彭珍妮,賁 德,張 弓

(1.南京航空航天大學(xué)無人機研究院,江蘇南京210016; 2.南京航空航天大學(xué)雷達成像與微波光子技術(shù)教育部重點實驗室,江蘇南京210016)

基于混沌隨機濾波器的CS-MIMO雷達測量矩陣優(yōu)化設(shè)計

彭珍妮1,2,賁 德2,張 弓2

(1.南京航空航天大學(xué)無人機研究院,江蘇南京210016; 2.南京航空航天大學(xué)雷達成像與微波光子技術(shù)教育部重點實驗室,江蘇南京210016)

提出了一種在壓縮感知多輸入多輸出(compressive sensing-multiple input multiple output,CS-MIMO)雷達中利用混沌非線性系統(tǒng)設(shè)計隨機濾波器進而實現(xiàn)測量矩陣優(yōu)化的方法。目前,大部分研究采用高斯隨機矩陣作為測量矩陣,這類測量矩陣的局限性是,每次仿真實驗產(chǎn)生的矩陣互不相同,雷達系統(tǒng)無法實現(xiàn)在線優(yōu)化,且其對硬件要求高,實現(xiàn)困難。在CS-MIMO雷達信號模型基礎(chǔ)上構(gòu)造稀疏基,提出了基于隨機濾波器結(jié)構(gòu)的測量矩陣設(shè)計方法,利用混沌序列構(gòu)造隨機濾波器系數(shù),完成對雷達回波的壓縮觀測。同時以Gram矩陣逼近對角矩陣為準(zhǔn)則對隨機濾波等效測量矩陣進行優(yōu)化,進一步提高雷達系統(tǒng)性能。仿真結(jié)果表明所提出的基于混沌隨機濾波器的CS-MIMO雷達測量矩陣設(shè)計與優(yōu)化算法能夠有效提高波達角(direction of arrival,DOA)估計精度。

壓縮感知;多輸入多輸出雷達;測量矩陣;混沌;隨機濾波器

0 引 言

近些年,基于壓縮感知理論的多輸入多輸出(multiple input multiple output,MIMO)雷達系統(tǒng)成為雷達領(lǐng)域的一個研究熱點[12]。由文獻[3-4]提出的壓縮感知(compressive sensing,CS)理論指出,只要信號在某個域是稀疏的,就可以僅利用“壓縮觀測”后的少量數(shù)據(jù)將原始信號完整地重構(gòu)出來,突破了傳統(tǒng)的奈奎斯特采樣定理對采樣頻率的限制。在大多數(shù)場景中,雷達系統(tǒng)感興趣的目標(biāo)相對于整個探測空間是稀疏的,這使得基于CS技術(shù)的雷達信號處理獲得了廣泛研究[5]。CS-MIMO雷達的主要優(yōu)勢是接收端不需要匹配濾波,降低了系統(tǒng)復(fù)雜度;接收端的采樣率低,參數(shù)估計所需數(shù)據(jù)量少,降低了系統(tǒng)對A/D等硬件的性能要求。

設(shè)計一個優(yōu)秀的測量矩陣實現(xiàn)信號的壓縮觀測是CS的重要思想[6]?，F(xiàn)有的CS研究文獻給出了測量矩陣的設(shè)計準(zhǔn)則:由測量矩陣和稀疏基構(gòu)成的感知矩陣須滿足有限等間距(restricted isometry property,RIP)條件[7]。當(dāng)感知矩陣滿足RIP條件時,任意抽取少于K列組成的子矩陣都滿足近似正交性,從而保證兩個不同的K稀疏信號不會映射成兩個相同的壓縮域信號。在MIMO雷達系統(tǒng)中,在給定的場景信息和系統(tǒng)參數(shù)下,稀疏基主要由MIMO雷達信號模型決定,因此設(shè)計一個易于實現(xiàn)又可控的測量矩陣以降低雷達回波信號在壓縮域的互相關(guān)性,能夠提升CS-MIMO雷達性能。

