張 昭，田 宇，張元良，張洪武

(1.大連理工大學(xué)運載工程與力學(xué)學(xué)部工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室工程力學(xué)系，遼寧大連 116024;2.大連理工大學(xué)機械工程與材料能源學(xué)部機械工程學(xué)院，遼寧大連 116024)

離心式葉輪的概率失效分析*

張 昭1，田 宇1，張元良2，張洪武1

(1.大連理工大學(xué)運載工程與力學(xué)學(xué)部工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室工程力學(xué)系，遼寧大連 116024;2.大連理工大學(xué)機械工程與材料能源學(xué)部機械工程學(xué)院，遼寧大連 116024)

以概率論和斷裂力學(xué)為基礎(chǔ)，考慮參數(shù)的不確定性和隨機性，應(yīng)用蒙特卡洛方法對再制造葉輪的疲勞壽命進行分析。結(jié)果表明，采用蒙特卡洛方法進行的一定可靠度和置信度下的壽命預(yù)測反映了參數(shù)的不確定性，較傳統(tǒng)的斷裂力學(xué)計算結(jié)果更安全;初始裂紋尺寸、斷裂韌性、變異系數(shù)、氣動載荷對疲勞擴展壽命的影響較大;將概率斷裂力學(xué)應(yīng)用于葉輪的疲勞壽命預(yù)測中，為相關(guān)葉輪的設(shè)計、檢修提供了參考。

概率斷裂力學(xué);葉輪;蒙特卡洛法;疲勞壽命

0 引言

離心壓縮機被廣泛地應(yīng)用于石油、能源電力、化工等眾多領(lǐng)域中，具有很高的回收利用價值和再制造潛力［1］。隨著國家可持續(xù)發(fā)展戰(zhàn)略的推進，再制造壓縮機的研究越來越受到關(guān)注。再制造葉輪是再制造壓縮機的核心部件，再制造后的葉輪能否滿足新的生命周期、能否有足夠的服役安全性能是葉輪再制造的關(guān)鍵［2］。因此，再制造葉輪服役壽命預(yù)測具有迫切性和現(xiàn)實意義。

對葉輪的疲勞分析，國內(nèi)外的學(xué)者們做了大量的研究。Li［3］等運用有限元方法和計算流體動力學(xué)方法預(yù)測軸流式葉輪葉片的疲勞壽命，提出了氣動載荷和離心力載荷相結(jié)合的方法;Shokrieh［4］等預(yù)測風(fēng)力渦輪機葉片的壽命，結(jié)果表明累積疲勞損傷模型和隨機方法能夠模擬風(fēng)力渦輪機葉片的疲勞損傷過程;Chu［5］等對材料為FV520B的離心壓縮機葉輪進行了失效分析，提出了適應(yīng)服役環(huán)境的改進措施;Kim［6］等研究了蒸汽機葉輪葉片失效的原因，得出葉輪失效是由材料缺陷和超速加載引起的;劉明霞［7］等采用金相檢測手段檢測失效葉輪的焊接接頭并模擬計算，結(jié)果表明應(yīng)力集中加速了裂紋的擴展及失穩(wěn)，造成產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)失效;Chávez［8］等以哥倫比亞的一個水電站用葉輪為背景，對葉輪進行了失效分析，結(jié)果表明材料存在初始缺陷，在焊接殘余應(yīng)力和離心力的共同作用下發(fā)生疲勞失效;Nie［9］等對失效的離心壓縮機焊接葉輪進行了分析，提出了提高葉輪可靠性的措施;Ejaz［10］等對離心葉輪進行了失效分析，發(fā)現(xiàn)葉片根部的裂紋在高周疲勞下傳播導(dǎo)致葉輪失效。目前，對葉輪的疲勞失效分析已有大量有意義的工作，大部分是基于傳統(tǒng)的斷裂力學(xué)理論或試驗方法，然而在葉輪的不同部位，內(nèi)部損傷具有不同的尺寸，并承受不同的載荷，因此，有必要采用概率統(tǒng)計的方法展開對葉輪的失效分析。

