陳軍偉， 常天慶， 馬殿哲， 朱 祺， 張 林

(1. 裝甲兵工程學(xué)院控制工程系， 北京 100072； 2. 北京特種車(chē)輛研究所， 北京 100072；3. 工程兵學(xué)院工程裝備管理與保障系， 江蘇 徐州 221004)

基于作戰(zhàn)效能預(yù)測(cè)的坦克分隊(duì)火力部署方法

陳軍偉1， 常天慶1， 馬殿哲2， 朱 祺2， 張 林3

(1. 裝甲兵工程學(xué)院控制工程系， 北京 100072； 2. 北京特種車(chē)輛研究所， 北京 100072；3. 工程兵學(xué)院工程裝備管理與保障系， 江蘇 徐州 221004)

針對(duì)坦克分隊(duì)的作戰(zhàn)特點(diǎn)，對(duì)其火力部署方法、內(nèi)容進(jìn)行了分析，建立了一種基于排隊(duì)論的坦克分隊(duì)作戰(zhàn)效能預(yù)測(cè)模型，給出了該模型中系統(tǒng)損失概率PM的求解方法，對(duì)不同作戰(zhàn)態(tài)勢(shì)下2種典型排隊(duì)模型的作戰(zhàn)效能進(jìn)行了仿真計(jì)算。結(jié)果表明：通過(guò)求解模型可預(yù)測(cè)不同火力部署方法的作戰(zhàn)效能，實(shí)現(xiàn)了基于作戰(zhàn)效能的火力部署預(yù)測(cè)。

坦克分隊(duì)；作戰(zhàn)效能預(yù)測(cè)；火力部署

坦克分隊(duì)火力部署方法主要研究指揮員如何根據(jù)敵我雙方所處態(tài)勢(shì)，合理確定坦克分隊(duì)配屬的武器類(lèi)型、數(shù)量和打擊敵人時(shí)所使用的戰(zhàn)斗隊(duì)形，是坦克分隊(duì)火力優(yōu)化技術(shù)的重要研究?jī)?nèi)容[1]。目前，有關(guān)坦克分隊(duì)火力部署方法的文獻(xiàn)報(bào)道很少。我軍坦克分隊(duì)指揮員仍主要依靠經(jīng)驗(yàn)判斷進(jìn)行火力部署，因此，迫切需要研究一種科學(xué)有效的火力部署方法，以克服經(jīng)驗(yàn)判斷法的缺點(diǎn)，完善坦克分隊(duì)火力優(yōu)化技術(shù)。

合理進(jìn)行坦克分隊(duì)火力部署的關(guān)鍵是建立一種面向火力部署的作戰(zhàn)效能預(yù)測(cè)模型，然后根據(jù)模型求解結(jié)果判斷火力部署的優(yōu)劣，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)基于作戰(zhàn)效能預(yù)測(cè)的火力部署。羊彥等[2]基于整數(shù)規(guī)劃預(yù)測(cè)了對(duì)空導(dǎo)彈協(xié)同防御模式的作戰(zhàn)效能，但其模型的實(shí)時(shí)性不高。賀平等[3]采用Monte-Carlo法對(duì)多層、多級(jí)導(dǎo)彈防御體系的作戰(zhàn)效能進(jìn)行了預(yù)測(cè)，但其需要大量演算才能得到較精確的結(jié)果。曹雷等[4]基于愛(ài)爾蘭排隊(duì)系統(tǒng)理論構(gòu)建了多級(jí)和協(xié)同防御模式下的作戰(zhàn)效能預(yù)測(cè)模型，并比較了2種典型排隊(duì)模型的作戰(zhàn)效能，但其模型未考慮作戰(zhàn)中存在的對(duì)抗性因素。

筆者針對(duì)坦克分隊(duì)作戰(zhàn)特點(diǎn)，基于排隊(duì)論建立了一種作戰(zhàn)效能預(yù)測(cè)模型，為坦克分隊(duì)實(shí)現(xiàn)基于作戰(zhàn)效能預(yù)測(cè)的戰(zhàn)前火力部署提供了理論參考。

1 坦克分隊(duì)火力部署分析

1.1 坦克分隊(duì)火力部署的主要任務(wù)

由于戰(zhàn)前分隊(duì)級(jí)指揮員難以改變其配屬的武器類(lèi)型、數(shù)量和構(gòu)成，因此，分隊(duì)指揮員最重要的火力部署任務(wù)就是在戰(zhàn)前的較短時(shí)間內(nèi)確定運(yùn)用何種戰(zhàn)斗隊(duì)形迎擊敵人。坦克分隊(duì)常用的戰(zhàn)斗隊(duì)形有一字隊(duì)形、三角隊(duì)形和梯形隊(duì)形3種[5]，其中：一字隊(duì)形便于發(fā)揮火力和首次打擊力量，但打擊縱深較差；三角隊(duì)形與梯形隊(duì)形便于相互掩護(hù)，保護(hù)兩翼或一翼安全，可形成對(duì)敵多輪次打擊，但削弱了單次打擊力量。

