陳 雨，王旭東，樊 濤

（南京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院，江蘇南京210016）

基于空間譜插值的DOA估計(jì)算法*

陳 雨，王旭東，樊 濤

（南京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院，江蘇南京210016）

現(xiàn)有的MUSIC、ESPRIT等基于特征值分解算法，在信號DOA估計(jì)時(shí)運(yùn)算復(fù)雜度較高，不利于硬件實(shí)現(xiàn)，而經(jīng)典空間FFT算法雖然運(yùn)算速度快，但在天線數(shù)不甚多時(shí)，其較大的離散角度間隔限制了DOA估計(jì)精度。為此，提出了一種基于空間譜插值的DOA估計(jì)算法。該方法在經(jīng)典空間FFT算法的基礎(chǔ)上，對量化空間譜進(jìn)行線性插值，只增加1次除法運(yùn)算，不改變原有算法結(jié)構(gòu)，利于硬件實(shí)現(xiàn)。當(dāng)信噪比大于9dB時(shí)，其均方根誤差接近克拉美-羅限（CRLB）。仿真實(shí)驗(yàn)證明了算法的精確度和有效性。

DOA估計(jì)；FFT空間譜；線性插值；CRLB

0 引言

利用陣列信號處理技術(shù)實(shí)現(xiàn)對遠(yuǎn)場信號的DOA估計(jì)，近年來一直是人們研究的熱點(diǎn)，其在通信、雷達(dá)、電子偵察、水聲信號處理等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用?？臻g譜估計(jì)技術(shù)可實(shí)現(xiàn)對多目標(biāo)測向，對陣元排列沒有特殊要求，這給陣元及天線陣設(shè)計(jì)帶來極大靈活性且其測向精度優(yōu)于傳統(tǒng)比幅、比相方法［1］。本文提出了一種基于FFT空間譜插值的DOA估計(jì)算法，該算法運(yùn)算速度快，估計(jì)精度高于傳統(tǒng)空間譜DOA算法，且算法結(jié)構(gòu)規(guī)整，能夠進(jìn)行并行流水化數(shù)據(jù)處理。易于用FPGA等硬件實(shí)現(xiàn)。解決了MUSIC、ESPRIT等基于特征值分解的DOA估計(jì)算法難以硬件實(shí)現(xiàn)，不利工程應(yīng)用的難題。本文對算法進(jìn)行了詳細(xì)分析和仿真驗(yàn)證，給出了在FPGA芯片內(nèi)實(shí)現(xiàn)時(shí)的硬件設(shè)計(jì)框圖。

1 算法分析

1.1 FFT空間譜DOA估計(jì)

間距為d的M個(gè)陣元排列成一個(gè)均勻線陣，假定一位于陣列遠(yuǎn)場的信號源，其波長為λ，傳播速度為c，陣列方向與信號入射方向的夾角即DOA為θ1，如圖1所示。

圖1 平面波入射均勻線陣模型

設(shè)定最右邊一個(gè)陣元為參考陣元，假定基帶信號幅度不變，則第m個(gè)陣元的接收信號為：

式中，A、f分別表示接收信號的幅度和載波。為公式推導(dǎo)方便，令→k1為一個(gè)與波的傳播方向相同的單位向量，→x是一個(gè)沿著陣列方向的單位向量，式（1）可以寫為：

此處

因此，在t＝0時(shí)刻天線接收信號的復(fù)指數(shù)形式可表示為：

那么在空間域上的傅里葉變換為：

其模值為：

因（→k－→k1）→x＝－sin（Δθ），Δθ表示信號DOA矢量與第k根離散空間譜矢量的夾角。當(dāng)→k＝→k1時(shí)，Δθ＝0，|X（→k）|達(dá)到峰值Max。即空間譜的峰出現(xiàn)在入射波方向上，據(jù)此可以估計(jì)出信號的波達(dá)方向。工程中一般采用快速傅里葉變換（FFT）來計(jì)算上述算法。

