林君煥，陳月芬

(1．臺州職業(yè)技術學院 機電學院，浙江臺州318000;2．臺州學院物理與電子工程學院，浙江 臺州318000)

1 引 言

PAD情感模型可以對情感進行有效的描述。它可以將人類的抽象情感映射到由P，A，D三個維度構成的空間里，并通過三個維度坐標來實現(xiàn)特定情感的量化表達，其中三個維度的具體涵義為:愉悅度(Pleasure)代表個體情感狀態(tài)的正負特性，激活度(Arousal)代表個體的神經(jīng)生理激活水平，優(yōu)勢度(Dominance)代表個體對情景和他人的控制狀態(tài)。PAD三維情感模型作為情感與計算之間的橋梁，具有很強的可操作性，便于計算機的處理。

原有PAD情感模型存在幾個問題:① 人類情感豐富細膩，復雜情感可能由2個以上基本情感合成。②人在認知情感時，可能會從不同層面上去獲取有關情感知識，如宏觀層面上來說，情感總的可以分成消極情感和積極情感，往下一層可以進一步將積極情感分成高興、輕松等，消極情感可以分為害怕、發(fā)怒等。如何在PAD情感空間里對情感進行不同層面的描述，是情感計算的關鍵之一。

基于此，本文通過基于商空間理論的粒模型與方法來描述PAD情感模型，并最終能夠在一定程度上解決如上所述的一系列情感計算問題。

2 粒的基本概念

定義1 設U是非空有限集合，稱之為論域。P(U)為論域U的冪集，U上的一個等價關系R:U→P(U)。由R在U上產(chǎn)生一個劃分U/R={［u］R/u∈U}={U1，U2，Ui，…，Um}，稱為 R 的等價類或基本集，U1，U2，Ui，…，Um稱為 R 的粒［1］。且滿足:

(1)UiU，Ui≠φ

(2)Ui∩Uj=φ，i≠j，i，j=1，2，3，…，m

定義2 定義R的粒度［2］為

式中:當定義1中U為離散論域時，A 表示A的基數(shù)，當U為連續(xù)論域時，A =∫Ad x，下同。

定理1 設R在U上的一個等價關系，其產(chǎn)生的劃分 U/R={U1，U2，…，Um}，則有

證明略。

性質(zhì)1 設R是U上的一個等價關系，則有

證明 當R是相等關系時，即R=ω時，R的粒度最小論域關系，即R=σ時，R的粒度最大，G(R)=

定義3 設R是論域U上的一個等價關系族，且 R1，R2∈R，若對 x，y∈U，xR1yxR2y，則稱R1比 R2細，記為 R1R2。

性質(zhì)2 設R1，R2是論域U的兩個等價關系，且 R1R2，則 G(R1)＜G(R2)。

定義4 設R是U上的一個等價關系，R在U上產(chǎn)生一個劃分U/R={U1，U2，…，Um}，則 R 在 U的子集構成的σ－代數(shù)上定義的概率分布為［3］

定義5 設R是U上的一個等價關系，U/R={［u］R/u∈U}={U1，U2，Ui，…，Um}，定義 R 的信息熵H(R)為

信息熵也是R對論域U進行劃分的粗細程度的衡量。

性質(zhì)3 當R由最粗的論域關系到最細的相等關系時，H(R)由0增大到log2U。

證畢。

3 基于商空間的粒

3.1 商空間模型

定義6 設U為所要研究的論域，在U上有屬性函數(shù)f:U→W，其中W可以是多維的，各維既可以是實數(shù)域，也可以是其他的集合。拓撲T用來描述U中各元素之間的關系，則稱三元組(U，f，T)為所要研究的對象［4］。

定義7 設R是U上的一個等價關系，則由R產(chǎn)生的劃分構成U的一個商集［U］。在［U］上定義的商拓撲［T］為［T］={u/p－1(u)∈T，u∈［U］}，其中，p:U→［U］是自然投影;p－1是 p的逆變換。在［U］上構造出屬性函數(shù)［f］，則稱三元組(［U］，［f］，［T］)為(U，f，T)的商空間［4］。

