路永樂(lè)，潘英俊，黎蕾蕾，劉 宇，彭 慧

（1. 重慶大學(xué)光電技術(shù)及系統(tǒng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400044；2. 武漢大學(xué) 測(cè)繪遙感信息工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430079；3. 光電信息感測(cè)與傳感技術(shù)重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400065；4. 中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第二十六研究所，重慶 400060）

采用雙軸加速度計(jì)的旋轉(zhuǎn)彈運(yùn)動(dòng)姿態(tài)角速率測(cè)量方法

路永樂(lè)1，潘英俊1，黎蕾蕾2，劉 宇3，彭 慧4

（1. 重慶大學(xué)光電技術(shù)及系統(tǒng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400044；2. 武漢大學(xué) 測(cè)繪遙感信息工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430079；3. 光電信息感測(cè)與傳感技術(shù)重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400065；4. 中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第二十六研究所，重慶 400060）

研究了基于哥氏加速度原理的雙軸加速度計(jì)測(cè)量旋轉(zhuǎn)彈航向角角速率與俯仰角角速率的方法。首先根據(jù)哥氏加速度原理建立了旋轉(zhuǎn)彈三維動(dòng)力學(xué)模型，得出三個(gè)軸向加速度輸出值同各軸角速率輸入值之間的轉(zhuǎn)換矩。針對(duì)旋轉(zhuǎn)彈橫滾角角速率遠(yuǎn)大于航向角角速率與俯仰角角速率的情況，建立了旋轉(zhuǎn)彈的簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)模型；基于簡(jiǎn)化模型，提出了采用雙軸正交加速度計(jì)測(cè)量橫軸與豎軸上的加速度值，來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中航向角角速率與俯仰角角速率測(cè)量的方法。應(yīng)用100 mm高射炮數(shù)據(jù)對(duì)該模型進(jìn)行驗(yàn)證，驗(yàn)證結(jié)果同理論推導(dǎo)結(jié)果完全吻合。證明基于哥氏加速度的正交雙軸加速度計(jì)測(cè)量旋轉(zhuǎn)彈航向角角速率與俯仰角角速率理論的正確性和工程實(shí)現(xiàn)的可行性。

哥氏加速度；旋轉(zhuǎn)彈；俯仰角；航向角

隨著現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)向著信息化、局部化方向發(fā)展以來(lái)，彈藥的智能精準(zhǔn)控制成為了一個(gè)重要的研究方向[1]。旋轉(zhuǎn)彈通過(guò)自身旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生陀螺力矩以克服由推力偏心、質(zhì)量偏心、氣動(dòng)偏心等引起的彈道散布，具有較強(qiáng)的抗干擾能力[2]受到了科研人員的青睞。由于高速旋轉(zhuǎn)彈從出膛、飛行、侵徹等過(guò)程需要經(jīng)歷高沖擊[3]、高動(dòng)態(tài)[4]等極其惡劣極端的物理過(guò)程使得實(shí)時(shí)準(zhǔn)確監(jiān)測(cè)并控制旋轉(zhuǎn)彈的運(yùn)動(dòng)姿態(tài)成為一大難題。

