王曉峰，時(shí)紅蓮，唐志政，牛超穎

（1.中國地質(zhì)大學(xué)（武漢）工程學(xué)院，武漢 430074；2.山東正元建設(shè)工程有限責(zé)任公司，山東煙臺(tái) 264670）

基于統(tǒng)計(jì)模型的非飽和土滲透系數(shù)函數(shù)研究

王曉峰1，2，時(shí)紅蓮1，唐志政1，牛超穎1

（1.中國地質(zhì)大學(xué)（武漢）工程學(xué)院，武漢 430074；2.山東正元建設(shè)工程有限責(zé)任公司，山東煙臺(tái) 264670）

對(duì)比分析2種基于統(tǒng)計(jì)模型預(yù)測(cè)非飽和土滲透系數(shù)的方法（Kunze法與Fredlund法），得出：2種方法本質(zhì)相同，僅選取的積分限和積分變量形式不同，是對(duì)同一問題的2種不同表述。對(duì)其簡(jiǎn)化計(jì)算方法中各參數(shù)的選取進(jìn)行深入分析，結(jié)果表明：分段數(shù)m取值介于15～50時(shí)較為合理，且Fredlund方法中取ln（1 000 000）（假定殘余含水率為0）為積分上限、進(jìn)氣值的對(duì)數(shù)為積分下限，理論上會(huì)使預(yù)測(cè)結(jié)果偏大。當(dāng)接近飽和含水率時(shí)，非飽和滲透系數(shù)隨含水率的變化較為敏感，當(dāng)接近殘余含水率時(shí)，滲透系數(shù)變化率很小且差異性趨于不明顯。

非飽和土；滲透系數(shù)；統(tǒng)計(jì)模型；Kunze法；Fredlund法；殘余含水率

2015，32（01）：102－105

1 研究背景

作為土力學(xué)的3大經(jīng)典問題之一，滲流問題一直倍受關(guān)注。現(xiàn)有的研究大都限于飽和土，有關(guān)非飽和土滲流特性的研究相對(duì)較少，尤其是受到實(shí)驗(yàn)條件的限制。為此，前人開發(fā)了很多數(shù)學(xué)預(yù)測(cè)模型，主要有經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀⒑暧^模型、統(tǒng)計(jì)模型和分形模型。經(jīng)驗(yàn)、宏觀模型需通過多組實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)求解擬合參數(shù)，仍不能擺脫試驗(yàn)條件的限制，分形理論在這方面應(yīng)用時(shí)間較短，預(yù)測(cè)結(jié)果有待檢驗(yàn)，而統(tǒng)計(jì)模型因其推導(dǎo)過程嚴(yán)謹(jǐn)、預(yù)測(cè)準(zhǔn)確等特點(diǎn)被不斷完善和發(fā)展。統(tǒng)計(jì)模型假定，在土體中孔徑為ri的孔隙頻率分布函數(shù)為f（ri），并且對(duì)于每一個(gè)特定尺寸的孔隙，認(rèn)為Hagen-Poiseuille方程成立，則對(duì)所有孔隙進(jìn)行積分就可得到土體的滲透系數(shù) K。同時(shí)假定，基于Kelvin毛細(xì)模型，非飽和土的土水特征曲線可以表征其孔隙頻率分布函數(shù)。于是，在土－水特征曲線已知的情況下，以孔隙頻率分布函數(shù)作為中間函數(shù)可推導(dǎo)出滲透系數(shù)曲線。

基于該理論，國內(nèi)外學(xué)者開發(fā)了眾多預(yù)測(cè)方程，尤其是Kunze修正方法［1］（1968）和由此延伸出的Fredlund（1994）方法［2］被廣泛應(yīng)用于實(shí)際工程和科研。葉為民等［3］利用Fredlund方法預(yù)測(cè)了上海非飽和軟土的滲透系數(shù)，并認(rèn)為：雖然以進(jìn)氣值作為積分下限，但實(shí)際上任何0到ψaev之間的值都可以使用，換言之，沒必要知道精確的進(jìn)氣值。張銳等［4］利用Kunze修正法預(yù)測(cè)了廣西寧明2種膨脹土的原狀樣和重塑樣的非飽和滲透系數(shù)，進(jìn)而得到了非飽和膨脹土的含水量－滲透系數(shù)關(guān)系及其變化規(guī)律。張紅芬等［5］利用Kunze修正法對(duì)黃河大堤非飽和土的滲透系數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，跟實(shí)測(cè)結(jié)果對(duì)比發(fā)現(xiàn)當(dāng)體積含水率為7%～23%時(shí)，直接法和間接法所得滲透系數(shù)比較接近。圍壓200 kPa條件下，當(dāng)體積含水量等于0.13時(shí)，相對(duì)誤差為0；大于0.13時(shí)，相對(duì)誤差為負(fù)，即間接法所得滲透系數(shù)小于實(shí)測(cè)值；小于0.13時(shí)，相對(duì)誤差為正，即間接法所得滲透系數(shù)大于實(shí)測(cè)值。隨后李小偉等［6］、梁艷等［7］、常波等［8］等利用Kunze修正法分別研究了密度對(duì)非飽和土滲透系數(shù)的影響、臨江Ⅱ號(hào)崩滑堆積體的滑帶土及滑體土的滲透特性和晚更新世黃土豎直與水平方向的非飽和滲透系數(shù)分布規(guī)律。

