汪富泉

（廣東石油化工學(xué)院繼續(xù)教育學(xué)院，廣東茂名 525000）

泥沙起動研究的伊辛和重整化群方法探討

汪富泉

（廣東石油化工學(xué)院繼續(xù)教育學(xué)院，廣東茂名 525000）

為探討泥沙起動的物理機制和臨界概率，把泥沙起動作為一種臨界現(xiàn)象，與連續(xù)相變進行類比，應(yīng)用臨界現(xiàn)象、連續(xù)相變和重整化群的原理和方法建立了泥沙成片起動的二維伊辛模型和二維重整化群模型及算法。通過綜合分析得到泥沙成片起動的一個臨界概率，其閾值約為0.42，該值與已有實驗和觀測結(jié)果基本接近。把泥沙運動力學(xué)和分形動力學(xué)相結(jié)合探討了床面起動的物理機制。研究結(jié)果表明：床面整體起動和DLA（受限制的擴散凝聚）集團的分形生長有類似的物理機制，對閾值小于0.5就能引起床面整體起動給出了一個物理詮釋。該新思想和新方法的引入對探討推移質(zhì)整體啟動這類復(fù)雜現(xiàn)象是有所裨益的。

泥沙起動；相變；伊辛模型；重整化群；閾值；床面起動

2015，32（01）：6－10

1 研究背景

泥沙起動是顆粒由靜止?fàn)顟B(tài)轉(zhuǎn)移到運動狀態(tài)的臨界現(xiàn)象［1］，人們十分重視起動的條件、流速、概率及判別標(biāo)準等方面的研究［2－6］。水下推移質(zhì)體系是一個復(fù)雜的多體問題，它包含大量不同尺度、不同形狀的泥沙顆粒，同時涉及到水流和泥沙之間以及泥沙顆粒之間復(fù)雜的相互作用。如：水流對顆粒的拖曳、上舉作用，薄膜水附加壓力和顆粒重力抗拒水流拖曳力的作用，顆粒之間由于隱爆效應(yīng)、黏結(jié)力、離散力產(chǎn)生的相互作用等。這些作用既受制于確定性的力學(xué)規(guī)律，又受到隨機因素的影響［2－6］。這說明單純動力學(xué)方法或統(tǒng)計方法都不能很好地刻畫推移質(zhì)運動，因此迄今尚未完全闡明問題的物理實質(zhì)。

力學(xué)是描述少量粒子運動規(guī)律和相互作用的科學(xué)［7］，對床面層內(nèi)由大量泥沙顆粒組成的宏觀系統(tǒng)顯得無能為力。泥沙起動作為一種臨界現(xiàn)象，與統(tǒng)計物理中的相變問題密切相關(guān)，它是對微觀的、力學(xué)的運動“平均”的結(jié)果，只需要引入少數(shù)幾個宏觀變量來描述和處理這樣的系統(tǒng)。因此熱力學(xué)和統(tǒng)計物理方法可能是行之有效的，但這方面的研究迄今尚未見到，本文將對此進行初步嘗試，把泥沙起動和相變進行類比，然后建立伊辛模型和重整化群算法來探討泥沙普遍起動的概率閾值。

