周 亮，李慶民，王 睿，彭英武

（1.海軍工程大學(xué)兵器工程系，湖北武漢430033；2.國(guó)防大學(xué)軍事后勤與軍事科技裝備教研部，北京100083）

K／N（G）冗余結(jié)構(gòu)下隨艦備件配置方案

周 亮1，李慶民1，王 睿2，彭英武1

（1.海軍工程大學(xué)兵器工程系，湖北武漢430033；2.國(guó)防大學(xué)軍事后勤與軍事科技裝備教研部，北京100083）

針對(duì)艦船編隊(duì)在航無(wú)補(bǔ)給的情況，對(duì)經(jīng)典可修復(fù)備件多級(jí)管理（multi-echelon technology for recoverable item control，METRIC）模型進(jìn)行了擴(kuò)展，建立了艦船出航期間設(shè)備冗余和外場(chǎng)更換件冗余系統(tǒng)任務(wù)成功概率評(píng)估模型及備件優(yōu)化模型。針對(duì)任務(wù)期間艦船設(shè)備和外場(chǎng)更換件最小工作數(shù)量隨時(shí)間變化、編隊(duì)任務(wù)成功概率難求的問(wèn)題，采用超幾何分布和二項(xiàng)分布結(jié)合的方法求取裝備的瞬時(shí)可用度，進(jìn)而求得艦船編隊(duì)的任務(wù)成功概率。以任務(wù)成功概率為優(yōu)化目標(biāo)，備件總費(fèi)用為約束條件，基于邊際算法計(jì)算了備件方案。通過(guò)實(shí)例分析了在航編隊(duì)任務(wù)成功概率隨時(shí)間的變化曲線，曲線變化趨勢(shì)與實(shí)際情況相符。

備件；冗余；任務(wù)成功概率；二項(xiàng)分布；邊際算法

0 引 言

艦船上裝備類型多，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，采用K／N（G）冗余結(jié)構(gòu)是提高艦船裝備可靠性的重要手段。K／N（G）冗余系統(tǒng)是指由N個(gè)同型部件組成的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，要求至少有K個(gè)部件正常工作。在艦船出航執(zhí)行任務(wù)時(shí)，裝備系統(tǒng)工作的狀態(tài)和強(qiáng)度及同型設(shè)備的最小工作數(shù)量K隨著時(shí)間不斷變化。如艦船演習(xí)任務(wù)中，在起航和返航階段，艦船沒(méi)有戰(zhàn)斗任務(wù)，火控雷達(dá)不工作，導(dǎo)航雷達(dá)工作；在演習(xí)階段，導(dǎo)航雷達(dá)和多部火控雷達(dá)工作，隨著演習(xí)內(nèi)容的變化，裝備和設(shè)備工作的狀態(tài)和數(shù)量也在不斷變化。由于編隊(duì)在執(zhí)行任務(wù)時(shí)，遠(yuǎn)離中心保障基地，中途沒(méi)有補(bǔ)給。因此，如何給在外執(zhí)行復(fù)雜任務(wù)的艦船編隊(duì)配備合適數(shù)量的備件，直接影響著任務(wù)期間裝備的使用可用度，進(jìn)而影響編隊(duì)完成任務(wù)的情況。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)裝備備件初始配備數(shù)量進(jìn)行了大量的研究。國(guó)外針對(duì)多級(jí)連續(xù)保障模型，以裝備可用度為優(yōu)化目標(biāo)，費(fèi)用為約束條件，建立了可修復(fù)備件多級(jí)管理（multiechelon technology for recoverable item control，METRIC）［1］模型，為了完善功能，后來(lái)陸續(xù)開發(fā)了VARI-METRIC［2］、MOD- METRIC［3］、DYNA-METRIC［4］等模型，文獻(xiàn)［5- 6］均是基于這些模型演變而來(lái)。但以上這些模型均不能計(jì)算短期內(nèi)冗余系統(tǒng)的備件數(shù)量。文獻(xiàn)［7- 8］建立了多任務(wù)階段任意結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的備件可用度評(píng)估模型，但只針對(duì)外場(chǎng)更換件（line replaceable unit，LRU）冗余，且只適合于不可修備件，應(yīng)用范圍狹窄。文獻(xiàn)［9］針對(duì)兩層k／N冗余系統(tǒng)，采用超幾何分布的方法求取供應(yīng)可用度，但是不適合計(jì)算備件類型多的裝備。文獻(xiàn)［10］采用了有限源排隊(duì)論和二項(xiàng)概率分布的方法對(duì)冗余系統(tǒng)供應(yīng)可用度進(jìn)行了求解。文獻(xiàn)［11］采用擬合分布的方法求取冗余結(jié)構(gòu)系統(tǒng)備件的配置。文獻(xiàn)［12- 14］采用仿真的方法計(jì)算系統(tǒng)初始備件配備數(shù)量。文獻(xiàn)［15- 17］對(duì)裝備系統(tǒng)預(yù)防維修頻率及備件配置進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)［18- 20］研究了保障站點(diǎn)維修能力或維修資源有限情況下系統(tǒng)的可靠性。文獻(xiàn)［21- 22］基于METRIC模型對(duì)多站點(diǎn)橫向轉(zhuǎn)運(yùn)下備件配備進(jìn)行了研究。

