李嘯芳，劉家保，左學(xué)武

（安徽新華學(xué)院公共課教學(xué)部，安徽合肥230088）

一類數(shù)列極限的幾種常用方法

李嘯芳，劉家保，左學(xué)武

（安徽新華學(xué)院公共課教學(xué)部，安徽合肥230088）

數(shù)列極限；歸結(jié)原則；Stolz定理

1 對于三類通項(xiàng)有特點(diǎn)的數(shù)列極限的求法

1.1 有理分式的數(shù)列極限的求法

1.2 含根式的數(shù)列極限的求法

對于此類通項(xiàng)，常將分子分母同乘以其共軛，經(jīng)過整理得出0為極限的因子。

1.3 含指數(shù)分式的數(shù)列極限的求法

2 利用其他有效的法則和方法求數(shù)列極限

2.1 利用歸結(jié)原則、洛必達(dá)法則、等價(jià)無窮小替換、微分中值定理等

解由題設(shè)可知f（x）在a點(diǎn)的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)大于零，故有

解Langrage中值定理［1-5］：若f（x）滿足在［a，b］上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)ξ∈（a，b）使得f（b）-f（a）＝f'（ξ）（b-a）成立。

注該方法僅適用在滿足歸結(jié)原則的情況下，可以用函數(shù)極限求數(shù)列極限，因?yàn)楹瘮?shù)是連續(xù)的，而數(shù)列是離散的，函數(shù)極限可以用洛必達(dá)法則、等價(jià)無窮小替換等方法求解。

2.2 利用級數(shù)

注此類方法僅適用于極限值為零的情形.

（2）構(gòu)造冪級數(shù)。

2.3 利用迫斂法則

迫斂法則［2，4，7］：若

注該方法往往要根據(jù)通項(xiàng)的具體特點(diǎn)進(jìn)行恒等變形及不等式的放大與縮小，需要較高的技巧。

2.4 利用定積分的定義

解由于

2.5 利用Stolz定理

解（1）由Stolz定理立得。

注對一個(gè)各項(xiàng)為正且收斂于一個(gè)正數(shù)的數(shù)列，其算術(shù)平均、幾何平均、調(diào)和平均都收斂于數(shù)列本身的極限。

2.6 由Stolz定理推出的定理

注該方法在一定程度上彌補(bǔ)了利用級數(shù)收斂的必要條件求數(shù)列極限的不足，但是僅僅解決類型為開n次根號(hào)的數(shù)列求極限。

［1］魏立明.一類數(shù)列極限求法的研究［J］.廣西梧州師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào),2004,20（4）∶75-77.

［2］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)［M］.6版.北京∶高等教育出版社,2007.

［3］費(fèi)定暉,周學(xué)圣.數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解［M］.4版.山東∶山東科學(xué)技術(shù)出版社,2012.

［4］劉三陽,李廣民.數(shù)學(xué)分析選講［M］.北京∶科學(xué)出版社,2011.

［5］葛喜芳.數(shù)列極限的幾種計(jì)算方法［J］.北京工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2013,12（3）∶63-65.

［6］周林.高等數(shù)學(xué)中數(shù)列極限的幾種求法［J］.湖北廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào),2008,28（11）∶159-160.

［7］淮乃存.利用定積分定義求數(shù)列極限［J］.陜西師范大學(xué)學(xué)報(bào)∶自然科學(xué)版,2003,31（S1）∶30-33.

【責(zé)任編輯：王桂珍foshanwgzh@163.com】

Several commonmethodsof a classof sequence lim it

LIXiao-fang，LIU Jia-bao，ZUOXue-wu

（DepartmentofCommom Course,AnhuiXinhua University,Hefei230088,China）

sequence limit;ending principle;Stolz theorem

O171

A

1008-0171（2015）01-0014-05

2014-04-16

安徽省高等學(xué)校省級自然科學(xué)基金項(xiàng)目（KJ2013B105.）；安徽新華學(xué)院質(zhì)量工程項(xiàng)目（2012jy045,2012jgkcx03, 2013jgkcx09）；國家級大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目（201312216030，201312216032）

李嘯芳（1988-），女，安徽合肥人，安徽新華學(xué)院助教。