劉紅旗，方志耕，陶良彥

（1.南京航空航天大學經(jīng)濟與管理學院，江蘇南京210016；2.南京航空航天大學科學發(fā)展研究中心，江蘇南京210016）

由式（8）和式（9）進行合并與化簡，可得

復雜裝備研制項目進度規(guī)劃GERT網(wǎng)絡“反問題”模型

劉紅旗1，2，方志耕1，2，陶良彥1，2

（1.南京航空航天大學經(jīng)濟與管理學院，江蘇南京210016；2.南京航空航天大學科學發(fā)展研究中心，江蘇南京210016）

在復雜裝備研制項目中，由于其研制過程中的多種復雜性和不確定性特征使得對項目的進度規(guī)劃管理非常困難。文章基于系統(tǒng)論的思想，把復雜裝備的研制過程看作是由一系列標志性事件組成的整體系統(tǒng)，定義了復雜裝備研制項目的圖示評審技術(shù)（graphic evaluation and review technique，GERT）網(wǎng)絡模型，討論了復雜裝備研制項目完成時間的GERT網(wǎng)絡“反問題”求解思路。以某飛機研制項目為例，對其期望完成時間進行了規(guī)劃。

復雜裝備；進度規(guī)劃；圖示評審技術(shù)網(wǎng)絡；反問題

0 引 言

復雜裝備項目，如飛機、船舶、大型專有高端設(shè)備等對國家安全和國民經(jīng)濟有著重要的影響。它們的研制過程往往表現(xiàn)出多重復雜性和不確定性的特征，如產(chǎn)品結(jié)構(gòu)復雜，工藝過程復雜，供應商多、利益關(guān)系復雜，多品種、小批量，研制風險大等；加之研制需要經(jīng)過立項論證、可行性分析、設(shè)計、預發(fā)展、試制等諸多環(huán)節(jié)，這些均對研制項目的質(zhì)量管理、成本及時間的控制提出了很高的要求。同時，隨著信息技術(shù)的深入發(fā)展和現(xiàn)代制造技術(shù)的廣泛應用，復雜裝備的生命周期大大縮短，用戶需求日趨多樣化，產(chǎn)品的交付日期日益嚴格，這使得復雜裝備研制周期成為更為重要的競爭因素。因此，如何在滿足復雜裝備研制項目交付時限約束的前提下，合理分配和規(guī)劃各研制階段的時間，減少項目失敗的概率，是復雜裝備研制項目管理面臨的重要問題。

對傳統(tǒng)項目進度規(guī)劃方法技術(shù)的優(yōu)化和進度規(guī)劃新方法的探求，一直以來是國內(nèi)外學者廣泛關(guān)注的問題之一，已有大量的國內(nèi)外學者從不同的層面和角度進行了大量的闡述和研究。文獻［1］基于隨機時延Petri網(wǎng)技術(shù)，融合關(guān)鍵路徑法（critical path method，CPM）和計劃評審技術(shù)（program evaluation and review technique，PERT）管理思想，提出了一種項目進度規(guī)劃的模擬方法；文獻［2］建立一個基于多Agent系統(tǒng)來解決多資源約束條件下的多項目進度的調(diào)度問題；文獻［3］從項目管理的角度詳細論述了項目的計劃、進度和控制的系統(tǒng)方法；文獻［4］綜合應用關(guān)鍵鏈和進度控制的方法，確定了多項目的“瓶頸”段的瓶頸緩沖，通過緩沖檢測圖、進度計劃圖等手段進行進度的適時控制；文獻［5］從定量的角度，對關(guān)鍵鏈進度計劃問題建立了數(shù)學模型，并引入遺傳算法，對最優(yōu)化進度和延遲成本構(gòu)建了相應的算法，為關(guān)鍵路徑法演變成關(guān)鍵鏈技術(shù)提供了定量支撐；文獻［6］基于分支定界法的思想提出了一種新的精確求解多資源約束下項目進度規(guī)劃問題的最優(yōu)化算法；文獻［7］基于模糊網(wǎng)絡計劃技術(shù)，實現(xiàn)了里程碑事件完成期的模糊化，建立了具有良好實用性和適用性的、適合業(yè)主進行大型工程項目宏觀進度控制的新方法；文獻［8］對于工序時間具有隨機性的復雜工程項目，在Excel中運用蒙特卡羅仿真獲得項目的完成時間分布并找出關(guān)鍵工序；文獻［9］將圖論方法應用于工程進度管理，并通過編程，解決了工程施工網(wǎng)絡的繪圖及計算問題，采用拓撲排序，求解了最短工期及工程網(wǎng)絡的關(guān)鍵路線問題；文獻［10］根據(jù)大型軍工電子裝備制造項目進度管理的特點，結(jié)合案例提出項目進度計劃編制的一般過程和方法，并對企業(yè)資源能力對制造項目進度管理的影響進行分析。

