軒 華， 李 冰

(鄭州大學(xué) 管理工程學(xué)院，河南 鄭州 450001)

?

基于異步次梯度法的LR算法及其在多階段HFSP的應(yīng)用

軒 華， 李 冰

(鄭州大學(xué) 管理工程學(xué)院，河南 鄭州 450001)

為降低求解復(fù)雜度和縮短計(jì)算時(shí)間，針對(duì)多階段混合流水車間總加權(quán)完成時(shí)間問(wèn)題，提出了一種結(jié)合異步次梯度法的改進(jìn)拉格朗日松弛算法。建立綜合考慮有限等待時(shí)間和工件釋放時(shí)間的整數(shù)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型，將異步次梯度法嵌入到拉格朗日松弛算法中，從而通過(guò)近似求解拉格朗日松弛問(wèn)題得到一個(gè)合理的異步次梯度方向，沿此方向進(jìn)行搜索，逐漸降低到最優(yōu)點(diǎn)的距離。通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了所提算法的有效性。對(duì)比所提算法與傳統(tǒng)的基于次梯度法的拉格朗日松弛算法，結(jié)果表明，就綜合解的質(zhì)量和計(jì)算效率而言，所提算法能在較短的計(jì)算時(shí)間內(nèi)獲得更好的近優(yōu)解，尤其是對(duì)大規(guī)模問(wèn)題。

系統(tǒng)工程；異步次梯度法；拉格朗日松弛算法；多階段混合流水車間問(wèn)題；總加權(quán)完成時(shí)間

0 引言

混合流水車間問(wèn)題(HFSP)所處的制造環(huán)境一般可描述為：一組工件L={1, 2, …,M}按照相同的加工順序依次經(jīng)過(guò)G個(gè)加工階段進(jìn)行加工，每個(gè)階段g由mg臺(tái)同構(gòu)并行機(jī)組成，且至少有一個(gè)加工階段的mg> 1；每個(gè)工件在每個(gè)階段至多在一臺(tái)同構(gòu)機(jī)上加工；每臺(tái)機(jī)器任何時(shí)間至多只能加工一個(gè)工件而每個(gè)工件在任何時(shí)間也只能在一臺(tái)機(jī)器上加工。因此，HFSP要解決的問(wèn)題是：將工件分配到機(jī)器上且確定在每個(gè)加工階段的機(jī)器上工件的調(diào)度，同時(shí)還要最優(yōu)化某個(gè)給定的目標(biāo)函數(shù)[1，2]。

本文研究了一類較為復(fù)雜的HFSP，該問(wèn)題區(qū)別于一般的HFSP：

·工件b在相鄰兩個(gè)加工階段之間有等待時(shí)間限制；

·每個(gè)工件在時(shí)刻Fb(Fb≥1)才能用于加工；

·相鄰加工階段間的運(yùn)輸時(shí)間不可忽略。

Gupta證明了兩階段HFSP是NP-hard，即使一個(gè)加工階段只有一臺(tái)機(jī)器。因此，本文所研究的更復(fù)雜的HFSP也是NP-hard[3]，這使得探討求解這類問(wèn)題的近似算法顯得尤為重要。

拉格朗日松弛(LR)算法作為一種基于最優(yōu)化的近似算法，其基本思想是分解和協(xié)調(diào)，對(duì)于實(shí)際調(diào)度問(wèn)題通過(guò)合理的設(shè)計(jì)該算法可在合理的計(jì)算時(shí)間內(nèi)獲得具有可量化質(zhì)量的近優(yōu)解[4]。傳統(tǒng)的LR算法通過(guò)引入拉格朗日乘子向量松弛機(jī)器能力約束，進(jìn)而將形成的松弛問(wèn)題分解為多個(gè)工件級(jí)子問(wèn)題，利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃最優(yōu)求解這些子問(wèn)題，然后利用次梯度法更新乘子，利用啟發(fā)式將子問(wèn)題的解轉(zhuǎn)換為原問(wèn)題的可行解。重復(fù)上述過(guò)程直到滿足一定的停止條件。

