李時(shí)敏

(廣東財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 廣州 510320)

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一類不連續(xù)廣義Lienard微分系統(tǒng)的極限環(huán)分支*

李時(shí)敏

(廣東財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 廣州 510320)

利用不連續(xù)微分系統(tǒng)的一階平均法，研究從一類廣義Lienard微分系統(tǒng)中心的周期環(huán)域分支出極限環(huán)的最大個(gè)數(shù)問題。通過對(duì)該系統(tǒng)的中心進(jìn)行分段連續(xù)的多項(xiàng)式擾動(dòng)，得到了該系統(tǒng)從中心的周期環(huán)域分支出極限環(huán)最大個(gè)數(shù)的線性估計(jì)。結(jié)果表明：不連續(xù)Lienard微分系統(tǒng)比其對(duì)應(yīng)的連續(xù)微分系統(tǒng)可以分支出更多的極限環(huán)。

極限環(huán)；Lienard微分系統(tǒng)；不連續(xù)微分系統(tǒng)； 平均法

微分系統(tǒng)定性理論的一個(gè)主要問題是研究平面微分系統(tǒng)的極限環(huán)問題[1]。例如，眾所周知的希爾伯特第16問題就是考慮平面多項(xiàng)式微分系統(tǒng)的極限環(huán)個(gè)數(shù)問題[2]。由于該問題十分困難， Smale[3]僅考慮平面Lienard微分系統(tǒng)，并將其列為21世紀(jì)需要解決的重要問題之一。Lienard微分系統(tǒng)在科學(xué)以及工程的許多分支都有著廣泛的應(yīng)用[4]。

近年來，隨著現(xiàn)實(shí)生活中出現(xiàn)許多不連續(xù)現(xiàn)象，越來越多的數(shù)學(xué)工作者開始研究不連續(xù)微分系統(tǒng)的分支問題[4]。鑒于不連續(xù)微分系統(tǒng)的重要性，本文討論如下不連續(xù)廣義Lienard微分系統(tǒng)：

(1)

其中

(2)

記H(l,n,m)為利用一階平均法， 不連續(xù)廣義Lienard微分系統(tǒng)(1)從原點(diǎn)的周期環(huán)域分支出極限環(huán)的最大個(gè)數(shù)。目前已有許多文獻(xiàn)對(duì)某些特殊情形進(jìn)行了討論，列舉如下：

(i) 若fn(x)≡0，文[5]證明了

H(0,0,m)=[(m-1)/2],H(1,0,m)=[m/2],H(2,0,m)=[(m-1)/2]

并且猜測(cè)H(l,0,m)=[(m+1-l)/2],l=3,4,5,…。其中[]表示取整函數(shù)。

(ii) 若l=0，文[6]得到H(0,n,0)≥[n/2]。文[7]得到H(0,n,m)=[n/2]。

(iii) 若l=1,m=1，文[8]中得到H(1,n,1)≥[n/2]+1。

利用不連續(xù)微分系統(tǒng)的一階平均法定理[9]，本文考慮了系統(tǒng)(1)從原點(diǎn)的周期環(huán)域分支出極限環(huán)的最大個(gè)數(shù)問題。我們的主要結(jié)果如下：

定理1 當(dāng)|ε|>0充分小，考慮系統(tǒng)(1) ，

(i) 若l為奇數(shù)，則H(l,n,m)≤max{2[n/2]+1,2[m/2]}。特別地,

(ii) 若l為偶數(shù)，則H(l,n,m)≤max{[n/2],[(m-1)/2]}。特別地,

注1 文獻(xiàn)[7]中已經(jīng)證明了H(0,n,n)=[n/2]。由定理1的結(jié)論(i)，我們可以得到H(1,n,n)=2[n/2]+1。結(jié)果表明 不連續(xù)Lienard微分系統(tǒng)(1) (l=1)比其相應(yīng)的連續(xù)系統(tǒng)(l=0)可以從原點(diǎn)的周期環(huán)域多分支出[n/2]+1個(gè)極限環(huán)。當(dāng)然，我們的結(jié)論是建立在現(xiàn)有的結(jié)果之上。

1 不連續(xù)微分系統(tǒng)的一階平均法

在這部分里，我們將介紹文[9]中的不連續(xù)微分系統(tǒng)的一階平均法定理。值得注意的是，原文中考慮的是不連續(xù)微分方程組。由于本文只涉及單個(gè)微分方程，簡單起見，我們僅介紹單個(gè)微分方程的一階平均法。粗略地說：平均法給出了非自治微分系統(tǒng)與其相應(yīng)的平均系統(tǒng)(自治微分系統(tǒng))解之間的定性關(guān)系。有關(guān)平均法的一般介紹，可以參考文[10]。

考慮如下不連續(xù)微分方程

(3)

其中

(4)

且F1,F2:R×D→R,G1,G2:R×D×(-ε0,ε0)→R,h:R×D→R均為連續(xù)函數(shù)。D?R為開區(qū)間。這些函數(shù)均關(guān)于變量θ為2π的周期函數(shù)。sign(u)為符號(hào)函數(shù)，定義如下：

定理2 考慮微分方程(3)，定義平均函數(shù)f:D→R如下

(5)

