關(guān)曉謙，劉東平，李東濤

(中國(guó)洛陽(yáng)電子裝備試驗(yàn)中心，河南濟(jì)源454650)

1 引 言

線(xiàn)性調(diào)頻(Linear Frequency Modulation，LFM)信號(hào)是在脈沖持續(xù)期間內(nèi)信號(hào)頻率連續(xù)線(xiàn)性變化的信號(hào)，是一類(lèi)非常重要的非平穩(wěn)信號(hào)，被廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、聲納和通信等信息系統(tǒng)［1－2］。調(diào)頻斜率和起始頻率作為線(xiàn)性調(diào)頻信號(hào)的2個(gè)重要參數(shù)，其估計(jì)問(wèn)題一直是LFM信號(hào)處理領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)和難點(diǎn)。目前，已經(jīng)出現(xiàn)了很多比較成熟的算法，比如Radon－Wigner變換、分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(fractional Fourier transform，F(xiàn)RFT)和最大似然估計(jì)(ML)等方法［3－7］。其中基于 FRFT 的LFM信號(hào)參數(shù)估計(jì)方法最受關(guān)注。但是，該方法每檢測(cè)一個(gè)信號(hào)都要對(duì)信號(hào)分別求所有旋轉(zhuǎn)角α∈［0，π］的 FRFT，再進(jìn)行二維搜索、濾波以及FRFT逆變換，計(jì)算量大。而且對(duì)信號(hào)反復(fù)進(jìn)行FRFT、濾波和FRFT逆變換也會(huì)給弱信號(hào)帶來(lái)誤差。

文獻(xiàn)［8］提出利用LFM信號(hào)能量一定時(shí)，在相同的時(shí)寬范圍內(nèi)，其頻譜幅度平方與調(diào)頻斜率呈反比的特性，通過(guò)在固定區(qū)間上改變解線(xiàn)調(diào)參考信號(hào)的調(diào)頻斜率，逐步進(jìn)行搜索估計(jì)信號(hào)參數(shù)的算法。該算法在一定程度上解決了分?jǐn)?shù)階Fourier變換法的大運(yùn)算量問(wèn)題，但決定該算法估計(jì)精度的搜索步長(zhǎng)這一參數(shù)，卻受算法運(yùn)算量的制約，步長(zhǎng)太大估計(jì)誤差變大，步長(zhǎng)太小則運(yùn)算量急劇上升，算法無(wú)法平衡估計(jì)精度和運(yùn)算量之間的矛盾。針對(duì)此問(wèn)題，本文提出了基于蟻群算法優(yōu)化的參數(shù)估計(jì)算法。

2 LFM信號(hào)參數(shù)估計(jì)原理

當(dāng)時(shí)寬帶寬積遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于1時(shí)，LFM信號(hào)的幅譜近似為無(wú)菲涅爾起伏的矩形譜，其頻譜寬度近似等于信號(hào)帶寬B［9］。設(shè)LFM信號(hào)為:

式中:A為信號(hào)幅度;f0為載頻;k為調(diào)頻斜率;n(t)零均值的高斯白噪聲;T為信號(hào)的時(shí)寬。

根據(jù)帕斯瓦爾定理可知，s(t)的功率P可表示為:

式中:S(ω)是信號(hào)s(t)的頻譜。

當(dāng)BT＞＞1時(shí)，式(2)可近似化簡(jiǎn)為:

將調(diào)頻斜率k與帶寬B和時(shí)寬T之間的關(guān)系B=kT代入式(3)可得:

對(duì)于一定時(shí)寬的LFM信號(hào)，其信號(hào)能量總是可測(cè)的，即信號(hào)能量是一定的，由式(4)可知，在相同時(shí)寬范圍內(nèi)，其頻譜幅度平方與調(diào)頻斜率成反比。調(diào)頻斜率越小，對(duì)應(yīng)的頻譜幅值就越大，其頻譜最大幅值對(duì)應(yīng)譜線(xiàn)處的頻率即為起始頻率的真值。

根據(jù)LFM信號(hào)的以上性質(zhì)，對(duì)LFM信號(hào)的調(diào)頻斜率和起始頻率的估計(jì)的步驟如下:

(1)將調(diào)頻斜率的變化范圍［kmin，kmax］以Δk為步長(zhǎng)劃分為一系列離散值，記為ki(i=1，2，…，N)，N為離散值的總數(shù)。