然而，當(dāng)實(shí)際問(wèn)題規(guī)模較大時(shí)，利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃最優(yōu)求解拉格朗日子問(wèn)題的計(jì)算復(fù)雜度也隨之增大，這使得求解相當(dāng)耗時(shí)。因此，本文在LR算法中引入了異步次梯度法，該方法是代理次梯度法的一種特殊情況[5]，它要求每次迭代最優(yōu)求解一個(gè)拉格朗日子問(wèn)題從而節(jié)約了計(jì)算時(shí)間，目的在于在較短的計(jì)算時(shí)間內(nèi)得到大規(guī)模問(wèn)題的較好解。

基于代理次梯度法的LR已被用于求解不同的生產(chǎn)調(diào)度問(wèn)題。文獻(xiàn)[4,6,7]利用結(jié)合代理次梯度法的LR算法求解了單件車間調(diào)度，以提高準(zhǔn)時(shí)傳送和降低在制品庫(kù)存。就總加權(quán)完成時(shí)間問(wèn)題，文獻(xiàn)[8]研究了帶有限中間存儲(chǔ)的實(shí)時(shí)HFSP；文獻(xiàn)[9]則考慮了可重入HFSP。文獻(xiàn)[10]求解了帶順序相關(guān)調(diào)整影響(時(shí)間和費(fèi)用)的HFSP，目標(biāo)是降低在制品庫(kù)存和調(diào)整費(fèi)用。文獻(xiàn)[11]求解了煉鋼-連鑄生產(chǎn)調(diào)度問(wèn)題，該過(guò)程可視為HFS結(jié)構(gòu)，目標(biāo)是減少斷澆、降低爐次在加工階段間的等待時(shí)間和滿足準(zhǔn)時(shí)傳送要求。

就目前所查閱的資料來(lái)看，近年來(lái)基于代理次梯度法的LR在HFSP的優(yōu)化研究較少，且既有研究缺乏對(duì)有限等待等實(shí)際生產(chǎn)特征的探討。而對(duì)于不同的生產(chǎn)調(diào)度問(wèn)題有必要研究算法的具體實(shí)現(xiàn)方式以得到滿意解。因此，以總加權(quán)完成時(shí)間為目標(biāo)，本文研究了求解帶等待考慮的HFSP的嵌入異步次梯度法的LR的有效性，擴(kuò)展了LR算法理論及其應(yīng)用。

1 多階段HFSP描述

本文所研究的HFSP是在G個(gè)階段的同構(gòu)并行機(jī)上按照相同的加工順序調(diào)度M個(gè)工件，目標(biāo)是最小化總加權(quán)完成時(shí)間以降低在制品庫(kù)存。工件在相鄰加工階段間的等待時(shí)間不允許超過(guò)等待上限。假定每個(gè)操作不允許中斷，每個(gè)工件在時(shí)刻Fb才能開(kāi)始加工，運(yùn)輸時(shí)間不可忽略。

1.1 符號(hào)說(shuō)明

已知參數(shù)：M為總工件數(shù)；G為總階段數(shù)；mg為階段g可利用的機(jī)器數(shù)；Obg為工件b(b=1,2,…,M)在階段g(g=1,2,…,G)的加工時(shí)間;Fb為工件b的釋放時(shí)間;Gg,g+1為階段g和g+1的運(yùn)輸時(shí)間;Ubg工件b在相鄰階段g和g+1間的等待上限;K為總計(jì)劃時(shí)間水平。

決策變量：Cbg為工件b在階段g的完工時(shí)間;Xbgt為0-1變量，若工件b在時(shí)刻t正在階段g上加工，則其值為1，否則為0.g=1,2,…,G;b=1,2,…,M;t=1,2,…,K。

1.2 整數(shù)規(guī)劃模型

(1)

滿足

Cbg≤Cb,g+1-Obg-Dg,g+1,b=1,…,M;g=1,…,G-1

(2)

(3)

Cbg-Obg+1≤t+K(1-Xbgt),b=1,…,M;g=1,…,G;t=1,…,K

(4)

tXbgt≤Cbg,b=1,…,M;g=1,…,G;t=1,…,K

(5)

Cb,g+1-Ob,g+1-Dg,g+1-Cbg≤Ubg,b=1,…,M;g=1,…,G-1

(6)

(7)

Cb1-Ob1+1≥Fb,b=1,…,M

(8)

Xgbt∈{0, 1},b=1,…,M;g=1,…,G;t=1,…,K

(9)

