李紀(jì)永， 李舜酩， 田國(guó)成, 陳曉紅

(1.南京航空航天大學(xué)能源與動(dòng)力學(xué)院 南京，210016) (2.山東中實(shí)易通集團(tuán)有限公司 濟(jì)南,250000)(3.南京航空航天大學(xué)理學(xué)院 南京，210016)

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轉(zhuǎn)子共頻相關(guān)故障源源數(shù)估計(jì)與子帶盲分離*

李紀(jì)永1， 李舜酩1， 田國(guó)成2, 陳曉紅3

(1.南京航空航天大學(xué)能源與動(dòng)力學(xué)院 南京，210016) (2.山東中實(shí)易通集團(tuán)有限公司 濟(jì)南,250000)(3.南京航空航天大學(xué)理學(xué)院 南京，210016)

針對(duì)轉(zhuǎn)子異常振動(dòng)產(chǎn)生含交叉頻率的響應(yīng)，其共頻相關(guān)故障源不滿足統(tǒng)計(jì)獨(dú)立要求，提出利用非負(fù)矩陣法在頻域中計(jì)算故障源個(gè)數(shù)，不計(jì)及源信號(hào)和混合系統(tǒng)特性，可以正確估計(jì)出故障源數(shù)目或源數(shù)上限。提出利用小波包分解故障信號(hào)，選擇互信息較小的子帶進(jìn)行重構(gòu)，剔除共頻信號(hào)并進(jìn)行盲分離，得到獨(dú)立非相關(guān)的源信號(hào)，保留了故障信息。理論及實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了所提出方法的有效性。

相關(guān)源； 非負(fù)矩陣分解； 互信息； 子帶分解； 盲源分離

引言

航空發(fā)動(dòng)機(jī)在研制和生產(chǎn)試車中經(jīng)常出現(xiàn)異常振動(dòng)現(xiàn)象，非相關(guān)源及存在交叉頻率的相關(guān)源振動(dòng)信號(hào)混合在一起，不滿足源信號(hào)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性條件[1-3]。傳統(tǒng)的源數(shù)估計(jì)方法無(wú)法正確識(shí)別源信號(hào)數(shù)目，而基于標(biāo)準(zhǔn)獨(dú)立量分析方法無(wú)法正確分離出此類信號(hào)[4-5]。文獻(xiàn)[6]利用功率譜密度方法估計(jì)相關(guān)源數(shù)，在理論上估計(jì)出上下界，但不能確定具體數(shù)目。文獻(xiàn)[4]指出利用高通濾波器過(guò)濾相關(guān)信號(hào)，然后利用獨(dú)立量分析分離。基于高通濾波后的信號(hào)往往比原信號(hào)更獨(dú)立這一特點(diǎn)，在實(shí)際應(yīng)用中并不理想，指出自適應(yīng)濾波方法需要源信號(hào)的先驗(yàn)概率分布。

筆者利用非負(fù)矩陣分解 (non-negative matrix factorization，簡(jiǎn)稱NMF)方法[7]分解觀測(cè)信號(hào)的功率譜密度系數(shù)，進(jìn)而估計(jì)相關(guān)源數(shù)。非負(fù)矩陣對(duì)源信號(hào)無(wú)統(tǒng)計(jì)性要求，其純加性的和對(duì)稀疏性的描述特性使得描述數(shù)據(jù)更加清晰。利用子帶盲分離算法[1](sub-band decomposition independent component analysis,簡(jiǎn)稱SDICA)對(duì)觀測(cè)信號(hào)分離，得到觀測(cè)信號(hào)子帶，計(jì)算子帶互信息[8](mutual information,簡(jiǎn)稱MI)，剔除互信息最大的子帶進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)。該算法魯棒性強(qiáng)，是分離相關(guān)源振動(dòng)的有效方法。

1 基于非負(fù)矩陣分解的相關(guān)振動(dòng)源源數(shù)估計(jì)

NMF數(shù)學(xué)表達(dá)形式為

Vm×n≈Wm×rHr×n

(1)

其中：V,W及H均為非負(fù)矩陣。

以V及W×H的歐幾里德距離平方(square of eculidian distance,簡(jiǎn)稱SED)為目標(biāo)函數(shù)，約束條件為H的每一列歸一化，表達(dá)式為

(2)

文獻(xiàn)[7]提出了乘性迭代規(guī)則，證明其單調(diào)下降收斂特性。迭代規(guī)則為

(3)

式(1)形式上與盲信號(hào)分離線性瞬時(shí)混合模型相似，其表達(dá)式為

x(t)m×n=Am×ps(t)p×n

(4)

