王金永， 董玉民

（1.青島理工大學 計算機工程學院，山東 青島 266033；2.青島理工大學 網(wǎng)絡中心，山東 青島 266033）

1 粒子群算法和聚類分析的研究背景

1995年，Eberhart和Kennedy在長期觀察鳥群、魚群覓食行為規(guī)律的啟發(fā)下，提出了粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO），該算法是一種基于群智能（Swarm Intelligence）的優(yōu)化算法［1］。鳥群在覓食行為遇到危險信號時，每一只鳥通過合作與競爭產(chǎn)生強大的力量來盡快地取得食物、避開危險。該算法可以根據(jù)當前的搜索情況，動態(tài)調(diào)整其搜索策略。由于算法收斂速度快，全局搜索能力強，需要設(shè)置參數(shù)少，近年來提出了許多改進算法來增強跳出局部極值的能力，受到學術(shù)界的廣泛重視［2］。

由于粒子群算法的優(yōu)良特性，在很多相關(guān)領(lǐng)域引起了對這一新生事物的迅速關(guān)注。首先是在1997年，由Eberhart R C［3］等提出了二進制粒子群算 法。隨 后，Shi Y［4－5］和Eberhart R C［6］在1998年對速度項引入了慣性權(quán)重參數(shù)，提高了算法的收斂性，并在程序運行過程中不斷動態(tài)地調(diào)整慣性權(quán)重來調(diào)節(jié)算法的收斂速度，該方程被稱之為標準的PSO算法［7］。為了改善算法的收斂性，1999年，Clerc等引入了收縮因子，提出了帶收縮因子的CF－PSO算法［8－9］。

聚類分析（cluster analysis）簡稱聚類（clustering），是將數(shù)據(jù)觀測對象逐步劃分成子集的過程，每個子集是一個簇（cluster），通過聚類，結(jié)果是每一個簇中的對象彼此相似，并且與其他簇中的對象不相似。由于簇是數(shù)據(jù)對象的集合，因此數(shù)據(jù)對象的簇可以看作隱含的類。在這種意義下，聚類有時又稱為自動分類。聚類可以自動地發(fā)現(xiàn)大量數(shù)據(jù)的分組，這是聚類分析的突出優(yōu)點。對聚類分析的算法研究也就成為研究的熱點。為了很好地處理分類屬性數(shù)據(jù)，文獻［10］提出一種加權(quán)粗糙聚類算法，該算法聚類結(jié)果不受數(shù)據(jù)樣本輸入順序的影響，根據(jù)粗糙集理論中的信息增益概念自適應地更新聚類過程，來獲取全局最優(yōu)的聚類權(quán)重和聚類劃分。近幾年對數(shù)據(jù)聚類的研究越來越多，出現(xiàn)了一些新型聚類算法，如張莉［11］等提出了基于樣本預處理的核聚類算法，王順久［12］等提出了基于樣本的投影尋蹤聚類算法，王娜［13］等提出了基于流行距離的迭代優(yōu)化聚類算法等。

2 粒子群算法的原理與數(shù)學描述

粒子群算法的基本思想來源于自然界中的鳥群覓食行為，在算法中，每一個優(yōu)化問題的解看作搜索空間中的一只鳥，即“粒子”。算法開始時，首先在可行解空間中隨機初始化一群粒子，即隨機生成初始種群，并且根據(jù)目標函數(shù)計算出每一個粒子的適應度值。每個粒子在空間中飛行的方向和距離由運動的速度決定，一般情況下，就像鳥兒追隨離食物最近的鳥群一樣，粒子也會追隨離最優(yōu)粒子距離最近的粒子群周圍搜索。在每一次的迭代中，粒子將根據(jù)兩個極值來不斷更新迭代，一個是粒子自身經(jīng)歷過的最優(yōu)位置，也就是自身最優(yōu)解，另外一個是整個種群經(jīng)歷過的最優(yōu)位置，也就是全局極值。

為了將粒子群算法實現(xiàn)，需先將算法用數(shù)學形式描述：假設(shè)由n個粒子組成的種群Z＝｛Z1，Z2，…，Zn｝，其中問題的一個解用每一個粒子的位置Zi＝｛zi1，zi2，…，ziD｝來表示，D表示粒子的空間搜索維數(shù)。種群中的每一個粒子通過不斷調(diào)整自己的位置Zi來搜索更新解。在搜索過程中，每一個粒子都能記住自己經(jīng)歷過的最好位置，即搜索到的自身最好解，記做pid，以及整個粒子群經(jīng)歷過的最好的位置，即目前搜索到的群體最優(yōu)解，記做pgd。除了用位置表示粒子信息外，用速度來表示粒子的運動方向，記做Vi＝｛vi1，vi2，…，viD｝，當pid和pgd都找到后，粒子的速度更新情況見式（1），位置更新情況見式（2）［14］。

