段永瑞， 傅瓊超， 李貴萍

(同濟大學 經(jīng)濟與管理學院, 上海 200092)

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需求依賴于服務水平的易變質(zhì)品庫存策略研究

段永瑞， 傅瓊超， 李貴萍

(同濟大學 經(jīng)濟與管理學院, 上海 200092)

本文研究需求依賴于上一周期服務水平、缺貨時訂單部分損失的兩周期易變質(zhì)品庫存問題。分別考慮一次訂貨和多次訂貨兩種情況，以平均利潤最大化為目標構建庫存模型，證明了模型解的存在性和唯一性，得到了最優(yōu)庫存服務水平和最優(yōu)補貨策略。最后，通過算例給出兩個模型的應用，對重要參數(shù)進行了靈敏度分析，并且將兩種模型的結(jié)果進行了對比分析。結(jié)果表明：訂單損失率的增加會提高服務水平，但會使得利潤降低；顧客期望服務水平的提高會降低第一階段的服務水平，同時使利潤減少；單位庫存持有成本或變質(zhì)率的增加會降低服務水平和平均利潤。通常情況，企業(yè)通過多次訂貨能獲得更大的利潤，而只有當庫存持有成本極小時，一次訂購才能夠獲得更大的利潤。同時，結(jié)果也表明：服務水平對庫存策略有較大的影響，因此在進行庫存決策時考慮服務水平具有重要的作用。

物流與供應鏈管理；庫存模型；最優(yōu)化；易變質(zhì)品；需求依賴于服務水平

0 引言

隨著經(jīng)濟全球化的發(fā)展，市場競爭環(huán)境越來越激烈，顧客對產(chǎn)品的要求越來越高。同時，隨著科技的發(fā)展，越來越多的物品呈現(xiàn)出“變質(zhì)”的特征，這里的“變質(zhì)”指隨著時間的推移，物品的價值發(fā)生耗損、物品的質(zhì)量和數(shù)量發(fā)生損失等一系列現(xiàn)象，如生鮮食品的腐爛、電子產(chǎn)品的更新?lián)Q代等。產(chǎn)品如果不能通過銷售渠道迅速到達顧客手中，會由于變質(zhì)、破損、新產(chǎn)品出現(xiàn)等原因，導致其價值將不斷減少。由變質(zhì)造成的損失越來越多，易變質(zhì)品的庫存優(yōu)化也變得越來越重要。

20世紀60年代以來，易變質(zhì)品的庫存問題受到了廣泛關注。Ghare和Scharder[1]研究了庫存物品指數(shù)變質(zhì)的庫存控制系統(tǒng)。Chaudhuri和Chakrabarty[2]在模型中引入了具有很強普適性的三參數(shù)的Weibull函數(shù)來描述變質(zhì)率，較好地模擬了物品變質(zhì)的過程，并且研究了需求為線性的變質(zhì)品庫存問題。勵凌峰等[3]在此基礎上研究了有限時域內(nèi)無限訂貨次數(shù)情況下的最優(yōu)訂購策略。Dye等[4]在變質(zhì)率是時間的線性函數(shù)的前提下，建立了利潤最大化的定價-庫存模型，得到了最優(yōu)的銷售價格及訂貨批量。