2 泥沙起動與相變的類比

相變是自然界中的一種普遍現(xiàn)象。研究表明［7］，雖然相變的具體機制多種多樣，起因和表現(xiàn)錯綜復(fù)雜，但是各種相關(guān)變量的相似之處遠遠超出它們之間的差異。在相變臨界點附近，各種物理量的奇異性彼此十分相似。相變分為1至K級，K級相變指熱力學(xué)勢及其K－1階以內(nèi)導(dǎo)數(shù)連續(xù)，K階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)的相變。2階以上的相變通稱為連續(xù)相變或臨界現(xiàn)象。連續(xù)相變沒有體積變化或熱量吸收，但有序程度和與之伴隨的對稱性質(zhì)發(fā)生變化。物理參數(shù)的無窮小變化引起對稱破缺是連續(xù)相變的本質(zhì)。把泥沙起動與連續(xù)相變進行類比，有可能透過推移質(zhì)運動千差萬別的個性（如顆粒級配、床面幾何結(jié)構(gòu)、平均流速、拖拽力等），抓住最普遍最本質(zhì)的規(guī)律。單顆泥沙靜止與運動狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)變無疑是一種相變，但是我們更感興趣的是整個床面形態(tài)的變化，即泥沙大量起動或普遍泥沙運動問題。首先我們論證，泥沙普遍起動現(xiàn)象可視為連續(xù)相變。張小峰等［8］認為，起動流速與起動概率的關(guān)系是連續(xù)變化的，不存在突變的地方。從相變的角度分析，張小峰所說的起動顆粒百分數(shù)與起動流速之間不存在突變是指不存在1級相變。因為對1級相變，序參量在臨界值處從0一下子躍變到非0有限值。事實上，張小峰等給出的顆粒起動概率與水流起動流速之間的關(guān)系曲線［8］與連續(xù)相變序參量隨控制參數(shù)的變化相似［7］，另一方面，在普遍泥沙運動階段，各種大小的泥沙均已投入運動，引起床面外形的急劇改變［9－10］。如果把起動流速和起動概率視為物理參數(shù)，這正好說明，物理參數(shù)的連續(xù)變化引起床面形態(tài)突變，這正是連續(xù)相變的物理本質(zhì)。用uw表示近底水流速度，ub1表示推移質(zhì)平均運動速度，當(dāng)uw較小時，床面上僅有屈指可數(shù)的細顆粒泥沙在運動，可視整個床面顆粒的平均速度ub1＝0，因而從宏觀上看整個床面處于靜止且各向均勻；當(dāng)uw增大時，運動顆粒數(shù)增多，微觀運動速度的均值不為0。設(shè)M＝ub1≠0，這相當(dāng)于中等大小以下的顆粒在運動和靜止中作了選擇，運動顆粒已無法計數(shù)，床面局部形態(tài)因有些區(qū)域在運動，有些仍處于靜止，使各個小區(qū)域可以區(qū)別，因而出現(xiàn)了宏觀非均勻和有序。在一定范圍內(nèi)，M的大小可以表示有序的程度，可稱為序參量。當(dāng)uw進一步增大至某個臨界值uwc時，各種大小的沙粒均投入運動，床面形態(tài)急劇變化?？梢姰?dāng)uw→uwc時序參量連續(xù)地從0變到非0有限值。此外，M正比于起動顆粒百分數(shù)，在遠離臨界值時，運動顆粒數(shù)增加緩慢，在uw即將到達臨界流速uwc時，運動顆粒數(shù)突然增多，但關(guān)系曲線仍是連續(xù)的。

與相變問題一樣，推移質(zhì)運動也涉及3個不同尺度：①反映顆粒結(jié)構(gòu)的常數(shù)即平均粒徑ˉd；②反映顆粒之間相互作用的關(guān)聯(lián)長度ξ；③反映無標(biāo)度性的尺度r。根據(jù)卡丹羅夫標(biāo)度理論，在體系接近臨界點時，具有近似的標(biāo)度不變性，可用r來反映理論描述的細致程度。當(dāng)體系靠近臨界點時，ˉd﹤﹤r﹤﹤ξ，因為ˉd﹤﹤r，可以把微觀尺度上的運動平均掉，作一種中觀描述。到了臨界點，ˉd﹤﹤r﹤﹤∞，理論上r有無限的變化范圍，這相當(dāng)于整個床面上的泥沙顆粒全部投入運動，小范圍內(nèi)的運動和更大范圍內(nèi)的運動具有相似的特征，因此可通過標(biāo)度變換求出體系的普適性質(zhì)。

運動顆粒增多到什么程度可以引起相變？起動概率的標(biāo)準如何確定？下節(jié)將運用模型和算法來探討其閾值。

3 模型和算法的閾值分析

伊辛模型是為描述各向異性很強的磁性晶體而引入的，它能很好地描述體系的各向異性。研究發(fā)現(xiàn)［7］，它的意義遠遠超過了鐵磁相變，是一大類相變現(xiàn)象的代表，能揭示臨界現(xiàn)象的許多共同本質(zhì)。泥沙運動的具體細節(jié)雖然很復(fù)雜，但它作為一種臨界現(xiàn)象必然遵循其普適規(guī)律。作為一種初步嘗試，下面將運用伊辛方法來建立描述泥沙起動這一臨界現(xiàn)象的統(tǒng)計模型。

