徐文星，何騫，戴波，張慧平

（北京石油化工學(xué)院信息工程學(xué)院，北京102617）

引 言

工業(yè)過程中，存在一類難以或無法直接用傳感器測(cè)量的重要參數(shù)，因此軟測(cè)量技術(shù)應(yīng)運(yùn)而生[1]。目前，軟測(cè)量建模方法主要分為3類：純機(jī)理建模方法[2]、基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)建模方法[3-10]及機(jī)理和數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)相結(jié)合的混合建模方法[11-13]。3種方法各有優(yōu)劣，在各自的優(yōu)勢(shì)領(lǐng)域也各有廣泛應(yīng)用。 對(duì)于工業(yè)過程中某些質(zhì)量指標(biāo)的建模，由于經(jīng)過多年的研究，其機(jī)理模型已比較成熟，在移植時(shí)，只需針對(duì)歷史數(shù)據(jù)確定模型參數(shù)即可。 對(duì)于此類問題，目前解決方法有兩類：一是用數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)模型建立參數(shù)模型，此方法更適用于動(dòng)態(tài)模型，對(duì)于穩(wěn)態(tài)模型而言有些大材小用； 另一類則是最常用的基于非線性最小二乘法及其改進(jìn)的參數(shù)擬合[1,11-13]。 此方法實(shí)際上是將最小二乘法模型作為無約束優(yōu)化問題，使用傳統(tǒng)梯度算法進(jìn)行優(yōu)化求解，這種方法的缺點(diǎn)是：①需要人為提供較好的初始可行解；②擬合完成后需要進(jìn)行趨勢(shì)分析，以驗(yàn)證擬合的正確性；③對(duì)于復(fù)雜的問題需要通過遞階的方式解決，即先優(yōu)化該問題的少量獨(dú)立變量，然后將低階問題的解通過近似映射作為高階問題解的起始點(diǎn)。 針對(duì)以上3個(gè)缺點(diǎn)，考慮將趨勢(shì)分析的目標(biāo)和模型參數(shù)取值范圍一起作為模型參數(shù)的約束，形成約束優(yōu)化問題，再選用不依賴于初值的約束優(yōu)化算法。

根據(jù)約束處理機(jī)制的不同，約束優(yōu)化問題的求解主要分為直接法和間接法兩類。無論何種約束處理機(jī)制，隨著群智能的興起，啟發(fā)式智能算法如粒子群優(yōu)化算法（PSO）、模擬退火法（SA）、遺傳算法（EAs）、差分進(jìn)化法（DE）、蟻群算法（ACO）等，都做了各種嘗試，也取得了不少成果[14-19]。其中 PSO算法的研究近年來尤為廣泛[14,18-20]。 經(jīng)典PSO算法易于陷入局部最優(yōu)，收斂速度慢，文獻(xiàn)[14]對(duì)此進(jìn)行了改進(jìn)，將PSO算法與內(nèi)點(diǎn)法和混沌映射相結(jié)合，在加速局部收斂的同時(shí)保持種群多樣性，并引入約束處理機(jī)制，將算法用于約束優(yōu)化問題，取得了較好的效果。但該算法對(duì)于內(nèi)點(diǎn)法的迭代步數(shù)并沒有過多考慮。如何在最大函數(shù)評(píng)價(jià)次數(shù)一定的情況下平衡內(nèi)點(diǎn)法與 PSO算法和混沌映射的搜索比重有待解決。

針對(duì)上述問題，本文在文獻(xiàn)[14]中的RHPSO算法的基礎(chǔ)上，加入內(nèi)點(diǎn)法最大函數(shù)評(píng)價(jià)次數(shù)的自適應(yīng)調(diào)整策略，提出自適應(yīng)混合粒子群約束優(yōu)化算法（AHPSO-C）。 并將其用于淤漿HDPE串級(jí)反應(yīng)過程中熔融指數(shù)軟測(cè)量模型參數(shù)估計(jì)，以驗(yàn)證整個(gè)方法的可行性與優(yōu)越性。

1 混合粒子群約束優(yōu)化算法

1.1 粒子群算法

1.2 混沌映射

因其遍歷性及隨機(jī)性，混沌策略常被用于優(yōu)化[20]，并已多次被融合進(jìn)粒子群算法，幫助粒子逃離局部最優(yōu)。本文采用遍歷性和均勻性較優(yōu)的簡(jiǎn)單分段線性混沌映射（PWLCM），其定義如下