1.2 坦克分隊(duì)?wèi)?zhàn)斗隊(duì)形部署的影響因素

影響坦克分隊(duì)?wèi)?zhàn)斗隊(duì)形部署的因素主要分為5類(lèi)：分隊(duì)在上級(jí)部隊(duì)隊(duì)形中所處地位、作戰(zhàn)環(huán)境、分隊(duì)作戰(zhàn)能力、敵方態(tài)勢(shì)和后勤保障能力。其中：分隊(duì)在上級(jí)部隊(duì)隊(duì)形中所處地位可直接決定戰(zhàn)斗隊(duì)形的部署，如分隊(duì)位于上級(jí)隊(duì)形編制內(nèi)部時(shí)，兩翼安全有保障，一般采用一字戰(zhàn)斗隊(duì)形迎擊敵人；位于上級(jí)隊(duì)形編制兩翼的分隊(duì)采用梯形戰(zhàn)斗隊(duì)形迎擊敵人，以便保護(hù)側(cè)翼安全。作戰(zhàn)環(huán)境有時(shí)也可直接決定戰(zhàn)斗隊(duì)形的部署，如：在谷底、狹路進(jìn)攻時(shí)，由于展開(kāi)地域面積有限，只能采用三角戰(zhàn)斗隊(duì)形對(duì)敵打擊。

在信息化條件下的現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)，坦克分隊(duì)更多地承擔(dān)了獨(dú)立作戰(zhàn)的使命。此時(shí)，如果作戰(zhàn)環(huán)境允許，戰(zhàn)斗隊(duì)形部署需要更多地考慮可能實(shí)現(xiàn)的作戰(zhàn)效能。坦克分隊(duì)火力部署影響因素及其評(píng)價(jià)指標(biāo)如圖1所示。

圖1 坦克分隊(duì)火力部署影響因素及其評(píng)價(jià)指標(biāo)

2 基于排隊(duì)論的作戰(zhàn)效能預(yù)測(cè)模型

2.1 評(píng)價(jià)指標(biāo)的抽象與量化

設(shè)作戰(zhàn)背景為敵我雙方處于交戰(zhàn)前的某一時(shí)刻，坦克分隊(duì)可獲得所屬武器裝備的各項(xiàng)技術(shù)狀況，上級(jí)指揮機(jī)構(gòu)偵察到敵人數(shù)量、分布、武器類(lèi)型等信息，并已將信息下發(fā)到坦克分隊(duì)。

2.1.1 敵方態(tài)勢(shì)

戰(zhàn)前，分隊(duì)指揮員根據(jù)上級(jí)敵情通報(bào)和分隊(duì)發(fā)現(xiàn)的信息，結(jié)合作戰(zhàn)環(huán)境進(jìn)行敵方態(tài)勢(shì)判斷。判斷主要圍繞敵人的兵力數(shù)量、種類(lèi)、作戰(zhàn)能力、部署情況展開(kāi)，目的是獲取敵方具有最大戰(zhàn)場(chǎng)價(jià)值的武器、某一時(shí)間段內(nèi)可能發(fā)現(xiàn)的目標(biāo)數(shù)量等戰(zhàn)斗信息，為戰(zhàn)斗部署提供依據(jù)。對(duì)上述因素的抽象量化包括如下3個(gè)方面。

1) 目標(biāo)數(shù)量、種類(lèi)和戰(zhàn)場(chǎng)價(jià)值。設(shè)敵方共有k類(lèi)m個(gè)目標(biāo)，構(gòu)成目標(biāo)集T={Ti,i=0，1,2,…,m}。交火前可認(rèn)為同一類(lèi)目標(biāo)的戰(zhàn)場(chǎng)價(jià)值相同，令第l類(lèi)目標(biāo)的戰(zhàn)場(chǎng)價(jià)值為vl(l=1,2,…,k)，并規(guī)定v1>v2>…>vk。

2) 目標(biāo)被發(fā)現(xiàn)的概率。在坦克分隊(duì)殺傷區(qū)域內(nèi)，某個(gè)目標(biāo)被發(fā)現(xiàn)的概率服從參數(shù)為λ的泊松分布，由于k類(lèi)目標(biāo)被發(fā)現(xiàn)的概率相互獨(dú)立，因此每類(lèi)目標(biāo)被發(fā)現(xiàn)的概率仍服從參數(shù)分別為λ1,λ2,…,λk的泊松分布，且λ=λ1+λ2+…+λk。則t時(shí)刻有x個(gè)目標(biāo)被發(fā)現(xiàn)的概率為

(1)

式中：Xt為時(shí)刻t在殺傷區(qū)目標(biāo)被發(fā)現(xiàn)的隨機(jī)數(shù);λ為單位時(shí)間(本文取1 s)內(nèi)發(fā)現(xiàn)的目標(biāo)數(shù)量。事件Xt=λ發(fā)生的概率最大，則當(dāng)Xt≠λ時(shí)發(fā)生的概率都會(huì)減小。顯然λ與目標(biāo)密度、機(jī)動(dòng)能力以及隱蔽情況相關(guān)。

3) 目標(biāo)待射擊時(shí)間。若目標(biāo)被發(fā)現(xiàn)時(shí)，所有武器均處于射擊狀態(tài)，則目標(biāo)選擇等待射擊。武器完成射擊并獲得射擊該目標(biāo)命令后，射擊等待目標(biāo)。等待射擊的目標(biāo)可能會(huì)在這一段時(shí)間內(nèi)逃離或隱藏，分隊(duì)將失去射擊目標(biāo)的機(jī)會(huì)。目標(biāo)的射擊等待時(shí)間服從參數(shù)為γ的負(fù)指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)為