目前，測(cè)量旋轉(zhuǎn)彈運(yùn)動(dòng)姿態(tài)角速率的方法大體可以分為：①天文導(dǎo)航法：包含太陽(yáng)方位角遙測(cè)法、星敏器法，該方法受限于時(shí)間和天氣因素[4-6]；②外界輔助導(dǎo)航法：包含GPS[7]、基于光電測(cè)量的外測(cè)法[8-9]，該方法很大程度依賴于外界輔助設(shè)備；③自主導(dǎo)航法：包含陀螺儀法[10]、地磁傳感器法[3]、加速度計(jì)法[11-14]。自主導(dǎo)航方法可以不依賴外界設(shè)備，可以完全自主、實(shí)時(shí)準(zhǔn)確地獲得彈體的姿態(tài)信息。地磁傳感器法具有自主導(dǎo)航優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)，且誤差不隨時(shí)間積累，但地磁傳感器法要求不受磁性物質(zhì)的干擾，在實(shí)戰(zhàn)中很難滿足。陀螺儀法在自主導(dǎo)航中有著大量的應(yīng)用，但是光學(xué)陀螺儀、機(jī)械類陀螺儀難以承受旋轉(zhuǎn)彈在出膛、侵徹等過(guò)程中高沖擊的影響。振梁式陀螺儀[15-16]、MEMS陀螺儀具有抗沖擊的潛能，但是由于旋轉(zhuǎn)彈的高速自旋（1800 rad/s）將產(chǎn)生大的軸間干擾。傳統(tǒng)的加速度計(jì)法有三加速度計(jì)法[11]、六加速度計(jì)法[12]、九加速度計(jì)法[13]、十二加速度計(jì)法[14]，這些方法同等條件下，體積大，成本高。

鑒于彈體體積小，三個(gè)軸向角速率、動(dòng)態(tài)參數(shù)相差甚遠(yuǎn)的情況，本文提出了一種正交雙軸加速度計(jì)測(cè)量旋轉(zhuǎn)彈航向角角速率、俯仰角角速率的新方法。該方法將加速度計(jì)敏感方向分別沿橫軸、豎軸方向放置，在避免縱軸方向高沖擊的影響同時(shí)實(shí)現(xiàn)對(duì)橫軸、豎軸方向上加速度的測(cè)量，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)全程、實(shí)時(shí)、無(wú)輻射、高采樣的航向角角速率與俯仰角角速率檢測(cè)。

1 正交雙軸加速度計(jì)俯仰角角速率與航向角角速率測(cè)量原理

1.1 旋轉(zhuǎn)彈原理

傳統(tǒng)彈丸在飛行過(guò)程中，當(dāng)所受合外力不通過(guò)質(zhì)心時(shí)，合外力將導(dǎo)致彈丸翻轉(zhuǎn)[17]。在來(lái)復(fù)線的作用下彈丸將高速自旋產(chǎn)生進(jìn)動(dòng)使彈丸具有軸向穩(wěn)定性，在一定程度上消除空氣阻力等外力的影響，進(jìn)而增加系統(tǒng)瞄準(zhǔn)和直射距離。旋轉(zhuǎn)彈丸在彈道階段自旋角速度是衰減的，目前能夠較好地表述角速率和時(shí)間關(guān)系的為E.Roggla公式：

式中：ωg為彈丸膛口處自旋角速率(rad/s)，k為修正系數(shù)，L為彈丸長(zhǎng)度(m)，D為彈丸直徑(m)，ω為實(shí)時(shí)自旋角速率(rad/s)，A為彈丸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(kg·m2)。

王雨時(shí)根據(jù)實(shí)際測(cè)試結(jié)果得出E.Roggla公式的改寫(xiě)公式[18]：

角加速度與時(shí)間的半經(jīng)驗(yàn)公式：

1.2 質(zhì)點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)方程

如圖1所示，質(zhì)點(diǎn)在直角坐標(biāo)系下位置表示為：

角動(dòng)量矢量表示為：

質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度為：

式中：dr/dt為質(zhì)點(diǎn)在慣性坐標(biāo)系下的速度；?r/?t、?2r/?2t 為質(zhì)點(diǎn)在轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系下的速度和加速度；ω×r為轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系相對(duì)慣性坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)而產(chǎn)生的牽連速度；?ω/?t×r、ω×(ω×r)為因轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)而產(chǎn)生的牽連切線加速度和向心加速度；2ω×?r/?t 為哥氏加速度,其與質(zhì)點(diǎn)在轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系下的相對(duì)速度?r/?t及轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系的角速度ω有關(guān)。質(zhì)點(diǎn)在轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系中的位置r發(fā)生改變，使得質(zhì)點(diǎn)的牽連切線速度ω×r亦隨時(shí)間而改變，進(jìn)而產(chǎn)生了加速度ω×?r/?t ;轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)改變了相對(duì)速度?r/?t的方向，將產(chǎn)生加速度為ω×?r/?t ，所以質(zhì)點(diǎn)的哥氏加速度為2ω×?r/?t 。

