李 爭(zhēng)， 郭曼潔， 馬 駿

(河北科技大學(xué) 電氣工程學(xué)院，河北 石家莊 050018)

基于等效電流模型的永磁多自由度電機(jī)位置檢測(cè)方法的研究*

李 爭(zhēng)， 郭曼潔， 馬 駿

(河北科技大學(xué) 電氣工程學(xué)院，河北 石家莊 050018)

提出了一種新的永磁體磁場(chǎng)建模方法及三自由度電機(jī)轉(zhuǎn)子的位置檢測(cè)方法。根據(jù)分子環(huán)流假說和畢奧-薩伐爾定律將圓鼓形永磁體等效為相應(yīng)的電流模型，從而得到永磁體的靜磁場(chǎng)，再經(jīng)過一定的坐標(biāo)變換，將靜磁場(chǎng)變?yōu)檫\(yùn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)，并通過一組霍爾傳感器獲得永磁體的實(shí)時(shí)位置。通過對(duì)永磁體的磁場(chǎng)建模進(jìn)行仿真驗(yàn)證，并且與多項(xiàng)式近似法進(jìn)行誤差的對(duì)比，從而驗(yàn)證方法的可靠性。

永磁體； 多自由度； 位置檢測(cè)； 等效電流模型

0 引 言

永磁轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)式三自由度電機(jī)是一種利用轉(zhuǎn)子上的永磁體和定子上通電線圈的相互作用，使轉(zhuǎn)子產(chǎn)生三自由度運(yùn)動(dòng)的永磁電機(jī)。該電機(jī)主要應(yīng)用于航空、航天、機(jī)器人和仿生學(xué)等領(lǐng)域，其克服了傳統(tǒng)電機(jī)的多球軸承支撐、摩擦力大、運(yùn)動(dòng)方向單一等缺點(diǎn)，具有很高的研究?jī)r(jià)值[1-4]。

轉(zhuǎn)子的位置檢測(cè)是研究多自由度電機(jī)的關(guān)鍵技術(shù)之一[5-8]。美國(guó)約翰霍普金斯大學(xué)Gregory S Chirikjian、David Stein等人用光電傳感器來檢測(cè)球形表面的黑白顏色信號(hào)；Harry Garner和Kok-Meng Lee等人提出視覺傳感器系統(tǒng)，檢測(cè)轉(zhuǎn)子表面偏移量；Kok-Meng Lee等人提出永磁體的分布式多極模型(Diamond Mortensen Pissarides, DMP)，用兩組霍爾傳感器獲取磁場(chǎng)信號(hào)[10-12]。本文在深入研究DMP模型的基礎(chǔ)上，從新的角度提出轉(zhuǎn)子位置檢測(cè)的新方法，即等效電流模型[15-17]。對(duì)圓鼓形永磁體進(jìn)行等效電流模型建模，建立空間磁感應(yīng)強(qiáng)度B與旋轉(zhuǎn)角度(α、β)之間的關(guān)系，反解方程組來確定永磁體的位置角度。最后將仿真結(jié)果與DMP模型方法進(jìn)行對(duì)比分析，進(jìn)一步通過具體的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，對(duì)所討論的檢測(cè)方法進(jìn)行驗(yàn)證。驗(yàn)證結(jié)果證明了本文模型建立的正確性，并為此類電機(jī)的進(jìn)一步研究提供理論參考。

1 永磁轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)式三自由度電機(jī)的結(jié)構(gòu)模型

本文研究的永磁轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)式三自由度電機(jī)結(jié)構(gòu)模型如圖1所示。電機(jī)定子分為上下兩層，電機(jī)高度為17.5mm，上下兩層定子間距為 5.5mm，外徑為90mm，內(nèi)徑為78mm，磁極由帶鐵心線圈通電構(gòu)成，磁軛高度和厚度均為6mm；電機(jī)轉(zhuǎn)子由稀土永磁材料NdFeB制成，形狀為圓鼓形，轉(zhuǎn)子半徑為15.5mm，保持定轉(zhuǎn)子之間氣隙為0.5mm。定轉(zhuǎn)子磁極數(shù)量分別為6極、4極配合。