目前大多數(shù)研究文獻均采用高斯或伯努利隨機矩陣作為測量矩陣[8]。這類矩陣的優(yōu)點是隨機性強,能保證感知矩陣各列間低的互相關(guān)性。但也有其自身的不足。如文獻[9]所述,對于一個由雷達信號模型決定的特定的稀疏基,高斯隨機測量矩陣未必是保證感知矩陣各列相關(guān)性充分小的最佳選擇。事實上,隨機測量矩陣在實際雷達系統(tǒng)中很難實現(xiàn),且每次產(chǎn)生的矩陣都不相同,難以實時控制滿足仿真需要。鑒于高斯隨機測量矩陣的這些特點,有學(xué)者提出將混沌非線性系統(tǒng)用于CS測量矩陣設(shè)計?；煦缡欠蔷€性系統(tǒng)所獨有且廣泛存在的一種非周期運動形式,它產(chǎn)生的混沌序列對初始值高度敏感并且具有良好的偽隨機性質(zhì)。文獻[10]利用logistic映射產(chǎn)生混沌序列構(gòu)造測量矩陣,并從數(shù)學(xué)上證明了該矩陣滿足RIP性質(zhì)。文獻[11]研究了利用不同混沌系統(tǒng)設(shè)計測量矩陣時的重構(gòu)精度問題。但CS-MIMO雷達的稀疏基和測量矩陣與普通信號不同,上述方法無法直接用于CS-MIMO雷達。文獻[12]開展了一些開拓性研究,提出了利用二維時空混沌產(chǎn)生隨機測量矩陣,并在CSMIMO雷達信號模型的基礎(chǔ)上提出了基于奇異值分解的測量矩陣優(yōu)化算法,進一步降低了感知矩陣的各列間的互相關(guān)性,提高了雷達系統(tǒng)的重構(gòu)性能。

根據(jù)上述研究現(xiàn)狀,本文提出了一種新的測量矩陣的設(shè)計方法,利用混沌非線性系統(tǒng)構(gòu)造隨機濾波器實現(xiàn)對雷達回波信號的壓縮觀測,并在此基礎(chǔ)上根據(jù)CS-MIMO雷達感知矩陣優(yōu)化思想,進一步優(yōu)化其混沌隨機濾波等效測量矩陣,使回波信號在壓縮域的互相關(guān)性進一步降低,提升CS-MIMO雷達恢復(fù)場景的精度。

1 CS-MIMO雷達信號模型

假定雷達發(fā)射窄帶信號,遠場目標(biāo)為點目標(biāo),其RCS在一個脈沖周期是不變的,不考慮多普勒效應(yīng)和雜波[13]。

MIMO雷達系統(tǒng)由Nt個發(fā)射天線和Nr個接收天線組成。發(fā)射信號和接收信號可分別表示為

式中,(·)T表示矩陣轉(zhuǎn)置;xi表示通過第i個天線發(fā)射的信號;yj表示第j個接受陣元處的信號。

用θ表示某遠場點目標(biāo)的波達角,發(fā)射和接收導(dǎo)向矢量可分別表示為

其中,

式中,d表示相鄰陣元間距;λ表示載波波長。

那么第j個接受陣元處的接收信號可表示為

式中,βk表示第k個點目標(biāo)雷達RCS比例系數(shù);ej表示引入的噪聲。

將目標(biāo)角度空間離散化為α=[α1,α2,…,αN],其中N表示離散單元格子的數(shù)目,式(5)可以寫為

式(6)可進一步寫為

式中,Ψj=bjATx,稱為稀疏基;s=[s1,s2,…,sN]T。根據(jù)CS理論,當(dāng)遠場點目標(biāo)數(shù)遠小于N時,目標(biāo)在角度空間是稀疏的,則s是一個稀疏向量,s中的非零元素表示在這個角度上有目標(biāo)存在。