其中：x(t)為觀測(cè)信號(hào)；s(t)為源信號(hào)；A為混合矩陣。

實(shí)際上所觀測(cè)振動(dòng)信號(hào)不滿足非負(fù)條件，故將其進(jìn)行傅里葉變換，得到

x(w)m×q=Am×rs(w)r×q=Am×rBr×ps(w)p×q

(5)

令A(yù)m×p=Am×rBr×p，Br×p為幅值系數(shù)矩陣。由于V,A及B均為正矩陣，滿足非負(fù)矩陣分解條件。利用乘性迭代規(guī)則單調(diào)下降收斂特性，求解源信號(hào)與降維信號(hào)歐式距離首先降為0時(shí)的r即為源數(shù)。

2 相關(guān)振動(dòng)源盲分離

含有同頻的各觀測(cè)信號(hào)是相關(guān)的[9]，基于獨(dú)立分量分析的盲分離技術(shù)不能直接將相關(guān)信號(hào)分離，筆者利用小波包分解，將相關(guān)的子頻帶信號(hào)即共頻信號(hào)剔除，重構(gòu)后進(jìn)行基于獨(dú)立量分析的盲分離，即可得到分離信號(hào)。

源信號(hào)x(t)的第i個(gè)源信號(hào)si(t)可以表示為

si(t)=si,1(t)+si,2(t)+si,3(t)+…+si,L(t)

(6)

其中：si,1(t),si,2(t),si,3(t),…,si,L(t)為源信號(hào)si(t)的各個(gè)子帶分量。

信號(hào)通過(guò)多分辨率小波包分解，相當(dāng)于通過(guò)一個(gè)迭代的帶通濾波器Ti[10-11]。源信號(hào)矩陣信號(hào)s經(jīng)過(guò)這個(gè)濾波器得到子帶分量為

si(t)=Ti[s(t)]

(7)

子帶盲分離的數(shù)學(xué)模型為

xi(t)=Ti[As(t)]=ATi[s(t)]=Asi(t)

(8)

由式(8)可知，混合矩陣通過(guò)濾波器未發(fā)生變化，觀測(cè)信號(hào)子帶分量是混合矩陣與源信號(hào)子帶分量的乘積，可利用觀測(cè)信號(hào)子帶盲分離進(jìn)行相關(guān)源分析。利用互信息值大小表征子帶信號(hào)之間的相關(guān)性。當(dāng)互信息為1時(shí)，子帶信號(hào)完全相關(guān)；互信息為0時(shí)，子帶信號(hào)不相關(guān)。為編程方便，利用高階累積量表達(dá)互信息值，表達(dá)式為

(9)

選取互信息較小的子帶重構(gòu)信號(hào)，利用快速獨(dú)立量分析[12]進(jìn)行盲分離，即可得到剔除同頻分量的故障源信號(hào)。

3 相關(guān)信號(hào)盲分離數(shù)值仿真

構(gòu)造一組相關(guān)振動(dòng)信號(hào)

(10)

其中：s0為s1，s2，s3，s4的共頻信號(hào)。

圖1為未添加共頻信號(hào)時(shí)信號(hào)波形。首先對(duì)觀測(cè)信號(hào)進(jìn)行源數(shù)識(shí)別，當(dāng)傳感器數(shù)目大于源數(shù)時(shí)(這里設(shè)源數(shù)為4，傳感器數(shù)為5)，其混合矩陣A1為對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行非負(fù)矩陣分解，得到源數(shù)與目標(biāo)函數(shù)關(guān)系如圖2，3所示。當(dāng)傳感器數(shù)目大于源數(shù)時(shí)，可正確估計(jì)信號(hào)源數(shù)；當(dāng)傳感器數(shù)目小于源數(shù)時(shí)，可估計(jì)信號(hào)源數(shù)的下限。

圖1 仿真信號(hào)時(shí)間歷程Fig.1 Simulation signal time sierious

圖2 超定情況下最小目標(biāo)函數(shù)值Fig.2 Min objective function value in over-determination case

圖3 欠定情況下源數(shù)與最小目標(biāo)函數(shù)值Fig.3 Min objective function value in under-determination case

隨機(jī)生成一個(gè)混合矩陣，對(duì)源信號(hào)進(jìn)行混合，利用FastICA方法分離，恢復(fù)出的源信號(hào)如圖4所示，其Amari差值計(jì)算為0.218 2[8]。由y1的頻譜可以看出共頻信號(hào)依然存在，并未分出，分離失敗。

圖4 FastICA恢復(fù)信號(hào)時(shí)間歷程與頻譜圖Fig.4 FastICA recovery signal time series and frequency spectrum

