趙國(guó)瑞

有一次，愛(ài)因斯坦（1879～1955，偉大物理學(xué)家）臥病在床，一位朋友去看他，寒暄了一陣之后，他要這位朋友出一道數(shù)學(xué)題給他做，朋友想了一下，就出了一道乘法計(jì)算題：“2 976×2 924=？”

朋友請(qǐng)愛(ài)因斯坦在最短的時(shí)間內(nèi)算出得數(shù)。愛(ài)因斯坦看了看題目，略一思索，便答出得數(shù)8 701 824。

這位朋友聽(tīng)后，感到非常驚訝，問(wèn)他怎么會(huì)算得這么快？愛(ài)因斯坦笑了笑說(shuō)：“這兩個(gè)數(shù)的左邊都是29，而它們的后兩位數(shù)加起來(lái)正好是100，這樣就可以用一種速算法：29×30=870，76×24=（50+26）（50-26）=502-262=1 824，把1 824添在870后面，8 701 824的得數(shù)就出來(lái)了?！?/p>

朋友似乎有點(diǎn)不相信，找了一些類似的題目演算起來(lái)。過(guò)了一會(huì)兒，他敬佩地說(shuō)：“愛(ài)因斯坦先生，您的速算方法真是太妙了！”

看完上面的故事，同學(xué)們會(huì)有什么啟示呢？大家在感嘆愛(ài)因斯坦算法巧妙之余，能否對(duì)其算法進(jìn)行揭秘呢？我們應(yīng)該相信自己，勇敢地向權(quán)威挑戰(zhàn)。愛(ài)因斯坦之所以能夠快速求出兩個(gè)數(shù)的乘積，主要原因是“眼中有數(shù)，心中有式”。

愛(ài)因斯坦實(shí)際上是做具有某種特點(diǎn)的兩個(gè)四位數(shù)的速算，這兩個(gè)四位數(shù)的前兩位數(shù)字相同，后兩位數(shù)字的和為100。按照愛(ài)因斯坦的算法，前兩位數(shù)字相同而后兩位數(shù)字之和等于100的兩個(gè)四位數(shù)相乘的速算規(guī)律是：在相同的前兩位數(shù)字乘以比它大1的數(shù)的積的后面寫(xiě)上后兩位數(shù)字相乘的積，結(jié)果即為這兩個(gè)四位數(shù)的積。

若設(shè)這兩個(gè)四位數(shù)分別為abcd ， abef 。abcd表示一個(gè)四位數(shù)，它的千位數(shù)字是a，百位數(shù)字是b，十位數(shù)字是c，個(gè)位數(shù)字是d，abef 的意義也是如此，且cd + ef =100，則

abcd · abef =（100 ab+ cd）×（100 ab+ ef ）

=（100 ab）2+100 ab·ef +100 ab· cd+ cd· ef

=10 000 ab2+100 ab（ cd+ ef ）+ cd· ef

=10 000 ab2+100 ab×100+ cd· ef

=10 000 ab2+10 000 ab+ cd· ef

=10 000 ab（ ab+1） + cd· ef 。

由于 cd· ef 表示兩個(gè)兩位數(shù)相乘，因此它是一個(gè)三位數(shù)或四位數(shù)，而10 000 ab（ ab+1）表示 ab（ ab+1）的10 000倍，所以只需在 ab（ ab+1）的結(jié)果后面寫(xiě)上 cd· ef 的結(jié)果，即為abcd·abef 的結(jié)果。因此愛(ài)因斯坦的速算是有科學(xué)依據(jù)的。

說(shuō)明：在證明abcd·abef =10 000 ab（10 000 ab+1） + cd· ef 時(shí)，我們沒(méi)有將abcd表示為10 000a+100b+10c+d，而是將 ab、 cd分別看成一個(gè)整體，則abcd可表示為100 ab+ cd，對(duì)于abef 也做了同樣的處理，這樣可以簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，大大減少運(yùn)算量。

下面讓我們?cè)倥e一例速算：3 969×3 931。

解：因?yàn)檫@兩個(gè)四個(gè)數(shù)的前兩位數(shù)字相同，且69+31=100，

而39×40=1 560，69×31=（50+19）（50-19）=502-192=2 500-361=2 139。

所以3 969×3 931=15 602 139。

下面請(qǐng)同學(xué)們嘗試對(duì)與愛(ài)因斯坦類似的問(wèn)題進(jìn)行探究，并用式子表示：

（1）十位數(shù)字相同而個(gè)位數(shù)字之和等于10的兩個(gè)兩位數(shù)相乘的計(jì)算規(guī)律，如24×26，32×38等；

（2）前三位數(shù)字相同而后三位數(shù)字之和等于1 000的兩個(gè)三位數(shù)相乘的計(jì)算規(guī)律，如123 498×123 502，512 163×512 837等。

參考答案：（1） ab· ac=100a （a+1）+ b·c（b+c=10）；

（2）abcdef · abcmnp=1 000 000 abc（ abc +1）+def·mnp（ def + mnp=1 000）。