3.2 模糊商空間理論

定義8 設U是論域，U上的一個模糊集A是指u∈U，有-μA∈［0，1］，稱為 u對 A 的隸屬程度，映射 μA:U→［0，1］，u→μA(u)稱為 A 的隸屬函數(shù)［5］。

令F(U)表示U的模糊子集的冪集，則F(U)實際上是由 μAi:U→［0，1］，Ai∈F(U)，i=1，2，3，…組成的函數(shù)族。

定義 9 設 R∈F(U×U)，若滿足［5］:

(1) u∈U，R(u，．u)=1

(2) u，v∈U，R(u，．v)=R(v，．u)

(3) u，v，w∈U，R(v，．w)≥

supu(min(R(v，．u)，R(u，．w)))

則稱R是U上的一個模糊等價關系。

命題1 設R是U上的一個模糊等價關系，若u，v∈U，R(u，v)=1，則稱是 U 上的一個普通等價關系，可令由構造的對應商空間為［U］［5］。

命題2 設R是U上的一個模糊等價關系，令 Rλ={(u，v)/R(u，v)≥λ}，0≤λ≤1，則 Rλ是U上的一個普通等價關系，稱Rλ為R的截關系，令由 Rλ構造的對應商空間為 U(λ)［5］。

定義10 設R是U上的一個模糊等價關系，Rλ為R的截關系，Rλ構造的對應商空間為U(λ)={U1(λ)，U2(λ)，Ui(λ)，…，Um(λ)}，則稱U1(λ)，U2(λ)，Ui(λ)，…，Um(λ)為 Rλ的粒。

定義11 根據(jù)定義2和定義10，Rλ的粒度定義為

式中:當定義9中U為離散論域時，A 表示A的基數(shù)，當U為連續(xù)論域時，A =∫Ad x，下同。

定理2 設R是U上的一個模糊等價關系，Rλ為R的截關系，且由Rλ構造的對應商空間為U(λ)={U1(λ)，U2(λ)，Ui(λ)，…，Um(λ)}，則有

證明 由定理1同理可得。

性質(zhì)4 設R是U上的一個模糊等價關系，Rλ是 R 的截關系，則有 0≤λ2≤λ1≤1Rλ1＜Rλ2U(λ2)是 U(λ1)的商集。于是商空間族{U(λ)/0≤λ≤1}按照商集的包含關系構成一個有序鏈，稱{U(λ)/0≤λ≤1}為U上的一個分層遞階結(jié)構［5］。

性質(zhì)5 設R是U上的一個模糊等價關系，Rλ1，Rλ2是 R 的截關系，且有 Rλ2＞Rλ1，則有 G(Rλ1)＜G(Rλ2)。

命題3 給定一個U上的模糊等價關系，則對應一個U上的分層遞階結(jié)構［5］。

定義12 設R是U上的一個模糊等價關系，可得到一個與它等價的U的商空間［U］上的歸一化等腰距離d。對a∈［U］，定義μa(b)=1－d(a，b)，b∈［U］。那么每個 μa就定義了［U］上一個模糊集。由這些模糊集構成的空間就對應于模糊等價關系R的模糊商空間{μa/a∈［U］}，或稱其為U上的一個模糊知識基。注:U的商空間［U］上的歸一化等腰距離的相關概念見文獻［5］。

定義13 設R1，R2是U上的兩個模糊等價關系，若對(u，v)∈(U×U)，有 R1(u，v)≤R2(u，v)，則稱 R2比 R1細，記為 R1≤R2。

定理3 在上述定義的關系“＜”下，所有U上的模糊商空間全體構成一個完備半序格R［5］。

證明略。

4 PAD情感空間的粒模型

PAD空間中的三個坐標軸具體量值含義為:+P代表愉悅，－P代表不愉悅;+A代表激活，－A代表不激活;+D代表優(yōu)勢，－D代表沒有優(yōu)勢，每個維度上的數(shù)值范圍為［－1，+1］，－1表示該維度上的值比較低，相反+1表示該維度上的值比較高，例如希望的坐標是(0．2，0．2，－0．1)。通過這種量化表示，OCC(由 Ortony，Clore，Collins三位學者提出的情感模型，稱為OCC模型，在該模型中，他們根據(jù)不同的情感刺激提出了22類情感)中的情感類型與PAD三維情感模型的對應關系［6］如表1所示。

