顧煜炯， 陳東超， 徐 婧， 何成兵

（華北電力大學(xué) 國(guó)家火力發(fā)電工程技術(shù)研究中心，北京102206）

旋轉(zhuǎn)機(jī)械是電廠、化工廠等生產(chǎn)單位的關(guān)鍵設(shè) 備，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡是旋轉(zhuǎn)機(jī)械較為常見(jiàn)的一種故障，危及設(shè)備的安全運(yùn)行.這種不平衡可能來(lái)自轉(zhuǎn)子制造階段，也可能在機(jī)組投運(yùn)后由于運(yùn)行或檢修原因產(chǎn)生.準(zhǔn)確識(shí)別和診斷出不平衡量的位置、大小和相角，以便快速、及時(shí)地采取有效措施消除故障，對(duì)于旋轉(zhuǎn)設(shè)備的安全穩(wěn)定運(yùn)行具有重要意義.

對(duì)于振動(dòng)信號(hào)的時(shí)域、頻域以及時(shí)頻域分析已廣泛應(yīng)用于不平衡、碰磨和裂紋等故障的診斷［1］.這類方法一般被稱為基于信號(hào)的故障診斷方法，但也只能診斷出有無(wú)不平衡故障，不能給出不平衡的定量信息.另一種方法是基于模型的診斷方法，把測(cè)量的振動(dòng)信號(hào)與結(jié)構(gòu)模型聯(lián)合起來(lái)，對(duì)故障程度進(jìn)行定量估計(jì)［2－6］.在基于模型的不平衡診斷和辨識(shí)方法中，主要有2種思路：（1）在每次假設(shè)一組不平衡參數(shù)后，將該組不平衡參數(shù)對(duì)應(yīng)的不平衡力作用在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的有限元模型上，通過(guò)有限元計(jì)算得到測(cè)點(diǎn)處的振動(dòng)響應(yīng).通過(guò)多次冗繁的有限元模型計(jì)算，尋找計(jì)算出的振動(dòng)響應(yīng)與實(shí)測(cè)振動(dòng)響應(yīng)最接近的不平衡參數(shù)，該參數(shù)便為所求.實(shí)際旋轉(zhuǎn)機(jī)械的轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)大多較為復(fù)雜，這種方法計(jì)算量相當(dāng)繁雜、耗時(shí)；（2）轉(zhuǎn)子系統(tǒng)采用有限元方法進(jìn)行建模，故障轉(zhuǎn)化為施加在模型上的等效外力，將實(shí)際系統(tǒng)中由于故障產(chǎn)生的等效力和理論故障力的絕對(duì)偏差值作為目標(biāo)函數(shù)，采用最小二乘法等求解出使偏差最小時(shí)的故障參數(shù)，即得到故障的定量辨識(shí)結(jié)果.由于實(shí)際轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中只有少數(shù)自由度布置振動(dòng)測(cè)點(diǎn)，一般需要根據(jù)系統(tǒng)的振型，采用模態(tài)擴(kuò)展的方法求得所有自由度上的等效力，但是模態(tài)擴(kuò)展過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)模態(tài)截?cái)喱F(xiàn)象，使故障參數(shù)辨識(shí)誤差增大；另外，在模態(tài)擴(kuò)展過(guò)程中所使用的模態(tài)矩陣有可能是個(gè)比較嚴(yán)重的病態(tài)矩陣，無(wú)法準(zhǔn)確辨識(shí)不平衡參數(shù).

近年來(lái)，代理模型開始廣泛應(yīng)用于工業(yè)設(shè)計(jì)等領(lǐng)域［7］，為了克服以往不平衡定量辨識(shí)方法的缺點(diǎn)，筆者提出了一種基于代理模型的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡定量辨識(shí)方法.支持向量回歸（SVR）的泛化能力強(qiáng)，并且對(duì)小樣本具有很好的學(xué)習(xí)及預(yù)測(cè)能力，因此采用粒子群算法（PSO）優(yōu)化的SVR（PSO－SVR）構(gòu)造代理模型，建立不平衡參數(shù)與各測(cè)點(diǎn)振動(dòng)響應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，降低反演優(yōu)化迭代過(guò)程中冗繁的有限元計(jì)算；構(gòu)建用于求解不平衡參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，并借助建立的代理模型，采用PSO 算法尋找符合目標(biāo)函數(shù)的全局最優(yōu)解，從而達(dá)到不平衡定量辨識(shí)的目的.