需求率的假設是易變質(zhì)品庫存研究的一個關鍵因素。Ghosh和Chaudhuri[5]建立了需求率是時間的二次函數(shù)的易變質(zhì)物品的庫存模型。Chung等[6]研究了需求率與庫存相關的易變質(zhì)物品庫存模型。Abad[7]建立了有限生產(chǎn)率且需求率由價格決定的允許缺貨的EPQ模型。Teng和Chang[8]提出了需求同時與庫存和價格相關的EPQ模型。這些易變質(zhì)品庫存模型假設需求率依賴于時間、價格和庫存等，但都沒有考慮服務水平對需求率的影響。事實上，商品在進入成熟期以后，顧客在購買商品時不僅僅考慮價格、商品的即時庫存等要素，而且更加注重伴隨購買行為所得到的服務，服務在顧客決策中已占據(jù)重要地位，如Schwartz[9]所述，“在非壟斷市場上，顧客對于缺貨的第一反應是，要么接受延遲交付，要么到別的供應商去購買。然而當顧客選擇第二種行為時，供應商損失的不僅僅是一定的銷售額，還有信譽的損失，并可能對未來產(chǎn)品的需求造成影響?！?在庫存優(yōu)化的研究中常用無缺貨率(α-服務水平)和訂單滿足率(β-服務水平)來定義服務水平，因此Schwartz[9]所述的內(nèi)涵即是服務水平可能對未來需求造成影響。Liu，Shang和Wu[10]在其模型中假設顧客決定是否轉(zhuǎn)移需求到別的供應商由上一期需求是否滿足來決定，但是模型中假設物品是不變質(zhì)的。

由于產(chǎn)品的生產(chǎn)周期一般比較長，而隨著科技的進步和市場競爭的加劇，產(chǎn)品的銷售周期卻越來越短，因此零售商在第一次訂貨之后，在產(chǎn)品的有限銷售周期內(nèi)可能僅有一次再訂購的機會。本文基于這一背景，研究有限銷售期內(nèi)僅有兩個補貨周期的易變質(zhì)品庫存控制問題，假設兩個補貨周期相等，第一個周期的需求為常數(shù)，第二周期的需求依賴于第一周期的服務水平。分別考慮多次訂購和一次訂購兩種情況，以平均利潤最大化為目標函數(shù)建立各自的庫存模型。對于多次訂購的情況，假設系統(tǒng)允許缺貨，并且對第二個周期末的缺貨量采取期末一次性補貨滿足，通過分析得到系統(tǒng)的最優(yōu)服務水平存在且唯一的條件，并得到了相應的最優(yōu)訂購量；對于一次訂購模型，系統(tǒng)不允許缺貨，此時求解得到其最優(yōu)補貨策略。最后通過數(shù)值分析給出了兩個模型的應用，分別對幾個主要參數(shù)進行了靈敏度分析，并且結(jié)合數(shù)值算例對兩種模型進行了比較分析。

1 假設與符號

本文主要研究需求依賴于上一周期服務水平的兩個周期的易變質(zhì)品庫存策略。下面首先給出構建模型所用到的相關假設和符號表示：

(1)T為補貨周期，瞬時補貨且補貨提前期為0。

(2)I1(t)表示t∈[0,T)時刻的庫存水平，I2(t)表示t∈[T,2T)時刻的庫存水平。t1表示在第一個補貨周期內(nèi)庫存水平為非負的時間段長度，T-t1則表示在第一個補貨周期T內(nèi)庫存水平為負時的時間段長度。t2-T表示在第二個補貨周期內(nèi)庫存水平為非負的時間段長度，2T-t2表示在第二個補貨周期內(nèi)庫存水平為負的時間段長度。

(3)λ1和λ2分別表示第一和第二周期的服務水平，0≤λ1,λ2≤1，且λ1和λ2為決策變量。根據(jù)Sana, Goyal和Chaudhuri[11]，本文采用不發(fā)生缺貨的時間段在一個周期內(nèi)所占的比例來表示系統(tǒng)的服務水平，因此，λ1=t1/T，λ2=(t2-T)/T。

(4)D1和D2分別表示第一周期和第二周期的需求率，其中D1是常數(shù)，D2依賴于D1和λ1，且D2=e(λ1-b)·D1，這里b為顧客期望服務水平，0b時，第二周期的需求將增加；當λ1

(5)θ表示物品變質(zhì)率，0<θ<1為常數(shù)；p表示產(chǎn)品售價(常數(shù))；A表示每個補貨周期的訂購成本(常數(shù))；c表示單位貨物的購買成本(常數(shù))；h表示單位貨物單位時間的庫存持有成本(常數(shù))；cd表示單位變質(zhì)成本，即單位物品變質(zhì)后的處理成本；R表示兩個周期的總收入；Aπ表示系統(tǒng)的平均利潤。本文考慮的成本包括訂購成本、購買成本、庫存持有成本、變質(zhì)成本。

