陳 雨，王旭東，樊 濤

（南京航空航天大學電子信息工程學院，江蘇南京210016）

基于空間譜插值的DOA估計算法*

陳 雨，王旭東，樊 濤

（南京航空航天大學電子信息工程學院，江蘇南京210016）

現(xiàn)有的MUSIC、ESPRIT等基于特征值分解算法，在信號DOA估計時運算復雜度較高，不利于硬件實現(xiàn)，而經(jīng)典空間FFT算法雖然運算速度快，但在天線數(shù)不甚多時，其較大的離散角度間隔限制了DOA估計精度。為此，提出了一種基于空間譜插值的DOA估計算法。該方法在經(jīng)典空間FFT算法的基礎上，對量化空間譜進行線性插值，只增加1次除法運算，不改變原有算法結構，利于硬件實現(xiàn)。當信噪比大于9dB時，其均方根誤差接近克拉美-羅限（CRLB）。仿真實驗證明了算法的精確度和有效性。

DOA估計；FFT空間譜；線性插值；CRLB

0 引言

利用陣列信號處理技術實現(xiàn)對遠場信號的DOA估計，近年來一直是人們研究的熱點，其在通信、雷達、電子偵察、水聲信號處理等領域得到廣泛應用?？臻g譜估計技術可實現(xiàn)對多目標測向，對陣元排列沒有特殊要求，這給陣元及天線陣設計帶來極大靈活性且其測向精度優(yōu)于傳統(tǒng)比幅、比相方法［1］。本文提出了一種基于FFT空間譜插值的DOA估計算法，該算法運算速度快，估計精度高于傳統(tǒng)空間譜DOA算法，且算法結構規(guī)整，能夠進行并行流水化數(shù)據(jù)處理。易于用FPGA等硬件實現(xiàn)。解決了MUSIC、ESPRIT等基于特征值分解的DOA估計算法難以硬件實現(xiàn)，不利工程應用的難題。本文對算法進行了詳細分析和仿真驗證，給出了在FPGA芯片內(nèi)實現(xiàn)時的硬件設計框圖。

1 算法分析

1.1 FFT空間譜DOA估計

間距為d的M個陣元排列成一個均勻線陣，假定一位于陣列遠場的信號源，其波長為λ，傳播速度為c，陣列方向與信號入射方向的夾角即DOA為θ1，如圖1所示。

圖1 平面波入射均勻線陣模型

設定最右邊一個陣元為參考陣元，假定基帶信號幅度不變，則第m個陣元的接收信號為：

式中，A、f分別表示接收信號的幅度和載波。為公式推導方便，令→k1為一個與波的傳播方向相同的單位向量，→x是一個沿著陣列方向的單位向量，式（1）可以寫為：

此處

因此，在t＝0時刻天線接收信號的復指數(shù)形式可表示為：

那么在空間域上的傅里葉變換為：

其模值為：

因（→k－→k1）→x＝－sin（Δθ），Δθ表示信號DOA矢量與第k根離散空間譜矢量的夾角。當→k＝→k1時，Δθ＝0，|X（→k）|達到峰值Max。即空間譜的峰出現(xiàn)在入射波方向上，據(jù)此可以估計出信號的波達方向。工程中一般采用快速傅里葉變換（FFT）來計算上述算法。

對M元均勻線陣，采用FFT算法可以至多形成M個獨立的譜峰，且這些譜峰的相移量是等間距的，即：

第k個譜峰相對于第1個譜峰的相移量為：

由式（5）知：

由此可得：

進一步推導可得：

即M個FFT空間譜峰與信號DOA的對應關系。

1.2 空間譜插值

根據(jù)FFT空間譜峰位置，進行DOA估計的方法，結構規(guī)整、便于實時處理。但由于FFT得到的是離散譜，譜線間隔限制了波達角估計精度。只有當信號波達角與量化FFT空間譜對應時，空間FFT法得到的DOA估計值才是準確的。當信號波達角與FFT的離散空間譜不重合時，信號的實際波達角位于兩條譜線之間，與FFT量化空間譜對應的DOA值相差較大，算法的估計精度顯著下降。本文通過對FFT運算后的空間譜線進行插值，可顯著提高DOA估計精度。

由于Δθ較小，式（6）可以簡化為：

考慮有限陣元空間傅里葉變換的加窗效應，由上式所描述的FFT空間譜，可以看成是對空間采樣信號加入了寬度為M的矩形窗，M為陣元數(shù)。這種空間譜是離散的，且以辛格函數(shù)為輪廓，如圖2所示。