1 不平衡參數(shù)辨識(shí)流程

所提出的不平衡辨識(shí)策略將拉丁超立方抽樣（LHS）算 法［8］、有 限 元 模 型 計(jì) 算［9］、SVR［10－11］和

式中：wi為權(quán)重參數(shù)，取值范圍為（0，1），和值為1；qn、ψn 分別為位置n 處不平衡的偏心量和相角；uic（qn，ψn）為在第i個(gè)測(cè)點(diǎn)處，由代理模型預(yù)測(cè)出的振動(dòng)響應(yīng)；uim為實(shí)測(cè)的振動(dòng)響應(yīng).

如圖1所示，基于代理模型的不平衡參數(shù)辨識(shí)步驟可歸結(jié)為：

（1）利用LHS算法，生成不同偏心量和相角的不平衡參數(shù)初始樣本點(diǎn)，并通過(guò)有限元模型計(jì)算得到不同位置上施加以上不平衡力后各測(cè)點(diǎn)處的振動(dòng)響應(yīng).PSO［12］算法等多種方法集成在一起，每種方法在整個(gè)辨識(shí)流程中所承擔(dān)的任務(wù)不同.集成思路及各方法的作用主要有：

（1）該不平衡辨識(shí)方法的主要目的是降低反演優(yōu)化迭代過(guò)程中冗繁的有限元計(jì)算，然而這并不代表不需要任何的有限元計(jì)算.這是因?yàn)閷?shí)際轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程中的不平衡故障樣本很少，需要采用有限元模型模擬實(shí)際轉(zhuǎn)子的運(yùn)行過(guò)程，在有限元模型上施加不同不平衡工況下的故障力，并通過(guò)一定量的有限元模型計(jì)算得到構(gòu)建代理模型所需的訓(xùn)練樣本.

（2）LHS算法的主要任務(wù)是用來(lái)得到不平衡的大小、相角等參數(shù)樣本，是有限元計(jì)算產(chǎn)生訓(xùn)練樣本的前一步工作.LHS算法可避免重復(fù)抽樣，同人為的選取不平衡參數(shù)樣本相比，其選取的樣本能更好地反映總體變異規(guī)律，更有利于獲得計(jì)算準(zhǔn)確、覆蓋全面的代理模型.

（3）通過(guò)有限元模型獲得用于代理模型訓(xùn)練的樣本后，選取SVR 進(jìn)行代理模型的訓(xùn)練.這是因?yàn)榕c響應(yīng)面法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等代理模型相比，SVR 泛化能力強(qiáng)，且對(duì)小樣本具有很好的學(xué)習(xí)及預(yù)測(cè)能力，模型所需訓(xùn)練樣本的數(shù)量小，盡可能地降低了有限元模型在生成訓(xùn)練樣本過(guò)程中的計(jì)算量.

（4）PSO 算法是一種容易實(shí)現(xiàn)、精度高、收斂快的尋優(yōu)算法.PSO 算法在所提出的不平衡定量辨識(shí)策略中主要有2個(gè)作用：一方面，優(yōu)化選取SVR 模型中的懲罰因子C、徑向基核函數(shù)的寬度參數(shù)g 和不敏感系數(shù)ε，避免憑經(jīng)驗(yàn)選取造成較大的回歸誤差；另一方面，不平衡識(shí)別問(wèn)題可以歸結(jié)為優(yōu)化問(wèn)題，即在給定的搜索域內(nèi)，借助建立的代理模型，通過(guò)PSO 算法尋找符合目標(biāo)函數(shù)的不平衡參數(shù)，從而達(dá)到不平衡定量辨識(shí)的目的.假設(shè)已經(jīng)測(cè)得轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)，目標(biāo)函數(shù)可以表示為：

圖1 基于PSO－SVR代理模型的不平衡識(shí)別步驟Fig.1 Flowchart of unbalance identification based on PSO－SVR surrogate model

（2）以不平衡的偏心量和相角為輸入、振動(dòng)響應(yīng)為輸出，依次建立不平衡位于不同位置時(shí)，各測(cè)點(diǎn)振動(dòng)響應(yīng)的PSO－SVR 代理模型.