從已有的文獻來看，傳統(tǒng)的項目進度計劃技術(shù)如CPM和PERT在其誕生之時就將其網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)限定在肯定型范圍內(nèi)，在計算活動時間的概率時進行了嚴格的假設(shè)；關(guān)鍵鏈方法（critical chain project management，CCPM）雖然考慮了項目過程中的不確定性的制約因素，但是對于復雜裝備研制項目而言，在其研制過程中通常包含幾百項的工作，往往涉及到幾十種甚至上百種的約束條件，準確確定關(guān)鍵鏈會非常困難。事實上，由于復雜裝備研制過程中存在著大量的隨機因素，項目研制的任何一個環(huán)節(jié)都存在著失敗的可能性，現(xiàn)有的研究無法對每個環(huán)節(jié)的成功實現(xiàn)給出定量的概率描述模型，從而使得根據(jù)傳統(tǒng)工具作的進度規(guī)劃往往與實際開發(fā)進度偏離較大，難以滿足復雜裝備嚴格的研制時限要求和市場化的競爭需要。

圖示評審技術(shù)（graphic evaluation and review technique，GERT）網(wǎng)絡自20世紀60年代提出以來，廣泛應用可靠性管理、項目管理等多個領(lǐng)域［1112］。文獻［13］結(jié)合GERT、失效模式和效果分析（failure mode and effects analysis，F(xiàn)MEA）提出了用于并行產(chǎn)品開發(fā)項目的早期風險預警三維模型；文獻［14］綜合應用設(shè)計結(jié)構(gòu)矩陣模型（design structure matrix，DSM）和GERT設(shè)計了一套面向新產(chǎn)品開發(fā)項目有效管理的分析框架，以更好地進行項目風險與項目管理其他指標間的均衡決策；文獻［15］構(gòu)建了分析多階段供應鏈庫存狀態(tài)與訂單時間的GERT模型與敏感性計算算法。但以往研究一般是在已知各單項活動時間分布函數(shù)、活動概率的條件下，求解總體的期望時間、完成概率等［16］（可視為一種正向問題）。針對復雜裝備進度規(guī)劃存在的已知強制完成時間的問題，本文提出了GERT反問題模型。在研究該模型性質(zhì)的基礎(chǔ)上，設(shè)計了該問題的求解步驟和方法，一定程度上擴展了GERT的理論和應用領(lǐng)域。

本文基于系統(tǒng)論的思想，把復雜裝備的研制過程看作是由一系列標志性事件組成的整體系統(tǒng)，定義了復雜裝備研制項目的GERT網(wǎng)絡模型，討論了復雜裝備研制項目完成時間的GERT網(wǎng)絡“反問題”求解思路；以某飛機研制項目為例，對其期望完成時間進行了規(guī)劃，以為復雜裝備研制項目進度規(guī)劃提供理論基礎(chǔ)，為現(xiàn)實中出現(xiàn)的復雜裝備研制進度管理、控制和決策提供參考。