2 模型的建立與分析

2.1 多次訂貨庫存模型的建立與分析

在多次訂貨的模式下，假設企業(yè)在第一個周期開始、第二個周期開始及第二個周期結(jié)束時訂三次貨，分別為Q1，Q2和Q3，其中Q3僅用來滿足第二周期期末的缺貨量。兩個周期的庫存變化如圖1所示(Dye and Ouyang[12])。假設缺貨期間需求部分損失，損失率為ξ(0<ξ<1)。第一個周期期初，企業(yè)的補貨量為Q1。在[0,t1]內(nèi)，由于需求和物品變質(zhì)，庫存不斷減少，并在t=t1時刻庫存降為0。之后，在[t1,T)內(nèi)，缺貨發(fā)生且訂單部分損失，損失的需求量為D1ξ(T-t1)，未損失的訂單D1(1-ξ)(T-t1)將在第二補貨周期期初一次性滿足。在第二周期期初，補貨量為Q2，在[T,t2]內(nèi)，由于需求和物品變質(zhì)，庫存不斷減少，并在t=t2時刻庫存為0。之后，在[t2,2T]內(nèi)，缺貨發(fā)生且訂單部分損失，損失的需求量為D2ξ(2T-t2)，在第二補貨周期期末增加一次補貨，補貨量為Q3以滿足未損失的訂單D2(1-ξ)(2T-t2)。

所以，第一個周期庫存變化可以用如下微分方程表示：

(1)

且滿足邊界條件I1(t)=0。

求解式(1)得到

(2)

所以第一周期補貨量

(3)

第二個周期庫存變化可表示為以下微分方程：

(4)

且滿足邊界條件I2(t2)=0。

求解式(4)得到

(5)

因此，第二周期期初補貨量為

(6)

圖1 多次訂購模式下庫存水平的變化趨勢

第二周期期末補貨量為

Q3=D2(1-ξ)(2T-t2)=D1e(λ1-b)(1-ξ)(2T-t2)

(7)

兩周期的總成本C由以下幾個部分組成：

(i)訂購成本：3A

(ii)購買成本：c×(Q1+Q2+Q3)

因此，總成本

兩個周期的銷售收入可以表示為

=pD1[(T-ξT+ξt1)+e(λ-b)(T-2ξT+ξt2)]

因此，企業(yè)的平均利潤可以表示為

Aπ=(R-C)/2T

因此這個問題是通過選擇合適的λ1和λ2使得平均利潤最大，即：

maxAπ

(8)

由于直接對(8) 進行求解比較困難，考慮到θ、λ1-b比較小，本文采用泰勒展開的方法對(8)進行求解(見Roya and Chaudhurib[13])，進而得到問題(8)的近似最優(yōu)解。由泰勒展式

eθt1=1+θt1+(θt1)2/2

(9)

eθ(t2-T)=1+θ(t2-T)+θ2(t2-T)2/2

(10)

e(λ1-b)=1+(λ1-b)+(λ1-b)2/2

(11)

將式(9)～(11)代入，簡化得

(12)

(13)

(14)

解得

(15)

證明 由0≤λ1≤1和0≤λ2≤1，

(16)