(2)

式中：tw為目標(biāo)等待時(shí)間的隨機(jī)數(shù)；γ為目標(biāo)平均等待時(shí)間的倒數(shù)。實(shí)踐中，對(duì)某個(gè)事件發(fā)生所需的等待時(shí)間往往被看作近似服從負(fù)指數(shù)分布。

另外，如果存在多個(gè)目標(biāo)等待射擊時(shí)，應(yīng)首先射擊戰(zhàn)場(chǎng)價(jià)值較大的目標(biāo)，令λm為等待射擊目標(biāo)中戰(zhàn)場(chǎng)價(jià)值最大的目標(biāo)單位時(shí)間內(nèi)被發(fā)現(xiàn)的數(shù)量。

2.1.2 己方作戰(zhàn)能力

戰(zhàn)前，分隊(duì)指揮員根據(jù)平時(shí)掌握的情況，結(jié)合各武器平臺(tái)上報(bào)的狀態(tài)信息，判斷己方作戰(zhàn)能力。主要內(nèi)容包括武器數(shù)量、火力、存活能力等各項(xiàng)技術(shù)狀況，目的是掌握火力情況、防御能力、機(jī)動(dòng)能力，為作戰(zhàn)部署提供依據(jù)。對(duì)上述因素的抽象量化包括如下3個(gè)方面。

1) 武器數(shù)量和射擊時(shí)間。設(shè)己方有n個(gè)火力單元參與射擊，構(gòu)成武器集W={Wj,j=0,1,2,…,n}。武器在完成一次射擊后立刻觀察結(jié)果，指揮員根據(jù)打擊效果安排武器繼續(xù)射擊該目標(biāo)或是轉(zhuǎn)火射擊其他目標(biāo)。射擊一個(gè)目標(biāo)所用的時(shí)間服從參數(shù)為μ的負(fù)指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)為

(3)

式中：ts為武器射擊一個(gè)目標(biāo)所用的隨機(jī)時(shí)間；μ=1/tf，其中tf為打擊一個(gè)目標(biāo)的平均射擊時(shí)間。武器射擊時(shí)間的分布函數(shù)在平均射擊時(shí)間時(shí)概率最大，射擊時(shí)間不等于平均射擊時(shí)間的概率都會(huì)減小。

3) 武器生存能力。設(shè)處于前方梯隊(duì)的武器在戰(zhàn)場(chǎng)上存活的時(shí)間tl服從參數(shù)為α1的負(fù)指數(shù)分布，后方梯隊(duì)武器戰(zhàn)場(chǎng)存活時(shí)間服從參數(shù)為α2的負(fù)指數(shù)分布，α1、α2均為平均存活時(shí)間的倒數(shù)。

2.1.3 后勤保障能力和作戰(zhàn)環(huán)境

設(shè)武器受損后立刻進(jìn)行戰(zhàn)場(chǎng)搶修，搶修一個(gè)受損武器所花費(fèi)的時(shí)間tr服從參數(shù)為θ的負(fù)指數(shù)分布，θ為平均搶修時(shí)間的倒數(shù)。己方彈藥、油料補(bǔ)給充足，作戰(zhàn)環(huán)境對(duì)戰(zhàn)斗隊(duì)形的部署沒(méi)有特殊影響，己方掌握制信息權(quán)，可獲取戰(zhàn)斗雙方的態(tài)勢(shì)信息。

以上對(duì)指標(biāo)的抽象和量化體現(xiàn)了影響戰(zhàn)斗隊(duì)形部署的全部因素，能夠反映坦克分隊(duì)作戰(zhàn)實(shí)際情況，且λk、μ、γ、α、θ等參數(shù)均可通過(guò)可行的計(jì)算方法獲得[6-8]。

2.2 模型構(gòu)建

根據(jù)Ⅱ級(jí)因素評(píng)價(jià)指標(biāo)的抽象、量化及排隊(duì)論[9]，可將作戰(zhàn)過(guò)程抽象為隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)[10]：己方坦克車(chē)輛為服務(wù)臺(tái)，打擊的敵方目標(biāo)為顧客，提供的服務(wù)為射擊；則敵方目標(biāo)被發(fā)現(xiàn)的概率即顧客到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)的概率，己方坦克的射擊時(shí)間即服務(wù)臺(tái)的服務(wù)時(shí)間，目標(biāo)待射擊的時(shí)間即顧客排隊(duì)等待的時(shí)間；改變迎敵時(shí)所采用的作戰(zhàn)隊(duì)形即對(duì)這個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)的服務(wù)規(guī)則進(jìn)行控制，使其收獲的作戰(zhàn)效能最大。

采用不同的隊(duì)形組織戰(zhàn)斗隊(duì)進(jìn)行戰(zhàn)斗，可構(gòu)建不同服務(wù)規(guī)則的排隊(duì)系統(tǒng)：側(cè)重火力強(qiáng)度的一字戰(zhàn)斗隊(duì)形可抽象為如圖2所示的排隊(duì)模型(模型A)；側(cè)重防御縱深的三角隊(duì)形可抽象為如圖3所示的排隊(duì)模型(模型B)。由圖2、3可以看出：一字戰(zhàn)斗隊(duì)形和三角隊(duì)形所構(gòu)成的排隊(duì)系統(tǒng)分別為1級(jí)并行排隊(duì)系統(tǒng)和2級(jí)串、并混合排隊(duì)系統(tǒng)。梯形戰(zhàn)斗隊(duì)形也可采用這種方法抽象為排隊(duì)模型，不同的是其所構(gòu)成的模型服務(wù)級(jí)數(shù)不同，同級(jí)中戰(zhàn)斗隊(duì)的數(shù)量也不同。考慮到構(gòu)建方法相同，本文僅對(duì)最典型的一字和三角戰(zhàn)斗隊(duì)形所構(gòu)成的排隊(duì)模型進(jìn)行分析。