1 問題描述

憑借專家的知識、經(jīng)驗和相關(guān)項目實施過程的知識，可以對設(shè)想中的復雜裝備研制項目的重要標志性事件進行辨識，依據(jù)隨機網(wǎng)絡技術(shù)與方法，可以方便地依據(jù)這些標志性事件構(gòu)造出該復雜裝備研制過程的GERT網(wǎng)絡模型。需要說明的是，該GERT網(wǎng)絡模型是由若干個子系統(tǒng)構(gòu)成，每個子系統(tǒng)中至少有一個標志性事件。

在建立了復雜裝備研制GERT網(wǎng)絡模型之后，如果該模型的各項活動參數(shù)已知，那么利用該模型方法，人們即可以方便求得該復雜裝備研制任務的完成時間、概率等各項重要的管理決策參數(shù)。然而，復雜裝備研制計劃的本質(zhì)問題是：要在已知該項目計劃戰(zhàn)略目標的前提下，對完成該計劃一些重要子系統(tǒng)中的一些重要標志性事件的完成時間、概率及其對總計劃的影響等許多問題尋找答案。由此可見，若要將經(jīng)典的GERT網(wǎng)絡模型的求解問題看成是“正問題”，那么，應該把利用GERT網(wǎng)絡工具對項目進度計劃進行規(guī)劃看作是該“正問題”的“反問題”。

2 復雜裝備研制項目GERT網(wǎng)絡模型構(gòu)建

依據(jù)以上分析思路，針對復雜裝備研制項目主要工作完成時間（進度）規(guī)劃問題，根據(jù)GERT網(wǎng)絡的構(gòu)建原理，可用異或型節(jié)點對該過程的標志性事件進行描述，用相關(guān)箭線對其演化邏輯關(guān)系進行描述，由此復雜裝備研制項目GERT網(wǎng)絡模型。

定義1 復雜裝備研制項目GERT網(wǎng)絡基本單元。任給復雜裝備研制項目，若用箭線表示研制過程中某項特定工作，用異或型節(jié)點表示箭線之間的連接狀態(tài)，則復雜裝備研制項目GERT網(wǎng)絡基本單元如圖1所示。其中，Ws，i表示網(wǎng)絡箭線（s，i）的傳遞矩母函數(shù)，Ps，i表示網(wǎng)絡箭線（s，i）的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率。

圖1 復雜裝備研制項目GERT網(wǎng)絡基本單元示意圖

定義2 （復雜裝備研制項目GERT網(wǎng)絡協(xié)同單元）任給復雜裝備研制項目，若用箭線表示研制過程中某項特定工作，用異或型節(jié)點表示箭線之間的連接狀態(tài)，則復雜裝備研制項目GERT網(wǎng)絡協(xié)同單元如圖2所示，其中節(jié)點F表示研制項目的失敗。

圖2 復雜裝備研制項目GERT網(wǎng)絡協(xié)同單元示意圖

定理1 若用箭線表示復雜裝備研制項目某項特定工作，用異或型節(jié)點表示箭線之間的連接狀態(tài)，則任一基于標志性事件的GERT網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)都可以通過基本單元和協(xié)同單元來表示。由此可以構(gòu)造復雜裝備研制項目的GERT網(wǎng)絡模型。

定義3 （復雜裝備研制進度規(guī)劃GERT反問題模型）是指一類研究如何在已知復雜裝備項目進度總目標前提下，求解完成該計劃一些重要子系統(tǒng)中的一些重要事件完成時間、概率等問題的GERT模型。GERT反問題模型單元示意圖如圖3所示，其中Ms－1，s，Ps－1，s分別是已知的活動（s－1，s）的矩母生成函數(shù)和轉(zhuǎn)移概率。Xs，s＋1，Ys，s＋1皆是未知變量，分別代表活動（s，s＋1）的矩母生成函數(shù)和轉(zhuǎn)移概率。TE，PE，VE分別是節(jié)點s到節(jié)點s＋1的期望完成時間、完成概率、方差。GERT反問題模型可以理解為在已知TE，PE，VE和Ms－1，s，Ps－1，s的前提下，求解Xs，s＋1，Ys，s＋1的模型。