對M元均勻線陣，采用FFT算法可以至多形成M個(gè)獨(dú)立的譜峰，且這些譜峰的相移量是等間距的，即：

第k個(gè)譜峰相對于第1個(gè)譜峰的相移量為：

由式（5）知：

由此可得：

進(jìn)一步推導(dǎo)可得：

即M個(gè)FFT空間譜峰與信號DOA的對應(yīng)關(guān)系。

1.2 空間譜插值

根據(jù)FFT空間譜峰位置，進(jìn)行DOA估計(jì)的方法，結(jié)構(gòu)規(guī)整、便于實(shí)時(shí)處理。但由于FFT得到的是離散譜，譜線間隔限制了波達(dá)角估計(jì)精度。只有當(dāng)信號波達(dá)角與量化FFT空間譜對應(yīng)時(shí)，空間FFT法得到的DOA估計(jì)值才是準(zhǔn)確的。當(dāng)信號波達(dá)角與FFT的離散空間譜不重合時(shí)，信號的實(shí)際波達(dá)角位于兩條譜線之間，與FFT量化空間譜對應(yīng)的DOA值相差較大，算法的估計(jì)精度顯著下降。本文通過對FFT運(yùn)算后的空間譜線進(jìn)行插值，可顯著提高DOA估計(jì)精度。

由于Δθ較小，式（6）可以簡化為：

考慮有限陣元空間傅里葉變換的加窗效應(yīng)，由上式所描述的FFT空間譜，可以看成是對空間采樣信號加入了寬度為M的矩形窗，M為陣元數(shù)。這種空間譜是離散的，且以辛格函數(shù)為輪廓，如圖2所示。

圖2中辛格函數(shù)的峰值位于Δθ＝0處，且第1個(gè)最小值出現(xiàn)在±1／M處。但是空間譜的最大分量與辛格函數(shù)的最大值并不一致。在這里各空間譜分量間隔是相同的，都相距1／M。假設(shè)X0表示空間譜分量的幅度最大值，X1表示次大值，X2表示第3大值。從圖2可見，2個(gè)最大值位于主瓣，第3大值位于副瓣。根據(jù)這些空間譜分量可估計(jì)最大值的真實(shí)位置。

假設(shè)k是辛格函數(shù)峰值與X0之間的距離，則X1位于k－1／M處，它們相應(yīng)的幅度為：

圖2 M元均勻線陣空間譜包絡(luò)

即：

從上述方程可以得到：

式（16）可以用來計(jì)算空間譜峰值位置。如果對應(yīng)于X0和X1的空間譜位置分別為k0和k1，那么一旦求出k，就可以計(jì)算峰值位置：

帶入式（11），即可得到FFT空間譜插值后的DOA估計(jì)值。當(dāng)次大譜線位于左側(cè)時(shí)，上式取負(fù)號，反之取正號。

為提高低信噪比時(shí)算法DOA估計(jì)性能，本文對FFT空間譜在時(shí)域按快拍數(shù)進(jìn)行累加，然后再在空間譜進(jìn)行插值，算法流程如圖3所示。

圖3 空間譜插值算法流程圖

1.3 復(fù)雜度分析

MUSIC算法主要由構(gòu)成信號的協(xié)方差矩陣、對協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解以構(gòu)成噪聲子空間、譜峰搜索三部分運(yùn)算組成［2］。對于1個(gè)M元均勻線陣，當(dāng)信號快拍數(shù)為N時(shí)，其復(fù)雜度分別為O（NM2）、O（M3）和O（M2）。因此，MUSIC算法的復(fù)雜度可記為O（NM2+M3+M2）。時(shí)域累加空間FFT算法進(jìn)行DOA估計(jì)，需進(jìn)行FFT運(yùn)算、時(shí)域累加等運(yùn)算［3］，共需NM／2log2M次復(fù)數(shù)乘法，以及NM log2M次復(fù)數(shù)加法。由于硬件實(shí)現(xiàn)時(shí)主要考慮乘法運(yùn)算復(fù)雜性，因此，時(shí)域累加空間FFT算法的復(fù)雜度記為O（NM／2log2M）。本文提出的空間譜插值算法只要在空間FFT算法基礎(chǔ)上，進(jìn)行1次譜線插值運(yùn)算，因此只增加1次除法運(yùn)算，其復(fù)雜度為O（NM／2log2M+1）。