本文基于經(jīng)典METRIC模型，根據(jù)艦船編隊(duì)在外執(zhí)行任務(wù)的特點(diǎn)，對(duì)模型進(jìn)行擴(kuò)展，將艦船分為裝備、設(shè)備、LRU 3個(gè)層級(jí)，以編隊(duì)任務(wù)成功概率作為評(píng)估指標(biāo)，建立多任務(wù)階段設(shè)備及LRU冗余結(jié)構(gòu)下任務(wù)成功率評(píng)估模型及備件優(yōu)化模型。首先求取任務(wù)期間內(nèi)LRU短缺數(shù)概率分布，其次基于超幾何分布求取設(shè)備滿足要求的概率，再用二項(xiàng)分布的方法求取裝備瞬時(shí)可用度，進(jìn)而得到艦船編隊(duì)的任務(wù)成功概率，最后以編隊(duì)任務(wù)成功概率為優(yōu)化目標(biāo)、備件總費(fèi)用為約束條件，優(yōu)化編隊(duì)隨行備件方案。

1 模型的建立

1.1 模型假設(shè)條件

假設(shè)1不考慮LRU串件拼修，更換LRU的時(shí)間忽略不計(jì)；

假設(shè)2作戰(zhàn)艦與保障艦之間實(shí)行（s－1，s）備件連續(xù)保障策略；

假設(shè)3LRU發(fā)生故障過(guò)程相互獨(dú)立，且壽命服從指數(shù)分布；

假設(shè)4不考慮編隊(duì)內(nèi)部橫向補(bǔ)給。

1.2 備件短缺數(shù)概率的計(jì)算方法

艦船編隊(duì)在外執(zhí)行任務(wù)，通常由多艘作戰(zhàn)艦和一艘保障艦構(gòu)成，保障艦是作戰(zhàn)艦的上級(jí)保障部門，對(duì)備件部分可修，不可修的備件只有等到編隊(duì)完成任務(wù)靠岸后得到補(bǔ)給。根據(jù)這種情況，現(xiàn)虛擬存在一基地級(jí)保障部門，作為保障艦的上一級(jí)，虛擬基地級(jí)備件存儲(chǔ)量為0，LRU的修理概率Rol為0。編隊(duì)在外執(zhí)行任務(wù)時(shí)，可以將作戰(zhàn)艦看成是基層級(jí)保障單位，保障艦看作是中繼級(jí)保障單位，編隊(duì)保障結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 裝備保障結(jié)構(gòu)圖

