弱T(t)-積分半群拓?fù)?/h1>
2015-06-09 12:35:59畢偉
延安大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版) 2015年2期 關(guān)鍵詞：定義
畢 偉
(延安大學(xué)學(xué)報編輯部，陜西延安716000)
弱T(t)-積分半群拓?fù)?/p>
畢 偉
(延安大學(xué)學(xué)報編輯部，陜西延安716000)
利用T(t)-積分半群及連續(xù)線性泛函的概念，引入一新的局部凸向量拓?fù)?，并對其基本性質(zhì)進(jìn)行研究。
T(t)-積分半群；局部凸向量拓?fù)?；生成元；弱T(t)-積分半群拓?fù)?/p>
1 預(yù)備知識
設(shè)(X，‖·‖)為Banach空間，(X,‖·‖)′為X的共軛空間，A是X中的線性算子，D(A)，R(λ，A)，ρ(A)分別表示A的定義域、預(yù)解式、預(yù)解集。
定義1.1[1]設(shè)ω∈R，M≥0，{T(t),t≥0}為(X,‖·‖)上的強(qiáng)連續(xù)有界線性算子族，滿足
(1)AT(t)x=T(t)Ax(x∈D(A),t≥0)，
(2)當(dāng)λ>ω時，有λ∈ρ(A)，且
則稱{S(t),t≥0}為一個T(t)-積分半群，A稱為其生成元。
2 主要結(jié)果
對?λ>ω及x′∈(X,‖·‖)′，令Pλ,x′(x)=
|x′[λR(λ,A)Lλx]|，x∈X，則利用T(t)-積分半群的定義，對?x,y∈X及λ>ω有
(1)Pλ,x′(x)≥0;
(2)Pλ,x′(x+y)≤Pλ,x′(x)+Pλ,x′(y);
(3)Pλ,x′(αx)=αPλ,x′(x)，其中α≥0。
事實上，Pλ,x′(x)=|x′[λR(λ,A)Lλx]|≥0；
Pλ,x′(x+y)=|x′[λR(λ,A)Lλ(x+y)]| =|x′[λR(λ,A)Lλx]+x′[λR(λ,A)Lλy]| ≤|x′[λR(λ,A)Lλx]|+ |x′[λR(λ,A)Lλy]| =Pλ,x′(x)+Pλ,x′(y)；
Pλ,x′(αx)=|x′[λR(λ,A)Lλ(αx)]| =|αx′[λR(λ,A)Lλx]| =α|x′[λR(λ,A)Lλx]| =αPλ,x′(x)。
即Pλ,x′(x)是X上的一半范數(shù)，從而由半范數(shù)族S={Pλ,x′∶λ>ω}可以誘導(dǎo)出一局部凸向量拓?fù)?，記為τ?/p>
定義2.1 由上述半范數(shù)族S={Pλ,x′∶λ>ω}導(dǎo)出的X上的局部凸向量拓?fù)洌Q為X的關(guān)于x′的弱T(t)-積分半群拓?fù)?，相?yīng)的局部凸線性拓?fù)淇臻g記為(X,τ)。
引理2.1[2]設(shè)E是線性空間，A1，B1是E上的兩族半范數(shù)，那么由A1確定的拓?fù)淙跤谟葿1確定的拓?fù)涞某湟獥l件是：對于每個q∈A1，必存在p1,p2,…,pm∈B1以及正數(shù)c1,c2，…,cm，使得對一切x∈E下式成立：
q(x)≤c1p1(x)+c2p2(x)+…+cmpm(x)。
定理2.1 由范數(shù)所誘導(dǎo)的局部凸向量拓?fù)鋸?qiáng)于X上的弱T(t)-積分半群拓?fù)洹?/p>
證明 因為對?λ>ω，x′∈X′及x∈X，有：
Pλ,x′(x)=|x′[λR(λ,A)Lλx]|≤‖x′‖·
‖λR(λ,A)Lλ‖·‖x‖，
再根據(jù)引理2.1，得證。
定義2.2 在一局部凸線性拓?fù)淇臻gX中，如果對任意的Cauchy序列{xn}，{x′[λR(λ,A)Lλxn]}(λ>ω)都收斂，則稱X關(guān)于x′是弱T(t)-積分半群完備的。
定理2.2 局部凸線性拓?fù)淇臻g(X,τ)是弱
T(t)-積分半群完備的。