進一步得出0≤λ2

下面證明解的存在唯一性：

4.2.2 推進產(chǎn)品提質(zhì)增效,提高產(chǎn)品競爭力 一是應進一步加強甘薯品種改良、運輸、貯藏、加工等領域的科技研發(fā)力度,改進生產(chǎn)工藝,降低各環(huán)節(jié)原料損耗,降低生產(chǎn)成本,提高出品率和生產(chǎn)效率等．二是應通過加快甘薯相關產(chǎn)品標準制定、監(jiān)督與實施,規(guī)范甘薯淀粉原料市場,嚴厲打擊各種違規(guī)摻雜廉價淀粉,以次充好的情況,嚴格控制甘薯淀粉產(chǎn)品的鋁含量,保障甘薯加工產(chǎn)品品質(zhì),以符合目的地的質(zhì)量要求．三是應當轉(zhuǎn)變發(fā)展思路,走優(yōu)質(zhì)優(yōu)價之路,開拓中高端國際市場,加強中國甘薯產(chǎn)品品牌建設,打造優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品形象,提高產(chǎn)品附加值．從降低生產(chǎn)成本、提高產(chǎn)品品質(zhì)和提高產(chǎn)品附加值3個方面,提高甘薯及其加工產(chǎn)品利潤水平與國際競爭力．

=0

設H表示Aπ(λ1,λ2)的海塞矩陣，則

(17)

證明 由于T<(p-c)ξ/(cθ+h+cdθ)，λ1∈[0,1] 有

(18)

(19)

>(p-c)(2+2λ1-b+ξ-3ξλ1)D1/4

>0

(20)

注 由命題2，如果系統(tǒng)的補貨周期較短，則企業(yè)全部滿足顧客需求(不缺貨)是最優(yōu)的策略。

(21)

(22)

由(3)、(6)、(7)，可得最優(yōu)補貨量為別為：

(23)

由于本文在求解的過程中采用了泰勒展式，因此上文得到的解析解僅是模型的近似最優(yōu)解，第三部分的數(shù)值分析中我們將給出與應用數(shù)值分析方法得到的解的對比分析。

圖2 一次訂購模式下庫存水平的變化趨勢

2.2 一次訂貨庫存模型的建立與分析

一次訂貨模式的庫存變化如圖2所示。假設兩個周期中企業(yè)在第一周期期初訂購足夠多的貨物Q來滿足第一周期和第二周期的需求，兩個周期均不發(fā)生缺貨，兩個周期的庫存服務水平λ1=1,λ2=1在[0,T]內(nèi)，由于需求和物品變質(zhì)，庫存不斷減少，在[T,2T]內(nèi)由于第一周期的服務水平對第二周期的需求有影響，所以在t=T時刻需求發(fā)生變化。

所以，系統(tǒng)庫存變化可以用如下的微分方程表示：

(24)

并且滿足邊界條件I1(T)=I2(T),I2(2T)=0。

求解得到

(25)

(26)

進而得到

Q=I1(0)=(D1+D2)(eθT-1)/θ

(27)

兩周期的總成本由以下幾個部分組成：

(i)訂購成本A

(ii)購買成本c×Q

因此，總成本

兩個周期的銷售收入可以表示為

因此，企業(yè)的平均利潤可以表示為

Aπ′ =(R′-C′)/2T

3 算例分析

本節(jié)主要通過算例分析庫存服務水平對系統(tǒng)最優(yōu)策略的影響，分別討論多次訂購和一次訂購模式下的最優(yōu)解，并進行參數(shù)靈敏度分析。此外，對比分析了多次訂購和一次訂購的適用條件。各參數(shù)取值分別為p=10元/件，c=5元/件，h=0.05元/件/天，D1=500件/天，A=200元/次，θ=0.05，cd=0.2元/件，顧客期望服務水平b=0.5，補貨周期T=6天，訂單損失率ξ=0.7。

3.1 多次訂購庫存模型算例

當其他參數(shù)不變，h，θ，ξ，b變化時的結(jié)果見表1～表3以及圖4～圖5：

由表1容易看出，隨著單位庫存持有成本h的增加，兩周期的服務水平和期初訂購量(Q1和Q2)先保持不變?nèi)缓笾饾u減小，平均利潤一直保持遞減趨勢。當h比較小時，第二周期期末的補貨量Q3=0，隨著h的增加Q3先逐漸增大然后又逐漸減少。當庫存持有成本非常小時，企業(yè)選擇在期初多訂貨，滿足全部的需求來提高利潤。當單位庫存持有成本增大時，企業(yè)為了減少總庫存持有成本，會相應減少持有庫存的時間，延長缺貨時間，因此庫存服務水平降低，并且第一周期服務水平降低引起第二周期需求減少，最終導致平均利潤減少。由表2容易看出隨著變質(zhì)率的增大，第一周期和第二周期期初的訂購量減少，第二周期期末的訂購量增加，系統(tǒng)平均利潤降低。