通過設(shè)計一個q×NrL(q?NrL,L為一個周期內(nèi)的快拍數(shù))的測量矩陣Φ,可以得到壓縮測量后q×1維的回波數(shù)據(jù)z:

通過對s的重構(gòu)估計,即可以獲得目標(biāo)角度信息[14]。

可以看到在具體的CS-MIMO雷達系統(tǒng)中,稀疏基Ψ主要由信號模型確定,因此測量矩陣的設(shè)計對重構(gòu)精度起關(guān)鍵作用。

2 基于Logistic映射的混沌隨機濾波器設(shè)計

目前大多數(shù)研究CS的文獻選擇高斯矩陣或伯努利隨機矩陣為測量矩陣,理論可以證明這類測量矩陣Φ與任意的固定的稀疏基Ψ能夠在很大概率上使感知矩陣Θ=ΨΦ滿足RIP條件。但是隨機測量矩陣對硬件要求極高,在實際雷達系統(tǒng)中很難實現(xiàn)。因此,為了方便對雷達回波信號進行實時測量,本文研究用FIR濾波器結(jié)構(gòu)完成壓縮測量[15],如圖1所示。CS-MIMO雷達回波信號y(t)首先通過一個低速的A/D轉(zhuǎn)換器,然后通過一個長度為D的隨機FIR濾波器,接著對輸出信號進行降采樣得到測量值z。這種濾波器結(jié)構(gòu)的測量方法具有時不變性,濾波器系數(shù)h可預(yù)先設(shè)計并存儲,能夠提高應(yīng)用效率,而且在硬件上比傳統(tǒng)的隨機測量矩陣容易實現(xiàn)[16]。

圖1 基于混沌隨機濾波器的信號壓縮

如圖1所示,隨機FIR濾波器的系數(shù)采用混沌系統(tǒng)產(chǎn)生而不是用高斯隨機變量。這里選用的是研究的比較成熟的Logistic映射,一維Logistic映射數(shù)學(xué)表達式如下:

式中,xn∈(0,1),表示第n個迭代值;μ是Logistic參數(shù)。當(dāng)3.569 945 6…≤μ≤4時,系統(tǒng)進入混沌狀態(tài),迭代產(chǎn)生的值處于一種偽隨機分布狀態(tài),且μ越接近4,混沌性越強?；煦鐮顟B(tài)主要表現(xiàn)為兩個特點:一是良好的隨機性;二是對初始條件的敏感性,即初始條件的微小變化將導(dǎo)致混沌最終狀態(tài)出現(xiàn)很大差別。本文利用的正是混沌非線性系統(tǒng)的這兩個特點:利用其隨機性構(gòu)造隨機FIR濾波器系數(shù)實現(xiàn)壓縮測量,而且只需輸入混沌初始條件即可;利用其對初始條件敏感性實現(xiàn)雷達系統(tǒng)的實時在線優(yōu)化,可以獲得與稀疏基較好匹配的測量矩陣,使相應(yīng)的感知矩陣具有盡可能小的列間互相關(guān)性。

在選取濾波器系數(shù)時,先讓Logistic系統(tǒng)迭代一定的次數(shù)后,再靠后選取一段迭代值,以便更好地保證隨機性。由壓縮測量過程可知混沌隨機濾波器對應(yīng)的等效矩陣是h經(jīng)逐行移位所得,具有類Toeplitz矩陣的形式?？梢詮臄?shù)學(xué)上證明該等效測量矩陣與稀疏基構(gòu)成的感知矩陣能夠滿足RIP性質(zhì)[10]。

3 隨機濾波等效測量矩陣優(yōu)化

利用第2節(jié)提出的方法產(chǎn)生的等效測量矩陣并未考慮CS-MIMO雷達稀疏基的特點,有必要對其做進一步的優(yōu)化處理。文獻[6]從重構(gòu)算法性能角度研究了感知矩陣的歸一化互相關(guān)系數(shù)ccΘ,即矩陣各列間歸一化互相關(guān)系數(shù)的絕對值的最大值:

