魏帥帥，李凱輝，劉漢澤

（聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東聊城 252059）

G′／G展開法在Riccati方程中的應(yīng)用

魏帥帥，李凱輝，劉漢澤

（聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東聊城 252059）

通過齊次平衡原理和G′／G展開法對Riccati方程進(jìn)行求解，得到了滿足一定條件的Riccati方程的G′／G解。擴(kuò)大了對Riccati方程的研究成果，擴(kuò)展了G′／G展開法的應(yīng)用。

齊次平衡原理；G′／G展開法；Riccati方程；精確解

0 引言

由于非線性變系數(shù)發(fā)展方程可以描述許多非均勻介質(zhì)的物理現(xiàn)象，因此，這些方程的求解近年來得到了人們的廣泛關(guān)注［1］。非線性變系數(shù)發(fā)展方程往往比非線性常系數(shù)發(fā)展方程具有更廣泛的物理意義，所以尋求非線性變系數(shù)發(fā)展方程的解具有重要意義［2］。本文研究如下形式的Riccati方程：

其中：P（x）、Q（x）、R（x）是連續(xù)的函數(shù)。

Liouville在1841年已經(jīng)證明：Riccati方程沒有初等解法［3］，但是如果能找到Riccati方程的一個特解，再通過初等變換，可求出方程的通解。許多文獻(xiàn)對Riccati方程的特解進(jìn)行了研究［4－5］，但本文并沒有從求其特解這方面入手，而是用G′／G展開法［6－17］和齊次平衡原理［18－19］對Riccati方程進(jìn)行了研究，得到滿足一些條件的Riccati方程［20］具有G′／G解，并列舉一些特例。然后對一些特例進(jìn)行了驗證，并求出其精確解。

1 Riccati方程G′／G解的存在性

其中：G＝G（x）并且滿足二階線性常微分方程

把式（3）、式（5）和式（6）代入式（2）后，平衡最高階導(dǎo)數(shù)項和最高階次數(shù)項得到m＝1。那么，可設(shè)

2 求解舉例

對于上面列舉的一些例子，下面針對其中2個求出其精確解，具體過程如下。

例1如下方程：

把式（4）、式（19）和式（20）代入式（18）可以得到如下形式的解：

其中：C1和C2是任意的常數(shù)。

其中：C1和C2是任意的常數(shù)。

3 結(jié)論

開法求解有很大的便利性和發(fā)展前景。利用Lie群分析，可以將非線性發(fā)展方程約化為常微分方程，其中有些約化方程即為Riccati方程，這樣，利用本文的方法，可以求出某些Riccati方程的解，從而得到非線性發(fā)展方程的解。因此，本文的方法在求解非線性發(fā)展方程中也起著重要的作用。

［1］ 劉睿.相容性方法在求解變系數(shù)發(fā)展方程中的應(yīng)用［J］.河北師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2011，35（5）：442－447.

［2］ 王崗偉，劉希強，張穎元.變系數(shù)mKdV方程的精確解［J］.井岡山大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2012，33（5）：1－5.

［3］ 王高雄，周之銘.常微分方程［M］.3版.北京：高等教育出版社，2006.

［4］ 杜煒，師建國.Riccati方程的特解［J］.天中學(xué)刊，2003，18（5）：6－7.

［5］ 王建明.Riccati微分方程特解新求法的研究［J］.數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2006，36（7）：382－386.

［6］ Wang M L，Li X Z，Zhang J L.The（G′／G）-expansion Method and Travelling Wave Solutions of Nonlinear Evolution Equations in Mathematical Physics［J］.Physics Letters A，2008，372（4）：417－423.

［7］ 李幫慶，馬玉蘭.（G′／G）展開法和（2＋1）維非對稱Nizhnik-Novikov-Veselov系統(tǒng)的新精確解［J］.物理學(xué)報，2009（7）：4373－4378.

［8］ 郭冠平，周國中，何寶鋼.G′／G展開法對非線性耦合Klein-Gordon方程組的精確解磁［J］.浙江師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2010，33（3）：286－290.

［9］ 牛艷霞，李二強，張金良.利用（G′／G）-展開法求解2＋1維破裂孤子方程組［J］.河南科技大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2008，29（5）：73－76.

［10］ 施業(yè)瓊.應(yīng)用（G′／G）-展開法求解高階非線性薛定諤方程［J］.廣西工學(xué)院學(xué)報，2009，20（3）：45－49.

［11］ 張國棟，秦清鋒.齊次平衡法在微分方程中的應(yīng)用［J］.中國新技術(shù)新產(chǎn)品，2010（21）：243－244.

［12］ 李保安，李靈曉.（G′／G，1／G）-展開法在求解非線性演化方程中的應(yīng)用［J］.河南科技大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2015，36（3）：90－95.

［13］ 施業(yè)瓊.（2＋1）維Davey-StewartsonⅡ方程的精確解［J］.廣西科技大學(xué)學(xué)報，2015，26（1）：96－102.

［14］ 趙燁，徐茜.一類耦合Benjamin-Bona-Mahony型方程組的新精確解［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2015，31（1）：12－17.

［15］ 孔淑霞.應(yīng)用（G′／G）展開法求非線性弦振動方程的精確解［J］.高師理科學(xué)刊，2014，34（3）：10－12.

［16］ 李保安，李靈曉.簡化變形Ostrovsky方程的精確解［J］.河南科技大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2014，35（2）：82－85.

［17］ 李向正.Sawada-Kotera方程的兩類尖孤立波解［J］.河南科技大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2014，35（2）：78－81.

［18］ 張輝群.齊次平衡方法的擴(kuò)展及應(yīng)用［J］.數(shù)學(xué)物理學(xué)報，2001，21（3）：321－325.

［19］ 劉式適，傅遵濤，劉式達(dá)，等.Jacobi橢圓函數(shù)展開法及其在求解非線性波動方程中的應(yīng)用［J］.物理學(xué)報，2001，50（11）：2068－2073.

［20］ Liu H Z，Li J B，Liu L，et al.Group Classifications，Optimal Systems and Exact Solutions to the Generalized Thomas Equations［J］.Journal of Mathematical Analysis and App lications，2011，383（2）：400－408.

O175.2

A

1672－6871（2015）05－0092－05

國家自然科學(xué)基金項目（11171041）

魏帥帥（1991－），男，山東濟(jì)寧人，碩士生；劉漢澤（1962－），男，山東濱州人，教授，博士，碩士生導(dǎo)師，研究方向為微分方程理論與應(yīng)用.

2015－03－25