分析結(jié)果表明插值算法的復(fù)雜度要遠(yuǎn)小于MUSIC算法，與空間譜FFT算法相當(dāng)。而對于各類改進(jìn)的MUSIC算法［4-5］，主要集中在譜峰搜索時(shí)減少運(yùn)算量，自相關(guān)矩陣計(jì)算、特征分解的計(jì)算量依然較大，所以此類算法計(jì)算量與MUSIC算法在同一量級。

由于算法運(yùn)算復(fù)雜度低，且FFT和插值算法結(jié)構(gòu)規(guī)整，能夠進(jìn)行流水線處理，因此，可以在FPGA芯片內(nèi)實(shí)現(xiàn)這種并行DOA估計(jì)算法，其硬件實(shí)現(xiàn)如圖4所示。

圖4 插值算法的硬件實(shí)現(xiàn)框圖

圖4 中對天線接收的射頻信號首先進(jìn)行模擬下變頻，在中頻用ADC器件進(jìn)行量化，然后對16路并行數(shù)據(jù)做FFT運(yùn)算，得到空間譜。累加提高信噪比，譜線搜索加門限比較，可確定最大、次大譜線及信號個(gè)數(shù)，插值后得到DOA估計(jì)結(jié)果。

算法所需硬件資源有限，可在1片中等規(guī)模的FPGA芯片內(nèi)得以實(shí)現(xiàn)，運(yùn)算速度快，能夠滿足實(shí)時(shí)工程應(yīng)用的需求。

2 仿真驗(yàn)證

仿真1：參數(shù)設(shè)置均勻線陣陣元數(shù)M＝16，基線波長比d／λ＝0.5，快拍數(shù)N＝512，高斯白噪聲，信噪比為12 dB，信號的波達(dá)角設(shè)置為10°、40°、60°，分別采用FFT空間譜DOA估計(jì)方法、MUSIC算法和插值算法，得到的譜圖如圖5所示。

從圖5可以看到，F(xiàn)FT空間譜DOA估計(jì)的譜圖中3個(gè)譜峰對應(yīng)的角度與信號的波達(dá)角有一定的偏差，而MUSIC算法與空間譜插值算法的譜圖中譜峰對應(yīng)的角度則比較接近，可以準(zhǔn)確估計(jì)多信號的波達(dá)方向。但是插值算法的角度分辨率受到接收天線陣元數(shù)的限制，比MUSIC算法精度低。

為便于比較，這里給出均勻線陣DOA估計(jì)克拉美-羅限（CRLB）。由文獻(xiàn)［6］知，當(dāng)快拍數(shù)和陣元數(shù)較大時(shí)，DOA估計(jì)的CRLB為：

SNR i（i＝1，2，…，K）是第i個(gè)信號的信噪比，M、N分別為陣元數(shù)和快拍數(shù)。

仿真2：信號源為單信號，DOA設(shè)置為33°至44°，步進(jìn)為0．1°，蒙特卡洛仿真次數(shù)為1000，其它參數(shù)設(shè)置與仿真1相同。

分別采用時(shí)域累加FFT空間譜DOA估計(jì)方法、MUSIC算法和插值算法，得到DOA估計(jì)均方根誤差，并與CRLB進(jìn)行比較，如圖6所示。

圖5 三種算法測向譜圖比較

圖6 算法在FFT量化空間譜區(qū)間內(nèi)的性能

圖6 中33．7°和44°是FFT量化空間譜對應(yīng)的角度值?？梢钥闯?，當(dāng)信號到達(dá)角位于FFT量化空間譜附近時(shí)，F(xiàn)FT法DOA估計(jì)誤差很小，但是當(dāng)DOA位于兩根譜線中間區(qū)域時(shí)，估計(jì)誤差很大。而插值算法在整個(gè)區(qū)域內(nèi)的性能較平坦，量化點(diǎn)處誤差稍大，絕大部分區(qū)域性能優(yōu)越，接近CRLB。而MUSIC算法雖然性能最優(yōu)，但是計(jì)算復(fù)雜，硬件實(shí)現(xiàn)難，限制了其在實(shí)時(shí)或準(zhǔn)實(shí)時(shí)信號處理領(lǐng)域的應(yīng)用。