可見，統(tǒng)計(jì)模型方法為研究非飽和土的滲透特性帶來了便利。但在應(yīng)用過程中依然存在很多問題，如：分段數(shù)m的確定、土－水特征曲線擬合公式及積分限的選取等。為研究這些因素對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果的影響，本文通過選取不同參數(shù)值對(duì)滲透曲線的變化規(guī)律做了深入分析，并對(duì)2種常用方法進(jìn)行了評(píng)價(jià)。

2 方法解析與簡(jiǎn)化

2.1 Kunze法與Fredlund法的聯(lián)系與區(qū)別

Childs和Collis-George［9］（1950）最先提出滲透系數(shù)K與不同孔徑連通率函數(shù)之間的關(guān)系式，Marshall［10］（1958）將其理論擴(kuò)展得到一個(gè)飽和滲透系數(shù)函數(shù)，結(jié)合Young-Laplace方程推導(dǎo)出了非飽和土的滲透系數(shù)表達(dá)式，并最終由Kunze等（1968）進(jìn)行修正，其相對(duì)滲透系數(shù)的積分形式見式（1）。

式中：Kr為相對(duì)滲透系數(shù)；θL為試驗(yàn)土－水特征曲線上最低的體積含水率（一般取θr）；θs為飽和含水率。

Fredlund發(fā)現(xiàn)，在應(yīng)用上述方法時(shí)必須求得殘余含水率，而通常情況下該值并不易獲取。Croney and Coleman［11］（1961）實(shí)踐和Richards［12］（1965）理論證明，對(duì)于不同類型土體0含水率所對(duì)應(yīng)的吸力值是一個(gè)常數(shù)，約為106kPa。于是，F(xiàn)redlund和Xing［13］（1994）提出一個(gè)描述土－水特征曲線在整個(gè)吸力范圍內(nèi)（即0～106kPa）的總方程為

式中：e為自然數(shù)；a為土的進(jìn)氣值；n為控制土－水特征曲線中拐點(diǎn)處斜率的參數(shù)；m為與殘余含水率相關(guān)的參數(shù)；C（ψ）為修正因子，可使模型能夠表征0含水率時(shí)的吸力值為

式中：Cr是殘余含水率狀態(tài)時(shí)的吸力值（kPa），F(xiàn)redlund-Xing模型假定殘余含水率為0。若考慮的是整個(gè)吸力范圍，則體積含水率以0含水率為基準(zhǔn)，從而避免求解殘余含水率。最終將式（1）化為式（4），即

式中：ψaev為進(jìn)氣值；b＝ln（1 000 000）；y為吸力對(duì)數(shù)的積分虛擬變量。

分析可知，Kunze法與Fredlund法本質(zhì)相同，都是由土－水特征曲線，以相同孔隙分布概率函數(shù)作為過渡準(zhǔn)則推導(dǎo)滲透系數(shù)曲線，是同一問題的2種不同表達(dá)形式。同一土體在同一路徑上的土－水特征曲線客觀存在，具有唯一性，若擬合效果足夠準(zhǔn)確，不管選用何種形式的方程，不影響積分結(jié)果。Kunze法的積分區(qū)間為θL～θs，F(xiàn)redlund法的積分區(qū)間為ψaev～ln（1 000 000），用含水率表示為0～θa（θa為進(jìn)氣值對(duì)應(yīng)的含水率，其值小于θs）。由此看出，2種方法的本質(zhì)差別在于積分區(qū)間兩端位置的選取不同。并且，當(dāng)積分區(qū)間取值相同時(shí)，Kunze法與Fredlund法完全等效，只不過前者是以θ為積分變量，而后者是以lnψ為積分變量。根據(jù)相關(guān)數(shù)學(xué)理論，積分結(jié)果與積分變量的選取無關(guān)。

