趙景堂，杜國(guó)明，李秀海

（1.中國(guó)石油集團(tuán)東北煉化工程有限公司吉林設(shè)計(jì)院，吉林吉林 132021；2.遼寧省鞍鋼大孤山鐵礦采礦車(chē)間，遼寧鞍山 114046；3.黑龍江工程學(xué)院測(cè)繪工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱 150050）

基于總體最小二乘法的二維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法

趙景堂1，杜國(guó)明2，李秀海3

（1.中國(guó)石油集團(tuán)東北煉化工程有限公司吉林設(shè)計(jì)院，吉林吉林 132021；2.遼寧省鞍鋼大孤山鐵礦采礦車(chē)間，遼寧鞍山 114046；3.黑龍江工程學(xué)院測(cè)繪工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱 150050）

介紹總體最小二乘法進(jìn)行二維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的原理和方法。通過(guò)具體工程案例，研究利用總體最小二乘法進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，結(jié)果表明：與普通最小二乘法相比較，總體最小二乘方法能夠提高坐標(biāo)成果轉(zhuǎn)換精度，但如果應(yīng)用不當(dāng)，則不如普通最小二乘法的轉(zhuǎn)換結(jié)果。

二維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換；最小二乘法；總體最小二乘法；誤差

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問(wèn)題在測(cè)量工作中經(jīng)常遇到，如利用GNSS技術(shù)建立的各類(lèi)控制網(wǎng)需要將WGS84坐標(biāo)成果轉(zhuǎn)換到國(guó)家坐標(biāo)系或地方城市坐標(biāo)系及工程獨(dú)立坐標(biāo)系下的成果，將北京54坐標(biāo)系成果轉(zhuǎn)換為西安80坐標(biāo)系或相反等等，二維平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換是經(jīng)常采用的一種坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法。傳統(tǒng)二維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換通常采用4參數(shù)方法，即2個(gè)平移參數(shù)、1個(gè)尺度參數(shù)和1個(gè)旋轉(zhuǎn)參數(shù)，利用2個(gè)以上重合點(diǎn)的坐標(biāo)采用最小二乘方法（Least Squares，LS）求取4個(gè)轉(zhuǎn)換參數(shù)實(shí)現(xiàn)兩種坐標(biāo)之間的變換。在建立坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型時(shí)，僅考慮目標(biāo)坐標(biāo)的誤差，而把源坐標(biāo)視為無(wú)誤差，這與實(shí)際情況是不符的，因?yàn)槿魏螠y(cè)量和計(jì)算都存在誤差。近年來(lái)，利用總體最小二乘法（Total Least Squares，TLS）進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換得到了重視［1－4］和應(yīng)用，總體最小二乘法同時(shí)考慮源坐標(biāo)和目標(biāo)坐標(biāo)誤差，從理論上較基于普通的最小二乘法坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法具有優(yōu)勢(shì)［5－7］，本文主要利用TLS進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換提供一種新的轉(zhuǎn)換方法。

1 基于LS的二維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法

二維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換通常采用如下4參數(shù)轉(zhuǎn)換模型［8］

式中：Δx，Δy為2個(gè)平移參數(shù)，k為尺度參數(shù)，θ為旋轉(zhuǎn)參數(shù)。式（1）是非線性方程，用附加未知參數(shù)

得到線性化方程

當(dāng)有2個(gè)以上重合點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，采用LS法求式（4）中的未知參數(shù)，并把式（4）寫(xiě)成誤差方程為

2 總體最小二乘法解算坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)

與LS法不同，TLS不僅考慮式（5）中觀測(cè)量的誤差，還考慮系數(shù)矩陣B的誤差，其數(shù)學(xué)模型為

式中：EB為系數(shù)矩陣B的誤差，等權(quán)TLS以式（8）為基礎(chǔ)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。

式中：vec指將矩陣按行拉直所得到的列向量，排列的順序從左至右。

TLS問(wèn)題的求解一般采用奇異值分解法。首先構(gòu)造增廣矩陣［B，L］，對(duì)其進(jìn)行奇異值分解

式中：m為未知數(shù)個(gè)數(shù)，f為式（9）中F的元素。

由于在式（5）B中的元素并非都存在誤差，如式（4）右邊系數(shù)矩陣前2列對(duì)應(yīng)的平移參數(shù)系數(shù)矩陣皆為常數(shù)，不需要修正，僅對(duì)后兩列修正即可。將B及X分解為

式中：B1為不需要修正的分塊系數(shù)矩陣，X1為其對(duì)應(yīng)的未知參數(shù)，B2為需要修正的分塊系數(shù)矩陣，X2為其對(duì)應(yīng)的未知參數(shù)。TLS的解應(yīng)滿足等式