如果質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量是m，作用在質(zhì)點(diǎn)上的合力為F，則質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為：

質(zhì)點(diǎn)的三維運(yùn)動(dòng)方程用矩陣形式表述如下：

圖 1 旋轉(zhuǎn)彈在直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)定義Fig.1 Definition of projectile in rectangular coordinate system

2 正交雙軸加速度計(jì)數(shù)學(xué)模型

旋轉(zhuǎn)彈在飛行過(guò)程中航向角角速率ωz、俯仰角角速率ωy將遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于橫滾角角速率ωx，即ωx?ωz，ωx?ωy。由于旋轉(zhuǎn)彈的小尺寸，縱軸軸向的高動(dòng)態(tài)、高沖擊，橫軸軸向、豎軸軸向的低動(dòng)態(tài)、小沖擊的特殊環(huán)境，使得：根據(jù)公式(9)可得縱軸軸向加速度為：

橫軸軸向加速度為：

豎軸軸向加速度為：

把式(2)(3)帶入式(11)(12)得：

根據(jù)式(13)(14)可以看出，在旋轉(zhuǎn)彈縱軸軸向速度已知情況下，通過(guò)測(cè)定橫軸軸向、豎軸軸向加速度值，即可計(jì)算得到旋轉(zhuǎn)彈航向角角速率、俯仰角角速率：

在現(xiàn)實(shí)環(huán)境中，重力場(chǎng)在橫軸、縱軸上將產(chǎn)生一個(gè)頻率為ωx/2π的正弦信號(hào)，橫軸、縱軸輸出信號(hào)相位相差90°。由于該信號(hào)屬于已知頻率的交流信號(hào)，通過(guò)帶阻濾波器即可消除。

3 數(shù)據(jù)驗(yàn)證

采用100 mm高射炮測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行離線Matlab仿真驗(yàn)證模型。根據(jù)文獻(xiàn)[18]報(bào)道100 mm高射炮測(cè)試出膛角速率ωx=1 800 rad/s，飛行速度V=900 m/s。設(shè)定俯仰角角速率ωy=0.01 rad/s，航向角角速率ωz=0 rad/s，加速度計(jì)距離中心軸距離分別為0.04 m、0.04 m。

飛行過(guò)程中旋轉(zhuǎn)彈自轉(zhuǎn)角速率如圖2所示，旋轉(zhuǎn)彈的橫滾角角速率隨時(shí)間呈指數(shù)衰減。該過(guò)程橫軸軸向加速度計(jì)，豎軸軸向加速度計(jì)輸出值如圖3所示，圖中藍(lán)線代表橫軸軸向加速度輸出值，紅線代表豎軸軸向加速度計(jì)輸出值。橫軸和豎軸加速度計(jì)輸出數(shù)值整體呈指數(shù)衰減規(guī)律，輸出值中存在向心加速度分量，向心加速度在旋轉(zhuǎn)彈飛行過(guò)程中只與自轉(zhuǎn)角速度相關(guān)。將橫軸和豎軸加速度計(jì)輸出值與時(shí)間關(guān)系進(jìn)行數(shù)值擬合，擬合形式為y=b?exp(a?t)，置信區(qū)間設(shè)為95%，擬合結(jié)果如表1所示。表1顯示，橫軸軸向加速度計(jì)輸出值與時(shí)間呈現(xiàn)指數(shù)衰減關(guān)系其衰減系數(shù)-0.0212，為橫滾角角速率衰減系數(shù)-0.0106的2倍，同理論值完全吻合；豎軸軸向加速度計(jì)輸出值與橫軸軸向加速度計(jì)輸出值呈同樣的規(guī)律。進(jìn)一步分析橫軸與豎軸軸向加速度計(jì)輸出值同橫滾角角速率的相關(guān)性，結(jié)果如表1所示，橫軸與豎軸軸向加速度計(jì)輸出值同橫滾角角速率相關(guān)系數(shù)同為-0.9999，由此可得，橫軸與豎軸軸向加速度計(jì)輸出值同橫滾角角速率高度相關(guān)。

