何江波，謝 進(jìn)，何曉平，杜連明，周 吳

(1.西南交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，四川成都 610031；2.中國工程物理研究院電子工程研究所，四川綿陽 621900；3.電子科技大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院，四川成都 611731)

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基于閉環(huán)靈敏度的微加速度計(jì)制造誤差的評估

何江波1，謝 進(jìn)1，何曉平2，杜連明2，周 吳3

(1.西南交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，四川成都 610031；2.中國工程物理研究院電子工程研究所，四川綿陽 621900；3.電子科技大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院，四川成都 611731)

微加速度計(jì)的制造誤差對靈敏度、量程、線性度等指標(biāo)均有重要影響，文中基于電測法和微加速度計(jì)的閉環(huán)靈敏度，提出了一種簡便且準(zhǔn)確的評估制造誤差的方法。文中首先基于有限元法提取了梳齒電容與質(zhì)量塊位移之間的函數(shù)關(guān)系。其次，基于電容-位移函數(shù)以及閉環(huán)微加速度計(jì)必須滿足的平衡條件，推導(dǎo)出了靈敏度的計(jì)算公式。最后，基于靈敏度公式與實(shí)測靈敏度值，反推得到微加速度計(jì)的制造誤差。文中以兩種不同幾何尺寸的微加速度計(jì)為例，通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了文中所提出方法的正確性。

制造誤差；微加速度計(jì)；電測法；靈敏度

0 引言

微機(jī)電系統(tǒng)(MEMS)器件的制造技術(shù)雖然與宏觀機(jī)械制造技術(shù)有很大的不同，但同樣存在一定的制造誤差。制造誤差將使器件的實(shí)際尺寸與設(shè)計(jì)尺寸產(chǎn)生偏差，如圖 1所示，虛線表示設(shè)計(jì)尺寸，實(shí)線表示實(shí)際尺寸，它們之間的差值便是制造誤差。研究表明，制造誤差對微彈簧的剛度[1]、微諧振器的諧振頻率[2]、微可調(diào)電容器的電容值[3]、微陀螺儀的魯棒性[4]都會(huì)產(chǎn)生重要影響。

在微加速度計(jì)中，制造誤差必然要影響到電容間隙與支撐梁的梁寬等關(guān)鍵幾何尺寸[5]，進(jìn)而對微加速計(jì)的靈敏度、量程、線性度等性能參數(shù)產(chǎn)生重要影響。因此，對微加速度計(jì)的制造誤差進(jìn)行評估具有重要意義。

MEMS器件的幾何尺寸可以通過高精密的電子掃描顯微鏡(SEM)進(jìn)行測量[6]。但是電子掃描顯微鏡的調(diào)試非常耗費(fèi)時(shí)間和精力，因此這種方法不適合于大批量的實(shí)驗(yàn)測量。一種適合大批量實(shí)驗(yàn)測量的方法是電測法，即利用電路測量得到的器件的關(guān)鍵參數(shù)反推器件的幾何尺寸。文獻(xiàn)[7]～文獻(xiàn)[8]提出了通過測量諧振頻率反推微諧振器的制造誤差。

圖1 制造誤差示意圖

文獻(xiàn)[9]根據(jù)微加速度計(jì)的靜電力與重力平衡的關(guān)系式,求解出微加速度計(jì)的實(shí)際機(jī)械參數(shù)。但是這種方法既要測量靜電力，又要測量開環(huán)靈敏度，測量步驟比較多。并且用于反推機(jī)械參數(shù)的公式忽略了邊緣電容，與實(shí)際情況有差距。

本文基于電測法，只需閉環(huán)靈敏度一個(gè)參數(shù)便可評估制造誤差，并且采用有限元法推導(dǎo)閉環(huán)靈敏度的公式，因而考慮了邊緣電容。

1 微加速度計(jì)的電容-位移函數(shù)關(guān)系

圖2所示為本文所研究的微加速度計(jì)的結(jié)構(gòu)示意圖，顯然表芯包含了四個(gè)相同的梳齒結(jié)構(gòu)。為了減小計(jì)算量，取其中一個(gè)梳齒結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算即可，單個(gè)梳齒結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖2 微加速度計(jì)示意圖

圖3 梳齒結(jié)構(gòu)

如果質(zhì)量塊的位移為z，則可以利用有限元方法得到與之相對應(yīng)的電容C。因而，只要取足夠多的計(jì)算點(diǎn)，就可以得到電容與位移之間的函數(shù)關(guān)系曲線(C-z曲線)。圖4為利用大型有限元仿真軟件COMSOL Multiphysics[10]得到的C-z曲線。將C-z曲線進(jìn)行用三次多項(xiàng)式擬合可以得到

