陳云翔,蔡忠義,張諍敏,項(xiàng)華春

(空軍工程大學(xué)裝備管理與安全工程學(xué)院,陜西西安710051)

基于證據(jù)理論和直覺模糊集的群決策信息集結(jié)方法

陳云翔,蔡忠義,張諍敏,項(xiàng)華春

(空軍工程大學(xué)裝備管理與安全工程學(xué)院,陜西西安710051)

針對(duì)多屬性群決策信息集結(jié)問題,利用D-S證據(jù)理論和直覺模糊集的相關(guān)方法,提出基于直覺模糊熵的屬性權(quán)重確定方法,并將專家對(duì)屬性的直覺模糊評(píng)價(jià)信息轉(zhuǎn)化為Mass函數(shù)形式,將專家關(guān)于方案集的多屬性證據(jù)信息進(jìn)行了修正和合成;為了便于度量任意兩個(gè)專家之間評(píng)價(jià)證據(jù)的沖突程度,提出基于證據(jù)沖突度的專家權(quán)重確定方法,并將所有專家關(guān)于方案集的證據(jù)信息進(jìn)行修正和綜合集成。結(jié)合算例驗(yàn)證了方法的有效性和合理性。

多屬性群決策;D-S證據(jù)合成;直覺模糊熵;證據(jù)沖突度

0 引 言

證據(jù)理論是Dempster[1]于1967年提出,后經(jīng)他的學(xué)生Shafer[2]進(jìn)行了推廣和完善,故又稱為Dempster-shafer理論(簡(jiǎn)稱D-S證據(jù)理論)。D-S證據(jù)理論不需要先驗(yàn)概率和條件概率密度,僅依靠各種證據(jù)的積累便可不斷縮小假設(shè)集。作為一種不確定性推理方法,D-S證據(jù)理論在不確定性的表示、量度和組合方面具有優(yōu)勢(shì),先后推廣應(yīng)用于概率范圍和模糊集。

直覺模糊多屬性群決策問題是指通過對(duì)各方案屬性評(píng)價(jià)值的綜合以及各決策者給出的直覺模糊判斷信息的集結(jié),從而對(duì)備選方案進(jìn)行優(yōu)選與排序的過程[3-5]。針對(duì)此類問題,國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了許多信息集結(jié)方法,如基于直覺模糊的有序加權(quán)平均(intuitionistic fuzzy ordered weighted averaging,IFOWA)算子[67]、逼近于理想解的排序方法(technique for order preference by similarity to an ideal solution, TOPSIS)[89]、基于D-S證據(jù)合成的集結(jié)方法[1013]等;但D-S證據(jù)合成規(guī)則應(yīng)用于沖突證據(jù)合成時(shí)會(huì)出現(xiàn)有悖常理的現(xiàn)象。如文獻(xiàn)[12]對(duì)專家給出的每個(gè)方案的屬性值和屬性權(quán)重未經(jīng)修正就直接進(jìn)行合成,因而忽視了這兩類證據(jù)之間的潛在沖突。

基于上述考慮,本文通過對(duì)各專家給出的直覺模糊信息進(jìn)行充分挖掘,利用D-S證據(jù)合成方法,提出基于證據(jù)理論的直覺模糊多屬性群決策方法。首先介紹了證據(jù)理論和直覺模糊集的相關(guān)概念;然后提出了基于模糊熵的屬性權(quán)重確定方法,并對(duì)考慮了屬性權(quán)重的證據(jù)進(jìn)行修正與合成;最后,采用融合了沖突系數(shù)和Jousselme距離的證據(jù)沖突度計(jì)算模型,求出了專家個(gè)體的權(quán)重值并對(duì)所有專家的評(píng)價(jià)證據(jù)信息進(jìn)行修正和綜合集成。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 證據(jù)理論

定義1[12]對(duì)于某一問題,人們所能認(rèn)識(shí)到的可能結(jié)果稱為對(duì)問題的假設(shè)。各個(gè)假設(shè)之間互斥且完備地描述了問題的所有可能,這些假設(shè)構(gòu)成的集合Θ為識(shí)別框架。

定義2[12]如果集函數(shù)m:2Θ→[0,1]滿足下列公式:①m(?)=0,②∑A?Θm(A)=1,則稱函數(shù)m為Θ上的基本概率分配或Mass函數(shù)。m(A)表示分配給A本身的置信測(cè)度,即支持命題A本身發(fā)生的程度。若A?Θ,且m(A)＞0,則稱A為證據(jù)的焦元。所有焦元的集合稱為核。