證明 設(shè){xn}是(X,τ)中的任意Cauchy序列，那么對于任意連續(xù)半范數(shù)q(x)及ε>0，集合U={x:q(x)<ε}構(gòu)成零的一個環(huán)境，從而必存在自然數(shù)N，使得當(dāng)n,m>N時，有(xn-xm)∈U，即q(xn-xm)<ε，特別地，對?Pλ,x′(x)∈S有：
Pλ,x′(xn-xm)=|x′[λR(λ,A)Lλ(xn-xm)]|
=|x′[λR(λ,A)Lλxn]-x′[λR(λ,A)Lλxm]|
<ε，
可知{x′[λR(λ,A)Lλxn]}(λ>ω)是一Cauchy數(shù)列，從而必收斂。再由定義2.2可得(X,τ)是弱
T(t)-積分半群完備的。
定理2.3 設(shè){S(t),t≥0}是非退化的T(t)-積分半群且x′≠0，則{S(t),t≥0}誘導(dǎo)出的弱T(t)-積分半群拓?fù)洇邮欠蛛x的。
證明 因為{S(t),t≥0}是非退化的，即若對?t有T(t)x=0，那么必有x=0，所以對?x≠0有：
從而對?x≠y，即x-y≠0，必存在一α∈(ω,+∞)使得Pα,x′(x)=3d>0，令V={x:Pα,x′(x)≤1}，則x的環(huán)境x+dV與y的環(huán)境y+dV互不相交，即弱
T(t)-積分半群拓?fù)洇邮欠蛛x的。
關(guān)于不同的x′∈X′的弱T(t)-積分半群拓?fù)渲g的關(guān)系，給出以下結(jié)果：
證明 因為對?x∈X有：
再根據(jù)引理2.1，定理得證。
[1]楊錄山.T(t)-積分半群[J].工科數(shù)學(xué)，1998，14(2)：14-15.
[2]夏道行，楊亞力.線性拓?fù)淇臻g引論[M].上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，1986.
[責(zé)任編輯 賀小林]
WeakT(t)-Integrated Semigroups Topological
BI WEI
(Editorial Department of Journal of Yan′an University,Yan′an 716000,China)
By using the concepts ofT(t)-times integrated and continuous linear functional,a new locally convex vector topological was introduced,and some propositions of it were given.
T(t)-times integrated; locally convex vector topological; generator; WeakT(t)-times integrated topological
2015-03-09
畢 偉(1986—)，男，陜西米脂人，延安大學(xué)助理編輯。
O177.31
A
1004-602X(2015)02-0049-02
猜你喜歡
以愛之名，定義成長幼兒教育·父母孩子版(2022年4期)2022-05-08 21:35:35 活用定義巧解統(tǒng)計概率解答題中學(xué)生數(shù)理化(高中版.高考數(shù)學(xué))(2021年3期)2021-06-09 06:09:14 例談橢圓的定義及其應(yīng)用中學(xué)生數(shù)理化(高中版.高二數(shù)學(xué))(2021年12期)2021-04-26 07:43:38 題在書外 根在書中——圓錐曲線第三定義在教材和高考中的滲透中學(xué)生數(shù)理化(高中版.高二數(shù)學(xué))(2021年2期)2021-03-19 08:54:04 永遠(yuǎn)不要用“起點”定義自己海峽姐妹(2020年9期)2021-01-04 01:35:44 嚴(yán)昊：不定義終點 一直在路上華人時刊(2020年13期)2020-09-25 08:21:32 定義“風(fēng)格”VOGUE服飾與美容(2020年9期)2020-09-02 14:47:26 成功的定義山東青年(2016年1期)2016-02-28 14:25:25 有壹手——重新定義快修連鎖汽車維護(hù)與修理(2015年6期)2015-02-28 12:16:55 修辭學(xué)的重大定義當(dāng)代修辭學(xué)(2014年3期)2014-01-21 02:30:44
