王劍凌 ，陳慶華

（1.福建江夏學(xué)院數(shù)理教研部，福建福州，350108；2.福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，福建福州， 350117）

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)由節(jié)點和邊組成，節(jié)點代表元素，邊代表元素間的相互作用。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟、工程、生物等社會的各個領(lǐng)域，比如，國與國之間的經(jīng)濟合作關(guān)系可以描述為世界貿(mào)易網(wǎng)，新陳代謝網(wǎng)能量化蛋白質(zhì)之間的相互作用，人與人之間的相互關(guān)系構(gòu)成人際關(guān)系網(wǎng)等。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)在現(xiàn)實生活中發(fā)揮著舉足輕重的作用，成為近年來學(xué)者研究的熱點。

實證表明大多數(shù)實際網(wǎng)絡(luò)具有一些共同的特征：網(wǎng)絡(luò)規(guī)模龐大且結(jié)構(gòu)復(fù)雜，演化過程具有隨機性；網(wǎng)絡(luò)是開放的，不斷增加節(jié)點和邊，實現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)增長；任意兩個節(jié)點之間存在短路徑，平均路徑長度呈對數(shù)增長，且有明顯的群聚趨勢；網(wǎng)絡(luò)具有冪律尾部，節(jié)點間度相關(guān)，存在極少數(shù)中樞點；隨機去除有少數(shù)連邊的節(jié)點，不會改變網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)。

在此基礎(chǔ)上，不少學(xué)者對模型進一步改進，更接近實際網(wǎng)絡(luò)，如局部世界網(wǎng)絡(luò)[3]、加權(quán)網(wǎng)絡(luò)[4,5]等模型。Chen等考慮到節(jié)點的初始吸引力、重新布線等因素，對模型進行擴展，來研究無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的生成機制[6]。Guillaume等提出很多實際網(wǎng)絡(luò)都可視為二分網(wǎng)絡(luò)，尤其是演員——電影、學(xué)生——課程、科研人員——文章等具有二分圖結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)[7]。Xu等提出的社團網(wǎng)絡(luò)，考慮到科學(xué)家合作關(guān)系不僅局限在同一領(lǐng)域，還有不同領(lǐng)域間的合作[8]。Furuya等根據(jù)醫(yī)學(xué)院提供的處方記錄，提出了DPN網(wǎng)絡(luò)來描述藥物之間的關(guān)系[9]。此外，對度分布的計算也有四種常見的方法：平均場方法[10]、率方程方法[11]、主方程方法[12]、馬氏鏈方法[13,14]。本文基于Xu等的社團網(wǎng)絡(luò)和Furuya等的DPN網(wǎng)絡(luò)，提出一類具有社團性質(zhì)的二分網(wǎng)絡(luò)，來描述醫(yī)生與藥物之間的關(guān)系。

一、演化模型

初始時刻，⊥中有M個孤立的社團，每個社團有n1個孤立的點， 中有n2個孤立的點，在⊥與之間有m條邊。

1.以概率p在⊥中隨機選擇一個區(qū)域加入新點，新點與 中n0個點連接的概率為

3.以概率r（=1-p-q）在⊥中隨機選擇一個區(qū)域中的一點，此點與中n0個點連接的概率同（※）

二、主要結(jié)論

定理2.1⊥的外部度分布具有冪律尾部，即

證明：在t時刻，的點數(shù)為，總點數(shù)為

根據(jù)平均場方法的假設(shè)，點i進入系統(tǒng)的時間ti服從[0,t]上的均勻分布，則有

證明：在t時刻，的點數(shù)為，總點數(shù)為

根據(jù)平均場方法的假設(shè)，點i進入系統(tǒng)的時間服從[0,t]上的均勻分布，則有

本文提出一類具有社團性質(zhì)的二分網(wǎng)絡(luò)，含有可調(diào)節(jié)的參數(shù)p,q,r，解析結(jié)果表明⊥和的外部度分布都具有冪律尾部。

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