（3）根據(jù)各測(cè)點(diǎn)振動(dòng)實(shí)測(cè)值和構(gòu)建好的各PSO－SVR代理模型構(gòu)建式（1）所示目標(biāo)函數(shù).

（4）采用PSO 算法求解步驟（3）中的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題.依次在可能出現(xiàn)不平衡的位置進(jìn)行不平衡辨識(shí)，當(dāng)代理模型預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值誤差小于設(shè)定的閾值時(shí)，停止計(jì)算，此時(shí)的位置為不平衡所在位置，相應(yīng)的最優(yōu)解取為不平衡的定量辨識(shí)結(jié)果.

2 模型建立

2.1 拉丁超立方抽樣

Mckay等人在1979年提出了LHS算法［8］，其主要思想是基于逆函數(shù)轉(zhuǎn)換法，假設(shè)抽樣次數(shù)為N，輸入K 個(gè)隨機(jī)變量X1，X2，…，XK，變量Xk（1≤k≤K）的累積分布函數(shù)（CDF）為Yk＝Fk（Xk），此分布函數(shù)的取值范圍［0，1］被等分成N 個(gè)子區(qū)間，每個(gè)子區(qū)間內(nèi)抽取一個(gè)隨機(jī)數(shù)Yk，然后由CDF的逆函數(shù)求得Xk，每個(gè)子區(qū)間都不重復(fù)抽取.

2.2 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)建模

通常認(rèn)為轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是由一系列的剛性圓盤、帶有質(zhì)量和彈性的軸段及軸承組成.依次建立各部分的運(yùn)動(dòng)方程后，可得轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的組合運(yùn)動(dòng)方程［9］：

式中：M 為質(zhì)量矩陣，包括軸系單元和圓盤的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)量矩陣；C 為阻尼矩陣，包括陀螺力矩和軸承的阻尼；K 為剛度矩陣，包括軸段單元?jiǎng)偠群洼S承剛度；Q 為激勵(lì)矩陣，包括圓盤的重量、不平衡激振力、軸承力、由于轉(zhuǎn)子故障引起的外力和其他外部力.

建立有限元模型時(shí)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)考慮4個(gè)自由度：水平和垂直2個(gè)獨(dú)立方向的平移運(yùn)動(dòng)，圍繞水平軸和垂直軸2個(gè)方向的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng).關(guān)于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的詳細(xì)模型可參考文獻(xiàn)［5］，這里不再贅述.

2.3 不平衡故障模型

設(shè)轉(zhuǎn)子的速度為ω，作用在單個(gè)節(jié)點(diǎn)n、偏心量為qn、相角為的不平衡轉(zhuǎn)化為在水平和垂直方向的等效力，其表達(dá)式分別為：

2.4 PSO－SVR代理模型

2.4.1 支持向量回歸

SVR 模型就是采用支持向量回歸技術(shù)得到輸入和輸出間的映射關(guān)系，以代替計(jì)算量大且復(fù)雜的有限元模型等.

支持向量回歸的基本思想如下［10－11］：觀測(cè)樣本集為｛（xi，yi），i＝1，2，…，n，xi∈RN，yi∈R｝.設(shè)回歸函數(shù)為

式中：b為偏差量.

根據(jù)結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原則，SVR 將學(xué)習(xí)過(guò)程轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問(wèn)題：

利用拉格朗日函數(shù)和對(duì)偶原理，可以得到式（6）的對(duì)偶問(wèn)題：

式中：α、α＊為拉格朗日乘子；Q 中的元素Qij＝ΦT（xi）Φ（xj）；I為單位矩陣.

求解此二次型規(guī)劃可求得α 的值，同時(shí)求得

式中：K（x，xj）＝ΦT（x）Φ（xj），為一個(gè)滿足Mercer條件的核函數(shù).該函數(shù)可在不知非線性變換的具體形式下實(shí)現(xiàn)算法的非線性化，這是支持向量機(jī)的一

根據(jù)上述推導(dǎo)可得回歸函數(shù)f（x）的表達(dá)式為個(gè)顯著特點(diǎn).