式中：vid（t＋1）——第i個粒子在第t＋1次迭代中第d維上的速度；

ω——粒子運動的慣性權(quán)重；

η1，η2——加速常數(shù)；

rand（）——0～1之間的隨機數(shù)。

搜索運動過程中，為了防止粒子的運動速度過大，即算法收斂速度過快，可以設(shè)速度上限vmax，當vid（t＋1）≥vmax時，vid（t＋1）＝vmax；當vid（t＋1）≤－vmax時，vid（t＋1）＝－vmax。

從粒子速度更新式（1）和位置更新式（2）可以看出，粒子的運動方向由3部分影響因素決定：自己原有的速度vid（t）、粒子當前位置與自身最佳位置的距離pid－zid（t）、粒子當前位置與群體最佳位置的距離pgd－zid（t），并分別設(shè)置每一部分的權(quán)重來表示相對重要性，分別由權(quán)重系數(shù)ω，η1，η2表示，當找到足夠好的最優(yōu)解或達到最大迭代次數(shù)時，算法結(jié)束。影響粒子運動方向的3部分影響因素的加權(quán)求和示意圖如圖1所示。

圖1 3種移動方向的加權(quán)求和示意圖

3 粒子群算法的流程描述

經(jīng)過了解粒子群算法的概念、基本原理和數(shù)學描述，下面介紹粒子群算法的基本流程，如圖2所示。

圖2 算法流程圖

從粒子群算法流程圖可以看出，粒子群算法參數(shù)相對較少，數(shù)學原理簡單，迭代循環(huán)簡單易懂，算法易于實現(xiàn)。為了描述算法流程，需要先定義幾個參數(shù)和函數(shù)，先假定粒子群種群規(guī)模為n。

設(shè)Zi＝｛zi1，zi2，…，ziD｝表示第i個粒子的位置；

fitness（Zi）表示求第i個粒子的解，也就是適應度函數(shù)；

Vi＝｛vi1，vi2，…，viD｝表示第i個粒子的速度向量；

pid表示自身搜索到的最優(yōu)解，即第i個粒子經(jīng)歷到的最優(yōu)位置；

pgd表示全局搜索到的最優(yōu)解，即種群中適應度最高的最優(yōu)位置。

下面對算法流程圖2做詳細說明：

第1步：初始化粒子群。

1）：隨機初始化種群，隨機初始化粒子位置Zi＝｛zi1，zi2，…，ziD｝；

2）隨機初始化粒子速度Vi＝｛vi1，vi2，…，viD｝；

3）計算適應度函數(shù)fitness（Zi），并令pid＝zid，i＝1，2，…，n；d＝1，2，…，D；

4）初始化全局最優(yōu)解pgd，選擇種群中的適應度函數(shù)值最高的粒子的位置向量初始化pgd，i＝1，2，…，n。

第2步：按照下面步驟算法循環(huán)迭代，直到滿足算法結(jié)束的條件為止。

1）選擇恰當?shù)乃俣葢T性因子ω；

2）計算群體中所有粒子的適應度函數(shù)值fitness（Zi），當出現(xiàn)個體適應度函數(shù)值大于當前個體最優(yōu)適應度函數(shù)值時，即fitness（zid）＞fitness（pid），令pid＝zid；

3）當種群中個體最優(yōu)值pid大于當前群體最優(yōu)值 時，則 更 新pgd的 值，即fitness（pid）＞fitness（pgd），令pgd＝pid；