圖1 永磁轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)式三自由度電機(jī)結(jié)構(gòu)模型

2 電機(jī)轉(zhuǎn)子建模

關(guān)于磁介質(zhì)的磁化理論有磁荷觀點(diǎn)和分子電流觀點(diǎn)兩種不同的觀點(diǎn)。前者用一對(duì)磁偶極子來解釋永磁材料的磁化強(qiáng)度，廣泛應(yīng)用于形狀簡(jiǎn)單的永磁體中。后者用等效電流的概念取代了磁性材料的邊界效應(yīng)。在目前所研究的三自由度運(yùn)動(dòng)電機(jī)中，計(jì)算磁場(chǎng)的方法大多數(shù)為磁荷觀點(diǎn)(如DMP模型方法)，而很少采用分子電流觀點(diǎn)。

2.1 圓鼓形永磁體的分子環(huán)流模型

分子電流觀點(diǎn)即安培分子環(huán)流假說。根據(jù)畢奧-薩伐爾定律，定義載流細(xì)導(dǎo)線回路中的電流元Idl在空間任一點(diǎn)P(x,y,z)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

(1)

式中:r′——源點(diǎn)(x0，y0，z0)矢徑；

r——場(chǎng)點(diǎn)P(x,y,z)矢徑。

將永磁轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)式三自由度電機(jī)的圓鼓形轉(zhuǎn)子示意圖置于笛卡爾坐標(biāo)系中。將圓鼓形永磁體的四部分分別編號(hào)1、2、3、4，相對(duì)的兩部分永磁體分別沿z軸相反方向均勻磁化達(dá)到飽和狀態(tài)，從而產(chǎn)生圖2所示的電流方向。由分子環(huán)流假說可知： 磁體外部空間任一點(diǎn)的磁場(chǎng)由永磁體表面閉合的電流環(huán)ABCDA所激發(fā)。設(shè)環(huán)路內(nèi)面磁化電流密度為Js(A/m)。

圖2 圓鼓形永磁體的電流等效模型

以第一部分永磁體為例，取厚度為dz0的薄層電流環(huán)ABCDA，其電流強(qiáng)度為I=Jsdz0，則總電流環(huán)在P處產(chǎn)生的總磁場(chǎng)為

(2)

其中，dBx、dBy、dBz分別是強(qiáng)度為I的薄層電流環(huán)ABCDA在P處產(chǎn)生的磁場(chǎng)在x、y、z方向的分量。它們又分別由4個(gè)電流段，AB段、BC段、CD段、DA段的疊加作用而成。

BC段在P產(chǎn)生的磁場(chǎng)：

(3)

同理得到DA段、AB段和CD段的dBix、dBiy和dBiz(i=2,3,4)。為表述簡(jiǎn)單，記:

(4)

其中，ψi是以φ1、φ2、φ3為自變量的函數(shù)記號(hào)。故:

dBx=dB1x+dB2x+dB3x+dB4x=

(5)

第一塊永磁體的空間總磁場(chǎng)為

(6)

在z方向上進(jìn)行積分，最終得到整個(gè)永磁體在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)：

(7)

式中：r——永磁體內(nèi)徑；

R——永磁體外徑；

h——永磁體高度。

為表述簡(jiǎn)單，將式(7)記為B=KB′。

得到永磁轉(zhuǎn)子電流等效模型的關(guān)鍵是求得唯一的未知數(shù)Js，即式(7)中的常量K。用高斯計(jì)測(cè)量永磁體的磁場(chǎng)，并將數(shù)據(jù)記錄于表1。

表1 計(jì)算K值

2.2 旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)

上文所求得的空間某一點(diǎn)的磁場(chǎng)是在永磁體的靜磁場(chǎng)，而永磁轉(zhuǎn)子要實(shí)現(xiàn)三個(gè)自由度上的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，所以要得到永磁體旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)磁場(chǎng)，即完成固定坐標(biāo)系與旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換。坐標(biāo)變換式為

B(X,Y,Z)=C(α,β,γ)·B(x,y,z)

(8)

式中:C——坐標(biāo)變換矩陣,C=(α,β,γ);