首先建立一個正方形點陣模型。考慮矩形河槽，設(shè)河寬為B，取其長為B的一段得到一個正方形，將正方形分為N個小正方形，每個小正方形內(nèi)有一顆泥沙。水流推移力和上舉力之合力構(gòu)成的力矩記為M1，它是沙粒的起動力矩；顆粒的有效重力和沙粒之間的黏結(jié)力之合力構(gòu)成的力矩M2是抗拒起動的力矩。當(dāng)M1≥M2時，沙粒起動，否則將靜止。任一顆粒只有運動和靜止2種微觀狀態(tài)，分別賦以值1和－1，則每個沙粒的狀態(tài)集為σi＝｛1，－1｝。N個沙粒的一個微觀狀態(tài)記為

因顆粒在床面上排列的位置是隨機的，所以每個沙粒都可取2種狀態(tài)，共有2N種狀態(tài)。水流的脈動，瞬間作用力（推移力和上舉力）具有隨機性，顆粒間的相互位置、顆粒大小、形狀、分選、方位等差異，使各個顆粒的起動力矩也是隨機的并反映在起動顆粒的作用力臂上。顆粒之間具有相互作用，如黏合力、隱爆效應(yīng)［2］等。從一顆泥沙的起動對另一顆泥沙是否起動的影響來看，可以只考慮最近鄰顆粒間的相互作用。假如2個顆粒之間相互作用的強度為±J，若一個顆粒受另一顆粒的隱蔽作用，使得一顆粒阻礙另一顆粒的起動，那么就2個顆粒運動的平均效應(yīng)而言，起動將被削弱，其作用強度記為－J；反之，若一顆粒有助于另一顆粒的起動，使總效應(yīng)增強，作用強度記為J。因床面泥沙顆粒處于一外場（水流）之中，因此J可以和能量聯(lián)系起來。顆粒的相互作用增大起動難度時，將增加水流的能量消耗；反之將減小水流能量消耗。由統(tǒng)計物理學(xué)知，σ分配的能譜為

式中（ij）表示對一切最近鄰求和。上式的配分函數(shù)為

式中：U表示水流近底流速；C表示單位流速提供的能量，取作常數(shù)。根據(jù)推移質(zhì)運動的特性，對相同的U，J值越大，起動概率P也越大。即在相同的流速下，顆粒最近鄰間的相互作用越有利于泥沙啟動或者說顆粒獲得的起動能量越大，起動概率或啟動顆粒百分數(shù)也越大，又根據(jù)概率分布函數(shù)的性質(zhì)，可假設(shè)位于某個方形格點上的泥沙顆粒起動并跨一步到相鄰格點的概率分布函數(shù)為

顯然P具有概率分布函數(shù)的所有性質(zhì)并與泥沙起動的實際情況基本吻合。根據(jù)相變理論［7］計算知，P＝th（J/CU）的臨界概率Pc＝－1≈0.414 2。這里的相變指的是床面形態(tài)的突變。也就是說，當(dāng)起動概率P接近0.41時，床面顆粒已普遍投入運動，形態(tài)已發(fā)生突變。