式中,Θi和Θj分別表示Θ的第i列和第j列。感知矩陣互相關(guān)系數(shù)越小,CS-MIMO雷達系統(tǒng)性能越好。但作為優(yōu)化準(zhǔn)則,依據(jù)式(10)難以實施。一個可行的優(yōu)化方案是研究感知矩陣的Gram矩陣G,G=ΘHΘ,G的對角元素是感知矩陣各列的自相關(guān)系數(shù),非對角元素是各列間的互相關(guān)系數(shù),因此優(yōu)化準(zhǔn)則可轉(zhuǎn)化為使感知矩陣Θ(Θ=Φ×Ψ)的Gram矩陣G盡可能地逼近對角矩陣,即

式中,G*=diag(g1,1,g2,2,…,gN,N),是一個對角矩陣,它的對角元素是感知矩陣各列的自相關(guān)系數(shù),即gi,i=ΘHiΘi。對角矩陣G*是在理想情況下,感知矩陣具有盡量小的歸一化互相關(guān)系數(shù)時的Gram矩陣。因此,當(dāng)Gram矩陣G不斷逼近對角矩陣G*時,感知矩陣Θ的歸一化互相關(guān)系數(shù)會變小,從而提高信號的恢復(fù)精度。

將式(11)作進一步的推導(dǎo),可以寫為

式中,g*=diag(g1,1,g2,2,…,gN,N);Γ是一個半酉矩陣,即ΓHΓ=Ι;c是一個常數(shù)。利用奇異值分解對式(12)進行尋優(yōu)求解,具體步驟如下:

步驟1 根據(jù)給定的CS-MIMO雷達發(fā)射信號和場景參數(shù)構(gòu)造出稀疏基Ψ;給定Logistic映射的初始值產(chǎn)生混沌序列,得到混沌隨機濾波等效測量矩陣Φ,設(shè)置迭代終止門限σ。

步驟2 由已知的測量矩陣Φ,計算出半酉矩陣Γ,具體方法是對ΦΨ(g*)-1進行奇異值分解:

其中,Σ是對角矩陣,其對角線上的元素是分解得到的奇異值?？梢缘玫?

步驟3 利用步驟2中計算得到的半酉矩陣Γ,通過下式反解出Φ:

其中,Q=Ψ(g*)-1。注意到Q中存在零元素,最小二乘估計算子無法直接應(yīng)用。這一問題可以通過奇異值分解后去除為零的奇異值來解決,方法如下:

對Q進行奇異值分解:

式中,U1和U2為酉矩陣,Δ是由非零的奇異值構(gòu)成的對角矩陣;Δ=diag(Δ1,Δ2,…,Δq);而q即為Q的奇異值中的非零元素的個數(shù)。

步驟4 利用最小二乘估計算子計算出優(yōu)化的測量矩陣:

需要說明的是,這種尋優(yōu)算法的本質(zhì)是基于循環(huán)算法的局部優(yōu)化方法,具有收斂速度快的特點[8]。但由于優(yōu)化過程中用到了兩次奇異值分解,對運算平臺的計算能力要求較高。

4 仿真結(jié)果與分析

考慮一個CS-MIMO雷達系統(tǒng),發(fā)射陣元數(shù)Nt=16,接收陣元數(shù)Nr=25,陣元均勻間隔。發(fā)射信號為正交Hadamard碼,一個周期內(nèi)的快拍數(shù)L=16。假設(shè)雷達觀測的角度范圍為[-25°,25°],壓縮后的觀測矢量維數(shù)M=25。將Logistic映射的初始值設(shè)為0.243 2,μ取4,在產(chǎn)生的混沌序列中截取一段構(gòu)造混沌隨機FIR濾波器系數(shù)。