1.2.1 備件需求計(jì)算

當(dāng)設(shè)備與LRU均處于冗余狀態(tài)時(shí)，保障艦j備件LRUl的瞬時(shí)需求數(shù)Nejl（t）為

式中，Njzi為作戰(zhàn)艦j下裝備z中設(shè)備i的裝機(jī)數(shù)；Njzil為設(shè)備i中LRUl的裝機(jī)數(shù)；MTBFl表示l類LRU平均故障間隔時(shí)間。

1.2.2 作戰(zhàn)艦LRU短缺數(shù)概率分布計(jì)算

（1）虛擬基地級(jí)LRU供應(yīng)渠道計(jì)算

虛擬基地級(jí)備件存儲(chǔ)量為0，不具備維修能力，其供應(yīng)渠道為保障艦不可修備件。假設(shè)作戰(zhàn)艦到保障艦的運(yùn)輸時(shí)間為tpkj，保障艦到虛擬基地級(jí)的運(yùn)輸時(shí)間為tpok，則虛擬基地級(jí)在t－tpok－tpkj時(shí)的短缺數(shù)會(huì)影響到t－tpkj時(shí)保障艦的備件補(bǔ)給。保障艦在t－tpkj時(shí)的短缺數(shù)會(huì)影響到t時(shí)刻作戰(zhàn)艦的補(bǔ)給。令T0＝t－tpok－tpkj，T1＝t－tpkj。則基地級(jí)備件LRUl在T0時(shí)刻的在修數(shù)量RP0l（T0）為保障艦從tpok＋tpkj到T0時(shí)不可修備件的總和，即

式中，NRJjl、NRKl分別為作戰(zhàn)艦和保障艦不能將備件LRUl修好的概率。

根據(jù)Sherbrooke庫(kù)存平衡公式［9］：

式中，S是站點(diǎn)的初始庫(kù)存量；OH（T0）是T0時(shí)刻站點(diǎn)現(xiàn)有庫(kù)存量；DI（T0）是T0時(shí)刻站點(diǎn)在修數(shù)量，θ（T0）是T0時(shí)刻站點(diǎn)短缺數(shù)。結(jié)合式（2），可得T0時(shí)刻虛擬基地級(jí)LRUl短缺數(shù)E［θ0l（T0）］為

（2）保障艦LRU供應(yīng)渠道計(jì)算

保障艦備件供應(yīng)渠道分為3部分：一是作戰(zhàn)艦不可修保障艦可修的備件；二是作戰(zhàn)艦送修保障艦，保障艦不可修向基地級(jí)訂購(gòu)的備件；三是虛擬基地級(jí)備件短缺造成保障艦補(bǔ)給延誤的部分。

設(shè)PKl（r，T1）是保障艦在r時(shí)刻開始修理LRUl，在T1時(shí)刻仍未修好的概率，PKl（r，T1）服從均值為1／MRTKl的指數(shù)分布，其中MRTKl是保障艦維修LRUl的平均時(shí)間。

根據(jù)動(dòng)態(tài)帕爾姆定理，在修的數(shù)量和訂購(gòu)的數(shù)量分別服從均值和方差同為E［RPKl（T1）］和E［BKl（T1）］的泊松分布。

式中，RKl為保障艦LRUl可修的概率。

根據(jù)METRIC原理［9］可知，虛擬基地級(jí)備件短缺造成保障艦補(bǔ)給延誤件數(shù)服從均值和方差為E［D0k（T1）］的泊松分布。

根據(jù)式（3）、式（6）、式（7）和式（8），可得保障艦LRUl供應(yīng)渠道均值和方差均為E［DIKl（T1）］的泊松分布。

故保障艦LRUl備件短缺期望數(shù)E［θKl（Skl，T1）］為

式中，Skl為保障艦備件LRUl的初始配備量。

（3）作戰(zhàn)艦LRU供應(yīng)渠道的計(jì)算

作戰(zhàn)艦LRU供應(yīng)渠道分為3部分：一是作戰(zhàn)艦在修LRU的數(shù)量；二是作戰(zhàn)艦不能修送保障艦修理的訂購(gòu)數(shù)量；三是保障艦LRU短缺造成作戰(zhàn)艦延誤的數(shù)量。