圖3 GERT“反問題”模型基本單元示意圖

3 復雜裝備研制項目進度規(guī)劃的GERT網(wǎng)絡“反問題”求解思路

定理2 研制項目流程進度閉合GERT網(wǎng)絡。任給項目工作進度流程GERT網(wǎng)絡，其傳遞函數(shù)為WE（S），假設(shè)WA（S）為其外部串聯(lián)網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)，則WE（S）與WA（S）可構(gòu)造成一個閉合網(wǎng)絡，且

證明令項目工作進度流程GERT網(wǎng)絡為WE（S）；與其相連的外部串聯(lián)網(wǎng)絡為WA（S），如圖4所示。

圖4 項目流程進度閉合GERT網(wǎng)絡示意圖

由具有傳遞參數(shù)W的閉合GERT網(wǎng)絡特征性質(zhì)H可得

則由式（1）可得

證畢

利用矩母函數(shù)的基本性質(zhì)，即矩母函數(shù)的n階導數(shù)在S＝0處的數(shù)值，就是隨機變量的n階原點矩，因此有式（3）成立：

式中，F(xiàn)W｛·｝表示傳遞函數(shù)WE（S）是S，tij；i，j＝1，2，…，M的一個映射。

綜合式（3）與式（4）可得

由式（5）進行等量變換，可得

若tE＝tE（C）已知，則對式（6）進行反函數(shù)變換，可得

證畢

在這里，需要指出的是，式（7）只是一種形式的表達，若要求解出某個（些）特定的tij，還需要給出相關(guān)的關(guān)系方程和約束條件。

證明由GERT網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)與矩母函數(shù)的性質(zhì)可得

利用隨機網(wǎng)絡原理的概率理論，可得

由式（8）和式（9）進行合并與化簡，可得

利用式（8），可將式（10）改寫成

式中，F(xiàn)E［t］｛·｝表示E［t2］是tij；i，j＝1，2，…，M的映射；F（E［t］）2｛·｝表示（E［t］）2是tij；i，j＝1，2，…，M的映射。

對式（11）進行變換，可得

式中，F(xiàn)E［t］｛·｝表示V［t］是tij；i，j＝1，2，…，M的映射。

若V［t］為已知，V［t］＝V［C］，則由式（12）可得

證畢

在這里，需要指出的是，式（13）只是一種形式的表達，若要求解出某個（些）特定的tij，還需要給出相關(guān)的關(guān)系方程和約束條件。

利用以上4個定理搭建起了復雜裝備研制項目完成時間規(guī)劃問題的模型框架與求解體系，其具體求解方法利用案例來說明。

4 案例研究

依據(jù)飛機研制項目中可行性分析報告、預發(fā)展評審報告、首架交付等標志性事件，將研制過程分為可行性論證階段、預發(fā)展階段、工程發(fā)展階段等3個階段。在第1階段，如可行性論證報告得以通過，則項目進入第2階段；如可行性論證報告存在部分問題，需要進行修改，則項目可行性需論證，即是進入第1個階段的自環(huán)；如可行論證報告未通過，則認為第1個階段項目失敗。對第2、第3階段也用類似的方法進行描述，則可以構(gòu)造某大型飛機研制項目過程GERT網(wǎng)絡圖，如圖5所示。假設(shè)某大型飛機研制項目計劃完成時間為120個月，項目活動概率依據(jù)其經(jīng)驗或相關(guān)統(tǒng)計數(shù)據(jù)已知，時間參數(shù)分布已知，網(wǎng)絡中活動參數(shù)如表1所示。那么，如何在飛機研制項目的各階段分配計劃完成時間，使得期望完成時間的方差最小，是需要解決的問題。

圖5 某型飛機研制項目過程GERT網(wǎng)絡示意圖

表1 某型飛機研制過程GERT網(wǎng)絡的各項活動參數(shù)