(2) 分別用 exp［－jπkit2］(i=1，2，…，N)和 s(t)相乘，得到N組解調(diào)后的信號(hào):

(3)分別對(duì)式(5)做傅里葉變換，得到N組頻譜對(duì)應(yīng)的 N 個(gè)最大幅值，記為 A1，A2，…，AN，與此N個(gè)最大幅值對(duì)應(yīng)的頻率值記為f1，f2，…，fN。

(4)對(duì) A1，A2，…，AN進(jìn)行比較，找出其中的最大值A(chǔ)max，設(shè)Amax=Al，則得到調(diào)頻斜率的估計(jì)值ke=kl，起始頻率的估計(jì)值為fe=fl。

3 基于蟻群算法的參數(shù)估計(jì)算法

蟻群算法［10］(Ant Colony Optimization，ACO)是近年來(lái)才提出的一種基于種群尋優(yōu)的啟發(fā)式搜索算法，由意大利學(xué)者M(jìn)．Dorigo等于1991年首先提出。該算法受到自然界中真實(shí)蟻群集體行為的啟發(fā)，利用真實(shí)蟻群通過(guò)個(gè)體間的信息傳遞、搜索從蟻穴到食物間的最短路徑的集體尋優(yōu)特征，來(lái)解決一些離散系統(tǒng)中優(yōu)化的困難問(wèn)題。本文將蟻群算法的全局優(yōu)化和啟發(fā)式尋優(yōu)的特點(diǎn)應(yīng)用于LFM信號(hào)參數(shù)估計(jì)，將LFM信號(hào)參數(shù)估計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求極值問(wèn)題，利用蟻群算法對(duì)函數(shù)尋優(yōu)，提出了基于蟻群算法的LFM信號(hào)參數(shù)估計(jì)算法，算法步驟如下:

Step 1 初始化變量:設(shè)定調(diào)頻斜率k的變化范圍［kmin，kmax］，并以 Δk為步長(zhǎng)對(duì)其離散化，如下式:

令調(diào)頻斜率離散化后各結(jié)點(diǎn)初始信息素為τ1×N=U，螞蟻數(shù)目 M。

Step 2 計(jì)算各結(jié)點(diǎn)的選擇概率:

節(jié)點(diǎn)選擇采用輪盤(pán)賭的算法進(jìn)行選擇，確保信息素濃度高的節(jié)點(diǎn)被選擇的概率高，輪盤(pán)賭算法在實(shí)際應(yīng)用中如式A(n)=表示前 n個(gè)不同節(jié)點(diǎn)的選擇概率和。釋放蟻群中所有的M只螞蟻，同時(shí)在區(qū)間［0，1］上隨機(jī)生成M個(gè)小數(shù)，與M只螞蟻一一對(duì)應(yīng)，判斷每個(gè)隨機(jī)數(shù)位于區(qū)間［A(n－1)，A(n)］時(shí)所對(duì)應(yīng)的n值，則認(rèn)為M個(gè)n值所對(duì)應(yīng)的kn就是被這群螞蟻選擇的調(diào)頻斜率，這樣既保證了信息素濃度高的節(jié)點(diǎn)被選擇的概率高，又避免了每只螞蟻均按照同一概率選擇kn。

Step 3 構(gòu)造目標(biāo)函數(shù):

式中:abs(· )表示對(duì)信號(hào)去模運(yùn)算;fft(· )表示對(duì)信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換。

Step 4 設(shè)置算法終止條件:若最近五次迭代搜索到的最優(yōu)值之間相差小于某一設(shè)定值，則認(rèn)為算法已搜索到最優(yōu)值，算法終止;否則，完成所設(shè)定迭代次數(shù)，算法終止。

將式(7)選擇的kn代入式(8)，計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值，若滿(mǎn)足算法終止條件，則算法終止，設(shè)Amax取最大值時(shí)kn=k0，則k0即為信號(hào)調(diào)頻斜率的最優(yōu)估計(jì)值。若不滿(mǎn)足算法終止條件，則更新信息素，并返回Step2，滿(mǎn)足算法終止條件。

