馮 豐，付海明，雷陳磊，張 杰，趙洪亮，朱 輝

（東華大學(xué) 環(huán)境科學(xué)與工程學(xué)院，上海 201620）

考慮反彈行為的單纖維過(guò)濾穩(wěn)態(tài)捕集效率的數(shù)值模擬

馮 豐，付海明，雷陳磊，張 杰，趙洪亮，朱 輝

（東華大學(xué) 環(huán)境科學(xué)與工程學(xué)院，上海 201620）

采用穩(wěn)態(tài)單纖維表面粉塵樹枝生長(zhǎng)隨機(jī)模擬，并考慮纖維過(guò)濾中氣溶膠粒子碰撞反彈行為，討論穩(wěn)態(tài)下斯托克斯數(shù)（St）與哈梅克常數(shù)（H）對(duì)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的影響，計(jì)算分析了St與H對(duì)穩(wěn)態(tài)單纖維捕集效率的影響.研究結(jié)果表明：當(dāng)H值一定時(shí)，考慮反彈的捕集效率與不考慮反彈的捕集效率可以按斯托克斯數(shù)臨界值Stc為分界點(diǎn)寫成分段函數(shù)，通常1.0≤Stc≤3.5，在St≤Stc的階段，考慮反彈的捕集效率與不考慮反彈的捕集效率相等，且與文獻(xiàn)研究結(jié)果基本吻合；在St＞Stc階段，考慮反彈的捕集效率小于不考慮反彈的捕集效率，需對(duì)文獻(xiàn)研究結(jié)果進(jìn)行修正，修正結(jié)果為文獻(xiàn)研究結(jié)果乘以反彈系數(shù)k，k是St、攔截系數(shù)Rp、填充率c及H的函數(shù).

纖維過(guò)濾；粒子反彈；捕集效率；數(shù)值模擬

隨著工業(yè)的迅猛發(fā)展，空氣污染日益嚴(yán)重，大量微粒尤其是氣溶膠粒子（指懸浮在空氣中的固體或液體粒子物）對(duì)人類生存環(huán)境和健康產(chǎn)生了嚴(yán)重的威脅.目前，解決空氣質(zhì)量問(wèn)題最有效的方法之一是空氣過(guò)濾［1］.國(guó)內(nèi)外已有學(xué)者在不考慮粒子碰撞反彈作用條件下，對(duì)纖維介質(zhì)的過(guò)濾性能進(jìn)行了詳細(xì)的實(shí)驗(yàn)及數(shù)值研究［2-4］，而實(shí)際過(guò)濾過(guò)程中，通常存在反彈作用，其作用大小與纖維材料相關(guān)，文獻(xiàn)中單纖維捕集效率的計(jì)算結(jié)果往往高于實(shí)際的捕集效率.目前，考慮粒子碰撞反彈作用的研究報(bào)道較少.

本文使用隨機(jī)模擬方法，考慮粒子碰撞反彈后的運(yùn)動(dòng)特性，對(duì)纖維表面的反彈行為進(jìn)行數(shù)值模擬，并在考慮反彈作用情況下，研究單纖維捕集效率與斯托克斯數(shù)（St）及哈梅克常數(shù)（H）的函數(shù)關(guān)系.

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 Kuwabara模型

Kuwabara單纖維模型［5］用于分析纖維過(guò)濾介質(zhì)表面塵粒捕集問(wèn)題，其流場(chǎng)示意圖如圖1所示.由圖1可知，圓柱單纖維垂直氣流方向置于Kuwabara流場(chǎng)單元的中心，控制面隨機(jī)產(chǎn)生的粉塵粒子在流動(dòng)阻力作用下向纖維運(yùn)動(dòng).粒子以速度U進(jìn)入流場(chǎng)，其徑向速度分量為U r，法向速度分量為Uθ.

圖1 Kuwabara流場(chǎng)單元模型Fig.1 Model of Kuwabara flow cell

Kuwabara流場(chǎng)的邊界條件：在纖維表面上速度等于零，在流場(chǎng)邊緣處的旋度等于零，徑向速度為Ucosθ.引入下列無(wú)量綱參量：

則在圖1所示直角坐標(biāo)系下粒子運(yùn)動(dòng)方程為

其中：St為表征粒子慣性的斯托克斯數(shù)；rf為纖維半徑，m；u∞為主流平均速度（即過(guò)濾風(fēng)速），m／s；u x和u y為氣流繞纖維流動(dòng)速度分量，m／s.