表1 單位持有成本h對最優(yōu)策略的影響

表2 變質(zhì)率θ對最優(yōu)策略的影響

圖3 ξ對服務水平的影響 圖4 ξ對平均利潤的影響

從圖3和圖4可以看出，當缺貨造成的訂單損失率變大時，兩周期的服務水平都增大，兩次期初的訂購量也增加，而第二周期期末補貨量(Q3)呈遞減趨勢，企業(yè)的平均利潤也逐漸減少。

表3 顧客期望服務水平b對最優(yōu)策略的影響

由表3容易看出，第二周期的服務水平不隨顧客期望服務水平的變化而變化，這是由于本文的第二周期是最后一個周期，因此企業(yè)在決定第二周期的服務水平時沒有考慮未來需求。從表3可以得到，當顧客的期望服務水平提高時，由于企業(yè)第一周期的服務水平?jīng)]達到顧客心中的期望值，導致第二周期需求減少，從而使得利潤降低。同時從計算結(jié)果可以看出，第二周期的服務水平明顯低于第一周期的，這是由于第一周期的服務水平會影響到第二周期的需求，而本文中第二周期是最后一個周期，因此在第二周期企業(yè)從利潤最大化的角度進行決策，對服務水平的考慮較少，因此第二周期的服務水平普遍較低。這同時也說明，顧客期望服務水平是企業(yè)在進行庫存決策時必須要考慮的非常重要的因素。

由于本文第二節(jié)的多次訂購模型得到的解析解是近似最優(yōu)解，下圖是運用迭代方法直接求解與本文得到解析解的對比分析圖：

圖5 對比分析-h變化 圖6 對比分析-θ變化 圖7 對比分析-ξ變化

由圖5～圖7的比較結(jié)果可以看出，本文得到的解析解與應用迭代法求解得到的結(jié)果差別不大，誤差在可接受的范圍內(nèi)，基本在1%上下浮動。因此，本文得到的解析解可以作為模型的近似最優(yōu)解。

3.2 一次訂購庫存模型算例

當其他參數(shù)不變，h，θ變化時的結(jié)果見表4～表5：

由表4容易看出，隨著單位持有成本的增大，平均利潤逐漸減少，當單位持有成本較大時(h>0.4)，平均利潤小于0，企業(yè)面臨虧損。這是由于在期初一次訂購大量貨品造成庫存成本和變質(zhì)成本變大，使得利潤減小甚至出現(xiàn)虧損。由表5 我們可以得到，隨著變質(zhì)率的增大，期初訂購量增加，而平均利潤逐漸減少。當變質(zhì)率較大時(θ>0.05), 企業(yè)的平均利潤小于0。這也是由于庫存成本和變質(zhì)成本的增加使得利潤減小。

表4 單位持有成本h對最優(yōu)策略的影響

表5 變質(zhì)率θ對最優(yōu)策略的影響

3.3 多次訂購與一次訂購的比較

觀察表1和表4，我們可以得到，只有當單位持有成本極小(接近0)時，一次訂購模型的平均利潤才會大于多次訂購模型，一旦單位庫存持有成本大于0.05時，多次訂購模型的平均利潤大于一次訂購模型。由表2和表5容易看出，多次訂購模型的平均利潤比一次訂購模型的平均利潤大得多。

因此，其他參數(shù)相同時，只有當單位庫存持有成本極小(接近0)時，企業(yè)選擇一次訂購，即在第一周期期初訂購大量的貨物來滿足兩周期的需求；否則，企業(yè)選擇多次訂購能獲得更大的利潤。