為進一步探討起動概率閾值，下面運用重整化群方法來計算相變的臨界點。威爾遜創(chuàng)立的重整化群方法是研究臨界現(xiàn)象行之有效的方法［11］，所求出的各種臨界指數(shù)與實驗結(jié)果相符。對前述正方形點陣進行集團（元胞）歸并。把標(biāo)度擴大2倍，即把相鄰4個小正方形格子（對應(yīng)4顆泥沙）歸并為一個較大的正方形格子（視為1顆泥沙），這樣可用1顆泥沙的運動來代表相鄰4顆泥沙的平均運動。根據(jù)問題的物理性質(zhì)，小集團與大集團之間的關(guān)系采取少數(shù)服從多數(shù)的原則：如果相鄰4顆泥沙中有3顆以上起動，歸并后的集團亦視為起動。4顆都起動時只有一種微觀狀態(tài)；4顆中有3顆起動時有C43＝4種狀態(tài)。對2顆泥沙起動的情況，共有C42＝6種微觀狀態(tài)。因顆粒動靜參半，應(yīng)分別對待。根據(jù)水流運動特性、顆粒隱爆效應(yīng)、粒間相互作用和起動顆粒的位置情況，可以假設(shè)沿河寬方向和對角線方向的2顆泥沙（共4種狀態(tài)）起動時易引起其它顆粒相繼起動。相應(yīng)組態(tài)歸并后的集團也視為起動集團。當(dāng)4個顆粒中只有1個顆粒起動時，則把歸并后的集團視為靜止集團。然后按照上述原則重復(fù)此過程，把集團逐級歸并到更大集團直至整個體系。泥沙起動是一種隨機現(xiàn)象，假設(shè)單顆泥沙的起動概率為P，靜止的概率為1－P，集團起動的概率為P′，從而得到重整化方程為

式中T2是非線性重整化算子，設(shè)T2的不動點為P*，由不動點存在定理［11］，有

解方程（6）得

因P表示概率，所以應(yīng)去掉不動點P*2。經(jīng)計算得

泥沙起動發(fā)生在床面層內(nèi)，該層厚度約為泥沙平均粒徑的2～3倍。相對于河寬，這個數(shù)值是相當(dāng)小的。因此，在不考慮床面層厚度的情況下，可把泥沙起動視為二維點陣模型上粒子的隨機行走建立伊辛模型，運用重整化群方法求出床面顆粒大量起動的臨界概率（閾值），兩者十分接近。經(jīng)過上述綜合分析，我們認為可以把0.42作為床面泥沙顆粒普遍起動的臨界概率。

最后對三維情況進行初步探討。如果考慮床面層厚度，推移運動則為三維點陣上的隨機行走，按照伊辛模型的方法估計相變臨界概率約為0.22。如果用三維點陣上的重整化群方法來建立模型，考慮均勻球形沙粒在立方體內(nèi)的堆砌，臨界概率與堆砌方式有關(guān)。假設(shè)按“面心立方堆砌”，在立方體的8個頂點和6個面的中心各放1個沙粒，這樣每個沙粒都和12個最近鄰相關(guān)。對推移質(zhì)運動而言，下面的兩層雖然可按層移方式運動，但是，就起動來說，只有當(dāng)上面的一層顆粒它移之后，下層的顆粒才能起動。因此，首先考慮的還是最上面一層的起動問題。按少數(shù)服從多數(shù)的原則，只要上面一層的4個顆粒中有3個以上顆粒起動，就可能帶來床面層的成片起動。由于總顆粒數(shù)為14，所以我們猜測臨界概率Pc≥3/14≈0.214 3，與三維伊辛模型的臨界值相近，他們之間的聯(lián)系有待進一步探討。

4 床面整體起動的物理機制

從上節(jié)分析知，泥沙大量起動的臨界概率值小于0.5。在此低概率下為什么能導(dǎo)致普遍的泥沙運動呢？本節(jié)將探討其物理機制。根據(jù)錢寧等［9］對顆粒受力情況和方位的分析，假設(shè)床面上N個顆粒中有R個顆粒易于運動，將其標(biāo)記為A類，W個顆粒在相鄰顆粒未它移之前根本不能運動，將其標(biāo)記為B類。則

若W＝0，則ζ＝1，即所有顆粒均處于起動狀態(tài)，床面將整體起動；若R＝W，則ζ＝0，AB配對在整個床面上處處一樣，分不出順序。要形成序，只能靠顆粒間的相互作用。設(shè)AA，BB，AB之間的相互作用分別為VAA，VBB，VAB，有

床面上將出現(xiàn)A類沙粒作近鄰的傾向，在相同的水力條件下，這種排列比其它情況更易引起整體起動。ζ相當(dāng)于顆粒在相互作用下自發(fā)趨向于A狀態(tài)的強度。當(dāng)ζ從0趨向于非0值時，床面從均勻無序的宏觀狀態(tài)趨于一種宏觀有序態(tài)。把水流近底流速uw作為水下泥沙系統(tǒng)的一個控制參數(shù)，根據(jù)臨界現(xiàn)象的普適性［7］有