在圖1所示的直角坐標(biāo)下，Kuwabara流場(chǎng)速度在x軸和y軸方向分量按式（3）計(jì)算

式中：ψ為流函數(shù)，m2／s，其解為

其中：U為氣流的參照速度，m／s，U＝U0／（1-c），U0為未受干擾的流體速度，c為填充率；r′＝r／rf，r′為無(wú)量綱徑向坐標(biāo)；Ku為Kuwabara動(dòng)力學(xué)因子，由式（5）確定

對(duì)給定的初始速度和位置，采用四階Rung-Kutta方法對(duì)式（1）和（2）數(shù)值積分獲得粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡［6-7］.

1.2 粒子碰撞反彈模型

本文采用 Dahneke［8-10］碰撞反彈理論分析纖維過(guò)濾中粒子碰撞反彈行為，其模型如圖2所示.

圖2 捕集體表面粒子碰撞反彈模型Fig.2 Model of particle impact and rebound on collector surface

輸送粒子以速度vi與纖維或已沉積粒子發(fā)生碰撞，其法向碰撞速度分量為vi，n，切向碰撞速度分量為vi，t；粒子反彈速度為vr，法向反彈速度分量為vr，n，切向反彈速度分量為vr，t.根據(jù)能量守恒原理，粒子碰撞前后的能量守恒方程式為

式中：Ek，in為粒子沿法向的碰撞動(dòng)能；Ek，rn為粒子沿法向的反彈動(dòng)能；Ep，i和Ep，r分別為粒子碰撞前后的動(dòng)力學(xué)勢(shì)能；e為碰撞彈性恢復(fù)系數(shù).由式（6）可知，粒子被捕集的條件為反彈動(dòng)能Ek，rn＝0，假設(shè)Ep，i＝Ep，r＝Ew，則粒子反彈臨界速度vcr表示為

式中：mp為粒子質(zhì)量，kg.若粒子碰撞法向速度vi，n＞vcr，則粒子發(fā)生反彈；反之，粒子被捕集.

1.3 單纖維捕集效率

單纖維捕集效率通常分為穩(wěn)態(tài)捕集效率及非穩(wěn)態(tài)捕集效率.當(dāng)不考慮已沉積顆粒對(duì)捕集效率的影響時(shí)，為穩(wěn)態(tài)捕集效率；當(dāng)考慮隨過(guò)濾時(shí)間的增加，已沉積顆粒成為新的捕集體，使捕集效率隨沉積量變化時(shí)，為非穩(wěn)態(tài)捕集效率［11-12］.

本文對(duì)過(guò)濾初期穩(wěn)態(tài)捕集效率進(jìn)行研究，此時(shí)不考慮已沉積粒子對(duì)隨后來(lái)流粒子沉積的影響，僅由纖維體本身對(duì)粒子進(jìn)行捕集，采用基于極限軌跡的單纖維捕集效率計(jì)算方法.令t時(shí)間內(nèi)通過(guò)控制面的粒子數(shù)為N，其中被捕集的粒子數(shù)為N0，則穩(wěn)態(tài)單纖維捕集效率η的計(jì)算式可表示為

2 結(jié)果與分析

本文討論粒子直徑dp＞0.5μm的情形，并忽略其他外力場(chǎng)作用，因此，粒子捕集機(jī)制為攔截效應(yīng)和慣性碰撞.H為表征物質(zhì)之間范德華吸引能大小的參數(shù).選取不同H作為影響粒子碰撞反彈作用的綜合參量，H越小，意味著粒子的黏附能越小，與捕集體碰撞后越容易發(fā)生反彈作用.H＝∞表示非反彈碰撞，即粒子一旦與沉積粒子或纖維發(fā)生碰撞，粒子就被捕集.纖維長(zhǎng)度取Lf＝50μm.

