馬小兵,楊 力

(1.北京航空航天大學(xué)可靠性與系統(tǒng)工程學(xué)院,北京100191;2.北京航空航天大學(xué)可靠性與環(huán)境工程技術(shù)國防科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京100191)

貯存可用度約束下的可修系統(tǒng)壽命評(píng)估與優(yōu)化

馬小兵1,2,楊 力1

(1.北京航空航天大學(xué)可靠性與系統(tǒng)工程學(xué)院,北京100191;
2.北京航空航天大學(xué)可靠性與環(huán)境工程技術(shù)國防科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京100191)

針對(duì)長期貯存復(fù)雜可修系統(tǒng)的特點(diǎn),提出一種以可用度為約束的系統(tǒng)貯存壽命評(píng)估方法。該貯存系統(tǒng)由三類部件串聯(lián)構(gòu)成:第一類部件為高可靠產(chǎn)品,具有給定故障時(shí)間分布且不進(jìn)行檢測(cè);第二類部件為等時(shí)定檢維修產(chǎn)品,且修復(fù)如新;第三類部件為定期預(yù)防性更換產(chǎn)品,更換周期與檢測(cè)周期相同。在分析上述三類部件瞬態(tài)貯存可用度變化規(guī)律基礎(chǔ)上,推導(dǎo)了此類系統(tǒng)的平均貯存可用度,并以其作為約束條件,建立了該類系統(tǒng)貯存壽命的評(píng)估與優(yōu)化模型,給出了滿足系統(tǒng)壽命最大化的檢測(cè)與更換策略。

可修系統(tǒng);壽命評(píng)估;貯存可用度;定期檢測(cè);定期更換

0 引 言

根據(jù)國軍標(biāo)451A-2005定義,使用壽命是指產(chǎn)品使用到從技術(shù)上或者經(jīng)濟(jì)上考慮不宜繼續(xù)使用,而必須報(bào)廢或者大修時(shí)的壽命單位數(shù)。而貯存作為一種特殊的使用形式,其壽命的技術(shù)衡量指標(biāo)可采用貯存可用度。對(duì)于可修貯存系統(tǒng),貯存可用度影響因素主要包括貯存系統(tǒng)的故障規(guī)律、檢測(cè)維修策略和保障資源等。

____現(xiàn)階段,國內(nèi)外關(guān)于可用度開展了較多研究。在單部件可用度方面,文獻(xiàn)[1-3]建立了定檢產(chǎn)品的可用度模型,其中檢測(cè)維修時(shí)間忽略。文獻(xiàn)[4-8]研究了檢測(cè)維修時(shí)間不可忽略時(shí)可用度的變化規(guī)律。而在多部件可用度方面,文獻(xiàn)[9]基于多類相互獨(dú)立的部件的可用度研究了費(fèi)用優(yōu)化問題。文獻(xiàn)[10-11]分析了失效相互影響下的兩部件和多部件可修系統(tǒng)的平均可用度。文獻(xiàn)[12-14]建立了包含不同壽命分布組件的系統(tǒng)混合檢測(cè)和替換模型,并推導(dǎo)了系統(tǒng)的平均可用度。

然而,上述文獻(xiàn)均進(jìn)行的是工作狀態(tài)的可用度研究,對(duì)于貯存環(huán)境下的復(fù)雜系統(tǒng)可用度變化規(guī)律缺少研究。為此,本文基于實(shí)際的貯存情況,對(duì)由三類故障分布與維護(hù)策略均不相同的典型部件所構(gòu)成串聯(lián)系統(tǒng)的貯存可用度開展了具體研究。三類部件的維護(hù)方式分別為:無檢測(cè)、定期檢測(cè)并維修、定期更換。根據(jù)更新理論,分別推導(dǎo)了各類部件的瞬態(tài)可用度,并在考慮維修和更換時(shí)間差異性的基礎(chǔ)上,給出了該系統(tǒng)的瞬態(tài)可用度和平均可用度。