由梅森分式可得式（1）成立：

由式（13）可得

式中

對式（14）進行參數(shù)代入，并化簡可得

式中

根據(jù)隨機網(wǎng)絡等價傳遞概率的性質(zhì)，可得該項目網(wǎng)絡的成功概率pE（Succed）應等于WE（0），如式（16）所示。

由式（15）和式（16）可得該項目網(wǎng)絡的等價矩母函數(shù)ME（s），如式（17）所示。

式中

研制的平均時間：

研制時間的方差：

V（T）是由時間tij與方差兩部分構(gòu)成，而時間tij與方差之間沒有必然的聯(lián)系。本案例是為了分配時間，因此在優(yōu)化模型中可以將方差忽略，只考慮時間tij。假如給定方差，優(yōu)化模型如下所示：

t11＝1，t22＝2.2，t33＝3.3，t12＝11，t23＝33.8，t35＝74.2。即在期望完成時間方差最小的情況下，為保證研制項目成功，項目可行性論證階段需分配12月、預發(fā)展階段需分配36月、工程發(fā)展階段需分配77.5月，項目期望完成時間為120.03月。

5 結(jié) 論

本文建立了復雜裝備研制項目的GERT網(wǎng)絡模型，較好地解決了復雜裝備研制項目的定量描述問題；給出了復雜裝備研制項目完成時間的GERT網(wǎng)絡“反問題”求解一般思路，為解決研制項目進度規(guī)劃提供了新的思路和方法。但是，由于本文所提出的GERT網(wǎng)絡模型求解方法，需要知道網(wǎng)絡參數(shù)的分布類型（有些可以根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)予以估計，有的則缺少統(tǒng)計數(shù)據(jù)），那么在信息數(shù)據(jù)不完備的情況下，如何對網(wǎng)絡中相關(guān)參數(shù)的分布類型和分布概率進行估計，這也是本文需要繼續(xù)深入研究的一個重要問題。

［1］Hu X Y，Hu B，Zhang J L.Project scheduling based on STPN［J］.Journal of Wuhan University of Technology，2009，31（6）：986-991.（胡雄鷹，胡斌，張金隆.基于STPN的項目進度規(guī)劃［J］.武漢理工大學學報，2009，31（6）：986- 991.）

［2］Homberger J.A multi-agent system for the decentralized resourceconstrained multi-project scheduling problem［J］.International Transactions in Operational Research，2007，14（6）：565- 589.

［3］Kerzner H.A system approach to planning，scheduling and controlling［M］.7th ed.New York：Wiley，2001.

［4］Guo Q J，Sai Y X.Multi-project scheduling management based on critical chain［J］.Journal of Xi’an Technological University，2007，27（6）：583- 589.（郭慶軍，賽云秀.關(guān)鍵鏈多項目進度管理分析［J］.西安工業(yè)大學學報，2007，27（6）：583- 589.）

［5］Ma G F，You J X.Quantitative analysis of critical chain multiple project scheduling management［J］.Systems Engineering-Theory&Practice，2007，27（9）：54- 61.（馬國豐，尤建新.關(guān)鍵鏈項目群進度管理的定量分析［J］.系統(tǒng)工程理論與實踐，2007，27（9）：54- 61.）

［6］Chen Y Q，Song Y，Gong C.Project scheduling under multiple resource constraints based on branch an bound procedure［J］.Journal of Beijing Institute of Technology，2009，11（4）：41-46.（陳勇強，宋瑩，龔辰.基于分支定界法的多資源約束下項目進度規(guī)劃［J］.北京理工大學學報，2009，11（4）：41- 46.）

［7］Yu D，Hu C M，Liang S，et al.Process controlling based on the fuzzy network technology［J］.Sci-Tech Information Development&Economy，2007，17（10）：142- 144.（於東，胡長明，梁森，等.基于模糊網(wǎng)絡計劃技術(shù)的進度控制［J］.科技情報開發(fā)與經(jīng)濟，2007，17（10）：142- 144.）

［8］Cheng X L，Zhang Y L，Cui X S.The application of Monte Carlo simulation in project management［J］.Industrial Engineering Journal，2004，7（3）：51- 56.（程錫禮，張延林，崔新生.蒙特卡羅仿真在工程項目進度管理中的應用［J］.工業(yè)工程，2004，7（3）：51- 56.）