C(z)=k0+k1z+k2z2+k3z3

(1)

式中k0，k1，k2，k3為擬合系數(shù)。

顯然，梳齒結(jié)構(gòu)的幾何尺寸發(fā)生變化，C-z曲線也必定會(huì)發(fā)生變化，因此k0，k1，k2，k3都與幾何尺寸相關(guān)。

圖4 電容位移曲線

2 微加速度計(jì)的靈敏度的計(jì)算公式

圖5為閉環(huán)微加速度計(jì)，質(zhì)量塊上加有恒定的直流電壓VD，固定梳齒上則施加反饋電壓，也是最終的輸出電壓Vout。

由于微加速度計(jì)采用深度負(fù)反饋控制，因此其達(dá)到平衡狀態(tài)時(shí)必須滿足2個(gè)條件：一是差分電容(C1-C2)必須等于零；二是敏感方向上質(zhì)量塊必須滿足靜力平衡。下面將由這2個(gè)條件推導(dǎo)出靈敏度的計(jì)算公式。

圖5 閉環(huán)微加速度計(jì)示意圖

當(dāng)質(zhì)量塊受到慣性力ma作用時(shí)，將產(chǎn)生一個(gè)位移x=ma/Km，Km為支撐梁的等效剛度。另外，無論有無加速度輸入，質(zhì)量塊總是存在一個(gè)初始位移x0，它是由熱應(yīng)力引起的[5]。

由于C1與C2組成了差分電容，如果位移(x+x0)使C1增大，則C2必將減小，反之亦然。因此C1與C2可以表示為

C1=2k0+2k1(x+x0)+2k2(x+x0)2+2k3(x+x0)3

C2=2k0-2k1(x+x0)+2k2(x+x0)2-2k3(x+x0)3

(2)

因而差分電容可以表示為：

C1-C2=4k1(x+x0)+4k3(x+x0)3

(3)

梳齒電容的仿真數(shù)據(jù)表明系數(shù)k1和k3都大于0，則為了保證差分電容等于0，質(zhì)量塊的位移(x+x0)必然等于0。

微加速度計(jì)的電場能可以表示為

(4)

根據(jù)虛功原理，并結(jié)合式(2)，可以得到當(dāng)位移(x+x0)=0時(shí)，微加速度計(jì)所受的靜電力：

(5)

計(jì)入慣性力和彈簧回復(fù)力，則微加速計(jì)的力平衡方程可以表示為

-ma+4k1VDVout-Km(-x0)=0

(6)

將式(6)整理可得

(7)

靈敏度定義為系統(tǒng)輸出隨輸入變化的敏感程度,通常用輸出與輸入的線性比值來表示。 因而，由式(7)右邊的第二項(xiàng)可得微加速度計(jì)的靈敏度計(jì)算公式

(8)

3 微加速度計(jì)制造誤差的評估

在式(8)中，質(zhì)量m和系數(shù)k1都與微加速度計(jì)的幾何尺寸相關(guān)，那么它們必然會(huì)受到制造誤差的影響。由制造誤差與設(shè)計(jì)尺寸可以求得結(jié)構(gòu)的實(shí)際體積，再乘上密度便可以得到質(zhì)量，因此質(zhì)量m與制造誤差之間的關(guān)系式是比較簡單的。

但是系數(shù)k1是由有限元法提取的，因此k1并沒有確切的解析公式，因而即使由實(shí)驗(yàn)測量得到了某一個(gè)微加速度計(jì)的靈敏度值，也不能計(jì)算得到其制造誤差。

為此，本文提出利用插值法反推制造誤差，具體步驟分為4步，其流程如圖6所示。第1步：預(yù)估一組制造誤差；第2步：確定這組誤差中，每個(gè)誤差對應(yīng)的質(zhì)量m，并用有限元法確定系數(shù)k1；第3步，將每個(gè)誤差對應(yīng)的m和k1代入式(8)的得到靈敏度值。由于不同的誤差對應(yīng)不同的靈敏度，因此最終將得到一條靈敏度-預(yù)估誤差曲線；第4步，根據(jù)靈敏度-預(yù)估誤差曲線和實(shí)測靈敏度，利用插值法得到每個(gè)微加速度計(jì)的實(shí)際制造誤差。