作戰(zhàn)艦j在t時(shí)刻在修數(shù)量和訂購(gòu)數(shù)量分別服從均值為E［RPJjl（t）］和E［BJjl（t）］的泊松分布。

式（11）中，RJjl為作戰(zhàn)艦j備件LRUl的可修概率。式（12）中，PJjl（r，t）是保障艦在r時(shí)刻開始修理LRUl，在t時(shí)刻仍未修好的概率；PJjl（r，t）服從均值為1／MRTJjl的指數(shù)分布，MRTJjl為作戰(zhàn)艦j維修LRUl所需要的平均時(shí)間。

T1時(shí)刻保障艦備件短缺造成t時(shí)刻作戰(zhàn)艦j補(bǔ)給延誤的數(shù)量服從均值和方差為E［DJjl（t）］的泊松分布：

t時(shí)刻作戰(zhàn)艦j供應(yīng)渠道服從均值和方差為E［DIJjl（t）］的泊松分布。

根據(jù)式（11）～式（16），可得作戰(zhàn)艦j在t時(shí)刻備件LRUl供應(yīng)渠道服從均值和方差為E［DIJjl（t）］的泊松分布，因此作戰(zhàn)艦j短缺x個(gè)LRUl的概率P（θjl（Sjl，t）＝x）為

式中，Sjl為作戰(zhàn)艦備件LRUl的初始配備量。

2 編隊(duì)任務(wù)成功概率的計(jì)算方法

編隊(duì)任務(wù)成功概率值取編隊(duì)在任務(wù)期間瞬時(shí)任務(wù)成功概率的最小值，編隊(duì)瞬時(shí)任務(wù)成功概率為任務(wù)階段要求各艦船裝備正常工作概率的乘積。設(shè)編隊(duì)下有n艘作戰(zhàn)艦，每艘作戰(zhàn)艦下有m型不同的裝備，每型裝備中有d部不同的設(shè)備，每部設(shè)備中有v件不同的LRU，各作戰(zhàn)艦處于串聯(lián)的關(guān)系，不同型裝備、設(shè)備、LRU均處于串聯(lián)關(guān)系，編隊(duì)裝備層級(jí)結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 裝備層級(jí)結(jié)構(gòu)圖

設(shè)t時(shí)刻編隊(duì)任務(wù)成功概率為ρs（t），作戰(zhàn)艦j在t時(shí)刻完成任務(wù)的概率為ρsj（t），作戰(zhàn)艦j下裝備z在t時(shí)刻完成任務(wù)的概率為ρsjz（t），作戰(zhàn)艦j下裝備z在t時(shí)刻工作的可用度為Asjz（t）。

求取裝備z在t時(shí)刻工作時(shí)的可用度Asjz（t）可分為兩步：第一步先通過(guò)超幾何分布求取裝備z下設(shè)備i在t時(shí)刻的可用度Ai（t）；第二步根據(jù)二項(xiàng)分布求取裝備z下要求kjzi個(gè)設(shè)備i正常工作的概率。裝備z下有i型設(shè)備Njzi部，每個(gè)i型設(shè)備下有Njzil件LRUl，因此裝備z下LRUl有Njzil·Njzi件。當(dāng)裝備z下LRUl總短缺數(shù)為x時(shí)，若設(shè)備i下LRUl短缺數(shù)為u，則剩下的x－u件LRUl分布在剩下的Njzi－1部設(shè)備當(dāng)中，設(shè)備i中LRUl短缺個(gè)數(shù)μ的概率φil（μ，x，t）為

t時(shí)刻設(shè)備i中LRUl的滿足要求的概率wil（t）為

因此，t時(shí)刻設(shè)備i的可用度Ai（t）為

一個(gè)i型設(shè)備在t時(shí)刻的可用度為Ai（t），當(dāng)i型設(shè)備總數(shù)為Njzi，有y部i型設(shè)備工作良好的二項(xiàng)分布概率φiy（y，t）為