選擇徑向基核函數(shù)進(jìn)行代理模型的建立，其表達(dá)式如下：

憑經(jīng)驗(yàn)選取SVR 模型中的參數(shù)C、g 和ε 會(huì)引起較大的回歸誤差，因此采用PSO 算法優(yōu)化選取這幾個(gè)參數(shù).

2.4.2 粒子群算法

PSO 算法是一種群智能計(jì)算方法［12］.該算法是將優(yōu)化問(wèn)題的解當(dāng)成是搜索空間中無(wú)質(zhì)量無(wú)體積的粒子，通過(guò)迭代找到最優(yōu)解.在每一次迭代過(guò)程中，粒子通過(guò)跟蹤個(gè)體最優(yōu)位置和全局最優(yōu)位置來(lái)更新自己.粒子在搜索空間的速度和位置由下式確定：

式中：t為當(dāng)前進(jìn)化代數(shù)；r1和r2為均勻分布在［0，1］內(nèi)的隨機(jī)數(shù)；c1和c2為加速常數(shù)；β為慣性權(quán)重；vid為第i個(gè)粒子速度向量的第d 個(gè)分量；pid為第i個(gè)粒子最優(yōu)位置向量中的第d 個(gè)分量；pgd為群體最優(yōu)位置向量中第d 個(gè)分量；xid為第i 個(gè)粒子位置向量的第d 個(gè)分量；d＝1，2，…，n，i＝1，2，…，m，m為種群規(guī)模.

2.4.3 PSO－SVR代理模型的構(gòu)建

建立PSO－SVR 代理模型的具體步驟如下：

（1）讀取樣本數(shù)據(jù)，將樣本數(shù)據(jù)分割為訓(xùn)練集和測(cè)試集.

（2）PSO 算法的初始化.初始化PSO 算法的相關(guān)參數(shù)，初始化慣性權(quán)重、加速常數(shù)、最大進(jìn)化代數(shù)Tmax以及適應(yīng)度閾值A(chǔ)cc.將需要優(yōu)化的SVR 模型中的相關(guān)參數(shù)初始化為一群粒子，初始化粒子速度和粒子位置.

（3）根據(jù)適應(yīng)度函數(shù)計(jì)算每個(gè)粒子的適應(yīng)值，將粒子中最小的適應(yīng)值所對(duì)應(yīng)的初始位置設(shè)為初始群體最好位置.每個(gè)粒子的適應(yīng)度函數(shù)定義為

式中：e為平均絕對(duì)百分比誤差；yi為實(shí)際值；f（xi）為SVR 模型輸出值；n為所選擇的樣本數(shù)目.

（4）更新粒子的速度和位置，產(chǎn)生新一代種群.

（5）根據(jù)設(shè)定的適應(yīng)度函數(shù)，評(píng)價(jià)每個(gè)粒子的適應(yīng)值.粒子的適應(yīng)值越小，粒子的位置越好.

（6）檢查終止條件，如果滿足，則將全局最優(yōu)粒子映射為SVR模型中的參數(shù)，并以此為優(yōu)化結(jié)果得到一個(gè)建立好的SVR模型；否則，轉(zhuǎn)步驟（4）.尋優(yōu)條件為進(jìn)化代數(shù)達(dá)到最大或者適應(yīng)度小于設(shè)定閾值.

3 仿真分析

3.1 分析對(duì)象

待分析的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖見(jiàn)圖2.進(jìn)行有限元?；?，共有13個(gè)節(jié)點(diǎn)，2個(gè)質(zhì)量圓盤分別位于節(jié)點(diǎn)4和節(jié)點(diǎn)8，支撐軸承位于節(jié)點(diǎn)2和節(jié)點(diǎn)12，2個(gè)支撐軸承的支撐特性相同，圓盤2處有一定量的初始不平衡.轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的特性參數(shù)如表1所示.采用有限元模型計(jì)算出系統(tǒng)的固有頻率和振型，其中水平方向前兩階的振型如圖3所示.