4.1 感知矩陣的歸一化互相關(guān)系數(shù)

圖2給出的是當(dāng)CS-MIMO雷達發(fā)射波形一定時,分別采用高斯隨機測量矩陣、混沌隨機濾波器及其優(yōu)化得到的濾波器所對應(yīng)的感知矩陣的歸一化互相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計直方圖,均以0.025為間隔進行統(tǒng)計。表1給出的是對應(yīng)圖2中的感知矩陣歸一化互相關(guān)系數(shù)的平均值和最大值。由結(jié)果可見,高斯隨機矩陣與混沌隨機濾波器所對應(yīng)的感知矩陣歸一化互相關(guān)系數(shù)的平均值比較接近,但后者的最大值低于前者,相差0.196 7,由前面理論分析可知,在重構(gòu)性能方面,混沌隨機濾波器要略優(yōu)于高斯隨機矩陣。混沌隨機濾波器經(jīng)優(yōu)化算法后,感知矩陣歸一化互相關(guān)系數(shù)有明顯變化,集中于小于0.4的范圍內(nèi),其平均值和最大值分別減小了0.035 3和0.135 5,驗證了優(yōu)化算法的有效性。

圖2 感知矩陣的歸一化互相關(guān)系數(shù)統(tǒng)計直方圖

表1 感知矩陣的歸一化互相關(guān)系數(shù)統(tǒng)計表

4.2 濾波器優(yōu)化前后的DOA估計性能比較

假設(shè)遠場目標(biāo)位于[-25°,25°],雷達回波中混有均值為零的高斯白噪聲。利用OMP重構(gòu)算法實現(xiàn)DOA估計:

圖3給出的是當(dāng)目標(biāo)波達角分別為-20°,-12°,-4°, 4°,10°和18°時,采用混沌隨機濾波器及其優(yōu)化后的濾波器的DOA估計結(jié)果?？梢?利用優(yōu)化后的混沌隨機濾波器能夠?qū)?個目標(biāo)準(zhǔn)確地估計出來,而優(yōu)化前的濾波器最多只能獲得4個目標(biāo)的DOA估計,優(yōu)化后的濾波器能進一步提升CS-MIMO雷達系統(tǒng)的性能。

圖3 DOA估計結(jié)果

4.3 蒙特卡羅仿真

利用蒙特卡羅實驗來分析不同稀疏度下,即遠場目標(biāo)個數(shù)K取不同值時,采用高斯隨機測量矩陣、混沌隨機濾波器及其優(yōu)化得到的隨機濾波器所對應(yīng)的系統(tǒng)DOA估計精度。采用均方根誤差(root mean square error,RMSE)來描述其估計精度,DOA估計的均方根誤差定義為

圖4給出的是當(dāng)其他參數(shù)固定時,分別進行1 000次蒙特卡羅仿真實驗得到的DOA估計誤差隨稀疏度(目標(biāo)個數(shù))的變化曲線。可見,隨著目標(biāo)個數(shù)的增大,DOA估計誤差逐漸增大。但優(yōu)化后的濾波器對應(yīng)的估計誤差度始終低于高斯隨機矩陣和優(yōu)化前的混沌隨機濾波器;混沌隨機濾波器與高斯隨機矩陣對應(yīng)的估計誤差比較接近,這與第4.1節(jié)中的分析相吻合。