4）依據(jù)式（1）和式（2）不斷更新每一個粒子的速度和位置，即更新vid和zid的值。

4 粒子群算法的參數(shù)分析

在基本粒子群算法的數(shù)學描述中（見式（1）和式（2）），主要有3個影響決定粒子速度和位置的參數(shù)，分別是速度慣性權(quán)重ω、速度調(diào)節(jié)參數(shù)η1，η2，參數(shù)的選擇對粒子群算法的性能和效率有很大的影響，ω表示粒子從當前時刻到下一時刻保持的運動慣性，η1，η2表示粒子向自身當前最優(yōu)位置pid和群體當前最優(yōu)位置pgd運動的加速權(quán)重。下面分析3個系數(shù)表示的意義：如果慣性權(quán)重ω＝0，那么說明粒子的運動速度沒有慣性，不受當前運動速度的影響，粒子群將收斂到當前的全局最優(yōu)位置，不會再去搜索更優(yōu)解。如果參數(shù)η1＝0，那么說明不會追隨自身最優(yōu)位置，粒子失去“自我認知”能力，只具有“社會認知”能力，此時粒子群收斂速度很快，同時容易陷入局部極值。如果參數(shù)η2＝0，那么說明粒子失去“社會認知”能力，只具有“自我認知”能力，這時候相當于多個粒子各自獨立搜索，很難搜索收斂到全局最優(yōu)解。通過分析得知，3個參數(shù)都會影響算法的搜索效率，針對不同的問題，選擇適合的參數(shù)才能取得更好的收斂速度和穩(wěn)定性，根據(jù)大量實踐經(jīng)驗，令ω取0～1之間的隨機數(shù)，η1，η2分別取2，可以取得較好的效果。

5 粒子群算法在數(shù)據(jù)聚類中的應用

設(shè)N個樣品構(gòu)成的樣品集X＝｛Xi，i＝1，2，…，N｝，其中Xi為n維特征向量，用表示第j個聚類的中心，用表示樣品Xi到對應的聚類中心的歐氏距離，聚類問題就是要找到一個劃分ω＝｛ω1，ω2，…，ωM｝，使得總的類內(nèi)離散度和J達到最?。?5］：

聚類準則函數(shù)J即為各類樣品到對應聚類中心的距離的總和。

當聚類中心確定時，可以由最近鄰法則決定聚類的劃分。即對樣品Xi，若第j類的聚類中心滿足，就是樣品Xi與聚類中心之間的距離是所有樣品與聚類中心距離的最小值，見式（4），則樣品Xi屬于聚類ωj。

在用粒子群優(yōu)化算法求解聚類問題時，每一個粒子就是問題的一個可行解，所有的粒子組成粒子群（也就是解集）。根據(jù)對聚類結(jié)果理解的不同，對解集的描述可以有兩種形式：第1種是類ω1，ω2，…ωM為解集，也就是聚類結(jié)果；第2種是以中心集合（j＝1，2，…，M）為解集，即聚類結(jié)果。論文中采用第2種形式，用基于聚類中心集合作為聚類問題的對應解，也就是說解集是由M個聚類中心組成的，M是已知的聚類數(shù)目。

根據(jù)粒子群算法的數(shù)學描述式（1）和式（2），可以得到粒子i的速度和位置更新公式：

根據(jù)已經(jīng)定義好的粒子群結(jié)構(gòu)，采用粒子群聚類算法便可以求得聚類問題的最優(yōu)解。通過剛才介紹粒子群聚類算法的原理、算法描述和算法實現(xiàn)步驟，通過編寫程序，并且在MATLABR2013a編程環(huán)境寫運行，可以觀察分析粒子群算法的具體應用。首先給出粒子群聚類算法的核心代碼，第一大模塊是根據(jù)式（5）和式（6）更新粒子的位置和速度代碼［16］：

第二大模塊是利用距離的平方和的平方根來度量粒子之間的距離，具體代碼如下：

第三大模塊是求粒子的適應度，根據(jù)粒子群聚類算法的粒子適應度更新條件，適應度取歐式聚類的倒數(shù)，程序代碼如下：

下面對某地區(qū)的煤層地質(zhì)條件數(shù)據(jù)，應用粒子群優(yōu)化算法進行聚類分析，根據(jù)不同煤層塊段的特征：平均厚度、煤層傾角、離差系數(shù)、煤層合格標準、含矸系數(shù)等進行分類，聚類后的數(shù)據(jù)可以用于指導煤礦的開采，提高煤礦開采的安全性和效率。

各煤層塊段的特性指標值見表1。

表1 各煤層塊段的特性指標值

程序中設(shè)定樣本數(shù)據(jù)的聚類數(shù)目為K＝3，維數(shù)D＝5，通過運行程序，pso聚類的全局最優(yōu)位置、函數(shù)適應度如下，并且繪制了函數(shù)適應度曲線。