Cbg∈{1,2, …,K},b=1,…,M;g=1,…,G

(10)

文獻(xiàn)[12]也建立了帶有限等待HFSP的數(shù)學(xué)模型，但是本文的目標(biāo)是滿足上述所有約束的條件下最小化總加權(quán)完成時(shí)間，而[12]則還考慮了等待懲罰。

約束(2)表示了一個(gè)工件在加工階段間的操作優(yōu)先級(jí)；約束(3)～(5)定義了每個(gè)工件在加工階段上占用機(jī)器的時(shí)間間隔；約束(6)表示了工件在階段g完成加工且送達(dá)階段g+1之后的等待時(shí)間不能超過(guò)等待上限；約束(7)說(shuō)明了所有機(jī)器需求都要滿足當(dāng)時(shí)可利用的機(jī)器數(shù)；約束(8)說(shuō)明了每個(gè)工件只有在其到達(dá)生產(chǎn)系統(tǒng)始端才能開(kāi)始加工；約束(9)～(10)定義了變量的取值范圍。

2 求解框架

基于工件分解策略，將機(jī)器能力約束通過(guò)引入拉格朗日乘子松弛到目標(biāo)函數(shù)中，松弛能力約束的目的在于使得松弛后的問(wèn)題可分解為多個(gè)相對(duì)容易求解的工件級(jí)子問(wèn)題。

2.1 松弛和分解

引入拉格朗日乘子向量ψ(其分量為{ψgt})，將約束(7)松弛到目標(biāo)函數(shù)中，形成拉格朗日松弛問(wèn)題：

滿足約束(2)～(6),(8)～(10)和

ψgt≥0,g=1,2,…,G;t=1,2,…,K

(11)

則拉格朗日對(duì)偶問(wèn)題是

(12)

滿足約束(2)～(6),(8)～(11)。

給定{ψgt}，工件b的工件級(jí)子問(wèn)題Hb(ψ)為：

(13)

滿足約束(2) ～(6), (8)～(11)。

圖1 兩級(jí)分解-協(xié)調(diào)結(jié)構(gòu)

2.2 分解和協(xié)調(diào)

圖1顯示了LR算法的兩級(jí)分解-協(xié)調(diào)結(jié)構(gòu)。在“低級(jí)”，已知乘子{ψgt}的條件下求解M個(gè)工件級(jí)子問(wèn)題；在“高級(jí)”，基于約束違反的程度更新乘子{ψgt}，然后根據(jù)子問(wèn)題的解設(shè)計(jì)啟發(fā)式將其轉(zhuǎn)換成可行解，直到迭代過(guò)程結(jié)束[4]。

所設(shè)計(jì)的LR算法與傳統(tǒng)LR算法不同之處在于所設(shè)計(jì)的算法在每次迭代近似求解子問(wèn)題以及利用了異步次梯度法[5]在“高級(jí)”更新乘子。

3 子問(wèn)題的近似求解和可行解的構(gòu)造

3.1 子問(wèn)題

給定某工件B和乘子{ψgt}，后向動(dòng)態(tài)規(guī)劃最優(yōu)求解的遞歸關(guān)系式為：

(14)

(15)

3.2 可行解的構(gòu)造

基于上述得到的松弛問(wèn)題的解，對(duì)每個(gè)階段g，按照工件在該階段的開(kāi)始時(shí)間的增序排列，然后依次將其分配到可利用的機(jī)器上，若相鄰加工階段間的等待時(shí)間超過(guò)Ubg，則延遲該工件在階段g-1的開(kāi)始時(shí)間直到滿足等待時(shí)間約束。

4 對(duì)偶問(wèn)題

傳統(tǒng)的次梯度法要求每次迭代最優(yōu)求解所有拉格朗日子問(wèn)題以得到次梯度方向，因此當(dāng)問(wèn)題規(guī)模較大時(shí)，松弛問(wèn)題的求解較為復(fù)雜且費(fèi)時(shí)。為此，設(shè)計(jì)了異步次梯度法[5]以減少每次迭代所耗費(fèi)的求解時(shí)間，它在每個(gè)子問(wèn)題求解后即可更新乘子。

代理對(duì)偶函數(shù)定義為：

(16)

則代理次梯度定義為:

(17)