［9］Gao Y F，Wang X C.Apply graph theory to the management of engineering progress［J］.Journal of Xi’an Highway University，2001，21（1）：21- 23.（高一凡，王選倉.圖論在工程進度管理中的應用［J］.西安公路交通大學學報，2001，21（1）：21- 23.）

［10］Chen W S.The research on schedule management of large-scale military electronic equipment manufacturing project management［D］.Chengdu：Southwest Jiaotong University，2009.（陳文帥.大型軍工電子裝備制造項目進度管理研究［D］.成都：西南交通大學，2009.）

［11］Jose K P.GERT analysis of a three unit cold standby system with single repair facility［J］.Journal of Computer and Mathematical Sciences，2012，3（1）：1- 13.

［12］León H C M，F(xiàn)arris J A，Letens G.Improving product development performance through iteration front-loading［J］.IEEE Trans.on Engineering Management，2013，60（3）：552- 565.

［13］Wu D D，Kefan X，Gang C，et al.A risk analysis model in concurrent engineering product development［J］.Risk Analysis，2010，30（9）：1440- 1453.

［14］MartíNez LeóN H C，F(xiàn)arris J A，Letens G，et al.An analytical management framework for new product development processes featuring uncertain iterations［J］.Journal of Engineering and Technology Management，2013，30（1）：45- 71.

［15］Li C，Liu S.Random network models and sensitivity algorithms for the analysis of ordering time and inventory state in multi-stage supply chains［J］.Computers&Industrial Engineering，2014，70（4）：168- 175.

［16］Feng Y C.Stochastic network and its application［M］.Beijing：Beijing University of Aeronautics and Astronautics Press，1987.（馮允成.隨機網(wǎng)絡及其應用［M］.北京：北京航空航天大學出版社，1987.）

Complex equipment development project planning GERT network“inverse problem”model

LIU Hong-qi1，2，F(xiàn)ANG Zhi-geng1，2，TAO Liang-yan1，2
（1.College of Economics and Management，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China；2.Scientific Development Research Center，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China）

In the complex equipment development project，it is very difficult to manage the project schedule planning since the complexities and uncertainty characteristics occur throughout the development process.The development process of complex equipment is viewed as a whole system consisting of a series of landmark events based on the idea of the system theory.Firstly，a graphic evaluation and review technique（GERT）network model is designed to describe the complex equipment development project，then the complex equipment development project completion time GERT network“inverse problem”solving algorithm is discussed.Finally，a model is used to solve the expected completion time based on a certain aircraft development project，the result of the example shows the validity of the model.

complex equipment；project planning；graphic evaluation and revien technique（GERT）network；inverse problem

C 93

A

10.3969／j.issn.1001-506X.2015.12.15

劉紅旗（198-1- ），男，副研究員，博士研究生，主要研究方向為灰色系統(tǒng)、科技創(chuàng)新與管理。

E-mail：liuhongqi＠nuaa.edu.cn

方志耕（1962- ），男，教授，博士研究生導師，博士，主要研究方向為工業(yè)工程、質(zhì)量可靠性管理。

E-mail：zhigengfang＠163.com

陶良彥（198-8- ），男，博士研究生，主要研究方向為復雜裝備研制管理。

E-mail：lytao＠nuaa.edu.cn

1001-506X（2015）12-2758-06

2014- 07- 21；

2015- 05- 21；網(wǎng)絡優(yōu)先出版日期：2015- 08- 17。

網(wǎng)絡優(yōu)先出版地址：http：／／www.cnki.net／kcms／detail／11.2422.TN.20150817.1812.004.html

國家自然科學基金（71173106，71171113）；國家社科基金重點項目（12AZD102）；教育部人文社科青年基金項目（12YJC630115）；中央高校基本科研業(yè)務費專項科研項目（NJ20140032，NP2015208）；江蘇省普通高校研究生科研創(chuàng)新計劃項目（KYZZ15_0092）；江蘇高校哲學社會科學重點研究基地重大項目（2010JDXM014，2010JDXM015）資助課題