將PAD空間的情感狀態(tài)通過粒模型來描述，首先是將P，A，D三維坐標構成的空間作為所要研究的對象論域。該論域由表1中的24個離散情感狀態(tài)構成。

定義14 設PAD情感空間論域為U:P×A×D，在U:P×A×D 上有屬性函數(shù)f:P×A×D→E，E 為情感狀態(tài)空間。拓撲T是U:P×A×D上各元素之間的關系。則(U，f，T)就是PAD情感空間上所要研究的對象。

定義15 設R是U:P×A×D上的一個等價關系，則由R產(chǎn)生的劃分構成U:P×A×D的一個商集［U］。在［U］上定義的商拓撲［T］為［T］={u/p－1(u)∈T，u∈［U］}，其中，p:U→［U］是自然投影;p－1是p的逆變換。在［U］上構造出屬性函數(shù)［f］，則稱三元組(［U］，［f］，［T］)為(U，f，T)的PAD情感商空間。

定義16 設R∈F(U×U)，若滿足:

(1) u∈U，R(u，．u)=1

(2) u，v∈U，R(u，．v)=R(v，．u)則稱R是U上的一個模糊相似關系。

表1 OCC情感類型與PAD三維情感模型的對應關系Tab．1 Corresponding relationship between emotions of OCC and the 3-dimension emotional model of PAD

定理 4 令 R(x，y)=1－d(x，y)，其中 d(x，y)是U:P×A×D上歐氏歸一化距離，則R是U:P×A×D上的一個模糊相似關系。

證明 R(x，x)=1－d(x，x)=1滿足定義 16的條件(1);

R(x，y)=1－d(x，y)=1－d(y，x)=R(y，x)滿足定義16的條件(2)。證畢。

定理5 設模糊矩陣A，則A的傳遞閉包t(A)是

證明略。

定理6 模糊相似矩陣R的傳遞閉包是模糊等價矩陣，且

證明略。

定理7 設R是模糊相似矩陣，則存在一個最小自然數(shù) k(k≤n)，使得傳遞閉包 t(R)=于任何自然數(shù) b≥k，都有 Rb=Rk，此時t(R)=是模糊等價矩陣［7］。

證明略。

定理 8 令 R(x，y)=1－d(x，y)，其中 d(x，y)是 U:P×A×D 上歐氏歸一化距離，由 R(x，y)組成矩陣 R∈μ24×24，其中 μi×j=R(xi，yj)，則有模糊等價矩陣t(R)=，k(k≤n)。

證明:由定理4和定理7可證。

根據(jù)表1和定理4計算PAD情感空間論域U:P×A×D上的模糊相似關系矩陣。

根據(jù)定理8和式(7)求得R對應的模糊等價矩陣。

定義17 R是由式(8)確定的模糊等價關系，Rλ為R的截關系，Rλ構造的對應情感商空間為U(λ)={U1(λ)，U2(λ)，Ui(λ)，…，Um(λ)}，則稱 U1(λ)，U2(λ)，Ui(λ)，…，Um(λ)為 Rλ的情感粒。

定義18 根據(jù)定義2和定義17，Rλ的情感粒度定義為

式中: A 表示A的基數(shù)。情感粒度是衡量PAD情感空間上的情感粒粗細度的尺度之一。

定理9 R是由式(8)確定的模糊等價關系，Rλ為R的截關系，且由Rλ構造的對應情感商空間為 U(λ)={U1(λ)，U2(λ)，Ui(λ)，…，Um(λ)}，則有

證明 由定理1同理可得。

定義19 R是由式(8)確定的模糊等價關系，Rλ為R的截關系，且由Rλ構造的對應情感商空間為 U(λ)={U1(λ)，U2(λ)，Ui(λ)，…，Um(λ)}，則Rλ在U的子集構成的σ－代數(shù)上定義的概率分布為