異步次梯度法的執(zhí)行過(guò)程如下：

步驟0 初始化ψ0，最小化所有子問(wèn)題得到X0，即

計(jì)算對(duì)偶費(fèi)用和次梯度，沿次梯度方向更新乘子。令子問(wèn)題標(biāo)號(hào)p= 1。

步驟1 已知第s次迭代的ψs，最優(yōu)求解第p個(gè)子問(wèn)題，同時(shí)保持其它子問(wèn)題的解不變，根據(jù)式(16)和(17)分別計(jì)算代理對(duì)偶費(fèi)用和代理次梯度。

步驟2 由上步得到的ψs和Xs，更新拉格朗日乘子：

(18)

其中步長(zhǎng)α定義為：

(19)

步驟3 令p=p+1，如果p>M，則重設(shè)p=1。

步驟4 如果CPU時(shí)間達(dá)到某個(gè)限定值或代理對(duì)偶間隙小于很小的數(shù)，程序停止，否則返回步驟1。

5 仿真實(shí)驗(yàn)

利用C語(yǔ)言在PC(2.10GHz CPU)執(zhí)行所設(shè)計(jì)的算法，仿真實(shí)驗(yàn)將該算法與傳統(tǒng)的基于次梯度法的LR進(jìn)行了比較。首先，對(duì)中小規(guī)模問(wèn)題進(jìn)行測(cè)試說(shuō)明兩種算法的有效性；然后比較實(shí)際大規(guī)模問(wèn)題的運(yùn)行結(jié)果以估計(jì)實(shí)際規(guī)模問(wèn)題的性能。

所測(cè)試問(wèn)題的最大規(guī)模是200個(gè)工件，4個(gè)階段，5臺(tái)并行機(jī)。對(duì)于每組{M,G,mg}隨機(jī)產(chǎn)生10個(gè)實(shí)例；在每個(gè)實(shí)例中，每個(gè)工件的數(shù)據(jù)隨機(jī)產(chǎn)生如下：權(quán)重和加工時(shí)間滿足均勻分布U[1,10]，釋放時(shí)間滿足均勻分布U[1,5]。相鄰加工階段間的運(yùn)輸時(shí)間滿足均勻分布U[1,3]。等待時(shí)間取為5, 15?？倳r(shí)間水平設(shè)為所有加工時(shí)間之和。算法在90秒后終止。

用LR-ISG表示基于異步次梯度法的LR，用LR-SG表示傳統(tǒng)的基于次梯度法的LR。以對(duì)偶間隙和迭代數(shù)來(lái)衡量?jī)煞N算法的性能指標(biāo)。SDG定義為代理對(duì)偶間隙(%)，其值等于(UB-SLB)/SLB×100%，DG為真正對(duì)偶間隙，由(UB-LB)/LB×100%計(jì)算得到，IN表示迭代數(shù)，這里，UB表示可行費(fèi)用，即原問(wèn)題的上界；LB表示對(duì)偶費(fèi)用，即下界；SLB為代理對(duì)偶費(fèi)用。

5.1 實(shí)例1

本節(jié)測(cè)試了40和80個(gè)工件的情況，計(jì)算結(jié)果顯示在表1～2中，表中的結(jié)果(除最后一行外)為同一規(guī)模的10組實(shí)例的平均值。從表中可得知：

(1)對(duì)于40個(gè)工件的情況，當(dāng)U=5和15時(shí)由LR-ISG得到的平均對(duì)偶間隙分別為2.64%和3.09%，LR-SG得到的分別為2.97%和3.26%，因此，所提算法比傳統(tǒng)LR得到的對(duì)偶間隙平均降低0.33%和0.17%。

(2)對(duì)于80個(gè)工件的情況，當(dāng)U=5和15時(shí)由LR-ISG得到的平均對(duì)偶間隙分別為5.22%和6.04%，LR-SG得到的分別為5.46%和7.99%，因此，所提算法比傳統(tǒng)LR得到的對(duì)偶間隙平均降低0.24%和1.95%。

(3)在相同的計(jì)算時(shí)間內(nèi)，LR-ISG執(zhí)行的迭代數(shù)是LR-SG的幾十倍，這是由于LR-ISG每次迭代只最優(yōu)求解一個(gè)子問(wèn)題所耗費(fèi)的計(jì)算時(shí)間比最優(yōu)求解所有子問(wèn)題要少得多。

