏試井分析［J］.特種油氣藏，2008，5（15）：56-60.

［17］張冬麗，李江龍，吳玉樹.縫洞型油藏三重介質(zhì)數(shù)值試井模型影響［J］.西南石油大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2010，6（32）：113-120.