實驗目的：對上述實驗數(shù)據(jù)應用粒子群聚類算法，在MATLABR2013a編程環(huán)境下運行聚類算法程序，觀察聚類效果。

實驗的適應度函數(shù)是：result＝dis；%適應度函數(shù)。

粒子群聚類算法中“函數(shù)適應度－迭代次數(shù)”曲線如圖3所示。

圖3 粒子群聚類算法中“函數(shù)適應度－迭代次數(shù)”曲線

1）當?shù)螖?shù)MaxDT＝100時，迭代次數(shù)－適應度值曲線見圖3（a）。

最后結(jié)果是：ans＝3.240801487577032e－04。

2）當?shù)螖?shù)MaxDT＝200時，迭代次數(shù)－適應度值曲線見圖3（b）。

最后結(jié)果是：ans＝1.617915530278782e－04。

3）當?shù)螖?shù)MaxDT＝500時，迭代次數(shù)－適應度值曲線見圖3（c）。

最后結(jié)果是：ans＝6.465458242701003e－05。

實驗結(jié)果分析：由于“w＝1－t／MaxDT”，即慣性因子與迭代次數(shù)有關(guān)，進而影響粒子速度更新公式“v（i，：）＝w＊v（i，：）＋c1＊rand＊（y（i，：）－x（i，：））＋c2＊rand＊（pg－x（i，：））；”，也就影響了粒子的位置“pos（i，：）＝x（i，：）＋v（i，：）”，最終也會影響粒子之間的歐氏距離，也就是實驗的適應度函數(shù)是：“result＝dis；%適應度函數(shù)”，所以圖3中的3幅圖像的初始適應度有差別，但是隨著迭代次數(shù)的增加，都在不斷的減小。從3次（迭代次數(shù)分別是100、200、500）程序運行情況可以得出：適應度ans即result代表樣品和聚類中心的歐氏距離，隨著迭代次數(shù)越大，函數(shù)的適應度ans越小，最終趨于零。說明樣品與聚類中心的距離不斷減小，當?shù)螖?shù)大約為500時，適應度測量函數(shù)歐式距離趨于零，數(shù)據(jù)的聚類效果越好。

6 K－均值聚類算法思想

粒子群優(yōu)化算法的缺點是易陷入局部極值點；全局搜索能力強，但是搜索精度不高；PSO算法同時記憶位置和速度信息，高效的信息共享機制可能導致粒子尋優(yōu)時都移向某個全局最優(yōu)點。粒子群算法的優(yōu)點是收斂速度較快；全局搜索能力強，能夠有效避免早熟；粒子群中多個粒子同時搜索，具有并行性；需要設(shè)置的參數(shù)較少，因此算法簡單，易于實現(xiàn)。

K－均值算法思想簡單易行，是一種傳統(tǒng)的聚類分析方法，但是當數(shù)據(jù)中存在離群點時，K－均值聚類效果會更不理想，K－均值的聚類結(jié)果受初始聚類中心的選擇影響較大，如果初始聚類中心選擇不當，算法可能收斂于一般結(jié)果。認識到粒子群算法和K－均值聚類算法各自的優(yōu)缺點之后，可以設(shè)想將兩種算法都進行改進結(jié)合，充分利用各自的優(yōu)點，避開兩種算法的缺點，融合并利用全局搜索能力較強的粒子群優(yōu)化算法和局部尋優(yōu)能力較強的K－均值聚類算法，提出了一種基于K－均值的粒子群優(yōu)化聚類算法，該算法充分優(yōu)化了K－均值聚類算法，提高了局部搜索和全局搜索的能力，加快了算法的收斂速度［17］。

K－均值聚類基本思想是：首先初始化數(shù)據(jù)，隨機選擇K個聚類中心，然后按照歐氏距離緊鄰原則，根據(jù)每一個樣品與初始聚類中心的相似程度重新劃分聚類；計算該類所有元素的平均值，重新確定新的聚類中心；逐步依次迭代，直到聚類中心不再變化。假設(shè)模式樣本集為X＝｛Xi，i＝1，2，…，n｝，其中Xi為D維模式向量，聚類問題就是要找到一個劃分ω＝｛ω1，ω2，…，ωm｝，滿足下式

并且使得總的類間離散度和式（8）達到最?。?/p>

J——各類樣本到對應聚類中心的歐氏距離的總和。

7 基于K－均值的粒子群聚類算法流程及其應用

算法首先需要根據(jù)近鄰法則，確定粒子的位置編碼和各類的聚類中心；然后根據(jù)聚類劃分，按照式（8）計算類內(nèi)離散度和J；最后計算粒子的適應度函數(shù)之和fitness，當適應度越大，說明聚類效果越好。所以基于K－均值的粒子群聚類算法描述如下：

1）初始化種群。在初始化粒子群時，現(xiàn)將每一個樣品隨機對應于某一類，并作為初始劃分，計算初始粒子的位置編碼，即計算各類的聚類中心；初始化粒子的速度；計算粒子的適應度；反復進行N次，生成N個初始化的粒子群。