α、β、γ——描述轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系xyz的歐拉角。

偏移角、傾斜角和自轉(zhuǎn)角的定義如圖3所示。

圖3 偏移角、傾斜角和自轉(zhuǎn)角的定義

式(6)即變?yōu)?/p>

Z(α,β)-z0)dy0+0-

y0,Z(α,β)-z0)dx0-

(9)

同理可得其他磁場(chǎng)的變換式。經(jīng)過坐標(biāo)變換的式(7)可記作:

(10)

3 基于等效電流模型的轉(zhuǎn)子位置檢測(cè)方法

3.1 位置檢測(cè)方法

本文采用兩組霍爾傳感器作為磁場(chǎng)信息采集的工具。為了得到較為精確的測(cè)量數(shù)據(jù)，四個(gè)線性霍爾元件分別放置在固定坐標(biāo)系的X軸和Y軸，分別距永磁體1.5cm，傳感器的位置坐標(biāo)如圖4所示。兩組分別位于同一坐標(biāo)軸的傳感器分別用于對(duì)兩個(gè)偏轉(zhuǎn)角度的測(cè)量。

圖4 傳感器的放置位置

對(duì)于每組傳感器來說，可得以下兩個(gè)方程：

(11)

(12)

其中： 下標(biāo)Pm、Pn表示第m、n個(gè)傳感器；式(11)中m=1,3，式(12)中n=2,4。

(13)

其中，Q1、Q2分別為兩組傳感器的2×2權(quán)重矩陣，由于每對(duì)沿X-軸的傳感器與沿Y-軸是相互獨(dú)立的，因此權(quán)重矩陣可以選擇為

(14)

3.2 計(jì)算結(jié)果分析

用MATLAB仿真軟件對(duì)永磁體的磁場(chǎng)進(jìn)行仿真建模。圖5為等效電流模型的第一部分永磁體的磁感應(yīng)強(qiáng)度B(Z)沿Z軸方向的變化?？梢钥闯觯捎来朋w下端沿Z軸正方向，磁感應(yīng)強(qiáng)度逐漸增大，與前文所假設(shè)的電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)變化相一致。

圖5 第一塊永磁體中的磁密

圖6為模擬永磁體自轉(zhuǎn)的仿真圖。從圖6中可以明顯的看出，圖形近似于正弦波，且在一個(gè)周期2π中有2個(gè)波峰和2個(gè)波谷。與圓鼓形永磁體的4個(gè)磁極相對(duì)應(yīng)。

圖6 永磁體自傳仿真圖

對(duì)傳感器P1處的磁場(chǎng)進(jìn)行仿真模擬。圖7給出了永磁體繞X軸旋轉(zhuǎn)的磁場(chǎng)BX在傳感器P1(0,25,15) 處關(guān)于角度(α,β)的分析解，(α,β)的范圍均為±pi/9。

圖7 傾斜角為±pi/9時(shí)的等效電流模型

3.3 結(jié)果對(duì)比

為進(jìn)一步驗(yàn)證模型的正確性，這里將圓鼓形永磁體電流等效模型與文獻(xiàn)[18]中的多項(xiàng)式逼近法進(jìn)行誤差的對(duì)比。圖8～圖10分別為永磁體的電流等效模型與n=1，2，3時(shí)的多項(xiàng)式進(jìn)行誤差的對(duì)比。

圖8 與n=1的誤差

圖9 與n=2的誤差

圖10 與n=3的誤差

由圖8～圖10可知，隨著多項(xiàng)式逼近法中階數(shù)n的增加，永磁體等效電流模型與之的誤差逐漸減小。圖8所示為一階誤差圖，由圖8可以看出，磁場(chǎng)的總體誤差較大，約5×10-3；圖9和圖10分別為二階誤差圖和三階誤差圖，從圖9、圖10中可以看出，總體誤差較小，僅在永磁體旋轉(zhuǎn)經(jīng)過0°附近時(shí)誤差較大，最大二階誤差約為4×10-3，三階誤差約為3×10-3。