圖5給出的是當(dāng)系統(tǒng)稀疏度K=5,采用優(yōu)化后的混沌隨機濾波器時,進行1 000次蒙特卡羅實驗得到的DOA估計誤差隨Logistic映射初始值x0的變化曲線?？梢钥闯?當(dāng)x0在(0,1)之間取值時,估計誤差出現(xiàn)小幅度浮動,但誤差均在可接受的范圍之內(nèi)。出現(xiàn)浮動的原因是,logistic映射對初始值的變化十分敏感,初始值微小的差別,得到的混沌序列差別很大,從而影響隨機濾波器的系數(shù),進而影響到估計誤差?；煦缦到y(tǒng)的這一特點可以用于在線優(yōu)化,只需調(diào)整混沌初始值,可獲得與雷達稀疏基構(gòu)成的感知矩陣重構(gòu)性能較優(yōu)的隨機濾波器系數(shù),這是利用混沌序列設(shè)計濾波器系數(shù)的一個優(yōu)勢。

圖4 不同稀疏度下的DOA估計精度

圖5 不同混沌初始值下的DOA估計精度

5 結(jié) 論

本文提出了一種基于混沌隨機濾波器的CS-MIMO雷達測量矩陣優(yōu)化設(shè)計方法。利用隨機濾波器設(shè)計等效測量矩陣,隨機濾波器系數(shù)由混沌非線性系統(tǒng)產(chǎn)生,使感知矩陣能夠滿足RIP特性,避免了采用高斯隨機測量矩陣的硬件實現(xiàn)困難問題,利用混沌系統(tǒng)對初始值的敏感性還可以實現(xiàn)系統(tǒng)的在線優(yōu)化。同時,提出了基于奇異值分解的感知矩陣優(yōu)化算法,能夠有效降低感知矩陣列間相關(guān)性,從而降低了雷達目標(biāo)DOA估計誤差,顯著提高了CS-MIMO雷達系統(tǒng)性能。仿真實驗證明本文提出的測量矩陣優(yōu)化設(shè)計方法是有效可行的。

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Measurement matrix optimization for CS-MIMO radar based on chaotic random filter

PENG Zhen-ni1,2,BEN De2,ZHANG Gong2
(1.Research Institute of UAV,Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,Nanjing 210016,China; 2.Key Laboratory of Radar Imaging and Microwave Photonics,Ministry of Education, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,Nanjing 210016,China)

An optimized measurement matrix design method for compressive sensing-multiple input multiple output(CS-MIMO)radar is proposed by applying the chaotic dynamical system to random filter design.Most of the previous research takes the Gaussian random matrix as the measurement matrix.However,it cannot realize on-line optimization and is hard to be implemented in physical electric circuit.Considering that the basis matrix is obtained from the CS-MIMO radar signal model,we propose a new measurement matrix design method applying the random filter.By constructing the filter coefficients with the chaotic sequence,the CSis achieved for the received signal.Moreover,an optimization method is performed on the equivalent measurement matrix of the random filter,by making the Gram matrix approach the diagonal matrix.The simulation results show that the proposed measurement matrix design and optimization method based on the chaotic random filter can effectively improve the direction of arrival(DOA)estimation accuracy of the CS-MIMO radar.

compressive sensing(CS);MIMO radar;measurement matrix;chaos;random filer

TN 958.4

A

10.3969/j.issn.1001-506X.2015.03.09

彭珍妮(1982-),女,助理研究員,博士研究生,主要研究方向為壓縮感知雷達、雷達信號處理。

E-mail:pengzhenni@nuaa.edu.cn

賁 德(1938-),男,研究員,博士研究生導(dǎo)師,院士,主要研究方向為雷達系統(tǒng)、雷達信號處理。

E-mail:bende01@sohu.com

張 弓(1964-),男,教授,博士研究生導(dǎo)師,主要研究方向為目標(biāo)探測與識別、雷達信號處理、壓縮感知、圖像分析與處理。

E-mail:gzhang@nuaa.edu.cn

網(wǎng)址:www.sys-ele.com

1001-506X(2015)03-0532-05

2014 08 27;

2014 11 14;網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期:2015 01 28。

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址:http://w ww.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20150128.1006.001.html

國家自然科學(xué)基金(61071163,61071164,61201367,61271327,61471191);江蘇高校優(yōu)勢學(xué)科建設(shè)工程資助課題