本文在相關(guān)研究基礎(chǔ)上提出一種以系統(tǒng)平均貯存可用度為約束的貯存壽命評(píng)估和優(yōu)化方法。若經(jīng)過一段貯存期,系統(tǒng)平均貯存可用度降低到某一規(guī)定的閾值,則系統(tǒng)必須進(jìn)行整體大修或報(bào)廢處理,而到達(dá)該閾值的時(shí)間即為系統(tǒng)貯存壽命?？赏ㄟ^對(duì)系統(tǒng)檢測(cè)周期進(jìn)行優(yōu)化,實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)貯存壽命最大化的目標(biāo),并通過算例給出了模型的優(yōu)化計(jì)算結(jié)果。

1 基本假設(shè)

假設(shè)1 系統(tǒng)由三類不同部件串聯(lián)組成,為簡(jiǎn)化模型,假定每一類均為單個(gè)部件。各類部件失效時(shí)間服從不同的分布,且相互獨(dú)立,互不影響。

假設(shè)2 三類部件于同一時(shí)刻開始貯存,設(shè)為零時(shí)刻。

假設(shè)3 第二類部件每隔固定周期進(jìn)行檢測(cè),檢測(cè)時(shí)間忽略不計(jì)。

假設(shè)4 第三類部件的更換周期與第二類部件的定期檢測(cè)周期相同。

假設(shè)5 維修和更換期間貯存系統(tǒng)均處于非正常貯存狀態(tài),即瞬態(tài)可用度為零。

假設(shè)6 維修和更換時(shí)間均為不可忽略的固定值。

2 系統(tǒng)貯存壽命定義

記XS(t)為貯存系統(tǒng)在t時(shí)刻的狀態(tài)隨機(jī)變量,即

則系統(tǒng)的瞬態(tài)貯存可用度是指系統(tǒng)在規(guī)定的貯存條件下,在規(guī)定的時(shí)刻具備規(guī)定功能的概率,則系統(tǒng)在t時(shí)刻的瞬態(tài)貯存可用度定義為

系統(tǒng)的平均貯存可用度是指在貯存時(shí)間[0,t]內(nèi)能工作的時(shí)間所占的比例,可根據(jù)瞬態(tài)可用度進(jìn)行推導(dǎo)

對(duì)于由三類典型部件串聯(lián)構(gòu)成的可修貯存系統(tǒng),貯存壽命可定義為

即若經(jīng)過一段時(shí)間的貯存,系統(tǒng)平均貯存可用度首次下降到某一規(guī)定的可用度閾值A(chǔ)α,則認(rèn)為該貯存系統(tǒng)不能滿足規(guī)定的技術(shù)要求,必須進(jìn)行報(bào)廢或者大修等操作。而這一段的貯存時(shí)間TS即為系統(tǒng)的貯存壽命。

需要指出的是,選取平均貯存可用度作為貯存壽命的約束條件是由于其遞減的平滑性,波動(dòng)幅度較小,而系統(tǒng)瞬態(tài)貯存可用度由于存在零點(diǎn),且波動(dòng)幅度較大,不適宜作為壽命約束。

3 貯存可用度模型

對(duì)于該串聯(lián)貯存系統(tǒng),無法直接根據(jù)更新理論得到系統(tǒng)在[0,t]內(nèi)的平均可用度,需要通過系統(tǒng)的瞬態(tài)可用度來進(jìn)行轉(zhuǎn)換。下面首先研究各類部件的瞬態(tài)貯存可用度。

3.1 第一類部件瞬態(tài)貯存可用度模型

此類部件可靠性較高,無需進(jìn)行檢測(cè)和維修更換。在不考慮維修更換等因素的情況下,該類部件在任意時(shí)刻的瞬態(tài)可用度即為其可靠度,即

3.2 第二類部件瞬態(tài)貯存可用度模型

假定該類部件從零時(shí)刻開始貯存,初始可靠度為1。每隔固定時(shí)間T對(duì)部件進(jìn)行定期檢測(cè)。一旦檢測(cè)到故障,則立即進(jìn)行維修。經(jīng)過Tc(0＜Tc＜T)的時(shí)間修復(fù)如新,繼續(xù)貯存。檢測(cè)更換策略如圖1所示。

圖1 第二類部件的檢測(cè)維修策略

設(shè)該類部件的故障時(shí)間分布函數(shù)為F2(t),可靠度函數(shù)為R2(t)。推導(dǎo)可知,該類部件在任意時(shí)刻t的瞬時(shí)貯存可用度A2(t)可表示為