圖4為橫軸與豎軸軸向加速度計(jì)輸出值經(jīng)過(guò)向心加速度補(bǔ)償后的數(shù)值，理論上橫軸軸向加速值輸出為零，豎軸軸向加速度值輸出為-18 m/s2，而從圖4中可以看出，僅僅經(jīng)過(guò)向心加速度值修正后的輸出值同理想值之間存在一定誤差。該誤差隨時(shí)間推移逐漸減小，誤差最大值0.7659 m/s2出現(xiàn)在開(kāi)機(jī)啟動(dòng)時(shí)。

表1 加速度計(jì)原始輸出數(shù)據(jù)擬合及相關(guān)性分析表Tab.1 Results of original data fitting and correlation

通過(guò)式(9)旋轉(zhuǎn)彈三維動(dòng)力學(xué)模型可知，橫軸軸向加速度計(jì)輸出值中包含向心加速度誤差、航向角角速率干擾、橫滾角角速率干擾，而后兩者統(tǒng)稱為軸間干擾。豎軸軸向加速度計(jì)輸出值同樣存在向心加速度誤差、軸間干擾誤差。因此圖4中所示誤差為軸間干擾誤差所致。

由于橫滾角角速率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其他兩個(gè)軸向的輸入，因此在旋轉(zhuǎn)彈飛行過(guò)程中軸間干擾誤差主要由橫滾角角速率產(chǎn)生。采用指數(shù)函數(shù)y=b?exp(a?t)對(duì)軸間干擾誤差同時(shí)間的關(guān)系進(jìn)行擬合，結(jié)果如表 所示。更一步驗(yàn)證軸間干擾誤差同橫滾角角速率、俯仰角角速率、航向角角速率的關(guān)系，分別求得軸間干擾誤差同橫滾角角速率、俯仰角角速率、航向角角速率的相關(guān)系數(shù)如表2所示。從表2可得，軸間干擾誤差隨時(shí)間的衰減系數(shù)-0.0212，軸間干擾誤差與橫滾角角速率相關(guān)系數(shù)為0.9999呈高度相關(guān)，與俯仰角角速率、航向角角速率無(wú)關(guān)。

基于此將數(shù)據(jù)帶入(13)(14)的簡(jiǎn)化模型，將簡(jiǎn)化模型豎軸輸出同加速度計(jì)輸出進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果對(duì)比如圖5所示。簡(jiǎn)化模型輸出值同加速度計(jì)輸出值重合，說(shuō)明在俯仰角角速率、航向角角速率遠(yuǎn)小于旋轉(zhuǎn)彈橫滾角角速率的情況下，忽略俯仰角角速率和航向角角速率的影響是合理的。

表 2 加速度計(jì)誤差數(shù)據(jù)擬合及相關(guān)性分析表Tab.2 Results of original data fitting and correlation

圖2 自旋角速度同時(shí)間關(guān)系圖Fig.2 Roll angle vs. time

圖3 雙軸加速度計(jì)輸出值Fig.3 Output of acceleration

圖4 軸間干擾效果圖Fig.4 Effect of interference among axes

圖5 簡(jiǎn)化模型與加速度計(jì)輸出值對(duì)比圖Fig.5 Result of the simplified model vs. acceleration

圖6 補(bǔ)償后加速度計(jì)輸出值Fig.6 Compensated result of acceleration

對(duì)加速度計(jì)輸出值同時(shí)進(jìn)行向心加速度誤差和軸間干擾誤差補(bǔ)償，補(bǔ)償結(jié)果如圖6所示。經(jīng)過(guò)補(bǔ)償后的加速度計(jì)輸出從本質(zhì)上抑制向心加速度誤差和軸間干擾誤差的影響。最后通過(guò)式(15)(16)解算得俯仰角角速率ωy=0.01 rad/s，航向角角速率ωz=0 rad/s，同真實(shí)值吻合。

