李時敏

(廣東財經(jīng)大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，廣東 廣州 510320)

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一類不連續(xù)廣義Lienard微分系統(tǒng)的極限環(huán)分支*

李時敏

(廣東財經(jīng)大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，廣東 廣州 510320)

利用不連續(xù)微分系統(tǒng)的一階平均法，研究從一類廣義Lienard微分系統(tǒng)中心的周期環(huán)域分支出極限環(huán)的最大個數(shù)問題。通過對該系統(tǒng)的中心進行分段連續(xù)的多項式擾動，得到了該系統(tǒng)從中心的周期環(huán)域分支出極限環(huán)最大個數(shù)的線性估計。結果表明：不連續(xù)Lienard微分系統(tǒng)比其對應的連續(xù)微分系統(tǒng)可以分支出更多的極限環(huán)。

極限環(huán)；Lienard微分系統(tǒng)；不連續(xù)微分系統(tǒng)； 平均法

微分系統(tǒng)定性理論的一個主要問題是研究平面微分系統(tǒng)的極限環(huán)問題[1]。例如，眾所周知的希爾伯特第16問題就是考慮平面多項式微分系統(tǒng)的極限環(huán)個數(shù)問題[2]。由于該問題十分困難， Smale[3]僅考慮平面Lienard微分系統(tǒng)，并將其列為21世紀需要解決的重要問題之一。Lienard微分系統(tǒng)在科學以及工程的許多分支都有著廣泛的應用[4]。

近年來，隨著現(xiàn)實生活中出現(xiàn)許多不連續(xù)現(xiàn)象，越來越多的數(shù)學工作者開始研究不連續(xù)微分系統(tǒng)的分支問題[4]。鑒于不連續(xù)微分系統(tǒng)的重要性，本文討論如下不連續(xù)廣義Lienard微分系統(tǒng)：

(1)

其中

(2)

記H(l,n,m)為利用一階平均法， 不連續(xù)廣義Lienard微分系統(tǒng)(1)從原點的周期環(huán)域分支出極限環(huán)的最大個數(shù)。目前已有許多文獻對某些特殊情形進行了討論，列舉如下：

(i) 若fn(x)≡0，文[5]證明了

H(0,0,m)=[(m-1)/2],H(1,0,m)=[m/2],H(2,0,m)=[(m-1)/2]

并且猜測H(l,0,m)=[(m+1-l)/2],l=3,4,5,…。其中[]表示取整函數(shù)。

(ii) 若l=0，文[6]得到H(0,n,0)≥[n/2]。文[7]得到H(0,n,m)=[n/2]。

(iii) 若l=1,m=1，文[8]中得到H(1,n,1)≥[n/2]+1。

利用不連續(xù)微分系統(tǒng)的一階平均法定理[9]，本文考慮了系統(tǒng)(1)從原點的周期環(huán)域分支出極限環(huán)的最大個數(shù)問題。我們的主要結果如下：

定理1 當|ε|>0充分小，考慮系統(tǒng)(1) ，

(i) 若l為奇數(shù)，則H(l,n,m)≤max{2[n/2]+1,2[m/2]}。特別地,

(ii) 若l為偶數(shù)，則H(l,n,m)≤max{[n/2],[(m-1)/2]}。特別地,

注1 文獻[7]中已經(jīng)證明了H(0,n,n)=[n/2]。由定理1的結論(i)，我們可以得到H(1,n,n)=2[n/2]+1。結果表明 不連續(xù)Lienard微分系統(tǒng)(1) (l=1)比其相應的連續(xù)系統(tǒng)(l=0)可以從原點的周期環(huán)域多分支出[n/2]+1個極限環(huán)。當然，我們的結論是建立在現(xiàn)有的結果之上。