Monte Carlo方法是通過對隨機變量函數(shù)的概率模擬、統(tǒng)計試驗或抽樣，求解不同問題的近似數(shù)值解的方法，它被廣泛地應(yīng)用于PFM模型中。Abu-Elanien［11］和 Liu［12］等分別運用 M-C 方法對結(jié)構(gòu)進行疲勞壽命預(yù)測和失效分析，均取得了與實驗數(shù)據(jù)一致的數(shù)值分析結(jié)果，驗證了M-C方法的可靠性。因此，本文結(jié)合概率斷裂力學(xué)，采用M-C方法，考慮參數(shù)的不確定性和隨機性，預(yù)測葉輪在一定可靠度和置信度下的疲勞壽命，并討論不同因素對疲勞壽命的影響。

1 模型描述及基本理論

離心式葉輪有限元模型及網(wǎng)格劃分見圖1。葉輪是旋轉(zhuǎn)對稱結(jié)構(gòu)，模型共18個葉片，輪盤直徑160 mm，軸孔直徑19.5 mm，共劃分27 498個單元，45 703個節(jié)點，自由度數(shù)為137 109。葉輪材料選用40CrNiMoA鋼，材料參數(shù)見表1。

圖1 葉輪有限元分析模型

表1 40CrNiMoA鋼的材料參數(shù)［13］

等效應(yīng)力的表達式為:

式中:“:”表示張量的雙點積。

當坐標軸轉(zhuǎn)換時，同一點的各應(yīng)力分量如式(2)所示［14］:

式中:ni'i的下標 i'=1'，2'，3'對應(yīng)于新坐標 x'，y'，z'(即 x1'，x2'，x3');其下標 i=1，2，3 對應(yīng)于老坐標 x，y，z(即 x1，x2，x3)。當坐標軸轉(zhuǎn)換時，應(yīng)力分量遵循二階張量的變換規(guī)律，雖然轉(zhuǎn)軸后各應(yīng)力分量都改變了，但其分量作為一個“整體”，所描繪的一點的應(yīng)力狀態(tài)是不變的。

等壽命條件下的σa-σm關(guān)系可以表達為Goodman 直線方程［15］:

式中:σa為循環(huán)應(yīng)力幅;σm為平均應(yīng)力;σ-1為疲勞極限;σu為高強脆性材料的極限抗拉強度或延性材料的屈服強度。此關(guān)系式簡單，且在給定壽命下，由此做出的σa-σm關(guān)系估計式偏于保守，故在工程實際中常用。

預(yù)測疲勞裂紋擴展壽命有多種方法，其中最簡單、應(yīng)用最廣泛的是Paris［16］公式，其表達式為:

則疲勞擴展壽命為:

式中:C、n為材料常數(shù);ΔK為應(yīng)力強度因子幅度;Y為幾何形狀因子;Δσ為應(yīng)力變化范圍;a0為初始裂紋尺寸;ac為臨界裂紋尺寸。

初始裂紋尺寸a0、應(yīng)力變化范圍Δσ及材料常數(shù)C均服從對數(shù)正態(tài)分布［17］，由式(6)可知疲勞壽命N也服從對數(shù)正態(tài)分布，即X=ln N是服從正態(tài)分布的。正態(tài)分布和對數(shù)正態(tài)分布參數(shù)的轉(zhuǎn)換關(guān)系如下:

則可靠度為p時的對數(shù)疲勞壽命的計算公式為:

如果考慮置信度，則可靠度為p、置信度為r時的對數(shù)疲勞壽命的計算公式為:

式中:E、S分別為相應(yīng)變量的均值和標準差，up為與可靠度p對應(yīng)的標準正態(tài)偏量，k為單側(cè)容限因數(shù)。

如圖2為Monte Carlo模擬流程圖。

圖2 Monte Carlo模擬流程圖

應(yīng)用M-C方法預(yù)測葉輪的疲勞擴展壽命，先按照Paris公式，對各隨機變量每次抽取一個隨機數(shù)，得到一個Ni，模擬w次，然后計算所得壽命的均值及標準差，最后得到一定可靠度和置信度下的疲勞壽命。

2 結(jié)果分析

Ⅰ型裂紋表面與受力方向垂直，所以需要轉(zhuǎn)換坐標軸的方向求得與裂紋表面方向垂直的拉應(yīng)力。圖3為坐標軸轉(zhuǎn)換前后等效應(yīng)力的對比圖，轉(zhuǎn)軸前的等效應(yīng)力與轉(zhuǎn)軸后的等效應(yīng)力吻合良好，驗證了數(shù)值模擬的真實性和有效性。