圖2 一字隊(duì)形坦克分隊(duì)對(duì)目標(biāo)的射擊過(guò)程

圖3 三角隊(duì)形坦克分隊(duì)對(duì)目標(biāo)的射擊過(guò)程

將敵方坦克未被摧毀的概率PT作為作戰(zhàn)效能預(yù)測(cè)指標(biāo)。PT越低,則坦克分隊(duì)作戰(zhàn)效能越高;反之，坦克分隊(duì)作戰(zhàn)效能越低。由全概率公式可知：模型A中敵坦克未被摧毀的概率為

PTA=PMA+(1-PMA)(1-PkA)3；

(4)

模型B中敵坦克未被摧毀的概率為

PTB= [PMB1+(1-PMB1)(1-PkB)]×

(5)

由基本假設(shè)可知：模型A是1級(jí)并行服務(wù)系統(tǒng)，模型B是2級(jí)串、并混合服務(wù)系統(tǒng)，二者同時(shí)又都是具有非強(qiáng)占型優(yōu)先權(quán)、服務(wù)臺(tái)故障率確定的混合延遲消失制M/M/N可修排隊(duì)系統(tǒng)[11](簡(jiǎn)稱(chēng)“排隊(duì)系統(tǒng)”)。在排隊(duì)論中，PMA為模型A的系統(tǒng)損失概率，PMB1、PMB2分別為模型B第1級(jí)與第2級(jí)的系統(tǒng)損失概率。PMA、PMB1、PMB2的求解方法完全相同，因此研究該類(lèi)排隊(duì)系統(tǒng)損失概率PM的求解方法即可。

3 排隊(duì)系統(tǒng)分析

令X(t)為時(shí)刻t出現(xiàn)的目標(biāo)數(shù)量，Y(t)為時(shí)刻t可用于打擊的有效武器，則隨機(jī)過(guò)程{(X(t),Y(t);t≥0}描述了系統(tǒng)在時(shí)刻t的瞬時(shí)狀態(tài)。設(shè)Pi,j(t)=P{X(t)=i,Y(t)=j,i=0,1,2,…,m;j=0,1,2,…,n}，為系統(tǒng)在時(shí)刻t的瞬時(shí)狀態(tài)，

由于目標(biāo)出現(xiàn)概率服從泊松分布，射擊時(shí)間、武

器生存時(shí)間、戰(zhàn)場(chǎng)搶修時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，因此這一隨機(jī)過(guò)程為狀態(tài)空間Ω={(i,j),i≥0,j=1,2,…,n}上的二維馬爾可夫過(guò)程。

圖4 排隊(duì)系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖

根據(jù)圖4，可得隨機(jī)過(guò)程{X(t),Y(t);t≥0}的生成元矩陣Q，即

(6)

Q的每個(gè)分塊都是n+1階方陣，設(shè)I為n+1階單位陣，則可得

(7)

式(7)中,當(dāng)i=0時(shí)，

當(dāng)0

當(dāng)n

A=An;

Bi=diag(min(i,j)μ,0≤j≤n);

B=Bn=diag(0,μ, 2μ, …,nμ);

C0=C1=…=Cn=C=λI。

由于二維馬爾可夫過(guò)程的生成元可寫(xiě)成分塊三對(duì)角形式，故該過(guò)程是一個(gè)擬生滅過(guò)程[12]。這一擬生滅過(guò)程具有如下性質(zhì)：矩陣方程R2B+RA+C=0的最小非負(fù)解R的譜半徑sp(R)<1，且線性方程組P0(A0+RB1)=0有唯一正解。證明方法可參見(jiàn)文獻(xiàn)[13]。因此,擬生滅過(guò)程存在穩(wěn)態(tài)概率。通過(guò)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖可得系統(tǒng)所滿足的穩(wěn)態(tài)平衡方程。

1) 當(dāng)j=0時(shí)，

2) 當(dāng)0

3) 當(dāng)j=n時(shí)，

(8)

4 系統(tǒng)損失概率求解

4.1Gj(1)求解

由式(8)可看出求解系統(tǒng)損失概率可轉(zhuǎn)化為求解Gj(1)。

對(duì)j取相同值的穩(wěn)態(tài)平衡方程關(guān)于i求和，可得N+1個(gè)關(guān)于Gj(1)，j=0,1,…,n的方程，具體為

(9)

(10)

式(9)為n+1個(gè)相關(guān)的方程組，化簡(jiǎn)為n個(gè)獨(dú)立的方程，再與式(10)組成關(guān)于Gj(1)的n+1個(gè)獨(dú)立方程的方程組，具體為

(11)

4.2P0,j求解

對(duì)j取相同值的穩(wěn)態(tài)平衡方程，兩邊同時(shí)乘以Zi+1，再對(duì)i求和可得n+1個(gè)關(guān)于Gj(z)的方程，即