由于氣流中粒子分布的隨機(jī)特征，每次模擬結(jié)果為一次隨機(jī)事件，因此，在相同計(jì)算條件下執(zhí)行多次模擬結(jié)果的平均才具有統(tǒng)計(jì)意義.穩(wěn)態(tài)單纖維捕集效率隨取平均值的數(shù)據(jù)組數(shù)的增加而變化的趨勢(shì)如圖3所示，其中，縱坐標(biāo)為多次重復(fù)模擬計(jì)算效率的平均值η，Rp為攔截系數(shù).由圖3可知，在模擬次數(shù)為25次之后的捕集效率平均值已趨于穩(wěn)定，因此，在本文的計(jì)算中，每種計(jì)算條件下執(zhí)行30次重復(fù)模擬，然后對(duì)計(jì)算結(jié)果取平均值.

不同St值下粒子反彈作用對(duì)輸送粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的影響如圖4所示.模擬計(jì)算中所需參數(shù)如下：H＝1×10-19J，纖維直徑df＝10μm，dp＝1μm，粒子密度ρp＝1 g／cm3，c＝0.05，vi＝0.1 m／s.由圖4可知，當(dāng)St值比較小時(shí)，粒子仍按照原有運(yùn)動(dòng)軌跡運(yùn)動(dòng)，例如St＝0.1時(shí)粒子與纖維碰撞后幾乎沒(méi)有反彈；隨著St值的增大，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡發(fā)生了明顯的變化，與纖維碰撞后的反彈越來(lái)越劇烈，導(dǎo)致纖維背風(fēng)處的“遮蔽區(qū)”越來(lái)越大，更多的粒子反彈后即逃逸，造成纖維捕集效率降低，例如St值從1.0增大到4.0時(shí)，粒子與纖維碰撞后被反彈的部分也隨之增加，造成被捕集的粒子越來(lái)越少，捕集效率越來(lái)越低.

圖3 捕集效率平均值隨數(shù)據(jù)組數(shù)增大而變化的趨勢(shì)圖Fig.3 The average of collection efficiency with the increase of the number of data sets

圖4 St值對(duì)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的影響Fig.4 Effect of Stokes number on particle trajectories

不同H值下粒子反彈作用對(duì)輸送粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的影響如圖5所示.模擬計(jì)算中所需參數(shù)如下：df＝10μm，dp＝2μm，ρp＝1 g／cm3，c＝0.05，vi＝1 m／s.由圖5可知，當(dāng)H值很小時(shí)，粒子與纖維碰撞后幾乎都被反彈；隨著H值越來(lái)越大，粒子與纖維碰撞后反彈的頻率越來(lái)越小，反彈效果越來(lái)越弱；當(dāng)H值足夠大時(shí)，粒子與纖維碰撞后幾乎不再被反彈.

圖5 H值對(duì)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的影響Fig.5 Effect of H on particle trajectories

不考慮反彈時(shí)捕集效率模擬數(shù)據(jù)與經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算結(jié)果的對(duì)比如圖6所示，其中的模擬數(shù)據(jù)線為誤差圖表示方式，上下點(diǎn)分別為模擬計(jì)算中該組捕集效率值中的最大值與最小值.模擬計(jì)算中所需參數(shù)如下：df＝10μm，dp＝1μm，ρp＝1 g／cm3，c＝0.05.

圖6 無(wú)反彈捕集效率的模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)研究比較Fig.6 Comparison of collection efficiency between simulated collection efficiency and experimental results without rebounding

由圖6可知，捕集效率模擬數(shù)據(jù)與Davies修正公式及Torgeson公式［13］的計(jì)算結(jié)果和變化趨勢(shì)基本一致，兩個(gè)公式的部分計(jì)算結(jié)果也在模擬數(shù)據(jù)的最大值與最小值范圍內(nèi).隨著St值的增大，捕集效率η整體遞增，這說(shuō)明穩(wěn)態(tài)情況或非穩(wěn)態(tài)情況下的顆粒沉積初始階段，St值對(duì)顆粒的捕集起著決定性的作用，這與經(jīng)典纖維過(guò)濾理論的結(jié)論吻合［13］.圖6中Torgeson公式為