圖3 等效應(yīng)力對比圖

葉輪的轉(zhuǎn)速為m=53 075 r/min，有限元計算分析表明，葉輪穩(wěn)定工作狀態(tài)下，葉片前緣根部的拉應(yīng)力σ=86.7044 MPa。葉輪在正常工作時受離心慣性力載荷和氣動載荷的共同作用，離心慣性力載荷是不隨時間變化的常值，而氣動載荷是隨時間變化的周期性載荷，因此氣動載荷是引起葉輪產(chǎn)生交變應(yīng)力促使葉輪發(fā)生疲勞破壞的根本原因。基于此，參考文獻［3］，在葉片表面施加σd=0.04 MPa的面力模擬氣動載荷，葉片前緣根部的拉應(yīng)力σ=0.6528 MPa，根據(jù)式(3)，應(yīng)力比R=-1時的應(yīng)力幅σa(R=-1)=0.6907 MPa，則應(yīng)力變化范圍 Δσ=1.3815 MPa。工程中的變異系數(shù) C.V 一般為 0.03 ～0.1［18］，筆者從最不利出發(fā)，取 C.V=0.1，具體統(tǒng)計參數(shù)見表2。

表2 隨機變量及其統(tǒng)計特性

2.1 Monte Carlo方法與確定性方法的對比

分別運用確定性方法和M-C方法預(yù)測葉輪的疲勞壽命，結(jié)果見圖4。由圖可知，隨著初始裂紋尺寸的增加，疲勞壽命逐漸減小，初始裂紋尺寸對疲勞壽命的影響較大。由表3可知，相同的初始裂紋尺寸下，理論計算和M-C方法求得的疲勞壽命誤差均在5%左右，驗證了M-C法求解疲勞壽命的準確性與可行性。

為了使預(yù)測出的安全壽命不超過其真值，需要考慮可靠度和置信度的影響，如圖5所示。當a0=0.2 mm時，理論計算 N=1.357×1011次，程序計算 p=0.999 時的 Np=6.021×1010次，p=0.999、r=0.9 時的Npr=5.657×1010次;當 a0=0.5 mm 時，理論計算 N=9.912×1010次，程序計算 p=0.999 時的 Np=4.396×1010次，p=0.999、r=0.9 時的 Npr=4.131×1010次。出現(xiàn)偏差的主要原因是正常工況下葉輪葉片所受的載荷是波動的，初始裂紋尺寸a0、應(yīng)力變化范圍Δσ、材料常數(shù)C等都存在著隨機性和不確定性，所以應(yīng)用Monte Carlo法抽樣求得的結(jié)果，更符合實際情況。相同的應(yīng)力幅值下，隨著初始裂紋尺寸的增加，疲勞壽命逐漸減小;相同的初始裂紋尺寸下，隨著可靠度的增加，疲勞壽命降低，此規(guī)律分別與文獻［19］、［20］吻合，說明本文模擬方法的有效性。

表3 壽命對比

圖4 確定性方法與M-C方法對比

圖5 不同初始裂紋尺寸下的疲勞壽命

從以上分析中可看出，用概率斷裂力學(xué)方法依不同的可靠度給出不同的計算結(jié)果，由于它把各種參量均當作隨機變量，用概率統(tǒng)計的方法處理，因此它得出的結(jié)果更可靠，更符合實際。

2.2 影響疲勞擴展壽命的因素

通過模擬發(fā)現(xiàn)，除了初始裂紋尺寸是重要的物理量之外，其他因素如擴展裂紋尺寸、斷裂韌性、變異系數(shù)、氣動載荷和轉(zhuǎn)速等，對葉輪疲勞壽命均有影響，見圖6～10。

圖6為不同擴展裂紋尺寸下的疲勞壽命。由圖6可知，當擴展裂紋尺寸接近零時，壽命趨于零，疲勞壽命隨著擴展裂紋尺寸的增加而增加。在相同的擴展裂紋尺寸下，理論計算的疲勞壽命比考慮可靠度時的結(jié)果大，可靠度降低，疲勞壽命反而增加。

圖6 不同擴展裂紋尺寸下的壽命

圖7 為不同斷裂韌性時的疲勞壽命。由圖7可知，疲勞壽命隨著材料斷裂韌性的減小而降低;當KⅠc≈3 MPa·m1/2時，疲勞壽命趨于零。相同的斷裂韌性下，當 p=0.999 時，壽命由 6.021×1010次下降到7.607×109次，r=0.9 時，壽命由 5.657×1010次下降到7.147×109次;當 p=0.75 時，壽命由 1.152×1011次下降到 1.455×1010次，r=0.9 時，壽命由 1.121×1011次下降到1.415×1010次。相同的斷裂韌性時，可靠度越低，疲勞壽命越大;可靠度越高，疲勞壽命越小?？紤]參數(shù)的不確定性和隨機性時更加安全、可靠。