圖2 某轉(zhuǎn)子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.2 Schematic diagram of the rotor system

表1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)相關(guān)參數(shù)Tab.1 Main parameters of the rotor system

3.2 構(gòu)建代理模型

設(shè)不平衡偏心量的范圍為0.06～0.6g·m，相角范圍為0°～360°，擬采用40 個(gè)樣本作為PSOSVR 代理模型的訓(xùn)練樣本.采用LHS算法選取出的40個(gè)樣本如圖4所示.

將不平衡力分別加在圓盤1和圓盤2處，采用有限元模型求解以上40組不平衡工況下的振動(dòng)響應(yīng)，假設(shè)節(jié)點(diǎn)1和節(jié)點(diǎn)13處的水平和垂直方向的振動(dòng)響應(yīng)可以通過(guò)測(cè)量得到，采用PSO－SVR 構(gòu)建這4個(gè)測(cè)點(diǎn)振動(dòng)響應(yīng)的代理模型.其中，當(dāng)不平衡力施加在圓盤2處時(shí)，同一時(shí)刻下由PSO－SVR 代理模型得到的4個(gè)測(cè)點(diǎn)振動(dòng)響應(yīng)與不平衡工況的對(duì)應(yīng)關(guān)系見(jiàn)圖5.

3.3 不平衡參數(shù)辨識(shí)

圖3 水平方向前兩階振型Fig.3 The first two vibration modes in horizontal direction of the rotor system

圖4 不平衡參數(shù)樣本Fig.4 Parameter samples of mass unbalance

在圓盤2處分別設(shè)置偏心量為0.2g·m和0.4g·m、相角為50°和200°時(shí)的4種不平衡工況，進(jìn)行不平衡參數(shù)的辨識(shí)，得出不平衡位置在圓盤2處時(shí)，不平衡偏心量和相角的辨識(shí)結(jié)果如表2所示.由表2可知，采用PSO－SVR 代理模型準(zhǔn)確地辨識(shí)出了轉(zhuǎn)子不平衡的偏心量和相角，辨識(shí)結(jié)果與理論值吻合得非常好，辨識(shí)誤差很小.

圖5 振動(dòng)響應(yīng)與不平衡參數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系Fig.5 Correspondence between vibration response and unbalance parameters

表2 不同偏心量和相角下的不平衡參數(shù)辨識(shí)結(jié)果Tab.2 Identified unbalance parameters for different unbalance eccentricities and phases

汽輪發(fā)電機(jī)組等復(fù)雜旋轉(zhuǎn)機(jī)械的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)建模過(guò)程中，由于其結(jié)構(gòu)復(fù)雜，實(shí)際運(yùn)行情況多變，建模過(guò)程中不可避免地會(huì)產(chǎn)生一定誤差.在圓盤2上施加偏心量為0.4g·m、相角為50°產(chǎn)生的不平衡力，在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型具有5%支撐剛度誤差、10%支撐剛度誤差、5%圓盤質(zhì)量誤差和10%圓盤質(zhì)量誤差的情況下，進(jìn)行不平衡參數(shù)的定量辨識(shí)，結(jié)果見(jiàn)表3.由表3可知，隨著模型誤差的增大，不平衡定量辨識(shí)結(jié)果的誤差也會(huì)增加，但辨識(shí)值與理論值吻合情況仍然較好，證明所提出的不平衡定量辨識(shí)方法具有較好的魯棒性.這是因?yàn)樵摬黄胶獗孀R(shí)策略除有限元建模外的各個(gè)環(huán)節(jié)所引入的辨識(shí)誤差均較小，各方法的綜合集成比較成功，在較小的有限元模型誤差及其他各個(gè)環(huán)節(jié)引入誤差的綜合作用下，最終的辨識(shí)誤差并不是很大，辨識(shí)誤差并未因?yàn)檩^小的有限元模型誤差而發(fā)生特別劇烈的變化.但值得注意的是，無(wú)論是基于模型的還是本文的不平衡辨識(shí)策略，盡量提高有限元模型的精度仍是不平衡參數(shù)辨識(shí)結(jié)果準(zhǔn)確性的重要保障.

表3 模型具有誤差時(shí)的不平衡參數(shù)辨識(shí)結(jié)果Tab.3 Identified unbalance parameters with model errors

4 結(jié) 論

（1）提出了一種基于PSO－SVR 代理模型的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡定量辨識(shí)方法.算例中的不平衡偏心量和相角的最大辨識(shí)誤差在5%左右，驗(yàn)證了該方法的準(zhǔn)確性.