Davies公式為

考慮填充率的修正公式為

不同H值下St對(duì)單纖維捕集效率的影響如圖7所示.模擬計(jì)算中所需參數(shù)如下：df＝10μm，ρp＝1 g／cm3.由圖7可知，在St值較小時(shí)，St對(duì)反彈影響很小，幾條反彈曲線基本重合，與不考慮反彈時(shí)的效率變化曲線接近一致，捕集效率都隨著St值的增大而增大.當(dāng)St值大于某一個(gè)臨界值以后，St對(duì)于反彈的影響開始變得很顯著.不考慮反彈時(shí)，捕集效率曲線仍舊隨著St的增大而增大；考慮反彈時(shí)，在St值大于該臨界值的區(qū)域捕集效率有一個(gè)驟降，之后捕集效率的減小速度開始變慢，最終趨向于一個(gè)穩(wěn)定值.這是因?yàn)镾t值大于反彈臨界值的粒子具有較大慣性，與纖維表面發(fā)生碰撞頻率較高，碰撞后發(fā)生反彈的頻率也較高，所以造成捕集效率驟降.由于反彈頻率有一個(gè)上限，不能無(wú)限制增長(zhǎng)，所以最終捕集效率趨向穩(wěn)定值，而St值小于反彈臨界值的粒子慣性較小，與纖維碰撞的頻率較低，捕集效率仍然會(huì)提高.此外，當(dāng)St大于臨界值且H比較小時(shí)，捕集效率比較低，當(dāng)H變大時(shí)，捕集效率也相應(yīng)變高，且H越大，該St的臨界值越大.當(dāng)Rp＝0.1，c＝0.05時(shí)，臨界Stc范圍為1.0≤Stc≤1.5；當(dāng)Rp＝0.5，c＝0.15時(shí)，Stc范圍為1.0≤Stc≤3.5.

圖7 不同H值下St對(duì)單纖維捕集效率的影響Fig.7 Effect of Stokes number on collection efficiency in different H

不同H值下反彈捕集效率／無(wú)反彈捕集效率與St之間的關(guān)系如圖8所示.由圖8可知，當(dāng)St≤Stc時(shí)，考慮反彈的捕集效率（η反）與不考慮反彈的捕集效率（η0）變化一致；當(dāng)St＞Stc時(shí)，η反／η0隨St值變大而減小，關(guān)系圖像近似為反比例函數(shù)圖象.將此兩種關(guān)系寫成表達(dá)式，有

式中：k＝f（St，Rp，c，H），在Rp和c一定的情況下，H值越大時(shí)，k值越大，Stc也越大.式（12）說(shuō)明，在以往的過(guò)濾研究中，忽略粒子反彈作用是不準(zhǔn)確的，考慮粒子反彈作用與否與該捕集過(guò)程的Stc有關(guān)，而Stc與Rp，c，H的關(guān)系，以及k與Stc，Rp，c，H的關(guān)系，需要進(jìn)一步深入研究.

圖8 η反／η0與St的關(guān)系Fig.8 Relationship betweenη反／η0 and Stokes number

3 結(jié) 語(yǔ)

（1）本文采用計(jì)算機(jī)模擬的方法，對(duì)考慮粒子反彈作用下穩(wěn)態(tài)單纖維過(guò)濾介質(zhì)表面粒子的沉積進(jìn)行了模擬，觀察粒子在不同斯托克斯數(shù)St時(shí)和不同H值時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡.由粒子運(yùn)動(dòng)軌跡可以看出，在H一定時(shí)，St值越大，反彈越劇烈；在St一定時(shí)，H值越小，反彈越劇烈.

（2）對(duì)數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行分析，隨著St值的增大，考慮反彈與不考慮反彈的捕集效率變化在初始基本一致，到某一個(gè)St臨界值之后（通常1≤Stc≤3.5），考慮反彈的捕集效率均低于不考慮反彈時(shí)的捕集效率.這是由于St較大的粒子具有較大慣性，與纖維表面發(fā)生碰撞頻率較高，碰撞后發(fā)生反彈的頻率也較高，較小粒徑粒子與纖維碰撞的頻率較低.

（3）不考慮反彈行為時(shí)，模擬結(jié)果與文獻(xiàn)研究結(jié)果基本吻合.在Rp和c一定的情況下，當(dāng)H值一定時(shí)，考慮反彈的捕集效率與不考慮反彈的捕集效率可以按St臨界值為分界點(diǎn)寫成分段函數(shù)，在St≤Stc階段，兩者相等，且等于文獻(xiàn)研究結(jié)果；在St＞Stc階段，考慮反彈的捕集效率小于不考慮反彈的捕集效率，需對(duì)文獻(xiàn)研究結(jié)果進(jìn)行修正，修正結(jié)果為文獻(xiàn)研究結(jié)果乘以反彈系數(shù)k，k是斯托克斯數(shù)St、攔截系數(shù)Rp、填充率c及哈梅克常數(shù)H的函數(shù)，在Rp和c一定的情況下，H值越大時(shí)，k值越大，St的臨界值也越大.