Step 5 把kn=k0代入式(5)中，求其傅里葉變換，找出對(duì)應(yīng)于頻譜最大的頻率f，即為起始頻率的最優(yōu)估計(jì)值。

4 仿真結(jié)果分析

4.1 參數(shù)估計(jì)結(jié)果分析

為了驗(yàn)證算法的可靠性，取一個(gè)單分量LFM信號(hào)進(jìn)行仿真驗(yàn)證。設(shè)接收到的LFM信號(hào)模型如式(1)所示，為了便于計(jì)算取幅度值A(chǔ)=1，信號(hào)起始頻率為350 Hz，調(diào)頻斜率k=60 Hz/s，其估計(jì)范圍為［40 Hz/s，80Hz/s］，信號(hào)觀測(cè)長(zhǎng)度 T=5 s，采樣頻率為fs=2 kHz，信號(hào)信噪比為－20 dB;螞蟻個(gè)數(shù)為100，初始信息素U=15，信息素的揮發(fā)度為0．1。分別用本文算法、文獻(xiàn)［8］算法和FRFT算法對(duì)此信號(hào)模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，經(jīng)過(guò)14次迭代(更新了14次信息素)得到參數(shù)估計(jì)結(jié)果，估計(jì)結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 信號(hào)參數(shù)估計(jì)結(jié)果Tab．1 Result of signal parameter estimate

分析參數(shù)估計(jì)結(jié)果可知:首先，由于算法參數(shù)都是在低信噪比條件先得到的，因此這三種算法都能較好地估計(jì)出信號(hào)的參數(shù)，且本文算法的參數(shù)估計(jì)精度高于文獻(xiàn)［8］算法和FRFT算法;其次，起始頻率的估計(jì)精度低于調(diào)頻斜率的估計(jì)精度，且文獻(xiàn)［8］算法和FRFT算法更差，其主要原因是:首先對(duì)信號(hào)調(diào)頻斜率進(jìn)行估計(jì)，然后利用估計(jì)結(jié)果進(jìn)而估計(jì)出起始頻率，導(dǎo)致了誤差的積累和放大，尤其是文獻(xiàn)［8］算法和FRFT算法要經(jīng)過(guò)多次變換和逆變換，所以對(duì)信號(hào)的起始頻率估計(jì)精度就更差。

在信號(hào)參數(shù)不變的情況下，改變?cè)肼暤膹?qiáng)度，分別采用本文算法、文獻(xiàn)［8］算法和FRFT算法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。重復(fù)進(jìn)行30次Monte－Carle仿真，計(jì)算參數(shù)估計(jì)的均方誤差(Mean Square Error，MSE)，圖1和圖2分別給出了調(diào)頻斜率和起始頻率的參數(shù)估計(jì)均方誤差隨信噪比(SNR)的變化曲線(xiàn)。

圖1 調(diào)頻斜率MSE隨信噪比變化曲線(xiàn)Fig．1 Changing curve of chirp rate MSE followed with the SNR

圖2 起始頻率MSE隨信噪比變化曲線(xiàn)Fig．2 Changing curve of origination frequency MSE followed with the SNR

圖1 和圖2進(jìn)一步表明:調(diào)頻斜率的估計(jì)精度高于起始頻率的估計(jì)精度，此外，隨著信噪比的增加，信號(hào)參數(shù)估計(jì)誤差呈不斷下降的趨勢(shì)。

4.2 算法計(jì)算量分析

本文蟻群算法中螞蟻個(gè)數(shù)選為100，迭代次數(shù)選為50，則蟻群算法對(duì)調(diào)頻斜率的估計(jì)過(guò)程如圖3所示。

由圖3可知，當(dāng)算法迭代到第14次的時(shí)候達(dá)到了算法終止條件要求的估計(jì)精度。FFT計(jì)算的復(fù)雜度為o( M ×log M)［11］，其中 M 為采樣點(diǎn)數(shù)，則本文算法復(fù)雜度為:

o(14×100×M×log M)=o(1 400×M×log M)

文獻(xiàn)［6］算法的復(fù)雜度為:

圖3 蟻群算法對(duì)調(diào)頻斜率估計(jì)過(guò)程Fig．3 Estimate process of chirp rate with ACO

若信號(hào)采樣點(diǎn)數(shù)為M，掃描點(diǎn)數(shù)為 m，則FRFT算法的復(fù)雜度為o( m×M×log M)，掃描點(diǎn)數(shù)m由α的步長(zhǎng)和范圍確定，其中α的步長(zhǎng)取值為0．008［12］，范圍為 10π，則 FRFT 算法的復(fù)雜度為:通過(guò)上述分析，利用蟻群算法對(duì)LFM參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，能夠在保證估計(jì)精度的情況下有效減少計(jì)算量，很好地提高了參數(shù)估計(jì)的效率和質(zhì)量。

