徐家強(qiáng)，楊 磊，蔡光達(dá)

(陜西理工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，陜西漢中 723003)

0 引言

少齒數(shù)齒輪傳動(小齒輪齒數(shù)Z=1～7)，具有單級傳動比大，結(jié)構(gòu)緊湊，重量輕等優(yōu)點(diǎn)，特別適用于中小功率，結(jié)構(gòu)尺寸受限制，傳動比大，中、大模數(shù)齒輪傳動的場合［1］。少齒數(shù)齒輪副嚙合傳動中，兩輪齒為節(jié)點(diǎn)外嚙合，齒面間相對滑動速度大，摩擦發(fā)熱較為嚴(yán)重。輪齒嚙合面在摩擦熱和潤滑冷卻系統(tǒng)綜合作用下，輪齒上存在不均勻的溫度場，不僅引起輪齒的熱彈性變形，產(chǎn)生附加熱應(yīng)力，而且還會造成齒輪傳動間隙減少，導(dǎo)致傳動失效。影響齒輪副的傳動性能、潤滑性能和可靠性。因此，對少齒數(shù)齒輪傳動穩(wěn)態(tài)溫度分析十分必要。

1 熱平衡后少齒數(shù)齒輪輪齒溫度場模型

1.1 無內(nèi)部熱源少齒數(shù)齒輪輪齒導(dǎo)熱方程

依據(jù)傅里葉導(dǎo)熱定律和能量守恒原理，取微元體研究其能量收支關(guān)系。即導(dǎo)入總熱量與內(nèi)熱源發(fā)熱量之和，等于導(dǎo)出總熱量與內(nèi)能增加之和。建立微元體導(dǎo)熱微分方程。

式中:λ、ρ和C分別為材料的導(dǎo)熱系數(shù)、密度和定壓比熱;T為微元體溫度;t為時間變量;qv為溫度場內(nèi)的內(nèi)熱源強(qiáng)度;X、Y、Z為直角坐標(biāo)。

假設(shè)摩擦熱量只傳給相互嚙合的輪齒［2］，沒有向周圍的流體擴(kuò)散。根據(jù)布洛克理論，輪齒齒面的表面溫度在齒輪傳動過程中是變化的，但瞬時表面溫度變化影響范圍很小，僅限于很薄的熱表層，一般近似地假設(shè)穩(wěn)態(tài)時齒輪上各點(diǎn)溫度為定值，將齒輪輪齒的本體溫度場作為穩(wěn)態(tài)溫度場問題處理。齒輪傳動達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)之后，齒輪的摩擦發(fā)熱和冷卻散熱趨于平衡，這時對同一齒輪上的所有齒，在齒輪每轉(zhuǎn)一周的過程中，經(jīng)歷過程完全相同，即研究齒輪穩(wěn)態(tài)溫度場時取單個輪齒分析。這樣就把齒輪傳動的穩(wěn)態(tài)溫度場問題簡化為單個輪齒無內(nèi)部熱源的穩(wěn)態(tài)溫度場問題。導(dǎo)熱體無內(nèi)部熱源時qv=0，對于穩(wěn)態(tài)溫度場?T?t=0，得到無內(nèi)部熱源少齒數(shù)齒輪穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱方程為:

1.2 單個輪齒模型各表面的對流傳熱邊界條件

如圖1所示建立單個輪齒溫度場計(jì)算模型，其中r為端面齒廓嚙合區(qū)，t為端面齒廓非嚙合區(qū)，s為輪齒端面區(qū)域。

對于輪齒的嚙合面r區(qū)有:

對于輪齒的非嚙合面t區(qū)有:

圖1 單個輪齒計(jì)算區(qū)域圖

對于輪齒的兩端面s區(qū)則有:

1.3 輪齒對流換熱系數(shù)計(jì)算

齒輪端面對流換熱系數(shù)可以簡化為旋轉(zhuǎn)圓盤的對流換熱分析［3］。在潤滑油不同流動狀態(tài)內(nèi)，圓盤表面的對流換熱系數(shù)由努賽爾數(shù)Nu，雷諾數(shù)Re，普朗特?cái)?shù)Pr和圓盤的局部半徑rc確定。表1給出了不同潤滑油流動狀態(tài)下輪齒端面對流換熱系數(shù)的求解公式。其中 ρf、Vf、Cf、λf分別為潤滑油的密度、運(yùn)動粘度、比熱容和熱導(dǎo)率。Pr與Re分別為:

表1 輪齒端面對流換熱系數(shù)

2 輪齒齒面摩擦熱流密度計(jì)算

齒輪接觸表面的摩擦熱流量由輪齒接觸壓力、齒面的相對滑動速度和齒面摩擦系數(shù)確定，摩擦熱流量計(jì)算式為:

式中:μ為滑動摩擦系數(shù);PM為嚙合接觸區(qū)平均壓應(yīng)力;|V1－V2|嚙合點(diǎn)相對滑動速度。

2.1 輪齒嚙合接觸區(qū)平均壓應(yīng)力計(jì)算

在少齒數(shù)齒輪傳動中，實(shí)際嚙合線位于節(jié)點(diǎn)的同一側(cè)，屬于節(jié)點(diǎn)外嚙合，在一對齒廓的整個嚙合過程中，不存在純滾動情況，齒面間存在較大的相對滑動。