2.2 簡(jiǎn)化計(jì)算方法

Kunze法與Fredlund法本質(zhì)相同，均可通過以下簡(jiǎn)化形式求解［14］：

式中：Kw（θw）i為用相應(yīng)于第i個(gè)間段的體積含水率（θw）i確定的水滲透系數(shù)（m/s）；i為間段編號(hào)，隨體積含水率的減小而增加，例如，當(dāng)i＝1時(shí)，表示第一個(gè)間段，即緊靠最大體積含水率 θmax（理論上θmax＝θs）；當(dāng)i＝m時(shí)，則表示最末一個(gè)間段，相應(yīng)于試驗(yàn)土－水特征曲線上最低的體積含水率θL（理論上θL＝θr）；j為從“i”到“m”的某個(gè)數(shù)；m為在土－水特征曲線上，從最大體積含水率θmax到最低體積含水率θL的間段點(diǎn)總數(shù)；Ks為實(shí)測(cè)飽和滲透系數(shù)（m/s）；Ksc為計(jì)算飽和滲透系數(shù)（m/s）；ua為非飽和土體內(nèi)孔隙氣壓力（kPa）；uw為非飽和土體內(nèi)孔隙水壓力（kPa）；Ad為調(diào)整常數(shù)，該計(jì)算值不會(huì)影響Kw（θw）i的最終值，具體請(qǐng)參閱文獻(xiàn)［14］。

該方法將土－水特征曲線沿體積含水率軸分成m等份，如圖1所示，相應(yīng)于每一個(gè)等分中點(diǎn)的基質(zhì)吸力可用于計(jì)算滲透系數(shù)。計(jì)算過程中，假設(shè)統(tǒng)計(jì)模型理論成立且土－水特征曲線方程足夠準(zhǔn)確，則m值的確定，積分上、下限的選取是影響預(yù)測(cè)結(jié)果的主要因素。

圖1 根據(jù)土水特征曲線預(yù)測(cè)滲透系數(shù)Fig.1 Prediction of hydraulic conductivity according to soil-water characteristic curve

3 參數(shù)選取對(duì)滲透系數(shù)的影響

3.1 “m”值對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果的影響

試驗(yàn)測(cè)定某黃土試樣的土－水特征曲線方程見式（7），結(jié)合式（5）、式（6）計(jì)算出體積含水率與相對(duì)滲透系數(shù)的關(guān)系曲線見圖2，計(jì)算時(shí)最大體積含水量取θs，最小體積含水量取θr，m分別取5，10，15，20，40。

由圖2知，m＝5時(shí)，預(yù)測(cè)結(jié)果偏大，而m＞10時(shí)，預(yù)測(cè)曲線幾乎重合。雖然理論上m取無窮大時(shí)最接近真實(shí)值，但實(shí)際，當(dāng)m＞10，即使m成倍增加，曲線的預(yù)測(cè)精度提高很少。因此，利用簡(jiǎn)化的Kunze法或Fredlund法預(yù)測(cè)非飽和土的滲透系數(shù)時(shí)，m在 15～50范圍內(nèi)取值即可，既能保證預(yù)測(cè)結(jié)果的精確度，又可減少計(jì)算量，提高工作效率。

圖2 體積含水率與滲透系數(shù)的關(guān)系曲線Fig.2 Relationship between volumetric water content and hydraulic conductivity

3.2 積分限對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果的影響

通常情況下殘余含水率時(shí)水分類型以結(jié)合水為主，土體內(nèi)水分運(yùn)移主要以蒸汽形式進(jìn)行，對(duì)應(yīng)的滲透系數(shù)為0，因此，選取飽和含水率為積分上限、殘余含水率為積分下限最合理。為研究上下限取不同值時(shí)對(duì)計(jì)算精度的影響，將各參數(shù)設(shè)置如表1進(jìn)行分析，計(jì)算出的體積含水率與相對(duì)滲透系數(shù)關(guān)系曲線見圖3。

表1 參數(shù)設(shè)置表Table 1Parameter settings

由圖3知，隨積分上限θmax取值的減小預(yù)測(cè)值偏大，隨積分下限θL取值的增大預(yù)測(cè)值偏小，且變化相同幅度，上限變化時(shí)預(yù)測(cè)結(jié)果嚴(yán)重偏離對(duì)照組，下限變化時(shí)偏離很小?？梢?，預(yù)測(cè)精度對(duì)上限的變化相當(dāng)敏感，而下限的變化對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果影響較小。θL由0.080 6變到0.20時(shí)計(jì)算出的曲線幾乎重合，只有當(dāng)下限值變化幅度非常大時(shí)才會(huì)對(duì)計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生明顯影響。

圖3 體積含水量與滲透系數(shù)的關(guān)系曲線Fig.3 Relationship between volumetric water content and hydraulic conductivity