4 結(jié) 論

本文分析了旋轉(zhuǎn)彈在慣性坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，建立了旋轉(zhuǎn)彈的三維動(dòng)力學(xué)模型，得出三個(gè)軸向加速度輸出值同各軸角速率輸入值之間的轉(zhuǎn)換矩陣。根據(jù)橫滾角角速率遠(yuǎn)大于航向角角速率與俯仰角角速率的情況，進(jìn)一步簡(jiǎn)化得出了旋轉(zhuǎn)彈的三維動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)化模型?；诖?，提出了采用雙軸加速度計(jì)測(cè)量旋轉(zhuǎn)彈航向角角速率與俯仰角角速率的方法。根據(jù)旋轉(zhuǎn)彈三維動(dòng)力學(xué)模型得出向心加速度和軸間干擾是影響測(cè)量精度的主要誤差。針對(duì)向心加速度和軸間干擾的產(chǎn)生機(jī)理得出橫滾角角速率是產(chǎn)生這兩種誤差的根源，通過(guò)加速度計(jì)輸出值與橫滾角角速率做相關(guān)性分析，數(shù)據(jù)顯示：兩種誤差同橫滾角角速率相關(guān)系數(shù)均為0.9999，屬高度相關(guān)。根據(jù)兩種誤差同橫滾角角速度的對(duì)應(yīng)關(guān)系，建立了利用補(bǔ)償后加速度計(jì)輸出值進(jìn)行旋轉(zhuǎn)彈航向角與俯仰角角速率求解的算法模型，采用100 mm高射炮一個(gè)飛行過(guò)程中的數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，數(shù)據(jù)驗(yàn)證結(jié)果同初設(shè)值完全吻合，證明了理論模型的正確性和工程實(shí)現(xiàn)的可行性。

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Measurement method of projectile’s heading and pitching angle velocities based on biaxial accelerometer

LU Yong-le1, PAN Ying-Jun1, LI Lei-lei2, LIU Yu3, PENG Hui4
(1. Key Lab. of Opto-Electronic Technology & System, Ministry of Education, Chongqing University, Chongqing 400044, China; 2. State Key Lab. of Information Engineering in Surveying, Mapping and Remote Sensing, Wuhan University, Wuhan 430079, China; 3. Chongqing Municipal Level Key Laboratory of Photoelectronic Information Sensing and Transmitting Technology, Chongqing 400065, China; 4. 26th Institute of China Electronics Technology Group Corporation, Chongqing 400060, China)

A measurement method of projectile’s heading angle velocity and pithing angle velocity based on the orthogonal biaxial Coriolis acceleration is proposed. In this study, a three-dimension dynamic model of the projectile in the inertial space is established based on the Coriolis acceleration principle. The transition matrix from angular velocity along the three axes to the acceleration for the three axes is obtained. The simplified dynamic model of the projectile is given as the values of roll angle velocity which are much bigger than the angle velocity value of heading or pitching. Based on this principle, the value of the heading angel velocity or pitching angle velocity can be measured by calculating the accelerations of the pitching axis and heading axis. The numerical simulation results of 100 mm anti-aircraft agree with the theoretical deduction results. The proposed method provides an effective theoretical guidance for measuring the projectile’s heading and pitching angle velocities based on the accelerometer.

Coriolis acceleration; spinning projectile; pitching angle; heading angle

V324.2+3

A

1005-6734(2015)02-0160-05

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2015.02.005

2014-10-28；

2014-11-20

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51175535）；中國(guó)博士后科學(xué)基金（2012M521470）

路永樂(lè)（1985—），男，博士研究生，從事慣性傳感器及系統(tǒng)研究，中國(guó)慣性技術(shù)學(xué)會(huì)會(huì)員。

聯(lián) 系 人：黎蕾蕾（1981—），男，博士后。E-mail：lill@cqu.edu.cn