定義3[12]設(shè)Θ為識(shí)別框架,集函數(shù)m:2Θ→[0,1]為識(shí)別框架Θ上的Mass函數(shù),?A,B?Θ,則稱由Bel(A)所定義的函數(shù)Bel:2Θ→[0,1]為Θ上的信任函數(shù)。

定理1[12](D-S合成) 設(shè)Bel1,Bel2,…,Beln為同一識(shí)別框架Θ的信任函數(shù),m1,m2,…,mn是其對(duì)應(yīng)的Mass函數(shù),則

其中

式中,“⊕”表示直和;k為證據(jù)沖突系數(shù),1/(1-k)為歸一化因子。

1.2 直覺模糊集

定義4[3]若論域X上的兩個(gè)映射為μA:X→[0,1]和νA:X→[0,1],使得x∈X|→μA(x)∈[0,1]和x∈X|→νA(x)∈[0,1]并滿足條件0≤μA(x)+νA(x)≤1,則稱μA和νA確定了論域X上的一個(gè)直覺模糊集A,可簡(jiǎn)記為A= {〈x,μA(x),νA(x)〉|x∈X},分別稱μA(x)和νA(x)為元素x屬于A的隸屬度和非隸屬度,稱πA(x)=1-μA(x)-νA(x)為元素x屬于A的猶豫度。

論域X中的元素x屬于A的隸屬度與非隸屬度所組成的有序?qū)Α处藺(x),νA(x)〉稱為直覺模糊數(shù),全體直覺模糊數(shù)的集合稱為直覺模糊集,其向量形式記為A:

定義5[3]對(duì)于任意zij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)都是直覺模糊數(shù),則矩陣Z=(zij)m×n稱為直覺模糊矩陣。

根據(jù)證據(jù)理論中Mass函數(shù)定義,直覺模糊集向量A中的直覺模糊數(shù)可表示為識(shí)別框架Θ上Mass函數(shù),則其Mass函數(shù)mA滿足以下條件:

直覺模糊集向量A中的直覺模糊數(shù)所構(gòu)造出的公式(2)符合定義2中Mass函數(shù)所規(guī)定的條件。

2 屬性信息集結(jié)

2.1 問題描述

現(xiàn)有n個(gè)可行方案xj(j=1,2,…,n)組成方案集X= {x1,x2,…,xn},由K個(gè)專家Pk(k=1,2,…,K)組成一個(gè)決策群體對(duì)每個(gè)方案關(guān)于m個(gè)屬性oi(i=1,2,…,m)組成屬性集O={o1,o2,…,om}進(jìn)行評(píng)價(jià)。

設(shè)專家Pk對(duì)方案xj關(guān)于屬性oi的評(píng)價(jià)值可表示為直覺模糊數(shù),可得到專家Pk的直覺模糊集決策矩陣,即為

2.2 基于直覺模糊熵的屬性權(quán)重確定

對(duì)于直覺模糊數(shù)a=〈μA(x),νA(x)〉,可用直覺模糊熵[14-15]來度量所蘊(yùn)含信息的不確定性程度,即表示為

對(duì)于任意直覺模糊數(shù)aij,由式(3)可計(jì)算出該直覺模糊數(shù)的熵值,記為eij。直覺模糊熵越小,說明該直覺模糊數(shù)所蘊(yùn)含信息的不確定程度越小。

專家Pk關(guān)于屬性oi(i=1,2,…,m)的直覺模糊熵E為

專家Pk關(guān)于屬性oi的直覺模糊熵Eik為

專家Pk關(guān)于屬性oi的權(quán)重表示為

專家Pk關(guān)于屬性集的權(quán)重矩陣Wk表示為

2.3 考慮屬性權(quán)重的證據(jù)合成

已知專家Pk對(duì)屬性oi關(guān)于方案集評(píng)價(jià)的直覺模糊向量記為dki,即

根據(jù)證據(jù)理論,可將dki看作是一條證據(jù),其Mass函數(shù)記為mki,可表示為

式中,mk(Θ)表示識(shí)別框架(即方案集)的不確定性程度。證據(jù)dki中的直覺模糊數(shù)所構(gòu)造出的公式(7)符合定義2中Mass函數(shù)所規(guī)定的條件。