(12)

利用文獻(xiàn)[14]中的矩陣幾何解法進(jìn)行求解。為得到式(12)的矩陣形式，做如下規(guī)定：

|A(z)|Gj(z)=|Aj(z)|，j=0,1,…,n。

(13)

求|A(z)|根的個(gè)數(shù)，首先做如下規(guī)定：

當(dāng)0≤z≤∞時(shí)，

(14)

可見(jiàn)：Qj(z),j=1,2,…,n是矩陣A(z)從第(n,n)個(gè)元素開(kāi)始，反向沿主對(duì)角線取子矩陣的行列式。且存在如下遞推關(guān)系：

Qk+1(z)=fn-k(z)Qk(z)-(n-k+1)αθz2Qk-1(z)。

(15)

多項(xiàng)式Qk(z)具有如下性質(zhì)。

1) Q0(z)在區(qū)間(0,∞)內(nèi)沒(méi)有根。

2) Qk(z)與Qk+1(z)在區(qū)間(0,∞)內(nèi)沒(méi)有任何公共根。

證明: 設(shè)z0>0是Qk(z)與Qk+1(z)的公共根，則由式(15)可知Qk-1(z0)=0；依據(jù)Qk-1(z0)=0,Qk(z0)=0以及式(15)可計(jì)算出Qk-2(z0)=0；最后遞推得到Q0(z0)=0，這與性質(zhì)1)矛盾。因此，Qk(z)與Qk+1(z)在區(qū)間(0,∞)內(nèi)沒(méi)有任何公共根，證畢。

3) 由式(14)可以看出：設(shè)z0是Qk(z)的正根，則Qk-1(z0)和Qk+1(z0)的符號(hào)相反。

4)Qk(z)>0;Qn+1(1)=|A(1)|=0。

證明: 將z=1代入式(14)，可得

Q0(1)=1>0;

Q1(1)=fn(1)=nα>0;

Qk(1)=(n-k+1)(n-k+2)…(n-1)nα>0，2≤k≤n。

將Qn+1(z)=|A(z)|的各列求和后加到最后一行，提取產(chǎn)生的公因式(z-1)，即

并記為

|A(z)|=(z-1)D(z),

(16)

因此，Qk(z)>0;Qn+1(1)=|A(1)|=0，證畢。

5) Sign[Qk(0)]=(-1)k,k=0,1,…,n; Qn+1(0)=0。其中Sign[x]為符號(hào)函數(shù)。

證明: 由fj(z), (0≤j≤n)的定義可知f0(0)=0, fk(0)<0,1≤k≤n，將fj(0)(j=0,1,…,n)分別代入式(15)，由于Sign[Q0(0)]=1=(-1)0,Sign[Q1(0)]=-1=(-1)1，則可證明，Sign[Qk(0)]=(-1)k, k=0,1,…,n; Qn+1(0)=0，證畢。

6)Qk(z),k=0,1,…,n+1的最高次項(xiàng)為(-λz2)k，又因?yàn)?-λz2)k確定了Qk(∞)的正、負(fù)符號(hào)，因此Sign[Qk(∞)]=(-1)k, k=0,1,…,n+1。

由性質(zhì)1)-6)，可得如下定理。

證明: 根據(jù)性質(zhì)4)-6)可得出：Q1(z)是關(guān)于變量z的最高次冪為2的多項(xiàng)式，且存在2個(gè)不同的實(shí)根z1,1和z1,2，其中z1,1在區(qū)間(0,1)內(nèi),z1,2在區(qū)間(1,∞)內(nèi)。因?yàn)镼1(z)>0，由性質(zhì)3)可知Q2(z1,1)<0, Q2(z1,2)<0，再根據(jù)性質(zhì)4)-6)可知在區(qū)間(0,z1,1)、(z1,1,1)、(1,z1,2)、(z1,2,∞)內(nèi)至少各包含Q2(z)的1個(gè)實(shí)根，又因?yàn)镼2(z)中z的最高次冪為4，因此最多有4個(gè)實(shí)根，所以區(qū)間(0,z1,1)、(z1,1,1)、(1,z1,2)、(z1,2,∞)中各包含Q2(z)的1個(gè)且僅有1個(gè)實(shí)根。進(jìn)行n推導(dǎo)，可分析出Qn(z)中z的最高次冪為2n，因此最多有2n個(gè)不同實(shí)根，在區(qū)間(0,1)和(1,∞)內(nèi)各有n個(gè)，令zn,j(j=1,2,…,2n)為這2n個(gè)根，且zn,1

Sign[Qn-1(zn,j)]=(-1)n+j, j=1,2,…,n；

Sign[Qn-1(zn,j)]=(-1)n+j+1, j=n+1,

n+2, …, 2n。

由性質(zhì)3)可知：

Sign[Qn+1(zn,j)]=(-1)n+j+1, j=1,2,…,n；

Sign[Qn+1(zn,j)]= (-1)n+j, j=n+1,

n+2, …, 2n。

由于Qn+1(z)關(guān)于z的最高次冪為2(n+1)，因此最多有2(n+1)個(gè)實(shí)根，在zn,j(j=1,2,…,n)的相鄰兩點(diǎn)之間各有Qn+1(z)=|A(z)|的1個(gè)實(shí)根。同理，在zn,j(j=n+1, n+2, …, 2n)的兩點(diǎn)之間各有|A(z)|的1個(gè)實(shí)根。這樣就確定了|A(z)|的2(n-1)個(gè)實(shí)根。