圖2中辛格函數(shù)的峰值位于Δθ＝0處，且第1個最小值出現(xiàn)在±1／M處。但是空間譜的最大分量與辛格函數(shù)的最大值并不一致。在這里各空間譜分量間隔是相同的，都相距1／M。假設X0表示空間譜分量的幅度最大值，X1表示次大值，X2表示第3大值。從圖2可見，2個最大值位于主瓣，第3大值位于副瓣。根據(jù)這些空間譜分量可估計最大值的真實位置。

假設k是辛格函數(shù)峰值與X0之間的距離，則X1位于k－1／M處，它們相應的幅度為：

圖2 M元均勻線陣空間譜包絡

即：

從上述方程可以得到：

式（16）可以用來計算空間譜峰值位置。如果對應于X0和X1的空間譜位置分別為k0和k1，那么一旦求出k，就可以計算峰值位置：

帶入式（11），即可得到FFT空間譜插值后的DOA估計值。當次大譜線位于左側時，上式取負號，反之取正號。

為提高低信噪比時算法DOA估計性能，本文對FFT空間譜在時域按快拍數(shù)進行累加，然后再在空間譜進行插值，算法流程如圖3所示。

圖3 空間譜插值算法流程圖

1.3 復雜度分析

MUSIC算法主要由構成信號的協(xié)方差矩陣、對協(xié)方差矩陣進行特征分解以構成噪聲子空間、譜峰搜索三部分運算組成［2］。對于1個M元均勻線陣，當信號快拍數(shù)為N時，其復雜度分別為O（NM2）、O（M3）和O（M2）。因此，MUSIC算法的復雜度可記為O（NM2+M3+M2）。時域累加空間FFT算法進行DOA估計，需進行FFT運算、時域累加等運算［3］，共需NM／2log2M次復數(shù)乘法，以及NM log2M次復數(shù)加法。由于硬件實現(xiàn)時主要考慮乘法運算復雜性，因此，時域累加空間FFT算法的復雜度記為O（NM／2log2M）。本文提出的空間譜插值算法只要在空間FFT算法基礎上，進行1次譜線插值運算，因此只增加1次除法運算，其復雜度為O（NM／2log2M+1）。

分析結果表明插值算法的復雜度要遠小于MUSIC算法，與空間譜FFT算法相當。而對于各類改進的MUSIC算法［4-5］，主要集中在譜峰搜索時減少運算量，自相關矩陣計算、特征分解的計算量依然較大，所以此類算法計算量與MUSIC算法在同一量級。

由于算法運算復雜度低，且FFT和插值算法結構規(guī)整，能夠進行流水線處理，因此，可以在FPGA芯片內(nèi)實現(xiàn)這種并行DOA估計算法，其硬件實現(xiàn)如圖4所示。

圖4 插值算法的硬件實現(xiàn)框圖

圖4 中對天線接收的射頻信號首先進行模擬下變頻，在中頻用ADC器件進行量化，然后對16路并行數(shù)據(jù)做FFT運算，得到空間譜。累加提高信噪比，譜線搜索加門限比較，可確定最大、次大譜線及信號個數(shù)，插值后得到DOA估計結果。

算法所需硬件資源有限，可在1片中等規(guī)模的FPGA芯片內(nèi)得以實現(xiàn)，運算速度快，能夠滿足實時工程應用的需求。

2 仿真驗證

仿真1：參數(shù)設置均勻線陣陣元數(shù)M＝16，基線波長比d／λ＝0.5，快拍數(shù)N＝512，高斯白噪聲，信噪比為12 dB，信號的波達角設置為10°、40°、60°，分別采用FFT空間譜DOA估計方法、MUSIC算法和插值算法，得到的譜圖如圖5所示。

從圖5可以看到，F(xiàn)FT空間譜DOA估計的譜圖中3個譜峰對應的角度與信號的波達角有一定的偏差，而MUSIC算法與空間譜插值算法的譜圖中譜峰對應的角度則比較接近，可以準確估計多信號的波達方向。但是插值算法的角度分辨率受到接收天線陣元數(shù)的限制，比MUSIC算法精度低。