圖7 不同斷裂韌性下的疲勞壽命

圖8 為不同變異系數(shù)時的疲勞壽命。相同的初始裂紋尺寸下，變異系數(shù)增大，疲勞壽命減小;變異系數(shù)減小，疲勞壽命增大，且壽命均隨著初始裂紋尺寸的增大而減小。當a0=0.2 mm時，由圖8(a)可知，變異系數(shù)為0.1時的壽命是0.3時的4.35倍;由圖8(b)可知，變異系數(shù)為0.1時的壽命是0.3時的1.42倍。由此推斷，應(yīng)力變化范圍Δσ的變異系數(shù)比材料常數(shù)C的變異系數(shù)對疲勞壽命的影響大。

圖8 不同變異系數(shù)系數(shù)下的疲勞壽命

圖9 為不同氣動載荷時的疲勞壽命?？煽闯?，相同的初始裂紋尺寸下，疲勞壽命隨著氣動載荷的增加而降低;相同的氣動載荷下，疲勞壽命隨著初始裂紋尺寸的增加而減小。葉片表面在氣動載荷作用下的應(yīng)力低于材料的屈服強度，但是在這種較低能量的交變應(yīng)力的長期作用下，葉片表面會形成高周疲勞，裂紋在高周疲勞的作用下逐漸擴展，最終葉片失效。圖10為不同轉(zhuǎn)速時的疲勞壽命。

圖9 不同氣動載荷下的疲勞壽命

圖10 不同轉(zhuǎn)速下的疲勞壽命

由圖10可看出，疲勞壽命隨著初始裂紋尺寸的增加而減小，隨著轉(zhuǎn)速的增加而減小。轉(zhuǎn)速和氣動載荷的改變，均意味著應(yīng)力幅值的改變:轉(zhuǎn)速增大，應(yīng)力幅值增大;氣動載荷增大，應(yīng)力幅值增大，且氣動載荷的改變對應(yīng)力幅值的影響較大。

3 結(jié)論

(1)Monte Carlo方法考慮了影響疲勞擴展壽命主要因素的不確定性和隨機性，更接近于工程實際。理論求得的疲勞壽命曲線最陡，可靠度和置信度下求得的曲線坡度較小，結(jié)果更加安全、可靠。

(2)氣動載荷是引起葉輪產(chǎn)生交變應(yīng)力促使葉輪發(fā)生疲勞破壞的根本原因。葉片表面在較低能量的交變應(yīng)力的長期作用下形成高周疲勞，裂紋在高周疲勞的作用下逐漸擴展，最終葉片失效。

(3)初始裂紋尺寸、斷裂韌性、變異系數(shù)、氣動載荷對疲勞壽命的影響較大。疲勞壽命隨初始裂紋尺寸的增大而減小，隨著斷裂韌性的減小而減小，隨著變異系數(shù)的增大而減小，隨氣動載荷的增大而減小。

(4)將PFM應(yīng)用于葉輪的疲勞壽命預(yù)測中，克服了確定性評定方法的缺點，為相關(guān)葉輪的設(shè)計、檢修提供了參考。

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Probability Failure Analysis of the Centrifugal Impeller

The fatigue life of the remanufacturing impeller can be predicted by using the Monte Carlo(M-C)method and the Probabilistic Fracture Mechanics(PFM)with consideration of the uncertainty and the randomness of the parameters.Results indicate that the M-C method with PFM method is more reliable and safer for the design of the impeller with comparison to the traditional fracture mechanics method.The initial crack length，the fracture toughness，the coefficient of variation and aerodynamic forces can significantly affect the remaining fatigue life of the impeller.PFM is applied to the fatigue life prediction of the impeller and provides reference for design and maintenance of the impeller.

PFM;impeller;M-C method;fatigue life?

TH452

A

1007-4414(2015)04-0001-05

2015-06-16

國家自然科學(xué)基金(編號:11172057);國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展(973)計劃(編號:2011CB013401);中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金和新世紀優(yōu)秀人才支持計劃。

張 昭(1979-)，男，河北衡水人，教授，博導(dǎo)，研究方向:工程力學(xué)。