（2）當(dāng)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型具有10%支撐剛度誤差、10%圓盤質(zhì)量誤差的情況下，不平衡偏心量和相角辨識(shí)誤差的最大增幅未到3%，表明該方法的魯棒性較好.

應(yīng)該指出，本文基于較為簡(jiǎn)化的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)對(duì)所提出的方法進(jìn)行了檢驗(yàn)，尚缺少工程驗(yàn)證.如何將所提方法應(yīng)用于復(fù)雜旋轉(zhuǎn)機(jī)械實(shí)際運(yùn)行中的不平衡定量辨識(shí)，是需要繼續(xù)開展的工作；另外，本文的方法只能進(jìn)行單點(diǎn)不平衡的辨識(shí)，實(shí)際過(guò)程中也有可能出現(xiàn)兩點(diǎn)或者多點(diǎn)不平衡，多點(diǎn)不平衡的定量識(shí)別是一個(gè)難題，有待進(jìn)一步深入研究.

［1］ 胡三高，安宏文，馬志勇，等.基于小波奇異值分析的汽輪機(jī)碰磨特征提?。跩］.動(dòng)力工程學(xué)報(bào)，2013，33（3）：184－188.HU Sangao，AN Hongwen，MA Zhiyong，et al.Feature extraction of rubbing fault for steam turbines based on wavelet singularity analysis［J］.Journal of Chinese Society of Power Engineering，2013，33（3）：184－188.

［2］ MARKERT R，PLATZ R，SEIDLER M.Model based fault identification in rotor systems by least squares fitting［J］.International Journal of Rotating Machinery，2001，7（5）：311－321.

［3］ BACHSCHMID N，PENNACCHI P，VANIA A.Identification of multiple faults in rotor systems［J］.Journal of Sound and Vibration，2002，254（2）：327－366.

［4］ LI Changyou，XU Mingqiang，GUO Song，et al.Model－based degree estimation of unbalance and misalignment in flexible coupling－rotor system［J］.Chinese Journal of Mechanical Engineering，2009，22（4）：550－556.

［5］ JALAN K A，MOHANTY A R.Model based fault diagnosis of a rotor－bearing system for misalignment and unbalance under steady－state condition［J］.Journal of Sound and Vibration，2009，327（3／4／5）：604－622.

［6］ SUDHAKAR G N D S，SEKHAR A S.Identification of unbalance in a rotor bearing system［J］.Journal of Sound and Vibration，2011，330（10）：2299－2313.

［7］ HUANG Zhangjun，WANG Chengen，CHEN Jian，et al.Optimal design of aeroengine turbine disc based on Kriging surrogate models［J］.Computers ＆Structures，2011，89（1／2）：27－37.

［8］ MCKAY M D，BECKMAN R J，CONOVER W J.A comparison of three methods for selecting values of input variables in the analysis of output from a computer code［J］.Technometrics，1979，21（2）：239－245.

［9］ 王勖成.有限單元法［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2013.

［10］ VAPNIK V N.Statistical learning theory［M］.New York，USA：John Wiley，1998：2－5.

［11］ 牛培峰，麻洪波，李國(guó)強(qiáng)，等.基于支持向量機(jī)和果蠅優(yōu)化算法的循環(huán)流化床鍋爐NOx排放特性研究［J］.動(dòng)力工程學(xué)報(bào)，2013，33（4）：267－271.NIU Peifeng，MA Hongbo，LI Guoqiang，et al.Study on NOxemission from CFB boilers based on support vector machine and fruit fly optimization algorithm［J］.Journal of Chinese Society of Power Engineering，2013，33（4）：267－271.

［12］ 王曦，李興源，趙睿.基于相對(duì)增益和改進(jìn)粒子群算法的PSS與直流調(diào)制協(xié)調(diào)策略［J］.中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2014，34（34）：6177－6184.WANG Xi，LI Xingyuan，ZHAO Rui.Coordination strategy of PSS and DCM based on relative gain and improved PSO［J］.Proceedings of the CSEE，2014，34（34）：6177－6184.