2）將粒子現(xiàn)在的適應度值和經(jīng)歷過的最好位置pid的適應度值進行比較，及時更新pid的信息。

3）將粒子現(xiàn)在的適應度值和種群經(jīng)歷過的最好位置pgd的適應度值進行比較，及時更新pgd的信息。

4）根據(jù)式（1）和式（2）不斷調(diào)整粒子的速度和位置。

5）對新個體進行K－均值聚類優(yōu)化，按照下面兩步進行K－均值優(yōu)化：

①根據(jù)最近鄰法則，按照粒子的聚類中心編碼，確定對應粒子的聚類劃分；

②更新粒子的適應度值，計算新的聚類中心，更新原來的粒子編碼。由于K－均值聚類具有較強的局部搜素能力，此時引入K－均值優(yōu)化后的粒子群聚類算法可以得到很好的改善，提高了算法的收斂速度和搜索效率。

6）不斷迭代，如果達到最大迭代次數(shù)或者聚類中心不再發(fā)生變化，則算法結(jié)束，否則轉(zhuǎn)到步驟2）繼續(xù)迭代。

基于K－均值粒子群優(yōu)化算法的核心代碼如下［16］：

%更新粒子的速度和位置

對表1中的數(shù)據(jù)，輸出的適應度－迭代次數(shù)可以形象的表示隨著迭代次數(shù)的增加，聚類效果的變化過程如圖4所示。

圖4 基于K－均值粒子群優(yōu)化算法運行圖

實驗結(jié)果：

1）當?shù)螖?shù)為50次時（見圖4（a）），實驗結(jié)果如下：

fpclu＝3 2 1 3 3 1 1 1 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 1

說明在s20×5數(shù)據(jù)中，第1、4、5、10、12、14、16、18行數(shù)據(jù)歸為一類；第2行數(shù)據(jù)歸為一類；第3、6、7、8、9、11、13、15、17、19、20行數(shù)據(jù)歸為一類。輸出的適應度值為：

kfitness＝2.158006918671278e－04。

2）當?shù)螖?shù)為200次時（見圖4（b）），實驗結(jié)果如下：

fpclu＝2 2 3 2 2 3 3 3 3 2 3 2 3 2 3 2 1 2 1 3

說明在s20×5數(shù)據(jù)中，第1、2、4、5、10、12、14、16、18行數(shù)據(jù)歸為一類；第3、6、7、8、9、11、13、15、20行數(shù)據(jù)歸為一類；第17、19行數(shù)據(jù)歸為一類。輸出的適應度值為：

kfitness＝1.412634231439157e－04。

3）迭代次數(shù)為300次時（見圖4（c）），結(jié)果如下：

kpclu＝1 1 2 1 1 2 3 3 3 1 2 3 2 1 2 1 2 1 2 3

說明在s20×5數(shù)據(jù)中，第1、2、4、5、10、14、16、18行數(shù)據(jù)歸為一類；第3、6、11、13、15、17、19行數(shù)據(jù)歸為一類；第7、8、9、12、20行數(shù)據(jù)歸為一類。輸出的適應度值為：

kfitness＝5.077943793714523e－05。

從圖4可以看出，輸出的適應度－迭代次數(shù)的增加，聚類結(jié)果不斷得到優(yōu)化，但是相對于粒子群聚類，改進后的聚類算法能夠在較少的迭代次數(shù)內(nèi)完成聚類，說明基于K－均值的粒子群聚類算法更加優(yōu)秀。在前面介紹的粒子群聚類算法中（見圖3），需要經(jīng)過大約500次的迭代，聚類結(jié)果相對穩(wěn)定，才滿足程序結(jié)束條件；而在基于K－均值的粒子群聚類算法中，在較少的迭代次數(shù)內(nèi)（大約300次）就達到聚類結(jié)果的穩(wěn)定，程序結(jié)束，較好地完成了數(shù)據(jù)聚類。

8 結(jié) 語

闡述了粒子群算法的原理，以及在數(shù)據(jù)聚類中的應用。通過分析和論述，可以看到雖然粒子群算法出現(xiàn)的相對較晚，在短短的20年發(fā)展歷程中，展現(xiàn)出強大的生命力和研究潛力，但是算法自身存在一些缺點，比如容易陷入局部極值、對離散的問題處理不佳等原因，后期出現(xiàn)了很多對基本粒子群算法的改進。粒子群算法是一種仿生算法，自身具備的一些優(yōu)秀的進化特點使其成為智能優(yōu)化領(lǐng)域的一個研究熱點。但是由于粒子群算法的數(shù)學基礎(chǔ)相對薄弱，對這個新興的智能優(yōu)化算法的研究需要長期的不斷完善的過程。

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