畢 偉
(延安大學(xué)學(xué)報編輯部，陜西延安716000)
弱T(t)-積分半群拓?fù)?/p>
畢 偉
(延安大學(xué)學(xué)報編輯部，陜西延安716000)
利用T(t)-積分半群及連續(xù)線性泛函的概念，引入一新的局部凸向量拓?fù)?，并對其基本性質(zhì)進(jìn)行研究。
T(t)-積分半群；局部凸向量拓?fù)?；生成元；弱T(t)-積分半群拓?fù)?/p>
1 預(yù)備知識
設(shè)(X，‖·‖)為Banach空間，(X,‖·‖)′為X的共軛空間，A是X中的線性算子，D(A)，R(λ，A)，ρ(A)分別表示A的定義域、預(yù)解式、預(yù)解集。
定義1.1[1]設(shè)ω∈R，M≥0，{T(t),t≥0}為(X,‖·‖)上的強(qiáng)連續(xù)有界線性算子族，滿足
(1)AT(t)x=T(t)Ax(x∈D(A),t≥0)，
(2)當(dāng)λ>ω時，有λ∈ρ(A)，且
則稱{S(t),t≥0}為一個T(t)-積分半群，A稱為其生成元。
2 主要結(jié)果
對?λ>ω及x′∈(X,‖·‖)′，令Pλ,x′(x)=
|x′[λR(λ,A)Lλx]|，x∈X，則利用T(t)-積分半群的定義，對?x,y∈X及λ>ω有
(1)Pλ,x′(x)≥0;
(2)Pλ,x′(x+y)≤Pλ,x′(x)+Pλ,x′(y);
(3)Pλ,x′(αx)=αPλ,x′(x)，其中α≥0。
事實上，Pλ,x′(x)=|x′[λR(λ,A)Lλx]|≥0；
Pλ,x′(x+y)=|x′[λR(λ,A)Lλ(x+y)]| =|x′[λR(λ,A)Lλx]+x′[λR(λ,A)Lλy]| ≤|x′[λR(λ,A)Lλx]|+ |x′[λR(λ,A)Lλy]| =Pλ,x′(x)+Pλ,x′(y)；
Pλ,x′(αx)=|x′[λR(λ,A)Lλ(αx)]| =|αx′[λR(λ,A)Lλx]| =α|x′[λR(λ,A)Lλx]| =αPλ,x′(x)。
即Pλ,x′(x)是X上的一半范數(shù)，從而由半范數(shù)族S={Pλ,x′∶λ>ω}可以誘導(dǎo)出一局部凸向量拓?fù)?，記為τ?/p>
定義2.1 由上述半范數(shù)族S={Pλ,x′∶λ>ω}導(dǎo)出的X上的局部凸向量拓?fù)洌Q為X的關(guān)于x′的弱T(t)-積分半群拓?fù)?，相?yīng)的局部凸線性拓?fù)淇臻g記為(X,τ)。
引理2.1[2]設(shè)E是線性空間，A1，B1是E上的兩族半范數(shù)，那么由A1確定的拓?fù)淙跤谟葿1確定的拓?fù)涞某湟獥l件是：對于每個q∈A1，必存在p1,p2,…,pm∈B1以及正數(shù)c1,c2，…,cm，使得對一切x∈E下式成立：
q(x)≤c1p1(x)+c2p2(x)+…+cmpm(x)。
定理2.1 由范數(shù)所誘導(dǎo)的局部凸向量拓?fù)鋸?qiáng)于X上的弱T(t)-積分半群拓?fù)洹?/p>
證明 因為對?λ>ω，x′∈X′及x∈X，有：
Pλ,x′(x)=|x′[λR(λ,A)Lλx]|≤‖x′‖·
‖λR(λ,A)Lλ‖·‖x‖，
再根據(jù)引理2.1，得證。
定義2.2 在一局部凸線性拓?fù)淇臻gX中，如果對任意的Cauchy序列{xn}，{x′[λR(λ,A)Lλxn]}(λ>ω)都收斂，則稱X關(guān)于x′是弱T(t)-積分半群完備的。
定理2.2 局部凸線性拓?fù)淇臻g(X,τ)是弱
T(t)-積分半群完備的。