假設(shè)滿足以下三個(gè)條件：

(i)F1,F2,R1,R2和h均關(guān)于r滿足局部李普希茲條件。

(iii) 若?h/?θ≠0，則對(duì)所有的(θ,r)∈M，有?h/?θ≠0；若?h/?θ≡0，則對(duì)所有的

(θ,z)∈[0,2π]×Μ有〈▽rh,F1〉2-〈▽rh,F2〉2>0，其中▽rh表示函數(shù)h關(guān)于變量r的梯度。則當(dāng)|ε|>0充分小，系統(tǒng)(3)存在一個(gè)周期為2π的解r(θ,ε)，使得當(dāng)ε→0時(shí)，r(0,ε)→a(在Hausdorff度量意義下)。

為了方便驗(yàn)證定理2的假設(shè)(ii)，我們給出下面的注記。

由定理2和注2 可知，若微分系統(tǒng)(3) 滿足定理2 中的假設(shè)(i)和(iii)，則由式(5)定義的平均函數(shù)f(r)的簡單零點(diǎn)個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)微分系統(tǒng)(3)的極限環(huán)個(gè)數(shù)。下面我們開始推導(dǎo)平均函數(shù)(5)的具體表達(dá)式。

2 平均函數(shù)

(6)

其中

(7)

將式(7)代入式(5)，得到平均函數(shù)

(8)

其中

(9)

由于

(10)

(11)

根據(jù)定理2，需要計(jì)算平均函數(shù)(11)簡單零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。我們分以下兩種情況來討論：

2.1l為奇數(shù)

命題1 若l為奇數(shù)，則平均函數(shù)(11)為

(12)

其中

(13)

因此

類似地，當(dāng)θ∈(kπ/l,(k+1)π/l)時(shí)，

(14)

將式(14)代入式(9)中第二式，有

(15)

顯然B2j+1=0。由式(15)可得

2.2l為偶數(shù)

命題2 若l為偶數(shù)，則平均函數(shù)(11)為

(16)

其中

(17)

因此

(18)

將式(18)代入式(9)中第二式，有

(19)

顯然B2j=0。由式(19)可得

3 定理1的證明

在估計(jì)平均函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的過程中， 我們需要用到如下引理：

定理1的證明 首先考慮情形(i)。

情形(ii)同理可證。

[1] 張芷芬，丁同仁，黃文灶，等. 微分方程定性理論[M]. 北京：科學(xué)出版社，1985.

[2] LI J. Hilbert’s 16th problem and bifurcations of planar polynomial vector fields [J]. Int J Bifurcation and Chaos, 2003, 13: 47-106.

[3] SMALE S. Mathematical problems for the next century [J]. The Mathematical Intelligence, 1998, 20: 7-15.

[4] BERNARDO M, BUDD C, CHAMPNEYS A, et al. Bifurcations in nonsmooth dynamic systems [J]. SIAM Review, 2008, 50: 629-701.

[5] LLIBRE J, TEIXEIRA M. Limit cycles form-piecewise discontinuous polynomial Lienard differential equations [J]. Z Angew Math Phys, 2015, 66(1): 51-66.

[6] BLOWS T, LLOYD N. The number of small-amplitude limit cycles of Lienard equations [J]. Math Proc Camb Phil Soc, 1984, 95: 359-366.

[7] LLIBRE J, MEREU A, TEIXEIRA M. Limit cycles for the generalized polynomial Lienard differential equations [J]. Math Proc Camb Phil Soc, 2010, 148: 363-383.

[8] MIRANDA M, MEREU A. Limit cycles in discontinuous classical Lienard equations [J]. Nonlinear Analysis: Real World Applications, 2014, 20: 67-73.

[9] LLIBRE J, NOVAES D, TEIXEIRA M. On the birth of limit cycles for non-smooth dynamical systems [J]. Bull Sci Math, 2015, 139: 229-244.

[10] SANDERS J, VERHULST F. Averaging methods in nonlinear dynamic systems [M]. New York: Springer-Verlag, 1985.

[11] BUICA A, LLIBRE J. Averaging methods for finding periodic orbits via Brouwer degree [J]. Bull Sci Math, 2004, 128: 7-22.

[12] COLL B, GASULL A, PROHENS R. Bifurcation of limit cycles from two families of centers [J]. Dyn Contin Diccrete Impulse Syst, Ser A, Math Anal, 2005, 12: 275-287.

Bifurcation of Limit Cycles for a Class of Discontinuous Generalized Lienard Differential System

LIShimin

(School of Mathematics and Statistics, Guangdong University of Finance and Economics, Guangzhou 510320, China)

Using the first order averaging method for discontinuous differential system, the maximum number of limit cycles which bifurcate from the periodic annulus of the center for a class of generalized Lienard differential system is studied. By piecewise smooth polynomial perturbating, the linear estimation of the maximum number of limit cycles which bifurcate from the periodic annulus of this center is obtained. The result shows that there are more limit cycles which can bifurcate from the discontinuous Lienard differential system than the continuous one.

limit cycle; Lienard differential system; discontinuous differential system; averaging method

10.13471/j.cnki.acta.snus.2015.05.004

2015-03-21

國家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11401111)

李時(shí)敏(1983年生)，男；研究方向：常微分方程及其應(yīng)用；E-mail:lism1983@126.com

0175

A

0529-6579(2015)05-0015-05