1 不連續(xù)微分系統(tǒng)的一階平均法

在這部分里，我們將介紹文[9]中的不連續(xù)微分系統(tǒng)的一階平均法定理。值得注意的是，原文中考慮的是不連續(xù)微分方程組。由于本文只涉及單個微分方程，簡單起見，我們僅介紹單個微分方程的一階平均法。粗略地說：平均法給出了非自治微分系統(tǒng)與其相應的平均系統(tǒng)(自治微分系統(tǒng))解之間的定性關系。有關平均法的一般介紹，可以參考文[10]。

考慮如下不連續(xù)微分方程

(3)

其中

(4)

且F1,F2:R×D→R,G1,G2:R×D×(-ε0,ε0)→R,h:R×D→R均為連續(xù)函數(shù)。D?R為開區(qū)間。這些函數(shù)均關于變量θ為2π的周期函數(shù)。sign(u)為符號函數(shù)，定義如下：

定理2 考慮微分方程(3)，定義平均函數(shù)f:D→R如下

(5)

假設滿足以下三個條件：

(i)F1,F2,R1,R2和h均關于r滿足局部李普希茲條件。

(iii) 若?h/?θ≠0，則對所有的(θ,r)∈M，有?h/?θ≠0；若?h/?θ≡0，則對所有的

(θ,z)∈[0,2π]×Μ有〈▽rh,F1〉2-〈▽rh,F2〉2>0，其中▽rh表示函數(shù)h關于變量r的梯度。則當|ε|>0充分小，系統(tǒng)(3)存在一個周期為2π的解r(θ,ε)，使得當ε→0時，r(0,ε)→a(在Hausdorff度量意義下)。

為了方便驗證定理2的假設(ii)，我們給出下面的注記。

由定理2和注2 可知，若微分系統(tǒng)(3) 滿足定理2 中的假設(i)和(iii)，則由式(5)定義的平均函數(shù)f(r)的簡單零點個數(shù)對應微分系統(tǒng)(3)的極限環(huán)個數(shù)。下面我們開始推導平均函數(shù)(5)的具體表達式。

2 平均函數(shù)

(6)

其中

(7)

將式(7)代入式(5)，得到平均函數(shù)

(8)

其中

(9)

由于

(10)

(11)

根據(jù)定理2，需要計算平均函數(shù)(11)簡單零點的個數(shù)。我們分以下兩種情況來討論：

2.1l為奇數(shù)

命題1 若l為奇數(shù)，則平均函數(shù)(11)為

(12)

其中

(13)

因此

類似地，當θ∈(kπ/l,(k+1)π/l)時，

(14)

將式(14)代入式(9)中第二式，有

(15)

顯然B2j+1=0。由式(15)可得

2.2l為偶數(shù)

命題2 若l為偶數(shù)，則平均函數(shù)(11)為

(16)

其中

(17)

因此

(18)

將式(18)代入式(9)中第二式，有

(19)

顯然B2j=0。由式(19)可得

3 定理1的證明

在估計平均函數(shù)零點個數(shù)的過程中， 我們需要用到如下引理：

定理1的證明 首先考慮情形(i)。

情形(ii)同理可證。

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Bifurcation of Limit Cycles for a Class of Discontinuous Generalized Lienard Differential System

LIShimin

(School of Mathematics and Statistics, Guangdong University of Finance and Economics, Guangzhou 510320, China)

Using the first order averaging method for discontinuous differential system, the maximum number of limit cycles which bifurcate from the periodic annulus of the center for a class of generalized Lienard differential system is studied. By piecewise smooth polynomial perturbating, the linear estimation of the maximum number of limit cycles which bifurcate from the periodic annulus of this center is obtained. The result shows that there are more limit cycles which can bifurcate from the discontinuous Lienard differential system than the continuous one.

limit cycle; Lienard differential system; discontinuous differential system; averaging method

10.13471/j.cnki.acta.snus.2015.05.004

2015-03-21

國家自然科學基金青年科學基金資助項目(11401111)

李時敏(1983年生)，男；研究方向：常微分方程及其應用；E-mail:lism1983@126.com

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0529-6579(2015)05-0015-05