證明 設(shè){xn}是(X,τ)中的任意Cauchy序列，那么對于任意連續(xù)半范數(shù)q(x)及ε>0，集合U={x:q(x)<ε}構(gòu)成零的一個環(huán)境，從而必存在自然數(shù)N，使得當(dāng)n,m>N時，有(xn-xm)∈U，即q(xn-xm)<ε，特別地，對?Pλ,x′(x)∈S有：
Pλ,x′(xn-xm)=|x′[λR(λ,A)Lλ(xn-xm)]|
=|x′[λR(λ,A)Lλxn]-x′[λR(λ,A)Lλxm]|
<ε，
可知{x′[λR(λ,A)Lλxn]}(λ>ω)是一Cauchy數(shù)列，從而必收斂。再由定義2.2可得(X,τ)是弱
T(t)-積分半群完備的。
定理2.3 設(shè){S(t),t≥0}是非退化的T(t)-積分半群且x′≠0，則{S(t),t≥0}誘導(dǎo)出的弱T(t)-積分半群拓?fù)洇邮欠蛛x的。
證明 因為{S(t),t≥0}是非退化的，即若對?t有T(t)x=0，那么必有x=0，所以對?x≠0有：
從而對?x≠y，即x-y≠0，必存在一α∈(ω,+∞)使得Pα,x′(x)=3d>0，令V={x:Pα,x′(x)≤1}，則x的環(huán)境x+dV與y的環(huán)境y+dV互不相交，即弱
T(t)-積分半群拓?fù)洇邮欠蛛x的。
關(guān)于不同的x′∈X′的弱T(t)-積分半群拓?fù)渲g的關(guān)系，給出以下結(jié)果：
證明 因為對?x∈X有：
再根據(jù)引理2.1，定理得證。
[1]楊錄山.T(t)-積分半群[J].工科數(shù)學(xué)，1998，14(2)：14-15.
[2]夏道行，楊亞力.線性拓?fù)淇臻g引論[M].上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，1986.
[責(zé)任編輯 賀小林]
WeakT(t)-Integrated Semigroups Topological
BI WEI
(Editorial Department of Journal of Yan′an University,Yan′an 716000,China)
By using the concepts ofT(t)-times integrated and continuous linear functional,a new locally convex vector topological was introduced,and some propositions of it were given.
T(t)-times integrated; locally convex vector topological; generator; WeakT(t)-times integrated topological
2015-03-09
畢 偉(1986—)，男，陜西米脂人，延安大學(xué)助理編輯。
O177.31
A
1004-602X(2015)02-0049-02
猜你喜歡
幼兒教育·父母孩子版(2022年4期)2022-05-08 21:35:35
中學(xué)生數(shù)理化(高中版.高考數(shù)學(xué))(2021年3期)2021-06-09 06:09:14
中學(xué)生數(shù)理化(高中版.高二數(shù)學(xué))(2021年12期)2021-04-26 07:43:38
中學(xué)生數(shù)理化(高中版.高二數(shù)學(xué))(2021年2期)2021-03-19 08:54:04
海峽姐妹(2020年9期)2021-01-04 01:35:44
華人時刊(2020年13期)2020-09-25 08:21:32
VOGUE服飾與美容(2020年9期)2020-09-02 14:47:26
山東青年(2016年1期)2016-02-28 14:25:25
汽車維護(hù)與修理(2015年6期)2015-02-28 12:16:55
當(dāng)代修辭學(xué)(2014年3期)2014-01-21 02:30:44