式中,k=1,2,…;ci=i T+Tc。

推導(dǎo)過程如下。設(shè)Tf為該類部件第一次故障發(fā)生時(shí)間,Tf*為第一次維修完成時(shí)間,Tl為最后一次故障發(fā)生時(shí)間,Tl*為第二類部件最后一次維修完成時(shí)間。

(1)當(dāng)0＜t≤T時(shí),無維修發(fā)生,可用度即為其可靠度,故有

(2)當(dāng)T＜t≤c1時(shí),部件可能處在未故障或故障維修兩種狀態(tài)下,注意到部件從發(fā)生故障到維修結(jié)束前均不可用,故其瞬態(tài)可用度可表示為

(3)當(dāng)ck＜t≤ck+1時(shí),對(duì)于該類部件在t之前發(fā)生過故障且在t時(shí)刻處于完好的概率為

3.3 第三類部件瞬態(tài)貯存可用度模型

由于該類部件容易故障,故采用定期預(yù)防性更換策略,其更換周期和第二類部件的檢測(cè)周期相同,均為T。更換需要固定時(shí)間TR(0＜TR＜T)。更換策略如圖2所示。

圖2 第三類部件的更換策略

第三類部件的瞬態(tài)貯存可用度為

式中,k=1,2,…;dk=k T+TR。

推導(dǎo)過程如下。

(1)當(dāng)0＜t≤T時(shí),部件更換還未開始,故A3(t)= P(X3(t)=1)=R3(t)。

(2)當(dāng)k T＜t≤dk(k=1,2,…)時(shí),該類部件正在進(jìn)行更換,此時(shí)部件處于不可用狀態(tài),故A3(t)=P(X3(t)=1)=0。

(3)當(dāng)dk＜t≤(k+1)T時(shí),該類部件最近的更新時(shí)刻,即上一次更換完成時(shí)刻為dk,而0＜t-dk≤T,故t時(shí)刻的可用度為

3.4 系統(tǒng)瞬態(tài)貯存可用度模型

可修貯存系統(tǒng)由第3.1～3.3節(jié)中的三類部件串聯(lián)構(gòu)成,且三類部件之間相互獨(dú)立、互不影響。因此,當(dāng)任意一類部件處于不可用狀態(tài)時(shí),整個(gè)系統(tǒng)也將處于不可用度狀態(tài)。因此,系統(tǒng)整體在任意時(shí)刻t的瞬態(tài)貯存可用度為AS(t)=A1(t)×A2(t)×A3(t)(4)

由于第二類部件為檢測(cè)后的修復(fù)性維修,其所需時(shí)間一般大于第三類部件的預(yù)防性更換時(shí)間,故假定Tc＞TR,此時(shí)系統(tǒng)的瞬態(tài)貯存可用度可表示為

式中,k=1,2,…。

4 系統(tǒng)貯存壽命優(yōu)化方法研究

注意到若系統(tǒng)平均貯存可用度無法降至臨界值A(chǔ)α,或者收斂于某一大于Aα的值,則對(duì)貯存壽命的約束條件不存在。因此,首先需要證明該系統(tǒng)貯存可用度收斂于某一小于Aα的值,證明過程如下。

對(duì)于第一類部件,其在無限時(shí)間區(qū)間內(nèi)的穩(wěn)態(tài)貯存可用度為

而系統(tǒng)由三類部件串聯(lián)構(gòu)成,因此系統(tǒng)平均貯存可用度必然低于第一類部件的平均貯存可用度,故在無限時(shí)間區(qū)間上系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)貯存可用度必然也收斂于0,即

故系統(tǒng)平均貯存可用度收斂于0,因而其必然在某一時(shí)刻下降到Aα。

從便于工程實(shí)施的角度考慮,貯存壽命一般定為檢測(cè)/更換周期的整數(shù)倍。若m T＜TS≤(m+1)T,即若貯存壽命處于(m T,(m+1)T)之間,則可將貯存壽命近似為最后一次檢測(cè)時(shí)刻T'S=(m+1)T。

則貯存壽命最大值的數(shù)學(xué)形式為

即通過對(duì)檢測(cè)/更換周期T進(jìn)行優(yōu)化,可使系統(tǒng)平均貯存可用度降低到閾值的時(shí)間所需最長,從而實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)貯存壽命最大化的優(yōu)化目標(biāo)。下面通過數(shù)值算例來對(duì)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行分析,并通過仿真進(jìn)行驗(yàn)證。