3.4 試驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文所研究算法的可用性，建立永磁體位置檢測(cè)系統(tǒng)，如圖11所示。包括霍爾傳感器、下位機(jī)和上位機(jī)。將永磁體固定于支架上，距其上方1.5cm處對(duì)稱地放置4個(gè)線性霍爾傳感器；下位機(jī)使用CEPARK STM32F103RCT6開發(fā)板進(jìn)行數(shù)據(jù)采集及數(shù)據(jù)處理；而Visual Basic因其豐富的控件、可實(shí)現(xiàn)各種功能作為上位機(jī)界面編寫的首選軟件，并將本文討論的永磁體的等效電流模型寫入上位機(jī)。

圖11 永磁體位置檢測(cè)系統(tǒng)

在X軸方向固定永磁體，并在一定角度范圍內(nèi)繞Y軸依次旋轉(zhuǎn)，將得到如圖12的上位機(jī)界面數(shù)據(jù)，采樣數(shù)據(jù)依次列于表格中。α角由于誤差的存在，在0°上下晃動(dòng)；β角成正弦曲線波動(dòng)。并且，在界面的右側(cè)，虛擬永磁體的傾角將隨試驗(yàn)中永磁體的傾斜角的變化而變化。

圖12 上位機(jī)界面

用自動(dòng)檢測(cè)系統(tǒng)和高斯計(jì)測(cè)量法分別對(duì)永磁體進(jìn)行角度的測(cè)量，通過對(duì)比采樣數(shù)據(jù)的誤差，來驗(yàn)證此算法是否具有可行性。旋轉(zhuǎn)永磁體，這里對(duì)永磁體旋轉(zhuǎn)半個(gè)周期，每旋轉(zhuǎn)一定角度，直接測(cè)出此時(shí)永磁體的偏轉(zhuǎn)角度，并且在自動(dòng)檢測(cè)裝置上多次采樣幾組數(shù)據(jù)，求出此時(shí)偏轉(zhuǎn)角度的平均值。將兩種采樣數(shù)據(jù)的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，繪出誤差曲線，如圖13所示。

圖13 兩種檢測(cè)方法的測(cè)量誤差對(duì)比

通過上面自動(dòng)檢測(cè)裝置與傳統(tǒng)的測(cè)量方法結(jié)果的對(duì)比可以看出，兩種方法的誤差在可接受的范圍內(nèi)。這就說明，等效電流模型用于永磁體的位置檢測(cè)是具有一定的可行性的。

4 結(jié) 語

本文在介紹一種新型永磁轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)式三自由度電機(jī)的基礎(chǔ)上，對(duì)其轉(zhuǎn)子位置檢測(cè)方法進(jìn)行了理論分析。針對(duì)圓鼓形永磁轉(zhuǎn)子，提出了一種新的永磁體建模方法，即等效電流模型。通過對(duì)永磁體等效電流模型進(jìn)行仿真建模，并與多項(xiàng)式逼近法進(jìn)行對(duì)比分析，為永磁轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)式三自由度電機(jī)的進(jìn)一步研究提供了理論參考。為了驗(yàn)證本算法的可行性，本文最后介紹了用兩種方法對(duì)現(xiàn)有的階梯型永磁體進(jìn)行的對(duì)比試驗(yàn)。通過具體的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，有力地說明了本文討論的方法可以可靠地用于永磁轉(zhuǎn)子位置的檢測(cè)。

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Magnetic Field and Position Detection of PM Actuators Based on Equivalent Current Model

LIZheng,GUOManjie，MAJun

(College of Electrical Engineering, Hebei University of Science and Technology,Shijiazhuang 050018, China)

The structure model and the operation principle of a new type of PM deflection type three-degree-of-freedom (3-DOF) motors were introduced. A new modeling method of the magnetic field of permanent magnet was proposed and the rotor position detection method was referred. The equivalent current model of the mentioned PM could be obtained based on Ampere’s molecular current hypothesis and the Biot-Savart’s law. A set of Hall sensors would be used here to get the magnetic field information. The modeling method of the magnetic field has been verified by simulation and error comparison with the Polynomial Approximation has been conducted. Simulation results and comparison showed the feasibility of this new method for further research.

permanent magnet; 3-DOF; position detection; equivalent current model

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51107031)；河北省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(E2014208134)

李 爭(zhēng)

TM 306

A

1673-6540(2015)05-0042-06

2014-09-01