因此，裝備要求i型設(shè)備滿足要求的概率wi（t）為

故裝備z工作時(shí)的可用度為

根據(jù)式（17）～式（25），可求得編隊(duì)任務(wù)成功的概率。

3 備件優(yōu)化方法

與其他算法相比，邊際優(yōu)化算法具有收斂速度快、計(jì)算精確等優(yōu)點(diǎn)，是OPUS和METRIC軟件的核心算法［9］。本文以編隊(duì)任務(wù)成功概率為目標(biāo)，備件總費(fèi)用為約束條件，采用該算法對(duì)編隊(duì)備件初始配置量進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化模型為

式中，C為備件總費(fèi)用；cl為備件LRUl的價(jià)格；P0為預(yù)定編隊(duì)任務(wù)成功概率值。

優(yōu)化流程如下：

步驟1初始化保障艦和作戰(zhàn)艦LRUl數(shù)量，Sj＝（0，0，0，0，…），Sk＝（0，0，0，0，…）。

步驟2 對(duì)所有的LRUl增加1個(gè)備件，分別代入評(píng)估模型得到編隊(duì)任務(wù)成功概率值和總的備件費(fèi)用，由此得到每個(gè)LRUl相應(yīng)的邊際效應(yīng)值。比較每個(gè)LRUl相應(yīng)的邊際效應(yīng)值，對(duì)邊際效應(yīng)值最大的LRUl所在的庫(kù)存保留，其他LRUl減1個(gè)備件。

步驟3 當(dāng)計(jì)算得到的編隊(duì)任務(wù)成功概率值達(dá)到p0時(shí)，結(jié)束循環(huán)，否則回到步驟2。

4 案例分析

某編隊(duì)由3艘相同的登陸艦和1艘補(bǔ)給艦組成，現(xiàn)列出每艘登陸艦中的4套裝備系統(tǒng)，每套裝備系統(tǒng)里的兩型設(shè)備，每型設(shè)備里有兩種不同的LRU，對(duì)同一LRU，3艘艦船具有相同的維修能力，各登陸艦到補(bǔ)給艦的運(yùn)輸時(shí)間相同。登陸艦及補(bǔ)給艦可靠性和保障信息如表1所示?，F(xiàn)編隊(duì)出海執(zhí)行任務(wù)，任務(wù)時(shí)間為50天，根據(jù)裝備系統(tǒng)的工作情況，可將任務(wù)分為4個(gè)階段，不同登陸艦上同一設(shè)備和部件在相同任務(wù)期內(nèi)的最小工作數(shù)量k相同，登陸艦1各階段裝備系統(tǒng)工作狀態(tài)及設(shè)備和部件的k1zi／N1zi、k1zil／N1zil如表2所示。

表1 部件LRU的可靠性、維修性和保障性信息

表2 _各裝備系統(tǒng)任務(wù)階段工作狀態(tài)以及設(shè)備和備件冗余情況表

上級(jí)要求編隊(duì)任務(wù)成功概率為0.95，備件總費(fèi)用在120萬(wàn)元以內(nèi)。經(jīng)邊際算法優(yōu)化后，編隊(duì)備件配備方案如表3所示，從表3中得知，編隊(duì)出海執(zhí)行任務(wù)時(shí)并不需要攜帶所有備件。分析表1～表3中數(shù)據(jù)可得，備件隨艦攜帶的數(shù)量與備件的壽命、艦船的維修能力、設(shè)備和備件的冗余、以及裝備系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)間有關(guān)。