5 結(jié) 論

本文在文獻(xiàn)［8］的基礎(chǔ)上，將LFM信號(hào)參數(shù)估計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求極值問(wèn)題，利用蟻群算法全局優(yōu)化和啟發(fā)式尋優(yōu)的特點(diǎn)，提出了基于蟻群算法的LFM信號(hào)參數(shù)估計(jì)算法。該方法運(yùn)算量小、參數(shù)估計(jì)精度高，有效克服了原算法運(yùn)算量大、不易工程實(shí)踐的缺點(diǎn)。

［1］ 王小謨，張光義．雷達(dá)與探測(cè)［M］．第2版．北京:國(guó)防工業(yè)出版社，2008．WANG Xiaomo，ZHANG Guangyi．Radar and detection［M］．2nd ed．Beijing:National Defense Industry Press，2008．

［2］ Pace P E，Burton G D．Anit－ship cruise missiles:technology，simulation and ship self－defense［J］．Journal of Electron Defense，1998，21(11):51－ 55．

［3］ Djuric P M，Kay S M．Parameter estimation of chirp signals［J］．IEEE Trans on Acoustics，Speech，and Signal Processing，1990，38(12):2118－2126．

［4］ 陳文武，蔡征宇，陳如山，等．脈沖噪聲下基于Robust STFT的LFM信號(hào)檢測(cè)與參數(shù)估計(jì)［J］．南京理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，12(2):312－329．CHEN Wenwu，CAI Zhengyu，CHEN Rushan，et al．Robust STFT－based detection and parameter estimation of LFM signal in impulsive noise［J］．Journal of Nanjing University of Science and Technology，2012，12(2):312－329．

［5］ Li Yan， Fu Hua， Kam Pooi-Yuen． Improved，approximate，time-domain ML estimators of chirp signal parameters and their performance analysis［J］．IEEE Trans on Signal Processing，2009，57(4):1260－1272．

［6］ Ijima H，Ohsumi A，Djurovic I．Parameter estimation of chirp signals in random noise using wigner distribution［C］∥Proc of the 47th Midwest Symposium on Circuits and Systems．Hiroshima，Japan:［s．n．］，2004:177－180．

［7］ 徐會(huì)法，劉鋒，張?chǎng)危謹(jǐn)?shù)階Fourier域強(qiáng)弱LFM信號(hào)檢測(cè)與參數(shù)估計(jì)［J］．信號(hào)處理，2011，27(7):1063－1068．XU Huifa，LIU Feng，ZHANG Xin．Detection and parameter estimation of strong and weak LFM signals in the fractional Fourier domain［J］．Signal Proceessing，2011，27(7):1063－1068．

［8］ 韓孟飛，王永慶，吳嗣亮，等．一種低信噪比下LFM信號(hào)參數(shù)快速估計(jì)算法［J］．北京理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，29(2):147－151．HAN Mengfei，WANGYongqing，WU Siliang，et al．A fast algorithm on parameter estimation of LFM signals under low SNR ［J］．Transactions of Beijing Institute of Technology，2009，29(2):147－151．

［9］ 朱曉華．雷達(dá)信號(hào)分析與處理［M］．北京:國(guó)防工業(yè)出版社，2011．ZHU Xiaohua．Radar signal analysis and processing［M］．Beijing:National Defence Industry Press，2011．

［10］ 楊淑瑩．模式識(shí)別與智能計(jì)算——MATLAB技術(shù)實(shí)現(xiàn)［M］．北京:電子工業(yè)出版社，2008．YANG Shuying．Pattern recognition and intelligentize count—technology implement of MATLAB［M］．Beijing:Publishing House of Electronics Industry，2008．

［11］ 孫志國(guó)，陳晶，申麗然，等．基于TSLPFT1－FFT的線(xiàn)性調(diào)頻信號(hào)參數(shù)估計(jì)方法［J］．電路與系統(tǒng)學(xué)報(bào)，2011，16(5):24－29．SUN Zhiguo，CHEN Jing，SHEN Liran，et al．Parameters estimation of linear frequency modulation signal based on TSLPFT1－ FFT［J］．Journal of Circuits and Systems，2011，16(5):24－29．

［12］ 宋軍，劉渝，朱霞．LFM信號(hào)參數(shù)估計(jì)的插值FRFT算法［J］．系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2011，33(10):2189－2194．SONG Jun，LIU Yu，ZHU Xia．Parameters estimation of LFM signals by interpolation based on FRFT［J］．Systems Engineering and Electronics，2011，33(10):2189－2194．