式中β＞0，稱為臨界指數(shù)。用P＝R/N表示易起動顆粒占總顆粒的百分數(shù)，則P和床面起動概率之間存在一定關(guān)系。若P＝0（R＝0）或P很小，床面無泥沙運動或只有輕微的泥沙運動，床面起動概率為0；若P＝1（W＝0），所有顆粒均起動，床面起動概率為1。除這2種極端情形外，A類顆粒無規(guī)地混雜在B類顆粒之中。這樣，每個P值都對應(yīng)一定的床面起動概率，在Pc附近有冪律關(guān)系

可見當(dāng)P接近臨界值Pc時，床面起動概率迅速上升且接近和達到1。

任意指定一個起動顆粒，以該顆粒為中心，考察和它相連的起動顆粒組成的集團。由于顆粒間的隱蔽效應(yīng)，該集團的形狀類似于分形生長的DLA［10］（受限制的擴散凝聚）集團，集團的平均尺寸記為ξ（P），它是起動概率P的函數(shù)。當(dāng)P很小時，ξ（P）也很?。划?dāng)P接近Pc時，ξ（P）迅速上升。在臨界點Pc附近

為計算v的值，把重整化群方程（5）在臨界點Pc＝0.42附近作泰勒展開有

變換前后關(guān)聯(lián)長度之比可表為

對式（12）和式（13）兩邊取對數(shù)得

由式（10）、式（11）知，起動概率和關(guān)聯(lián)長度ξ（P）在臨界點附近發(fā)散，它表明，當(dāng)泥沙達到起動臨界條件時，起動概率和關(guān)聯(lián)長度都反常地增大。因此，部分顆粒的起動將迅速帶動其他顆粒的起動，使床面出現(xiàn)泥沙成片起動的宏觀運動形態(tài)。

5 結(jié) 語

本文的探討表明，推移質(zhì)起動這類臨界現(xiàn)象在本質(zhì)上和連續(xù)相變有相似之處，可以應(yīng)用連續(xù)相變的理論和模型探討推移質(zhì)整體起動的物理機制，同時可以應(yīng)用重整化群的思想和方法建立二維、三維重整化群模型和算法探討床面整體起動的臨界概率。這些新思想和新方法的引入對探討推移質(zhì)整體啟動這類復(fù)雜現(xiàn)象是有所裨益的。

［1］韓其為，何明民.泥沙運動統(tǒng)計理論［M］.北京：科學(xué)出版社，1984.（HANQi-wei，HEMing-min.Statistical Theory of Sediment Motion［M］.Beijing：Science Press，1984.（in Chinese））

［2］孫志林，謝鑒衡，段文忠，等.非均勻沙分級起動規(guī)律研究［J］.水利學(xué)報，1997，（10）：25－32.（SUN Zhi-lin，XIE Jian-heng，DUANWen-zhong，etal.IncipientMotion of Individual Fraction of Nonuniform Sediment［J］.Journal of Hydraulic Engineering，1997，（10）：25－32.（in Chinese））

［3］何文社，方 鐸，曹叔尤，等.泥沙起動判別標(biāo)準探討［J］.水科學(xué)進展，2003，14（2）：143－146.（HEWenshe，F(xiàn)ANG Duo，CAO Shu-you，et al.Study on Standards for Incipient Motion of Sediment［J］.Advances in Water Science，2003，14（2）：143－146.（in Chinese））

［4］王智娟，劉興年.水流流速與泥沙起動概率關(guān)系研究［J］.東北水利水電，2004，22（239）：1－5.（WANG Zhi-juan，LIU Xing-nian.Study on Relationship between Flow and Velocity and Silt Tractive Probability［J］.Water Resource＆Hydropower of Northeast China，2004，22（239）：1－5.（in Chinese））