由于證據(jù)合成的前提是所有證據(jù)具有同等重要程度,而現(xiàn)實(shí)中的證據(jù)因具有一定噪聲而導(dǎo)致相互之間存在差異,并非同等重要。因此,在證據(jù)合成前需對(duì)參與合成的證據(jù)進(jìn)行降噪和修正。

本文采用證據(jù)折扣算法[13],首先將專家Pk對(duì)屬性oi關(guān)于方案集的評(píng)價(jià)證據(jù)進(jìn)行修正,即

其中

將專家Pk對(duì)屬性o1,o2,…,om關(guān)于方案集的修正后的Mass函數(shù)矩陣記為Mk,即

利用D-S合成公式,將專家Pk對(duì)所有屬性關(guān)于方案集修正后的評(píng)價(jià)證據(jù)進(jìn)行合成,即

則專家Pk關(guān)于方案集的評(píng)價(jià)Mass函數(shù)向量記為mk,即

3 專家群決策信息集結(jié)

3.1 基于證據(jù)沖突度的專家權(quán)重確定

決策群中專家個(gè)體受自身專業(yè)背景的影響所做出的決策結(jié)果與其他專家的決策結(jié)果之間可能會(huì)存在差異和沖突,在專家賦權(quán)中應(yīng)區(qū)別對(duì)待。例如,某專家提供的決策證據(jù)與其他專家之間差異較大,則該專家的意見被支持的程度應(yīng)較小,賦予的權(quán)重也較小。因此,問題的核心在于如何科學(xué)確定各專家所給出的證據(jù)沖突程度。

目前常用方法有基于沖突系數(shù)的和基于Jousselme距離的證據(jù)沖突度量方法。但實(shí)踐表明,只是利用沖突系數(shù)或Jousselme距離來描述和表示證據(jù)沖突都是不完善的,前者表示證據(jù)合成時(shí)不相容焦元(交集為空集)結(jié)合產(chǎn)生的矛盾信息大小;后者表示證據(jù)間相容焦元Mass函數(shù)之間的差異,但這兩者具有一定的互補(bǔ)性。因此,本文提出融合了沖突系數(shù)和Jousselme距離的證據(jù)沖突計(jì)算模型[16]。

定義6[16](Jousselme距離) 設(shè)m1和m2是在識(shí)別框架Θ上的兩個(gè)Mass函數(shù),則兩者之間距離可表示為

式中,m1和m2為Mass函數(shù)的向量形式的相

設(shè)群決策中方案集所構(gòu)成的識(shí)別框架為Θ,專家Pk與Pl給出的證據(jù)之間沖突度記為cfkl,可表示為似性矩陣,其元素表示為

式中,kkl,dkl分別表示專家Pk與專家Pl提供的證據(jù)之間的沖突系數(shù)和Jousselme距離;θ為識(shí)別框架Θ上的任一假設(shè),arg max(Bet Pm(θ))表示識(shí)別框架Θ上的最大支持

θ∈Θ假設(shè)。

由此可知,當(dāng)專家Pk與專家Pl關(guān)于方案集的評(píng)價(jià)證據(jù)之間沖突最小時(shí),cfkl=0;證據(jù)之間的沖突最大時(shí),cfkl= 1。設(shè)專家Pk給出的評(píng)價(jià)證據(jù)被專家Pl的證據(jù)所支持程度記作spkl,則專家Pk的權(quán)重φk表示為

其中

則專家群權(quán)重矩陣Φ表示為

3.2 考慮專家權(quán)重的證據(jù)合成

同樣,在進(jìn)行證據(jù)合成前需對(duì)專家P1,P2,…,PK關(guān)于方案集的評(píng)價(jià)證據(jù)進(jìn)行修正,即