(4)當(dāng)U=5和15時(shí)，LR-ISG的代理對(duì)偶間隙與真正對(duì)偶間隙的偏差分別為0.04%和0.05%(對(duì)于40個(gè)工件)，0.38%和0.49%(對(duì)于80個(gè)工件)，即LR-ISG得到的代理對(duì)偶間隙和真正對(duì)偶間隙相差不大。

綜上可知，對(duì)中小規(guī)模問(wèn)題，這兩種算法都能在較短的計(jì)算時(shí)間(90s)內(nèi)得到很好的近優(yōu)解，且所提出的LR算法表現(xiàn)略佳。

表1 M=40的測(cè)試結(jié)果

表2 M=80的測(cè)試結(jié)果

表3 M=120的測(cè)試結(jié)果

表4 M=150的測(cè)試結(jié)果

表5 M=200的測(cè)試結(jié)果

5.2 實(shí)例2

本節(jié)測(cè)試的工件數(shù)取自{120,150,200}，測(cè)試結(jié)果如表3～5所示，從表中結(jié)果可得到如下結(jié)論：

(1)當(dāng)U=5時(shí)，對(duì)于120個(gè)工件，150個(gè)工件和200個(gè)工件的情況，LR-ISG分別在在5492次，3732次和1939次迭代得到的平均代理對(duì)偶間隙為5.44%，5.25%，5.34%；真正的對(duì)偶間隙分別為6.49%，6.70%，7.83%。由LR-SG分別在140次，90次和51次迭代得到的對(duì)偶間隙為8.20%，10.86%，18.79%。因此，LR-ISG的對(duì)偶間隙比LR-SG降低1.71%，4.16%，10.96%。

(2)當(dāng)U=15時(shí)，對(duì)于120個(gè)工件，150個(gè)工件和200個(gè)工件的情況，LR-ISG分別在在4130次，2900次和1860次迭代得到的平均代理對(duì)偶間隙為6.94%，7.32%，8.63%；真正的對(duì)偶間隙分別為8.49%，9.60%，13.56%。由LR-SG分別在59次，36次和18次迭代得到的對(duì)偶間隙為16.54%，27.42%，51.97%。因此，LR-ISG的對(duì)偶間隙比LR-SG降低8.05%，17.82%，38.41%。

(3)當(dāng)U=5和15時(shí)，LR-ISG的代理對(duì)偶間隙與真正對(duì)偶間隙的偏差分別為1.05%和1.55%(對(duì)于120個(gè)工件)，1.45%和2.28%(對(duì)于150個(gè)工件)，2.49%和4.93%(對(duì)于200個(gè)工件)，即隨著問(wèn)題規(guī)模的增大，LR-ISG得到的代理對(duì)偶間隙和真正對(duì)偶間隙相差也越大。

綜上可知，LR-ISG對(duì)于大規(guī)模問(wèn)題能在較短的計(jì)算時(shí)間(90s)內(nèi)得到很好的近優(yōu)解，在解的質(zhì)量和計(jì)算效率方面，LR-ISG明顯優(yōu)于LR-SG。

6 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)考慮等待的HFSP設(shè)計(jì)了嵌入異步次梯度法的改進(jìn)LR算法，目標(biāo)是最小化總加權(quán)完成時(shí)間。通過(guò)松弛問(wèn)題的近似求解簡(jiǎn)化每次迭代的計(jì)算復(fù)雜度和所需的計(jì)算時(shí)間，進(jìn)而得到一個(gè)合理的異步次梯度方向以搜索更好的解。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明在求解小到大規(guī)模問(wèn)題時(shí)所提出的算法能夠在較短的計(jì)算時(shí)間內(nèi)獲得很好的近優(yōu)解，尤其對(duì)于實(shí)際大規(guī)模問(wèn)題，它的性能明顯優(yōu)于傳統(tǒng)LR。進(jìn)一步的工作可將該方法推廣到具有其它生產(chǎn)特征的復(fù)雜生產(chǎn)調(diào)度問(wèn)題中。

[1] Gicquel C, Hege L, Minoux M, van Canneyt W. A discrete time exact solution approach for a complex hybrid flow-shop scheduling problem with limited constraints[J]. Computers & Operations Research, 2012, 39(3): 629- 636.