至此|A(z)|的2(n+1)個(gè)實(shí)根全部被確定，且各不相同，其中有n-1個(gè)實(shí)根在區(qū)間(0,1)內(nèi)。證畢。

設(shè)zk(k=1,2,…,n-1)為|A(z)|在區(qū)間(0,1)內(nèi)的n-1個(gè)不同的實(shí)根。將z=zk代入式(12)得到|Aj(zk)|=0，k=1,2,…n-1,j=0,1,…,n。對(duì)每個(gè)zk均存在n+1個(gè)關(guān)于未知概率P0,j, j=1,2,…n的相關(guān)線性方程，可選擇其中任意一個(gè)作為關(guān)于P0,j的方程，由區(qū)間(0,1)內(nèi)的n-1個(gè)不同實(shí)根就可得到n-1個(gè)獨(dú)立的關(guān)于P0,j的方程。

為得到最后一個(gè)獨(dú)立方程，可將|A(z)|,j=0,1,…,n的第1行到第n行全加到最后1行，提出產(chǎn)生的公因式(z-1),可得：

|Aj(z)|=(z-1)Dj(z)。

(17)

將式(16)、(17)代入式(13)可得：

D(z)Gj(z)=Dj(z),j=0,1,…,n。

(18)

將z=1代入式(18)可得:

D(1)Gj(1)=Dj(1),j=0,1,…,n。

(19)

根據(jù)前文，已知Gj(1)可由P0, j來(lái)表示，所以式(19)中的n+1個(gè)方程是相關(guān)的，可從中選擇一個(gè)方程和前面的n-1個(gè)方程組成n個(gè)獨(dú)立的關(guān)于P0, j的方程，從而解出P0, j、Gj(1)和PM。

5 仿真計(jì)算

為了不失一般性，仿真算例中參數(shù)都應(yīng)采用隨機(jī)方法生成，由于模型是對(duì)坦克分隊(duì)作戰(zhàn)過(guò)程的抽象，如果模型參數(shù)的選擇過(guò)于偏離坦克分隊(duì)作戰(zhàn)實(shí)際，將失去數(shù)據(jù)分析的物理意義。因此首先對(duì)模型中的參數(shù)進(jìn)行約定，算例中的參數(shù)將在約定的范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生，具體如表1所示。

表1 模型參數(shù)選取范圍

5.1 坦克分隊(duì)?wèi)?zhàn)斗隊(duì)形部署方法

設(shè)定仿真實(shí)驗(yàn)的背景為敵我雙方處于交戰(zhàn)前某一時(shí)刻，作戰(zhàn)環(huán)境對(duì)戰(zhàn)斗隊(duì)形部署無(wú)影響，己方可根據(jù)預(yù)期產(chǎn)生的作戰(zhàn)效能進(jìn)行戰(zhàn)斗隊(duì)形部署。模型中參數(shù)可在選取范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生。表2為從隨機(jī)數(shù)據(jù)中選取的3組典型的戰(zhàn)斗隊(duì)形部署參數(shù)，每組參數(shù)都可體現(xiàn)1種作戰(zhàn)態(tài)勢(shì)。在3種不同作戰(zhàn)態(tài)勢(shì)下，采用一字戰(zhàn)斗隊(duì)形(模型A)和三角戰(zhàn)斗隊(duì)形(模型B)產(chǎn)生的作戰(zhàn)效能指標(biāo)PT及戰(zhàn)斗隊(duì)形決策結(jié)果如表3所示。

由表3可以看出：坦克分隊(duì)?wèi)?zhàn)斗隊(duì)形部署方法可在作戰(zhàn)環(huán)境允許的情況下，通過(guò)預(yù)測(cè)不同戰(zhàn)斗隊(duì)形所能產(chǎn)生的作戰(zhàn)效果，實(shí)現(xiàn)科學(xué)的戰(zhàn)斗隊(duì)形部署，輔助分隊(duì)指揮員進(jìn)行戰(zhàn)斗決策。該方法也可分析戰(zhàn)斗隊(duì)形部署中參數(shù)對(duì)決策結(jié)果的影響。

表2 戰(zhàn)斗隊(duì)形部署參數(shù)

表3 采用不同戰(zhàn)斗隊(duì)形產(chǎn)生的作戰(zhàn)效能指標(biāo)PT

5.2 武器、目標(biāo)數(shù)量對(duì)戰(zhàn)斗隊(duì)形部署的影響

表4 模型A/B的PT平均值

由表4可以看出：當(dāng)mn時(shí)，則相反。換言之：當(dāng)mn時(shí)，采用三角隊(duì)形產(chǎn)生的平均作戰(zhàn)效能高于一字隊(duì)形；當(dāng)m≈n時(shí)，2種戰(zhàn)斗隊(duì)形產(chǎn)生的平均作戰(zhàn)效能相近?？梢?jiàn)：武器和目標(biāo)的數(shù)量對(duì)比是決定使用何種戰(zhàn)斗隊(duì)形迎敵的基礎(chǔ)，在其確定的情況下還應(yīng)考慮其他戰(zhàn)斗因素的影響。