Fredlund-Xing模型假定殘余含水率為0，積分上限變?yōu)閎＝ln（1 000 000），即該方法將0含水率作為滲透系數(shù)為0的基準(zhǔn)點(diǎn)，而不是以殘余含水率，換言之，殘余含水率對(duì)應(yīng)的滲透系數(shù)必然大于0，從而導(dǎo)致預(yù)測(cè)結(jié)果偏大。但通過圖3分析可知，積分限θL取值的變化對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果的影響很小，即使偏大，其程度微乎其微，尤其對(duì)于殘余含水率較小的土體。所以，F(xiàn)redlund假定殘余含水率為0，既避免了求解殘余含水率又可保證預(yù)測(cè)精度。

同時(shí)，F(xiàn)redlund將積分下限變?yōu)閘nψae，對(duì)應(yīng)的含水率為θa（小于飽和含水率θs），即該方法將進(jìn)氣值對(duì)應(yīng)的含水率作為飽和滲透系數(shù)基準(zhǔn)點(diǎn)，實(shí)際上該點(diǎn)滲透系數(shù)要小于飽和滲透系數(shù)，最終同樣使預(yù)測(cè)結(jié)果偏大。分析知，當(dāng)飽和度較高時(shí)，含水率的微小變化將導(dǎo)致滲透系數(shù)大幅變化，此時(shí)積分限的變化對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果的影響不能忽略。所以，在利用該方法進(jìn)行計(jì)算時(shí)，應(yīng)求出進(jìn)氣值對(duì)應(yīng)的滲透系數(shù)Ka，則Kw（θw）i＝Ka×Kr，且僅能預(yù)測(cè)進(jìn)氣值以后吸力范圍的非飽和滲透系數(shù)。

4 結(jié) 論

本文通過對(duì)比分析Kunze法與Fredlund法的聯(lián)系和區(qū)別，得出以下結(jié)論：

（1）Kunze法與Fredlund法本質(zhì)相同，都是由土－水特征曲線，以相同中間函數(shù)為過渡準(zhǔn)則推導(dǎo)滲透系數(shù)方程，是同一問題的不同表述，F(xiàn)redlund法雖然能避免求解殘余含水率，簡(jiǎn)化計(jì)算，但理論上使預(yù)測(cè)結(jié)果偏大。

（2）在利用簡(jiǎn)化方法進(jìn)行計(jì)算時(shí)，理論上m取值越大越精確，但實(shí)際中，當(dāng)m＞10時(shí)，即使m成倍增加，預(yù)測(cè)精度提高并不明顯，取值在15～50范圍內(nèi)即可滿足要求。

（3）非飽和滲透系數(shù)在飽和度較高時(shí)對(duì)含水率的變化非常敏感，而當(dāng)含水率接近殘余含水率時(shí)，滲透系數(shù)變化率很小且差異性趨于不明顯。

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（編輯：王 慰）

Hydraulic Conductivity Functions for Unsaturated Soils Based on Statistical M odels

WANG Xiao-feng1，2，SHIHong-lian1，TANG Zhi-zheng1，NIU Chao-ying1
（1.Faculty of Engineering，China University of Geosciences，Wuhan 430074，China；2.Shandong Zhengyuan Construction Engineering Co.，Ltd.，Yantai 264670，China）

By comparing and analyzing twomethods（Kunze’smethod and Fredlund’smethod）based on statistical models to predicting the hydraulic conductivity of unsaturated soils，we found that they are exactly the same in essence justwith different limits of integration and integration variable forms.Moreover，by analyzing the selection of parameters in their simplified calculation we obtain that it ismore reasonable to determine the value of m within 15－50.Theoretically the prediction resultwill be larger if ln（1000000）（residualwater content is assumed to be 0）is taken as the integration upper limit and logarithm of air-entry value as the integration lower limit in Fredlund method.

unsaturated soil；hydraulic conductivity；statisticalmodel；Kunze’smethod；Fredlund’smethod；residual water content

TU411.91

A

1001－5485（2015）01－0102－04

10.3969/j.issn.1001－5485.2015.01.021

2013－08－21；

2013－09－26

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（41272307）；教育部長(zhǎng)江三峽庫區(qū)地質(zhì)災(zāi)害研究中心開放基金（TGRC201011）

王曉峰（1988－），男，山東濱州人，碩士，主要從事土－水相互作用機(jī)理研究和巖土工程設(shè)計(jì)工作，（電話）13655352233（電子信箱）964547554＠qq.com。

時(shí)紅蓮（1969－），女，河南鄭州人，副教授，碩士，主要從事巖土工程性質(zhì)的試驗(yàn)及基礎(chǔ)工程設(shè)計(jì)工作，（電話）13871279685（電子信箱）shhl2000＠126.com。