5 算例與結(jié)果分析

5.1 貯存可用度算例

系統(tǒng)貯存時(shí)間以月為單位。假設(shè)第一類部件故障時(shí)間服從指數(shù)分布,失效率λ1=1/2 500/月;第二類部件故障時(shí)間服從威布爾分布,參數(shù)為η2=100月,m2=1.8,失效率λ2(t)=1.8×t0.8/1001.8/月,故障維修所需時(shí)間Tc為0.2個(gè)月;第三類部件故障時(shí)間服從指數(shù)分布,失效率為λ3= 1/600/月,更換所需時(shí)間TR為0.1個(gè)月。通過式(1)～式(3),得到三類部件在不同周期下的瞬態(tài)貯存可用度。

當(dāng)檢測(cè)周期為12個(gè)月時(shí),第二類部件瞬態(tài)貯存可用度變化規(guī)律如圖3所示?？梢钥吹?其震蕩幅度較大,且最小瞬態(tài)貯存可用度逐漸收斂于某一定值。此外,由于維修期間部件不可用,故在首個(gè)檢測(cè)周期之后,最大瞬態(tài)貯存可用度無法達(dá)到1。

當(dāng)更換周期為12個(gè)月時(shí),第三類部件瞬態(tài)貯存可用度變化規(guī)律見圖4?？梢钥吹?在更換期間瞬態(tài)貯存可用度為0,并且除了首個(gè)更換周期外,其余周期內(nèi)的可用度變化規(guī)律相同。

圖4 第三類部件瞬態(tài)貯存可用度(更換周期12個(gè)月)

采用式(5)計(jì)算系統(tǒng)瞬態(tài)貯存可用度,并通過數(shù)值積分,得到系統(tǒng)在不同檢測(cè)周期下的平均貯存可用度,誤差為10-4。檢測(cè)和更換周期均為12個(gè)月時(shí)系統(tǒng)的平均貯存可用度變化規(guī)律見圖5。可以看到,隨著貯存時(shí)間增加,整體上平均貯存可用度呈遞減的趨勢(shì)。而在局部,除首個(gè)周期外,其余檢測(cè)/更換周期內(nèi)平均貯存可用度在呈先增后減的變化趨勢(shì),但是變化幅度逐漸減小。

分析可知,由于系統(tǒng)第二類部件故障時(shí)間服從威布爾分布,失效率隨時(shí)間逐漸增大,導(dǎo)致系統(tǒng)失效率也逐漸增大,使維修帶來的可用度提升逐漸減小。此外,在第4節(jié)中已證明系統(tǒng)平均貯存可用度隨時(shí)間增大收斂于0,故在圖中呈遞減態(tài)勢(shì)。

圖5 系統(tǒng)平均貯存可用度(檢測(cè)周期和更換周期均為12個(gè)月)

5.2 系統(tǒng)貯存壽命優(yōu)化算例

給定平均貯存可用度閾值A(chǔ)α=0.9作為貯存壽命TS的約束條件。則可根據(jù)第5.1節(jié)中得到的不同檢測(cè)/更換周期下的平均可用度值,對(duì)T進(jìn)行優(yōu)化運(yùn)算,得到系統(tǒng)最長貯存壽命T*S。

假設(shè)檢測(cè)周期最小為1個(gè)月,最大為24個(gè)月,步長為0.1個(gè)月。計(jì)算可知,當(dāng)檢測(cè)周期為6.1個(gè)月時(shí),貯存壽命達(dá)到最長,為183個(gè)月。貯存壽命和檢測(cè)周期之間的關(guān)系如圖6所示?？梢钥吹?隨著檢測(cè)周期的增大,局部范圍內(nèi)系統(tǒng)貯存壽命呈現(xiàn)周期性的先增后減鋸齒形變化規(guī)律,而從整體上看,貯存壽命先迅速增大,隨后緩慢的減小,存在最大值。

對(duì)壽命變化規(guī)律分析可知,當(dāng)檢測(cè)周期很短時(shí),由于存在維修時(shí)間和更換時(shí)間等固定的不可用時(shí)間,使正常貯存時(shí)間在總時(shí)間中的比重降低,平均貯存可用度迅速下降,因而貯存壽命較短。而當(dāng)檢測(cè)周期過大時(shí),由于第二類部件的檢測(cè)維修以及第三類部件的更換均不夠及時(shí),故障導(dǎo)致的不可用時(shí)間過長,貯存可用度不符合要求,貯存壽命同樣較短。因此,合理的檢測(cè)/更換周期大小是延長貯存壽命的關(guān)鍵。