為避免武器、目標(biāo)數(shù)量對(duì)比這一因素掩蓋其他因素對(duì)戰(zhàn)斗隊(duì)形部署的影響，在分析其他因素時(shí)，做如下假設(shè)：己方有3個(gè)戰(zhàn)斗隊(duì)共10個(gè)武器參與射擊，敵方目標(biāo)有4個(gè)種類(lèi)共13個(gè)目標(biāo)。

5.3 武器因素對(duì)坦克分隊(duì)?wèi)?zhàn)斗隊(duì)形部署的影響

圖5 PT與1/μ的關(guān)系曲線

由圖5可以看出：PT隨1/μ的上升而升高，即射擊反應(yīng)時(shí)間越長(zhǎng)，越可能導(dǎo)致無(wú)法摧毀敵人。比較2個(gè)模型發(fā)現(xiàn)：當(dāng)射擊反應(yīng)時(shí)間較短時(shí)，采用一字戰(zhàn)斗隊(duì)形所產(chǎn)生的作戰(zhàn)效能較高；反之，采用三角戰(zhàn)斗隊(duì)形所產(chǎn)生的作戰(zhàn)效能較高。

圖6 PT與1/α1的關(guān)系曲線

由圖6可以看出：PT隨1/α1的上升而下降，即武器生存時(shí)間越長(zhǎng)，越不易出現(xiàn)無(wú)法摧毀敵目標(biāo)的情況。比較2個(gè)模型發(fā)現(xiàn)：當(dāng)武器平均生存時(shí)間較長(zhǎng)時(shí)，采用一字戰(zhàn)斗隊(duì)形所產(chǎn)生的作戰(zhàn)效能較高；反之，采用三角戰(zhàn)斗隊(duì)形所產(chǎn)生的作戰(zhàn)效能較高。

圖7 PT與PkA的關(guān)系曲線

由圖7可以看出：PT隨戰(zhàn)斗隊(duì)命中目標(biāo)概率PkA的上升而下降，即命中概率越高，越不易出現(xiàn)無(wú)法摧毀敵目標(biāo)的情況。比較2個(gè)模型發(fā)現(xiàn)：當(dāng)毀傷概率PkA較小時(shí)，采用三角戰(zhàn)斗隊(duì)形產(chǎn)生的作戰(zhàn)效能較高；反之，采用一字戰(zhàn)斗隊(duì)形產(chǎn)生的作戰(zhàn)效能較高。

綜合分析可以看出：μ、α、PkA同為反映武器性能的參數(shù)，一字戰(zhàn)斗隊(duì)形在武器性能優(yōu)勢(shì)明顯時(shí)可獲得更高的作戰(zhàn)效能，而三角戰(zhàn)斗隊(duì)形則在武器性能優(yōu)勢(shì)不明顯時(shí)獲得更高的作戰(zhàn)效能。即一字戰(zhàn)斗隊(duì)形更加有利于充分地發(fā)揮武器性能優(yōu)勢(shì)，而三角隊(duì)形可以通過(guò)相互掩護(hù)來(lái)彌補(bǔ)武器性能的不足。

5.4 目標(biāo)因素對(duì)坦克分隊(duì)?wèi)?zhàn)斗隊(duì)形部署的影響

除目標(biāo)數(shù)量外，目標(biāo)因素參數(shù)主要包括λ、vl和γ，通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)vl對(duì)2種戰(zhàn)斗隊(duì)形作戰(zhàn)效能的影響基本相同，因此，僅討論其他因素的影響。

圖8 PT與λ的關(guān)系曲線

由圖8可以看出：PT隨λ的上升而上升，即單位時(shí)間內(nèi)可能發(fā)現(xiàn)的敵人數(shù)量越多，越容易出現(xiàn)無(wú)法摧毀敵目標(biāo)的情況。比較2個(gè)模型發(fā)現(xiàn)：當(dāng)單位時(shí)間內(nèi)可能發(fā)現(xiàn)的敵人數(shù)量λ較小時(shí)，采用三角戰(zhàn)斗隊(duì)形產(chǎn)生的作戰(zhàn)效能較高；反之，采用一字戰(zhàn)斗隊(duì)形產(chǎn)生的作戰(zhàn)效能較高。

圖9 PT與1/γ的關(guān)系曲線

由圖9可以看出：PT隨1/γ的上升而下降，即目標(biāo)平均等待射擊時(shí)間越長(zhǎng)，越容易出現(xiàn)無(wú)法摧毀敵目標(biāo)的情況。比較2個(gè)模型發(fā)現(xiàn)：當(dāng)目標(biāo)平均等待射擊時(shí)間較短時(shí)，采用一字戰(zhàn)斗隊(duì)形產(chǎn)生的作戰(zhàn)效能較高；反之，采用三角戰(zhàn)斗隊(duì)形產(chǎn)生的作戰(zhàn)效能較高。

綜合分析可看出：λ、γ是反映目標(biāo)情況的參數(shù)，一字戰(zhàn)斗隊(duì)形更加適合應(yīng)對(duì)敵人相對(duì)集中、機(jī)動(dòng)隱蔽能力強(qiáng)的戰(zhàn)場(chǎng)，三角戰(zhàn)斗隊(duì)形更加適合應(yīng)對(duì)敵人分散的縱深戰(zhàn)場(chǎng)。