表3 編隊(duì)任務(wù)成功率為0.95時(shí)編隊(duì)備件配備方案

在表3備件方案下，編隊(duì)任務(wù)成功概率隨時(shí)間變化如圖3所示，各裝備完成任務(wù)的概率如圖4所示。任務(wù)期間編隊(duì)最小任務(wù)成功概率為0.951 5，備件總費(fèi)用為106.7萬(wàn)元。分析圖3和圖4可以得出，在任務(wù)階段一，編隊(duì)的任務(wù)成功率較高，這是因?yàn)榕灤b備z1和z2剛開始工作，裝備的可用度較高；在任務(wù)階段二，z1繼續(xù)工作，z2停止工作，z3和z4開始工作，由于z3和z4工作強(qiáng)度大，且裝備的可用度隨時(shí)間下降的速度均比z2可用度隨時(shí)間下降快，因此編隊(duì)任務(wù)成功概率急劇下降；在任務(wù)階段3，只有z4工作，其余裝備均處于停機(jī)狀態(tài)，故此時(shí)編隊(duì)任務(wù)成功率迅速上升；在任務(wù)階段4，由于z4持續(xù)工作，裝備可用度隨時(shí)間下降越來(lái)越快，加之z3開始工作，因此在任務(wù)階段3到任務(wù)階段4時(shí)，編隊(duì)任務(wù)成功率下降速度較階段3更明顯。

圖3 編隊(duì)任務(wù)成功概率隨任務(wù)天數(shù)

圖4 裝備z1、z2、z3、z4任務(wù)期間完成任務(wù)的概率隨時(shí)間的變化

5 結(jié) 論

本文建立了在航編隊(duì)任務(wù)期間設(shè)備冗余和LRU冗余系統(tǒng)下任務(wù)成功概率評(píng)估模型和備件優(yōu)化模型，解決了任務(wù)期間復(fù)雜結(jié)構(gòu)裝備使用可用度難求的問(wèn)題。該模型不僅可以計(jì)算在航編隊(duì)備件配備方案，也可以作為評(píng)估其他備件方案的模型。最后文章實(shí)例分析了在航編隊(duì)執(zhí)行任務(wù)成功概率隨時(shí)間的變化，其變化情況與實(shí)際情況一致，可為編隊(duì)出行初始備件配備提供參考。

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Spare parts allocation with ship for K／N（G）redundant structure

ZHOU Liang，LI Qing-min，WANG Rui，PENG Ying-wu
（1.Department of Weapon Engineering，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，China；2.Department of Military Logistics and Armament，National Defense University，Beijing 100083，China）

When the fleet executes short term mission，it has no charge in halfway.A two stage repair model according the multi-echelon technology for recoverable item control（METRIC）model is built to solve this problem，which can assess the probability of success for mission and optimize spare parts scheme.The combination of binomial distribution and hypergeometric distribution is used to solve the problem，but the probability of success is difficult to solve when the redundancy numbers of component and line replaceable unit（LRU）change with time.Finally，an example which has got a spare parts plan throw marginal algorithm optimization is given，and it analyzes the mission success probability of the fleet on different stages.The result is consistent with the reality.

spare parts；redundancy；mission success probability；binomial distribution；marginal algorithm

E 917；TJ 07

A

10.3969／j.issn.1001-506X.2015.12.19

周 亮（198-9- ），男，博士研究生，主要研究方向?yàn)檠b備綜合保障。

E-mail：zh201314l＠163.com

李慶民（195-7- ），男，教授，博士研究生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)閺?fù)雜系統(tǒng)建模與仿真、裝備綜合保障。

E-mail：licheng001＠hotmail.com

王 睿（198-2- ），男，工程師，博士，主要研究方向?yàn)檠b備綜合保障、復(fù)雜系統(tǒng)建模與仿真。

E-mail：niuchenglongwangrui＠gmail.com

彭英武（197-6- ），男，副教授，博士，主要研究方向?yàn)檠b備綜合保障、復(fù)雜系統(tǒng)建模與仿真。

E-mail：icip300＠chinaren.com

1001-506X（2015）12-2785-06

2014- 12- 03；

2015- 06- 01；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2015- 08- 17。

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http：／／www.cnki.net／kcms／detail／11.2422.TN.20150817.1816.008.html

國(guó)防預(yù)研基金（51327020105，51304010206）；總裝預(yù)研基金（51304302，51304303）資助課題