利用小波包子帶分解，分解層數(shù)為1時(shí)相當(dāng)于采用高通濾波器提取其高頻信號(hào)進(jìn)行盲分離，其Amari差值計(jì)算為0.11，亦未分離出共頻信號(hào)，采用5層小波包子帶分解，計(jì)算各層子帶間互信息值，提出互信息最大的子帶對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)，然后進(jìn)行盲分離，恢復(fù)信號(hào)及其頻譜圖如圖5所示。可以看出，共頻信號(hào)被分離出來(lái)，計(jì)算出的Amari差值為0.001 8，較好地分離出了共頻信號(hào)，并保留了原始信號(hào)特征信息。

4 轉(zhuǎn)子相關(guān)故障信號(hào)盲分離實(shí)驗(yàn)

在單轉(zhuǎn)子實(shí)驗(yàn)臺(tái)測(cè)取4 kr/min時(shí)基礎(chǔ)松動(dòng)-碰摩-偏心耦合故障，實(shí)驗(yàn)裝置如圖6所示。對(duì)測(cè)得的信號(hào)進(jìn)行去均值并進(jìn)行相關(guān)降噪處理，利用非負(fù)矩陣法計(jì)算源數(shù)，計(jì)算得源數(shù)為3，如圖7所示。

圖5 子帶分解恢復(fù)信號(hào)時(shí)間歷程與頻譜圖Fig.5 Sub-band decomposition blind source separation time series and frequency spectrum

圖6 轉(zhuǎn)子實(shí)驗(yàn)臺(tái)Fig.6 Rotor test rig

圖7 實(shí)驗(yàn)信號(hào)源數(shù)與最小目標(biāo)函數(shù)Fig.7 Experimental signal source number and min objective function value

利用自相關(guān)方法對(duì)觀測(cè)的故障信號(hào)進(jìn)行降噪，然后直接進(jìn)行盲源分離，所得頻譜如圖8所示。各路信號(hào)同頻成分多，主要包括50，250，500 Hz等，說(shuō)明各傳感器測(cè)得的源信號(hào)相關(guān)性強(qiáng)，利用相關(guān)方法信號(hào)降噪并對(duì)降噪后的信號(hào)進(jìn)行小波包子帶分解，分解層數(shù)為6，計(jì)算其互信息值，選取適當(dāng)閾值去除同頻分子帶分量，然后對(duì)不相關(guān)的子帶進(jìn)行重構(gòu)，經(jīng)過(guò)盲源分離所得的頻譜結(jié)果如圖9所示?？擅黠@看出，信號(hào)噪聲降低，頻率成分簡(jiǎn)潔，s1信號(hào)工頻顯著，為不平衡故障，s2信號(hào)倍頻成分豐富，噪聲成分小，可判斷為碰摩故障，s3信號(hào)倍頻成分豐富, 但噪聲較多，可認(rèn)為由基礎(chǔ)松動(dòng)振動(dòng)不斷沖擊底座造成。此方向信號(hào)較強(qiáng)，四倍頻被剔除掉，說(shuō)明各源信號(hào)存在4倍頻，以上推測(cè)符合碰摩故障特征。

圖8 降噪故障信號(hào)盲分離源信號(hào)頻譜Fig.8 Denoising fault signal blind source separation spectrum

圖9 實(shí)驗(yàn)信號(hào)子帶盲分離頻譜Fig.9 Experimental signal sub-band decomposition blind source separation spectrum

5 結(jié) 論

1) 利用非負(fù)矩陣乘性迭代規(guī)則收斂特性進(jìn)行故障信號(hào)降噪并在頻域進(jìn)行分解，無(wú)需考慮源信號(hào)及混合系統(tǒng)特性，尋找代價(jià)函數(shù)最小值即可求得源的個(gè)數(shù)。當(dāng)傳感器數(shù)大于源數(shù)時(shí)，可正確估計(jì)出源數(shù)，當(dāng)傳感器數(shù)目小于源數(shù)時(shí)，可估計(jì)其下限。

2) 利用相關(guān)小波包子帶分解故障信號(hào)，計(jì)算其互信息，選取閾值剔除同頻相關(guān)信號(hào)，進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)后，保留了故障信號(hào)的信息。

3) 對(duì)重構(gòu)后的信號(hào)進(jìn)行盲分離，提取出不相關(guān)的信號(hào)，與直接進(jìn)行盲分離的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，更易于診斷故障及分析因果關(guān)系，從而得出系統(tǒng)振動(dòng)源故障特性。

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*航空自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2012ZD52054)；國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61403193)；南航基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)科研資助項(xiàng)目(NS2014081)

2013-01-28；

2013-03-18

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.01.025

TH132.4

李紀(jì)永，男，1985年1月生，博士研究生。主要研究方向?yàn)樾D(zhuǎn)機(jī)械故障信號(hào)處理。 E-mail：ljynav@163.com