通過(guò)上述分析可以看出：基于作戰(zhàn)效能預(yù)測(cè)的戰(zhàn)斗隊(duì)形部署方法，既可在戰(zhàn)前輔助分隊(duì)指揮員進(jìn)行隊(duì)形部署決策，還可分析不同作戰(zhàn)態(tài)勢(shì)下各參數(shù)對(duì)戰(zhàn)斗隊(duì)形部署的影響。

6 結(jié)論

本文通過(guò)建立一種基于排隊(duì)論的作戰(zhàn)效能預(yù)測(cè)模型，解決了坦克分隊(duì)火力部署科學(xué)性不足和缺乏有效手段的問(wèn)題。但本文對(duì)坦克作戰(zhàn)中目標(biāo)數(shù)量和戰(zhàn)場(chǎng)搶修時(shí)間的假設(shè)過(guò)于理想化，下一步將在目標(biāo)數(shù)量未知或受損坦克不能及時(shí)得到搶修的情況下對(duì)排隊(duì)論模型非穩(wěn)態(tài)解的漸近行為進(jìn)行研究。

[1] 牛德智, 陳長(zhǎng)興, 班斐, 等. 基于效能評(píng)估的航空作戰(zhàn)進(jìn)程預(yù)測(cè)[J]. 航空學(xué)報(bào), 2014, 35(5): 1416-1423.

[2] 羊彥, 吳茜, 景占榮. 導(dǎo)彈防御系統(tǒng)協(xié)同攔截的有效性分析[J]．系統(tǒng)工程學(xué)報(bào), 2008, 23(2): 233-237.

[3] 賀平, 吳鈺飛, 羅小明. 基于Monte-Carlo模擬的多枚彈道導(dǎo)彈突防反導(dǎo)防御系統(tǒng)效能研究[J]. 裝備指揮技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào), 2007,18(4):53-56．

[4] 曹雷, 董強(qiáng), 彭偉, 等. 基于排隊(duì)論的導(dǎo)彈防御系統(tǒng)的效能分析[J]. 南京理工大學(xué)學(xué)報(bào), 2011, 35(4):470-474.

[5] 郁志本.坦克兵戰(zhàn)術(shù)學(xué)[M].北京:解放軍出版社,2005:96-113.

[6] 徐克虎，黃大山，張志勇，等. 坦克分隊(duì)火力打擊實(shí)際量化研究[J]. 火力與指揮控制, 2014, 39(8): 98-101.

[7] 徐文超, 薛青, 張國(guó)輝, 等. 基于效能分析的坦克主動(dòng)防護(hù)系統(tǒng)建模研究[J]. 火力與指揮控制, 2015, 40(4): 84-87.

[8] 尤志峰, 石全, 雄飛. 基于加權(quán)支持向量回歸的搶修時(shí)間估計(jì)模型[J]. 現(xiàn)代防御技術(shù), 2014, 42(4): 160-166.

[9] Vahid H, Vahid K, Madjid T. The Redundancy Queuing-location-allocation Problem: A Novel Approach [J]. IEEE Transactions on Engineering Management, 2014, 61(3):534-544.

[10] Zhang H P, Yin B Q, Lu X N. Modeling and Analysis for Streaming Service Systems [J].International Journal of Automation and Computing, 2014, 11(4): 449-458.

[11] Guha D, Pathak S S. Analysis and Performance Comparison of Uniform and Mixed Service Policy for Vacation Queue [EB/OL]. (2012-02-05) [2015-03-20]. http://ieeexplore.ieee.org/xpl/login

[12] 王梓坤，楊向群. 生滅過(guò)程與馬爾可夫鏈[M]. 北京: 科學(xué)出版社,2005:53-54.

[13] Guo P C.The Newton-Shamanskii Method for Solving a Quadratic Matrix Equation Arising in Quasi-birth-death Problems[J].East Asian Journal on Applied Mathematics,2014,4(4):386-395.

[14] 田乃碩, 岳德權(quán). 擬生滅過(guò)程與矩陣幾何解[M].北京: 科學(xué)出版社, 2002: 23-24.

(責(zé)任編輯: 王生鳳)

Firepower Deployment Method of Tank Unit Based on Operational Effectiveness Prediction

CHEN Jun-wei1, CHANG Tian-qing1, MA Dian-zhe2, ZHU Qi2, ZHANG Lin3

(1. Department of Control Engineering, Academy of Armored Force Engineering, Beijing 100072, China;2. Beijing Special Vehicle Research Institute, Beijing 100072, China;3. Department of Engineer Equipment Management and Support, Academy of Engineer, Xuzhou 221004, China)

For the feature of tank unit, the method and contents of firepower deployment are analyzed. An operational effectiveness prediction model of tank unit based on queuing theory is established, a solution of the system loss probability valuePMin the model is proposed, and the operational effectiveness of two typical queuing models in different combat situation is simulated. The simulation results reveal that the model can calculate the operational effectiveness of different firepower deployment and the firepower deployment method based on operational effectiveness prediction is established.

tank unit; operational effectiveness prediction; firepower deployment

1672-1497(2015)06-0014-11

2015-07-22

軍隊(duì)科研計(jì)劃項(xiàng)目

陳軍偉(1985-)，男，博士研究生。

E917; TJ811

A

10.3969/j.issn.1672-1497.2015.06.004