圖6 制造誤差計(jì)算流程

本文選擇在相同的制造工藝和設(shè)備條件下，結(jié)構(gòu)相同但具體尺寸不同的兩種微加速計(jì)進(jìn)行研究。這兩種加速度計(jì)分別以A#和B#表示。微加速度計(jì)采用深反應(yīng)離子刻蝕與硅-玻璃鍵合工藝進(jìn)行制造，加工完成的表芯結(jié)構(gòu)如圖7所示。

圖7 表芯結(jié)構(gòu)SEM圖

A#和B#兩種結(jié)構(gòu)的預(yù)估制造誤差都設(shè)為0.3 μm,0.5 μm,0.7 μm,0.9 μm,1.1 μm,1.3 μm,1.5 μm,它們所對應(yīng)的靈敏度-預(yù)估誤差曲線如圖 8所示。

圖8 靈敏度-預(yù)估誤差曲線

本文中A#和B#兩種微加速度計(jì)都選擇了25個(gè)樣品，通過實(shí)驗(yàn)測量得到的靈敏度值列于圖9和圖10中。

圖9 A#微加速度計(jì)的實(shí)測靈敏度值

圖10 B#微加速度計(jì)的實(shí)測靈敏度值

通過插值計(jì)算，它們對應(yīng)的制造誤差列于圖 11中。從圖中可知，每個(gè)微加速度計(jì)的制造誤差都不相同，但它們都分布在一定的范圍之內(nèi)。A#微加速度計(jì)的制造誤差的平均值為0.854 μm，標(biāo)準(zhǔn)差為77.6 nm；B#微加速度計(jì)的制造誤差為0.872 μm，標(biāo)準(zhǔn)差為81.8 nm。顯然，A#和B#兩種微加速度計(jì)的制造誤差的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差都比較接近。

圖11 微加速度計(jì)的制造誤差

由于制造誤差只與制造工藝和設(shè)備有關(guān)，而與被加工的微加速度計(jì)的具體尺寸無關(guān)。所以，A#和B#兩種微加速度計(jì)的制造誤差應(yīng)該相同，實(shí)驗(yàn)結(jié)果正好驗(yàn)證了這一點(diǎn)，說明了本文提出方法的正確性和有效性。

4 結(jié)論

本文基于電測法，提出了利用微加速度計(jì)的閉環(huán)靈敏度對微加速度計(jì)的制造誤差進(jìn)行評估的方法。選擇了A#和B#兩種結(jié)構(gòu)類型相同，但具體尺寸不同的微加速計(jì)作為研究對象。研究結(jié)果表明兩種微加速度計(jì)的制造誤差的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差非常接近，從而證明了本文提出方法的正確性。

制造誤差評估的結(jié)論不但可以運(yùn)用于微加速度計(jì)的設(shè)計(jì)和分析中，同樣可以運(yùn)用于改進(jìn)和優(yōu)化制造微加速度計(jì)的工藝。

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Assessment for Fabrication Errors of Micro-accelerometers Based onClosed-loop Sensitivity

HE Jiang-bo1,XIE Jin1,HE Xiao-ping2,DU Lian-ming2,ZHOU Wu3

(1.School of Mechanical Engineering,Southwest Jiaotong University,Chengdu 610031,China;2.Institute of ElectronicEngineering,China Academy of Engineering Physics,Mianyang 621900，China;3.School of Mechatronics Engineering,University of Electronic Science and Technology of China,Chengdu 611731,China)

Fabrication errors of micro-accelerometers have significant impacts on the sensitivity,measuring range and linearity of micro-accelerometers.Based on electrical measuring method and closed-loop sensitivity of micro-accelerometers,a convenient and precise method to assess the fabrication errors was proposed in this paper.The functional relationship between the displacement of proof-mass and comb-capacitance was obtained based on finite element method.Furthermore,based on the capacitance-displacement functional relationship and static equilibrium equation that closed-loop micro-accelerometers satisfies,the formula of sensitivity is derived.Finally,based on the sensitivity formula and measured values of sensitivity，fabrication errors of micro-accelerometers were obtained.Two kinds of micro-accelerometers with different designing sizes were taken as examples to demonstrate the correctness of the method proposed in this paper.

fabrication errors;micro-accelerometers;electrical measuring method;sensitivity

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51175437)中央高?；究蒲谢痦?xiàng)目(ZYGX2011J085)

2014-10-25 收修改稿日期：2015-03-07

TH73

A

1002-1841(2015)08-0033-03

何江波(1987—)，博士研究生，主要研究方向?yàn)镸EMS器件的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性分析。E-mail：chuihaol@aliyun.com