其中

同理,利用D-S合成公式,將專家P1,P2,…,PK修正后的證據(jù)進(jìn)行合成,即可得到最終方案集的Mass函數(shù)向量記為m,即

4 算例分析

假設(shè)現(xiàn)有4個(gè)專家P1,P2,P3,P4組成一個(gè)決策群體,對(duì)某新型飛機(jī)機(jī)載設(shè)備的3個(gè)可靠性鑒定試驗(yàn)方案xj(j= 1,2,3)進(jìn)行選優(yōu)。經(jīng)過分析,選擇以下4個(gè)因素作為評(píng)估指標(biāo)即屬性:方案可行性(o1)、方案經(jīng)濟(jì)性(o2)、方案風(fēng)險(xiǎn)可承受性(o3)以及預(yù)期實(shí)施效果(o4)。運(yùn)用專家咨詢法,可得各專家Pk(k=1,2,3,4)對(duì)于屬性集oi(i=1,2,3,4)的給出滿意度μikj與不滿意度νikj信息,具體數(shù)據(jù)見表1。

表1 專家對(duì)分配方案屬性的評(píng)估

由表1可以獲取專家Pk的直覺模糊集決策矩陣Dk;由式(5)和式(6)確定專家Pk關(guān)于屬性集O的權(quán)重矩陣Wk為

由式(7)～式(10)得到專家Pk關(guān)于方案集的評(píng)價(jià)Mass函數(shù)向量記為mk,即

由式(13)計(jì)算出兩兩專家之間關(guān)于方案集的評(píng)價(jià)證據(jù)的沖突度cfkl。

由式(14)和式(15)得到專家群權(quán)重矩陣Φ。

由式(16)和式(17)對(duì)專家P1,P2,…,PK關(guān)于方案集的評(píng)價(jià)證據(jù)進(jìn)行修正,再運(yùn)用D-S證據(jù)合成得到最終方案集的Mass函數(shù)向量記為m。

因此,可靠性鑒定試驗(yàn)備選方案的優(yōu)劣排序?yàn)閤1＞x3＞x2,且x1為最滿意的方案。

5 結(jié) 論

針對(duì)直覺模糊信息環(huán)境下的多屬性群決策問題,在屬性權(quán)重和專家權(quán)重均未知的情況下,本文綜合運(yùn)用D-S證據(jù)理論和直覺模糊集的相關(guān)概念,提出了基于模糊熵的屬性權(quán)重確定方法和基于證據(jù)沖突度的專家權(quán)重確定方法,分別對(duì)考慮了屬性權(quán)重和專家權(quán)重的相關(guān)證據(jù)進(jìn)行修正與合成,從而實(shí)現(xiàn)了對(duì)專家群決策信息的綜合集成。結(jié)合算例驗(yàn)證了方法的有效性和合理性,給出了備選方案的優(yōu)劣排序。

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蔡忠義(1988-),通信作者,男,博士研究生,主要研究方向?yàn)檠b備可靠性與系統(tǒng)工程。

E-mail:afeuczy@163.com

張諍敏(1964-),女,教授,碩士,主要研究方向?yàn)檠b備系統(tǒng)工程。

E-mail:646297491@qq.com

項(xiàng)華春(1980-),男,副教授,博士,主要研究方向?yàn)檠b備可靠性與系統(tǒng)工程。

E-mail:xhc09260926@163.com

Method for group decision-making information integration based on evidence theory and intuitionistic fuzzy set

CHEN Yun-xiang,CAI Zhong-yi,ZHANG Zheng-min,XIANG Hua-chun
(Equipment Management&Safety Engineering College,Air Force Engineering University,Xi’an 710051,China)

For information integration of multi-attribute group decision-making,the paper uses the Dempster-Shafer(D-S)evidence theory and relevant theories of the intuitionistic fuzzy set,puts forward a method for attribution-weight determination based on intuitionistic fuzzy entropy,turns the intuitionistic fuzzy evaluation information of the attribute into the Mass function form,and modifies and synthesizes the multi-attribute of the expert group towards the project set.In order to get the conflict degree of two experts’evaluation evidence,the paper puts forward a method for expert-weight determination based on the evidence conflict degree,and modifies and integrates the evidence information of all experts towards the project set.An example is used to verify the effectiveness and rationality of this method.

group decision-making of multi-attribute;D-S evidence synthesization;intuitionistic fuzzy entropy;evidence conflict degree

C 93

A

10.3969/j.issn.1001-506X.2015.03.19

陳云翔(1962-),男,教授,博士,主要研究方向?yàn)檠b備管理與決策、裝備維修保障。

E-mail:cyx87793@163.com

2014 03 04;

2014 07 01;網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期:2014 10 19。

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址:http://w ww.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20141019.2344.003.html

總裝“十二五”國(guó)防預(yù)先研究項(xiàng)目資助課題