［1］付海明，沈恒根.纖維過(guò)濾器過(guò)濾理論的研究進(jìn)展［J］.中國(guó)粉體技術(shù)，2003，9（1）：41-46.

［2］CAI J.Some remarks on efficiency due to dendrite formation［J］.Journal of Aerosol Science，1989，20（8）：959-962.

［3］THOMAS D，PENICOT P，CONTAL P，et al.Clogging of fibrous filters by solid aerosol particles experimental and modeling study［J］.Journal of Aerosol Science，2001，56（11）：3549-3561.

［4］SONG C B，PARK H S，LEE K W.Experimental study of filter clogging with monodisperse PSL particles［J］.Powder Technology，2006，163（3）：152-159.

［5］KUWABARA S. The forces experienced by randomly distributed parallel circular cylinders or spheres in a viscous flow at small Reynolds numbers［J］.Journal of the Physical Society of Japan，1959，14（4）：527-532.

［6］朱輝，付海明，亢燕銘.單纖維過(guò)濾介質(zhì)表面塵粒捕集的隨機(jī)模擬［J］.環(huán)境工程學(xué)報(bào)，2010，4（8）：1881-1886.

［7］朱輝，付海明，亢燕銘.纖維表面氣溶膠粒子沉積與反彈行為數(shù)值模擬［J］.中南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013，44（7）：3086-3094.

［8］DAHNEKE B.The capture of aerosol particles by surfaces［J］.Journal of Colloid and Interface Science，1971，37（2）：342-353.

［9］DAHNEKE B.The influence of flattening on the adhesion of particles［J］.Journal of Colloid and Interface Science，1972，40（1）：1-13.

［10］DAHNEKE B.Measurements of bouncing of small latex spheres［J］.Journal of Colloid and Interface Science，1973，45（3）：584-590.

［11］FU H M.Simulation and prediction on pressure drop during fibrous filters clogged by microbiology particles［J］.Journal of Investigative Medicine，2013，61（4）：S24.

［12］FU H M.3D model for predicting pressure drop and permeability in fibrous porous media ［J］.Journal of Investigative Medicine，2013，61（4）：S22.

［13］DAVIES C N.Air filtration［M］.New York：Academic Press Inc，1973.

Numerical Simulation of Stationary Collection Efficiency of a Single Fiber Filtration Considering the Rebounding Behavior

FENGFeng，F(xiàn)UHai-ming，LEIChen-lei，ZH ANGJie，ZHAOHong-liang，ZHUHui

（School of Environmental Science and Engineering，Donghua University，Shanghai 201620，China）

By using stochastic simulation technique in the growing process of particle dendrites on a single fiber and considering the behavior of aerosol particles collision，adhesion and rebound on surface of fibers，the effects of Stokes number（St）and Hamake constant（H）on particle trajectories in steady state were investigated.The effects ofStandHon stationary collection ef ficiency of a single fiber were examined.The results show that whenHis a fixed value，the relationship between rebounding collection efficiency and no-rebounding collection efficiency can be written as a piecewise function which the demarcation point isStc，these two are equal in the stage of the value ofStis less than or equal toStc，and the findings are consistent with the literature；whenStis greater thanStc，rebounding collection efficiency is less than no-rebounding collection efficiency，the research results are revised，multiplied by rebounding coef ficientk，kis a function ofSt，intercept coefficientRp，filling rateCandH.

fiber filtration；particles bounce；collection efficiency；numerical simulation

TQ 021；TU 834；X 701.2

A

2014-04-25

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51178094；41371445）

馮 豐（1990—），男，陜西寶雞人，碩士研究生，研究方向?yàn)榻ㄖh(huán)境空氣質(zhì)量控制.E-mail：fengfengbj0917＠163.com

付海明（聯(lián)系人），男，高級(jí)工程師，E-mail：fhm＠dhu.edu.cn

1671-0444（2015）05-0682-07