齒面接觸應(yīng)力計(jì)算公式［5］:

式中:K、ZE分別為載荷系數(shù)和彈性影響系數(shù);ρΣMn應(yīng)力計(jì)算點(diǎn)處法向綜合曲率半徑;p為沿齒面接觸線單位長度上的平均載荷。

式中:T1為小齒輪上的轉(zhuǎn)矩;βb為齒輪基圓螺旋角;L實(shí)際接觸線長。

2.2 輪齒滑動摩擦系數(shù)

輪齒齒面的滑動摩擦系數(shù)隨轉(zhuǎn)速和接觸載荷的變化而變化，并受輪齒嚙合位置、齒面粗糙度和齒輪平均溫度影響，對于輪齒齒面任意嚙合點(diǎn)M，滑動摩擦系數(shù)［6］

式中:FtM和b分別為輪齒的切向載荷和齒寬;XM為齒面粗糙度因子;η為潤滑油的動力粘度系數(shù)，在這里取摩擦系數(shù)μ=0.06。

2.3 輪齒嚙合點(diǎn)處相對滑動速度

式中:ω1，ω2為兩齒輪轉(zhuǎn)動角速度;R1，R2分別為嚙合點(diǎn)M到嚙合極限點(diǎn)N1，N2的距離，綜合滑動速度V=|V1－V2|。

2.4 輪齒摩擦熱流分配

摩擦熱Q分作兩部分Q1和Q2分別流入兩嚙合齒輪，再經(jīng)齒輪通過潤滑油和空氣介質(zhì)向環(huán)境散熱。引入熱分配系數(shù)β1，兩齒輪各自輸入的熱量分別為 Q1=β1Q，Q2=(1－β1)Q 熱流分配系數(shù)［7］:

式中:λ1、λ2分別為兩傳動齒輪材料的導(dǎo)熱系數(shù)，W/(m·Κ);ρ、ρ2分別為兩齒輪材料的密度，kg/m3;C1與C2分別為兩齒輪材料的比熱容，J/(kg·K);V1和V2分別為兩齒輪嚙合時嚙合點(diǎn)處的切向速度，m/s。齒輪嚙合點(diǎn)處接觸半寬:

在主，從動齒輪的旋轉(zhuǎn)過程中，每一個輪齒旋轉(zhuǎn)每一轉(zhuǎn)均收到一次摩擦熱流量的輸入，輪齒可以定義為周期性熱加載條件，對兩傳動齒輪嚙合時嚙合點(diǎn)處的輸入熱量分別取回轉(zhuǎn)一周的平均值，對應(yīng)的小齒輪與大齒輪嚙合點(diǎn)處平均熱流輸入為:

3 實(shí)例計(jì)算

如表2為齒輪參數(shù)。選用潤滑油在30℃時性能參數(shù):運(yùn)動粘度 Vf=80×10－6m2/s，比熱容 Cf=2 000 J/(kg·K)，熱導(dǎo)率 λf=0.1337 W/(m·K)，密度 ρf=998 kg/m3。表格3給出了兩齒輪材料性能參數(shù)，其中小齒輪材料與大齒輪材料相同。

表2 齒輪參數(shù)

表3 齒輪材料

輪齒端面對流換熱系數(shù)計(jì)算:通過計(jì)算雷諾數(shù)Re＜2×105，屬于層流，這里 m 取 2。

非嚙合齒面對流換熱系數(shù):

建立模型并導(dǎo)入ANSYS中劃分網(wǎng)格，計(jì)算結(jié)果如圖2、3所示。

4 結(jié)論

(1)由于輸入熱量較多且散熱條件相對較差，在齒面嚙合位置靠近中間部位形成齒輪上溫度最高區(qū)域。由于齒輪端部輸入熱量少，散熱條件較好，使得齒端部出現(xiàn)低溫區(qū)。齒體部分由于散熱條件相對較差，使得由齒面輸入的熱量經(jīng)傳導(dǎo)后，造成齒體部分溫度比齒面低，但比齒端部位溫度高。

圖2 穩(wěn)態(tài)時少齒數(shù)齒輪Z=3齒面溫度分布

圖3 穩(wěn)態(tài)時少齒數(shù)齒輪Z=3齒輪端面溫度分布

(2)與嚙合齒面高溫區(qū)相對的非工作齒面區(qū)域，由于距離高溫區(qū)近，經(jīng)熱量傳導(dǎo)在該區(qū)域形成非工作齒面上的相對高溫區(qū)，但低于嚙合齒面上的溫度。

(3)熱量在輪齒上的傳導(dǎo)造成溫度由中心向四周梯度分布，這種不均勻溫度分布，嚴(yán)重降低少齒數(shù)齒輪的承載能力和運(yùn)行性能。由于輪齒的齒厚方向溫度分布不均勻?qū)е铝溯嘄X熱變形，從而對少齒數(shù)齒輪傳動的齒面載荷分布和振動性能產(chǎn)生影響，特別是齒向方向溫度分布不均勻產(chǎn)生的熱變形將會導(dǎo)致螺旋角誤差，影響齒輪傳動性能。

［1］ 王保民，張國海，李 鵬.少齒數(shù)漸開線圓柱齒輪傳動研究現(xiàn)狀綜述［J］.陜西理工學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2010，26(1):1－4.

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