混沌映射子程序（CMS）的步驟如下：

（1）對(duì)于需要進(jìn)行混沌映射的N維變量x，在1～N之間隨機(jī)初始化映射下角標(biāo)i。

（3）將決策變量xi按式（4）映射為 0～1之間的混沌變量cxi

（4）用式（3）更新混沌變量cxi。

（5）將混沌變量cxi按式（5）轉(zhuǎn)換回決策變量xi

1.3 自適應(yīng)內(nèi)點(diǎn)法

本文在Waltz等[21]于2006年提出的一種將線搜索和信賴域迭代步相結(jié)合的內(nèi)點(diǎn)法（IPM）的基礎(chǔ)上，加入內(nèi)點(diǎn)法最大函數(shù)評(píng)價(jià)次數(shù)自適應(yīng)策略。該策略類似于變步長(zhǎng)爬山法。設(shè)內(nèi)點(diǎn)法最大函數(shù)評(píng)價(jià)次數(shù)為 MaxFEs_AIPM，更新步長(zhǎng)為 ss，連續(xù)增加和減少步數(shù)分別為inc和dec。 具體MaxFEs_AIPM更新子算法（MFUM）步驟如下。

（1）初始化MaxFEs_AIPM，ss，inc，dec；

（2）每次IPM搜索后，判斷此次終止條件。

1.4 約束處理機(jī)制

本文采用 Deb等[22]提出的一系列更優(yōu)判定準(zhǔn)則作為約束處理機(jī)制。

首先，按式(6)～式(8)定義約束違反值v。

1.5 自適應(yīng)混合粒子群約束優(yōu)化算法

將 PSO算法中粒子位置更新公式和混沌映射子程序看作迭代過程中粒子全局搜索的兩種可選操作，自適應(yīng)內(nèi)點(diǎn)法作為粒子局部搜索依據(jù)，整個(gè)自適應(yīng)混合粒子群約束優(yōu)化算法可看作是混沌粒子群搜索（CPSO）和自適應(yīng)內(nèi)點(diǎn)法搜索（AIPM）的串聯(lián)迭代過程。 算法步驟如下。

其中，pg表示CPSO過程的全局最優(yōu)解，pg_AIPM表示 AIPM 過程的全局最優(yōu)解，po表示整個(gè)算法HPSO-C過程的全局最優(yōu)解，flag標(biāo)記CPSO過程對(duì)解是否有更新。

2 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果討論

2.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)置

為測(cè)試本文提出的AHPSO-C求解約束優(yōu)化問題的性能，選用文獻(xiàn)[19]中有代表性的 Benchmark函數(shù)（g01～g12），并和文中的混合粒子群優(yōu)化算法（HDPSO）的結(jié)果進(jìn)行比較。 對(duì)應(yīng)問題維數(shù)D由文獻(xiàn)給出，參數(shù)值取和文獻(xiàn)中一致：種群規(guī)模M=D；慣性權(quán)重從0.9線性下降至0.4，加速因子c1=c2=1.49445，速度限制在[0.2(xmin?xmax),0.2(xmax?xmin)]范圍內(nèi)，最大函數(shù)評(píng)價(jià)次數(shù)MaxFEs=30000，CMS子算法中η=1.1，內(nèi)點(diǎn)法最大函數(shù)評(píng)價(jià)次數(shù)MaxFEs_AIPM初始值為5D。

2.2 仿真結(jié)果及分析

對(duì)各測(cè)試函數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)得到的所有解均為可行解。與文獻(xiàn)[19]進(jìn)行結(jié)果比較，如表1所示。

表1給出算法對(duì)Benchmark問題的求解結(jié)果。其中：B表示最優(yōu)值；W表示最差值；M表示平均值。從表中可以看出，對(duì)所有測(cè)試函數(shù)，所提出的AHPSO-C均能找到最優(yōu)解，且所得最好結(jié)果不差于文獻(xiàn)中算法所得最好結(jié)果，證明了算法優(yōu)越的尋優(yōu)能力。觀察其平均解和最差解發(fā)現(xiàn)在除g01、g02、g06、g12以外的所有測(cè)試函數(shù)中均取得了不差于文獻(xiàn)[19]中算法所得到的最好結(jié)果，證明了算法的穩(wěn)定性也比較好。因此，本文所用的Benchmark仿真測(cè)試結(jié)果表明，AHPSO-C是求解約束優(yōu)化問題的一種有效算法。

3 應(yīng)用實(shí)例

以淤漿HDPE串級(jí)反應(yīng)過程中某牌號(hào)熔融指數(shù)軟測(cè)量模型參數(shù)優(yōu)化為例，進(jìn)行應(yīng)用驗(yàn)證。根據(jù)課題組其他成員的研究，淤漿HDPE熔融指數(shù)采用式（9）的形式。

其中，MI為熔融指數(shù)，T為溫度，[H2/C2H4]、[C4H8/C2H4]、[CoCat/C2H4]分別為氫氣、共聚單體丁烯、催化劑與乙烯的進(jìn)料量之比。