［5］劉春嶸，鄧麗穎，呼和敖德.復(fù)雜流動下泥沙起動概率的圖像測量［J］.湖南大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2008，35（3）：24－27.（LIU Chun-rong，DENG Li-ying，HUHE Ao-de.Image Measurement of the Probability of Sediment Incipience under Complex Flow［J］.Journal of Hunan U-niversity（Natural Sciences），2008，35（3）：24－27.（in Chinese））

［6］孫志林，黃賽花，祝麗麗，等.黏性非均勻沙的起動概率［J］.浙江大學(xué)學(xué)報（工學(xué)版），2007，41（1）：18－22.（SUN Zhi-lin，HUANGSai-hua，ZHU Li-li，etal.Incipient Probability of Cohesive Nonuniform Sediment［J］.Journal of Zhejiang University（Engineering Science），2007，41（1）：18－22.（in Chinese））

［7］于 淥，郝柏林.相變與臨界現(xiàn)象［M］.北京：科學(xué)出版社，1984.（YU Lu，HAO Bai-lin.Phase Transition and Critical Phenomena［M］.Beijing：Science Press，1984.（in Chinese））

［8］張小峰，謝葆玲.泥沙起動概率與起動流速［J］.水利學(xué)報，1995，（10）：53－59.（ZHANG Xiao-feng，XIE Baoling.Incipient Probability and Flow of Sediment［J］.Journal of Hydraulic Engineering，1995，（10）：53－59.（in Chinese））

［9］錢 寧，萬兆惠.泥沙運動力學(xué)［M］.北京：科學(xué)出版社，1983.（QIAN Ning，WAN Zhao-hui.Sediment Movement Mechanics［M］.Beijing：Science Press，1983.（in Chinese））

［10］徐俊鋒，韓其為，方春明.推移質(zhì)低輸沙率［J］.天津大學(xué)學(xué)報，2012，45（3）：191－195.（XU Jun-feng，HAN Qi-wei，F(xiàn)ANG Chun-ming.Low Transport Rate of Bed Load［J］.Journal of Tianjin University，2012，45（3）：191－195.（in Chinese））

［11］汪富泉，李后強.分形－大自然的藝術(shù)構(gòu)造［M］.濟南：山東教育出版社，1996.（WANG Fu-quan，LI Houqiang.Fractal：The Artistic Structure of Nature［M］.Ji’nan：Shandong Education Press，1996.（in Chinese））

［12］姚令侃.非線性科學(xué)探索推移質(zhì)運動復(fù)雜性的研究［R］.成都：四川聯(lián)合大學(xué)，1996.（YAO Ling-kan.Study on the Complexity of Bed Load Movementby Nonlinear Science［R］.Chengdu：Sichuan Union University，1996.（in Chinese） ）

（編輯：姜小蘭）

Approaches of Ising and Renormalization Group to Study the Incipient M otion of Sediment

WANG Fu-quan
（School of Continuing Education，Guangdong University of Petrochemical Technology，Maoming 525000，China）

In the aim of exploring the physicalmechanisms and critical probability of sediment’s incipientmotion，the incipientmotion is regarded as a critical phenomenon and is compared with continuous phase transition.Two-dimensional Isingmodel and renormalization group model as well as algorithm of sediment are established based on the principle andmethod of critical phenomena，continuous phase transition and renormalization group.By comprehensive analysis，a critical probability of sediment’s incipientmotion is obtained（the threshold is about 0.42）which is approximate with the results of experiments and observations.In association with sedimentmovementmechanics and fractal dynamics，the physicalmechanism of bed surface starting is discussed.The results show that the integral incipientmotion of bed surface have similar physicalmechanism with fractal growth DLA group.It gives a physical interpretation to the integral incipientmotion of bed surface with a threshold less than 0.5.

incipientmotion of sediment；phase transition；Isingmodel；renormalization group；threshold；incipientmotion of bed surface

P341

A

1001－5485（2015）01－0006－05

10.3969/j.issn.1001－5485.2015.01.002

2013－09－09；

2013－11－16

國家自然科學(xué)基金項目（51179110）；國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃（2013CB036401）

汪富泉（1955－），男，四川南充人，教授，博士，主要從事水文學(xué)及河流動力學(xué)研究，（電話）0668－2290223（電子信箱）WM2981138＠163.com。