為便于比較，這里給出均勻線陣DOA估計克拉美-羅限（CRLB）。由文獻［6］知，當快拍數(shù)和陣元數(shù)較大時，DOA估計的CRLB為：

SNR i（i＝1，2，…，K）是第i個信號的信噪比，M、N分別為陣元數(shù)和快拍數(shù)。

仿真2：信號源為單信號，DOA設置為33°至44°，步進為0．1°，蒙特卡洛仿真次數(shù)為1000，其它參數(shù)設置與仿真1相同。

分別采用時域累加FFT空間譜DOA估計方法、MUSIC算法和插值算法，得到DOA估計均方根誤差，并與CRLB進行比較，如圖6所示。

圖5 三種算法測向譜圖比較

圖6 算法在FFT量化空間譜區(qū)間內(nèi)的性能

圖6 中33．7°和44°是FFT量化空間譜對應的角度值。可以看出，當信號到達角位于FFT量化空間譜附近時，F(xiàn)FT法DOA估計誤差很小，但是當DOA位于兩根譜線中間區(qū)域時，估計誤差很大。而插值算法在整個區(qū)域內(nèi)的性能較平坦，量化點處誤差稍大，絕大部分區(qū)域性能優(yōu)越，接近CRLB。而MUSIC算法雖然性能最優(yōu)，但是計算復雜，硬件實現(xiàn)難，限制了其在實時或準實時信號處理領域的應用。

仿真3：入射信號的信噪比為－10 dB到10 dB，步進為1 dB，信號入射角為38°，其它仿真條件不變，仿真結果如圖7所示。

圖7 算法性能比較

仿真結果表明，F(xiàn)FT空間譜插值DOA估計算法能明顯改善單純基于FFT量化空間譜的DOA估計算法，與MUSIC算法相當。當SNR≥9dB時，插值算法的DOA估計精度接近克拉美-羅限。

3 結束語

本文在分析原始FFT空間譜DOA估計算法基礎上，通過對時域累加離散空間譜進行插值，可得到真實譜峰位置的高效估計，進而顯著提高了算法性能。該算法只要在原始算法基礎上，增加1次除法運算，不改變原有算法架構，因此可以充分利用FFT的高效運算結構，實現(xiàn)并行、流水線操作。仿真結果表明，算法在整個FFT量化空間譜區(qū)域內(nèi)性能平穩(wěn)，能有效克服FFT空間譜DOA估計算法在中心區(qū)域性能惡化問題，與MUSIC算法性能相當?？蓱糜诶走_、電子偵察等對DOA估計實時性要求高的工程領域?！?/p>

［1］ 龔享銥，皇甫堪，袁俊泉．基于相位干涉儀陣列二次相位差的波達角估計算法研究［J］．電子學報，2005，33（3）：444－445．

［2］ Schmidt R．Multiple emitter location and signal parameter estimation［J］．IEEE Trans on Antennas＆Propagation，1986，34（3）：276－280．

［3］ Tsui J．Special design topics in digital wideband receivers［M］．Chapter 16，Nor wood，MA：Artech House，2010．

［4］ 計征宇，楊向華．基于FFT與MUSIC的改進DOA估計算法［J］．系統(tǒng)仿真學報，2010，22（2）：487－490．

［5］ 袁國靖，丁君，郭陳江．一種快速高分辨率的DOA估計方法——FFT-BMUSIC法［J］．微波學報，2005，21（1）：10－13．

［6］ Stoica P，Nehorai A．MUSIC，maximum likelihood，and Cramer-Rao Bound［J］．IEEE Trans on ASSP，1989，37（5）：720－741．

DOA estimation method based on spatial spectrum interpolation

Chen Yu，Wang Xudong，F(xiàn)an Tao
（Department of Electronic and Information Engineering，Nanjing University of Aeronautics＆Astronautics，Nanjing 210016，Jiangsu，China）

Classical eigenvalue decomposition based signal DOA estimation method like MUSIC，ESPRIT are computation complex．These DOA estimation methods are not suit for hardware implementation．The conventional spatial FFT algorithm is faster，but the larger discrete angle interval restrict DOA estimate precision when the antenna number is not so many．Therefore，a novel DOA estimation method based on spatial spectrum interpolation is proposed．This method is based on the classical spatial FFT algorithm．Linear interpolation on the two maximum quantization spatial spectrums is used．Compared with the original algorithm，this method only adds a division operation．And，the algorithm structure is not modified．Thus，it is convenient for hardware implementation．When SNR exceed 9dB，the DOA estimation root mean-square error approach Cramer-Rao Low Bound（CRLB）．Accuracy and effectiveness of this DOA estimation method are verified by abundant simulation results．

DOA estimation；FFT spatial spectrum；linear interpolation；CRLB

TN971

A

國家自然科學基金（61201208）

2014-08-20；2015-03-10修回。

陳雨（1990－），女，碩士研究生，研究方向為信號處理。