圖6 不同檢測(cè)周期下的貯存壽命

5.3 仿真驗(yàn)證

仿真根據(jù)系統(tǒng)總貯存時(shí)間和總不可用時(shí)間來計(jì)算系統(tǒng)的平均可用度,并根據(jù)設(shè)置的平均可用度閾值計(jì)算貯存壽命。

各項(xiàng)基本參數(shù)值參見第5.1節(jié)。需要生成的隨機(jī)變量包括服從指數(shù)分布的第一、第三類部件故障時(shí)間f1、f3和服從威布爾分布的第二類部件故障時(shí)間f2。仿真運(yùn)行次數(shù)K=10 000。仿真流程如圖7所示。

圖7 仿真流程圖

部分仿真和運(yùn)算結(jié)果的對(duì)比如表1所示,其中檢測(cè)周期、維修時(shí)間和更換時(shí)間分別取不同的值,Aα=0.9。通過對(duì)比可以看到,貯存壽命的解析模型和仿真模型結(jié)果基本吻合,從而驗(yàn)證了其準(zhǔn)確性。

表1 貯存壽命模型計(jì)算值和仿真值

6 結(jié) 論

本文提出了一種以平均貯存可用度為約束的貯存壽命評(píng)估與優(yōu)化方法。給出了貯存壽命等定義的數(shù)學(xué)表達(dá)式。通過更新理論,分別推導(dǎo)了定期檢修、定期更換和無維護(hù)產(chǎn)品的瞬態(tài)貯存可用度。基于維修和更換時(shí)間的差異性,研究了系統(tǒng)貯存可用度的變化規(guī)律。以此為基礎(chǔ),證明了貯存可用度對(duì)貯存壽命約束的合理性,并確定了以檢測(cè)周期為優(yōu)化變量的貯存壽命最大化方法。算例結(jié)果表明,系統(tǒng)平均貯存可用度局部呈周期性變化,整體上遞減,且收斂于零。系統(tǒng)壽命隨檢測(cè)周期增加呈先遞增后遞減的變化規(guī)律,因而存在最優(yōu)檢測(cè)(同時(shí)也為更換)周期,使系統(tǒng)到達(dá)貯存可用度閾值的時(shí)間最長,即實(shí)現(xiàn)貯存壽命最大化。

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Life evaluation and optimization for a repairable system under the constraints of storage availability

MA Xiao-bing1,2,YANG Li1
(1.School of Reliability and Systems Engineering,Beihang University,Beijing 100191,China; 2.National Defense Key Laboratory of Science&Technology on Reliability&Environmental Engineering,Beihang University,Beijing 100191,China)

According to the character of complex long-term repairable storage systems,a method for evaluating their storage lives under the restriction of availability is presented.Such systems are composed of three kinds of serial components.The first kind of component has a high reliability with a given fault time distribution,and there are no inspections scheduled for it.The second kind of component undergoes periodic inspections,and once found failed,it is repaired to a condition as a new one.The third kind of component is preventively replaced periodically with the same cycle as the second kind.By analyzing the transient availability of each component respectively,the average availability of the whole repairable storage system is derived.Using it as a restriction,the evaluation and optimization model for the storage life of the system is established and the optimal maintenance strategy which maximizes the storage life is given.

repairable system;life evaluation;storage availability;periodic inspection;periodic replacement

TB 114.3

A

10.3969/j.issn.1001-506X.2015.03.15

馬小兵(1978-),男,副教授,博士,主要研究方向?yàn)榭煽啃怨こ獭?/p>

E-mail:maxiaobing@buaa.edu.cn

楊 力(1990-),男,碩士研究生,主要研究方向?yàn)榭煽啃越７治?。E-mail:yl19900709@126.com

網(wǎng)址:www.sys-ele.com

1001-506X(2015)03-0572-05

2014 02 11;

2014 07 31;網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期:2014 10 19。

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址:http:∥w ww.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20141019.2343.002.html

國家自然科學(xué)基金(61104133)資助課題