4 結(jié)論

本文研究了需求依賴于上一周期服務水平的兩周期易變質(zhì)品庫存策略。假設第二周期的需求依賴于第一周期的庫存服務水平，允許缺貨且缺貨時訂單部分損失?？紤]一次訂貨和多次訂貨兩種情況，分別以平均利潤最大化為目標構建庫存優(yōu)化模型，給出模型最優(yōu)解存在和唯一的充分條件。最后通過算例分析分別對多次訂購和一次訂購庫存模型進行了驗證，并且對參數(shù)進行了靈敏度分析，得到以下主要結(jié)論：(1)單位庫存持有成本h增加時：無論是多次訂購還是一次訂購，系統(tǒng)平均利潤均減??；多次訂購情況下，兩周期的服務水平和期初訂購量都隨著h的增大而減??；一次訂購情況下，期初訂購量不受h的影響，但是系統(tǒng)平均利潤逐漸減少甚至會面臨虧損。(2)當單位庫存持有成本不是極小(接近0)時，企業(yè)選擇多次訂購能獲得更大的利潤；只有當單位庫存持有成本極小(接近0)時，企業(yè)選擇一次訂購獲得的利潤更大。(3)對于多次訂購模型，當缺貨造成的訂單損失率變大時，兩周期的服務水平都將增大，兩周期期初訂購量也將增加，而第二周期期末補貨量將減小，企業(yè)的平均利潤也減少。(4)對于多次訂購模型，當顧客期望服務水平增大時，企業(yè)獲得的平均利潤減小，這是因為企業(yè)第一周期的服務水平?jīng)]達到顧客心中的期望值，導致第二周期需求減少，結(jié)果使得利潤降低，此時企業(yè)應采取提高第一周期庫存服務水平的策略。

本文主要研究了兩周期易變質(zhì)品的庫存優(yōu)化問題，在后續(xù)的研究中將考慮n訂購周期下，當期的需求受前一周期服務水平影響的庫存問題。同時還可以嘗試其他需求函數(shù)的庫存優(yōu)化問題，使得模型能更接近實際。

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Optimal Inventory Policy for Perishable Items with Service-level-dependent Demand Rate

DUAN Yong-rui, FU Qiong-chao, LI Gui-ping

(SchoolofEconomicsandManagement,TongjiUniversity,Shanghai200092,China)

This paper deals with two period inventory optimization problem for perishable items where the demand rate depends on the service-level of the previous replenishment cycle. Two scenarios are considered, namely, (1)the buyer order once and (2)the buyer order several times in the selling period. Two inventory models are proposed respectively by maximizing the average profit. In addition, we prove the existence and uniqueness of the optimal inventory service-level and ordering quantity. Finally, an example is presented and the sensitivity analyses on the parameters are conducted to illustrate the validity and the effectiveness of the proposed models. The results show that, in the first case, when the unit inventory holding cost or deteriorating rate increases, the average profit of the system will decrease. As the deteriorating rate increases, the ordering quantity will also increase. In the second case, when the unit inventory holding cost, the expected service-level of customers or the loss rate of order during the shortage increases, the inventory service-level and the average profit of the system will decrease. Only when the inventory holding cost is extremely small, is order once more profitable, so the buyer will usually choose to order several times to enhance the profit. The results also indicate that, service-level is an important factor that influence the inventory policy, and the enterprise should balance the service-level and profits.

operational management; inventory model; optimization; perishable items; service-level-dependent demand rate

2012- 03- 01

國家自然科學基金項目(71371139，71002020);上海市浦江人才計劃(PJ12069);上海市曙光人才計劃項目(13SG24)

段永瑞(1975-)，女，山西太原人，教授、博士，研究方向：供應鏈管理和服務運作管理。

F253.4

A

1007-3221(2015)06- 0065-11

10.12005/orms.2015.0197