定義20 R是由式(8)確定的模糊等價關系，Rλ為R的截關系，且由Rλ構造的對應情感商空間為 U(λ)={U1(λ)，U2(λ)，Ui(λ)，…，Um(λ)}，定義Rλ的PAD情感空間上的情感熵H(R)為

情感熵也是衡量PAD情感空間上的情感粒粗細度的尺度之一。

例1 對于式(8)的模糊等價矩陣，求取該模糊等價矩陣的截關系矩陣Rλ，λ=0．87時的情感商空間、情感粒度、情感熵。

解:

由式(8)和 Rλ，λ=0．87 可得

由定義15得R0．87等價截關系下的一個情感商集［U］:P×A×D 為:

{{欽佩，滿足，感激，幸福，希望，高興，喜歡，愛，傲慢，輕松，滿意}，{發(fā)怒，厭惡，憎恨，責備}，{失望，痛苦，害怕，恐懼，同情，懊悔，憤恨，羞愧}，{幸災樂禍}}

上式中:{欽佩，滿足，感激，幸福，希望，高興，喜歡，愛，傲慢，輕松，滿意}是原情感空間U:P×A×D上比較正性情感的集合，{發(fā)怒，厭惡，憎恨，責備}是原情感空間U:P×A×D上比較負性且直接作用于客體的情感的集合，{失望，痛苦，害怕，恐懼，同情，懊悔，憤恨，羞愧}是原情感空間U:P×A×D上比較負性且比較傾向于內(nèi)省的情感的集合，{幸災樂禍}是原情感空間U:P×A×D上無利益沖突時表現(xiàn)出的負面情感的集合，該結(jié)果證明了通過R0．87等價截關系求得的商集，能夠有效地將原空間提升到更宏觀的層面進行描述和總結(jié)。

情感商空間的情感粒度

情感熵

例2 對于式(8)的模糊等價矩陣，分別取該模糊等價矩陣的截關系矩陣 Rλ1，λ1=0．87 和 Rλ2，λ2=0．9，試比較兩者產(chǎn)生的情感商空間的情感粒粗細度。

解:

由式(8)和 Rλ，λ=0．9 可得

由定義15得R0．87等價關系下的一個情感商集［U］:P×A×D］為:

{{欽佩，滿足，感激，幸福，希望，高興，喜歡，愛，傲慢}，{發(fā)怒，憎恨}，{厭惡}，{失望，痛苦，恐懼，同情，懊悔，羞愧}，{害怕}，{幸災樂禍}，{輕松，滿意}，{責備}，{憤恨}}

由定義 3、性質(zhì) 2、性質(zhì) 3 和 G(R0．87) ＞G(R0．9)、H(R0．87)＜H(R0．9) 可得 R0．87的情感商空間比 R0．9的情感商空間粗。

比較 R0．87的情感商空間和 R0．9的情感商空間，可以發(fā)現(xiàn) R0．87的情感商空間是 R0．9的情感商空間集合的集合，也證明了R0．87的情感商空間是R0．9的情感商空間的商空間。

5 結(jié) 論

情感的可計算問題一直是人工智能領域研究的熱點之一。情感計算的關鍵是將情感投影到特定空間上進行量化，并建立起有效的數(shù)學模型對其進行相關的計算，計算結(jié)果可以為后續(xù)的情感推理模型提供依據(jù)。本文以基于商空間理論的粒模型和粒計算為方法，對PAD情感模型進行了粒的描述。從粒的角度，定性和定量地刻畫了PAD情感空間里的情感狀態(tài)。通過實例證明了基于商空間理論的粒模型在描述PAD情感狀態(tài)上具有一定的有效性和可行性。目前本文只是對PAD情感模型作了初步的粒描述。未來還將研究通過基于商空間理論的粒模型和粒計算的方法，定性和定量地描述情感在不同商空間上的拓撲關系以及情感在不同商空間上的運算法則，從而實現(xiàn)情感在不同層面(商空間)上的遷移、合成和分解等。

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