對(duì)式（12）的求解一般是先對(duì)B1進(jìn)行QR分解，再把QT左乘到［B，L］上，得到

由式（14）可建立方程

先利用TLS方法由式（16）求出X2，再將X2代入式（15），即可求出X1，從而實(shí)現(xiàn)全部未知參數(shù)的解算。

3 算例分析

某礦業(yè)權(quán)核查C級(jí)GPS控制網(wǎng)，具有北京54和西安80兩套國(guó)家坐標(biāo)系成果，選擇其中7個(gè)控制點(diǎn)作為轉(zhuǎn)換參數(shù)，8個(gè)控制點(diǎn)作為檢核點(diǎn)。設(shè)計(jì)以下3個(gè)研究方案：

方案1：以傳統(tǒng)最小二乘方法求取坐標(biāo)轉(zhuǎn)化參數(shù)進(jìn)行的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換；

方案2：把式（5）中系數(shù)矩陣B的系數(shù)都作為具有誤差的量進(jìn)行總體最小二乘方法求解轉(zhuǎn)化參數(shù)進(jìn)行的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換；

方案3：把式（5）中系數(shù)矩陣B的系數(shù)分成兩部分，僅考慮子矩陣B2矩陣中元素的誤差進(jìn)行總體最小二乘的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。

三種坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法求取的轉(zhuǎn)換參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 三種方案求取的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)

三種坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方案的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度見(jiàn)表2。

表2 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度統(tǒng)計(jì)

從表1可知，方案2和方案1、3求定的轉(zhuǎn)換參數(shù)差異較大。在表2坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的精度統(tǒng)計(jì)中，方案2的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度也最低，分析原因主要是把系數(shù)矩陣B中的所有量（包括常量）視為具有觀測(cè)誤差的觀測(cè)值是不合理的。在3個(gè)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方案中，方案3坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度比方案1提高了約5mm，說(shuō)明利用整體最小二乘法進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換比普通最小二乘法的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度有所提高。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文基于總體最小二乘法對(duì)二維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換進(jìn)行的研究表明，把具有常數(shù)的誤差方程系數(shù)矩陣中所有元素視為具有誤差的變量是不合理的，其坐標(biāo)轉(zhuǎn)換獲得的結(jié)果不如利用普通最小二乘轉(zhuǎn)換的結(jié)果?；谡w最小二乘法的二維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度比普通最小二乘轉(zhuǎn)換法精度有所提高。

［1］陸玨，陳義，鄭波.總體最小二乘方法在三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中的應(yīng)用［J］.大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)，2008，28（5）：77-81.

［2］姚宜斌，孔建.顧及設(shè)計(jì)矩陣隨機(jī)誤差的最小二乘組合新算法［J］.武漢大學(xué)學(xué)報(bào)：信息科學(xué)版，2014，39（9）：1028-1032.

［3］王樂(lè)洋，許才軍.總體最小二乘研究進(jìn)展［J］.武漢大學(xué)學(xué)報(bào)：信息科學(xué)版，2013，38（7）：850-854.

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［6］汪奇生，楊德宏.顧及系數(shù)矩陣常數(shù)列的總體最小二乘迭代解法［J］.測(cè)繪工程，2014，23（7）：38-40.

［7］張亞利，劉星.偏最小二乘回歸在系統(tǒng)形變分析中的應(yīng)用［J］.測(cè)繪工程，2014，23（8）：1-5.

［8］孔祥元，梅是義.控制測(cè)量學(xué)［M］.武漢：武漢大學(xué)出版社，2004：147-148.

［責(zé)任編輯：郝麗英］

A study of two dimensional coordinate transformation based on total least squares

ZHAO Jing-tang1，DU Guo-ming2，LI Xiu-hai3

（1.Jilin Design Institute of Petro China Northeast Refining ＆Chemicals Engineering Co.Ltd.，Jilin 132021，China；2.Ansan Dagushan Iron Mine，Anshan 114046，China；3.College of Surveying and Mapping Engineering，Heilongjiang Institute of Technology，Harbin 150050，China）

The method and principle of two dimensional coordinate transformation based on total least squares are introduced.The total least squares are applied to a survey engineering example in two dimensional coordinate transformation.The results show that compared with least squares，two dimensional coordinate transformation based on total least squares can improve the precision of transformation and deteriorate it if incorrect by using this method.

two dimensional coordinate transformation；least squares；total least squares；error

TU198

A

1671-4679（2015）01-0021-02

2014-11-14

黑龍江省教育廳資助項(xiàng)目（12511465）

趙景堂（1966－），男，高級(jí)工程師，研究方向：工程測(cè)量.