仿真3：入射信號的信噪比為－10 dB到10 dB，步進(jìn)為1 dB，信號入射角為38°，其它仿真條件不變，仿真結(jié)果如圖7所示。

圖7 算法性能比較

仿真結(jié)果表明，F(xiàn)FT空間譜插值DOA估計(jì)算法能明顯改善單純基于FFT量化空間譜的DOA估計(jì)算法，與MUSIC算法相當(dāng)。當(dāng)SNR≥9dB時(shí)，插值算法的DOA估計(jì)精度接近克拉美-羅限。

3 結(jié)束語

本文在分析原始FFT空間譜DOA估計(jì)算法基礎(chǔ)上，通過對時(shí)域累加離散空間譜進(jìn)行插值，可得到真實(shí)譜峰位置的高效估計(jì)，進(jìn)而顯著提高了算法性能。該算法只要在原始算法基礎(chǔ)上，增加1次除法運(yùn)算，不改變原有算法架構(gòu)，因此可以充分利用FFT的高效運(yùn)算結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)并行、流水線操作。仿真結(jié)果表明，算法在整個(gè)FFT量化空間譜區(qū)域內(nèi)性能平穩(wěn)，能有效克服FFT空間譜DOA估計(jì)算法在中心區(qū)域性能惡化問題，與MUSIC算法性能相當(dāng)。可應(yīng)用于雷達(dá)、電子偵察等對DOA估計(jì)實(shí)時(shí)性要求高的工程領(lǐng)域?！?/p>

［1］ 龔享銥，皇甫堪，袁俊泉．基于相位干涉儀陣列二次相位差的波達(dá)角估計(jì)算法研究［J］．電子學(xué)報(bào)，2005，33（3）：444－445．

［2］ Schmidt R．Multiple emitter location and signal parameter estimation［J］．IEEE Trans on Antennas＆Propagation，1986，34（3）：276－280．

［3］ Tsui J．Special design topics in digital wideband receivers［M］．Chapter 16，Nor wood，MA：Artech House，2010．

［4］ 計(jì)征宇，楊向華．基于FFT與MUSIC的改進(jìn)DOA估計(jì)算法［J］．系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)，2010，22（2）：487－490．

［5］ 袁國靖，丁君，郭陳江．一種快速高分辨率的DOA估計(jì)方法——FFT-BMUSIC法［J］．微波學(xué)報(bào)，2005，21（1）：10－13．

［6］ Stoica P，Nehorai A．MUSIC，maximum likelihood，and Cramer-Rao Bound［J］．IEEE Trans on ASSP，1989，37（5）：720－741．

DOA estimation method based on spatial spectrum interpolation

Chen Yu，Wang Xudong，F(xiàn)an Tao
（Department of Electronic and Information Engineering，Nanjing University of Aeronautics＆Astronautics，Nanjing 210016，Jiangsu，China）

Classical eigenvalue decomposition based signal DOA estimation method like MUSIC，ESPRIT are computation complex．These DOA estimation methods are not suit for hardware implementation．The conventional spatial FFT algorithm is faster，but the larger discrete angle interval restrict DOA estimate precision when the antenna number is not so many．Therefore，a novel DOA estimation method based on spatial spectrum interpolation is proposed．This method is based on the classical spatial FFT algorithm．Linear interpolation on the two maximum quantization spatial spectrums is used．Compared with the original algorithm，this method only adds a division operation．And，the algorithm structure is not modified．Thus，it is convenient for hardware implementation．When SNR exceed 9dB，the DOA estimation root mean-square error approach Cramer-Rao Low Bound（CRLB）．Accuracy and effectiveness of this DOA estimation method are verified by abundant simulation results．

DOA estimation；FFT spatial spectrum；linear interpolation；CRLB

TN971

A

國家自然科學(xué)基金（61201208）

2014-08-20；2015-03-10修回。

陳雨（1990－），女，碩士研究生，研究方向?yàn)樾盘柼幚怼?/p>