采用工廠連續(xù)生產(chǎn)的實(shí)際記錄數(shù)據(jù)優(yōu)化模型參數(shù)。首先對(duì)采集的穩(wěn)態(tài)生產(chǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，去除采集的工業(yè)數(shù)據(jù)中含有的大量噪聲，消除數(shù)據(jù)之間存在滯后性，然后使用處理后的數(shù)據(jù)建最小二乘法模型，并進(jìn)行優(yōu)化完成參數(shù)擬合。文獻(xiàn)[13]中使用Matlab曲線擬合工具進(jìn)行參數(shù)擬合，實(shí)際上是將最小二乘法模型作為無約束優(yōu)化問題，使用傳統(tǒng)梯度算法進(jìn)行優(yōu)化求解。然而改方法存在引言中提到的3個(gè)缺點(diǎn)，因此將樣本數(shù)據(jù)本身對(duì)模型參數(shù)的要求以及[H2/C2H4]、[C4H8/C2H4]和T對(duì)MI的影響趨勢(shì)作為目標(biāo)中的約束條件，形成約束優(yōu)化問題。使用AHPSO-C算法進(jìn)行優(yōu)化。

表1 對(duì)Benchmark尋優(yōu)的結(jié)果比較Table 1 Optimization result comparison on Benchmark

從經(jīng)預(yù)處理后的穩(wěn)態(tài)生產(chǎn)數(shù)據(jù)中取418組一反數(shù)據(jù)和 386組二反數(shù)據(jù)，在K的上下界Kmax= [ 10,10,10,10,10,10]和Kmin=[?10,? 1 0,?10,? 1 0,? 1 0,? 1 0]范圍內(nèi)使用 AHPSO-C算法進(jìn)行擬合，結(jié)果為：

一反熔融指數(shù)模型

二反熔融指數(shù)模型

MI單位為 g·(10 min)?1，T單位為℃，[H2/C2H4]單位為 mol·mol?1，[C4H8/C2H4]單位為mol·mol?1。

將剩下的209組一反數(shù)據(jù)和193組二反數(shù)據(jù)樣本中的各變量值分別代入式(10)和式(11)，計(jì)算MI，并與工廠實(shí)際值對(duì)比，驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確度。與文獻(xiàn)[13]中方法擬合的結(jié)果對(duì)比如表2所示。

表2 兩種方法擬合結(jié)果對(duì)比Table 2 Fitting result comparison of two methods

擬合曲線和校驗(yàn)結(jié)果分別如圖1～圖4所示。虛線是工廠實(shí)際值，點(diǎn)線是使用Matlab非線性最小二乘擬合工具箱的擬合結(jié)果，實(shí)線是AHPSO-C算法優(yōu)化帶約束的最小二乘模型的結(jié)果。

由表2可知，使用AHPSO-C算法優(yōu)化得到的擬合和校驗(yàn)誤差都不高于成熟的基于傳統(tǒng)梯度法的最小二乘擬合所得，甚至更小。由圖1～圖4可見，一反使用 AHPSO-C算法擬合和校驗(yàn)曲線與Matlab工具箱所得基本重合，二反中雖不重合，也差別不大。在較好的擬合和校驗(yàn)結(jié)果的基礎(chǔ)上，由于該算法對(duì)初始解沒有要求，又能夠在優(yōu)化的同時(shí)考慮參數(shù)之間的關(guān)聯(lián)，在實(shí)際應(yīng)用中適用性更廣。

4 結(jié) 論

本文將混沌粒子群優(yōu)化算法與內(nèi)點(diǎn)法相結(jié)合用于求解約束優(yōu)化問題，并提出一種自適應(yīng)策略，自動(dòng)更新內(nèi)點(diǎn)法的最大迭代次數(shù)，平衡算法中的全局和局部搜索。對(duì)經(jīng)典Benchmark函數(shù)的仿真結(jié)果表明，所提自適應(yīng)混合粒子群約束優(yōu)化算法（AHPSO-C）是求解約束優(yōu)化問題的有效算法。

圖1 一反MI回歸結(jié)果Fig.1 Regression result of MI in the first reactor

圖2 一反MI校驗(yàn)結(jié)果Fig.2 Validation result of MI in the first reactor

對(duì)于軟測(cè)量模型參數(shù)估計(jì)問題，針對(duì)傳統(tǒng)梯度法求解非線性最小二乘模型時(shí)存在的3點(diǎn)缺陷，提出將參數(shù)估計(jì)化為約束優(yōu)化問題，使用混合優(yōu)化算法求解的新思路。將所提出算法用于高密度聚乙烯（HDPE）裝置串級(jí)反應(yīng)過程中熔融指數(shù)軟測(cè)量模型參數(shù)估計(jì)，驗(yàn)證了方法的可行性。新方法不僅能夠保持較少的模型誤差，而且無須特別對(duì)初始解進(jìn)行選取，還可以將參數(shù)之間的相關(guān)性作為約束在優(yōu)化的同時(shí)考慮，從而省去擬合后的趨勢(shì)分析。

圖3 二反MI回歸結(jié)果Fig.3 Regression result of MI in the second reactor

圖4 二反MI校驗(yàn)結(jié)果Fig.4 Validation result of MI in the second reactor

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