[2] Niu Q, Zhou T, Fei M, Wang B. An efficient quantum immune algorithm to minimize mean flow time for hybrid flow shop problems[J]. Mathematics and Computers in Simulation, 2012, 84: 1-25.

[3] Gupta J N D. Two-stage hybrid flowhsop scheduling problem[J]. Journal of the Operational Research Society, 1988, 39: 359-364.

[4] Chen H X, Luh P B. An alternative framework to Lagrangian relaxation approach for job shop scheduling[J]. European Journal of Operational Research, 2003, 149(3): 499-512.

[5] Zhao X, Luh P B, Wang J. Surrogate gradient algorithm for lagrangian relaxation[J]. Journal of Optimization Theory and Application, 1999, 100(3): 699-712.

[6] Sun T, Luh P B, Liu M. Lagrangian Relaxation for complex job shop scheduling[C]. Proceedings of the IEEE International Conference on Robotics and Automation, Orlando, Florida, May 15-19, 2006, 1432-1437.

[7] Wang J, Luh P B, Zhao X, Wang J. An optimization-based algorithm for job shop scheduling[J]. SADHANA(a Journal of Indian Academy of Sciences on Competitive Manufacturing Systems), 1997, 22: 241-256.

[8] Tang L, Xuan H. Lagrangian relaxation algorithms for real-time hybrid flowshop scheduling with finite intermediate buffers[J]. Journal of the Operational Research Society, 2006, 57(3): 316-324.

[9] Jiang S, Tang L. Lagrangian Relaxation algorithms for re-entrant hybrid flowshop scheduling[C]. International Conference on Information Management, Innovation Management and Industrial Engineering, Taipei, December 19-21, 2008, 78- 81.

[10] Liu C Y, Chang SC. Scheduling flexible flow shops with sequence-dependent setup effects[J] IEEE Transactions on Robotics and Automation, 2000, 16(4): 408- 419.

[11] Sun L, Chai T, Luh P B. Scheduling of steel-making and continuous casting system using the surrogate subgradient algorithm for Lagrangian relaxation[C]. 6th annual IEEE Conference on Automation Science and Engineering, Toronto, Ontario, Canada, August 21-24, 2010, 885- 890.

[12] 軒華.帶有限等待的動(dòng)態(tài)HFS調(diào)度的拉格朗日松弛算法[J].工業(yè)工程與管理,2013,18(3):24-29.

Lagrangian Relaxation Using Interleaved Subgradient Method and Its Application for Multi-stage HFSP

XUAN Hua, LI Bing

(SchoolofManagementEngineering,ZhengzhouUniversity,Zhengzhou450001,China)

In order to reduce solution complexity and computation time, an improved Lagrangian relaxation algorithm combined with an interleaved subgradient method is presented to solve total weighted completion time problem of multi-stage hybrid flowshop. An integer programming model is firstly formulated for HFSP considering finite waiting time and job release time. An interleaved subgradient method is then introduced into Lagrangian relaxation which requires approximately solving Lagrangian relaxation problem to obtain a reasonable interleaved subgradient direction. The distance to optimal solutions can be decreased step by step along this searching direction. Computation experiments demonstrate the effectiveness of the presented algorithm. Compared with regular Lagrangian relaxation based on subgradient optimization, the testing results show that the developed method can get better schedule results with less time in aspect of solution quality and computation efficiency, especially for large-sized problems.

systems engineering; interleaved subgradient method; Lagrangian relaxation; multi-stage hybrid flowshop problem; total weighted completion time

2014- 05- 12

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71001090,71001091);中國(guó)博士后科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2013M531683,2014T70684);教育部人文社會(huì)科學(xué)研究青年基金項(xiàng)目(15YJC630148)；鄭州大學(xué)優(yōu)秀青年教師發(fā)展基金項(xiàng)目(1421326092);河南省科技攻關(guān)計(jì)劃資助項(xiàng)目(142102310335,142102310313)

軒華(1979-)，女，河南睢縣人，教授，博士，研究方向：生產(chǎn)計(jì)劃與調(diào)度、物流優(yōu)化與控制;李冰(1976-)，男，河南省開(kāi)封市人，教授，博士，研究方向：物流管理等。

TB399

A

1007-3221(2015)06- 0121- 07

10.12005/orms.2015.0203