張子超

【編者的話】“刪繁就簡(jiǎn)三秋樹”是揚(yáng)州八怪鄭板橋的一句詩(shī)，意思是繪畫作文要像深秋的樹褪去繁枝茂葉，以最少的筆墨表達(dá)豐富的意蘊(yùn)，達(dá)到以簡(jiǎn)馭繁的藝術(shù)效果.在解數(shù)學(xué)應(yīng)用題時(shí)，我們經(jīng)常會(huì)遇到多個(gè)變量的情況，這時(shí)如果能分析條件與條件、條件與結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系，把握量與量之間的關(guān)系，從而選擇其中一個(gè)或極少數(shù)幾個(gè)變量作為基本變量，將其他量用它（們）簡(jiǎn)潔地表示出來(lái)，建立函數(shù)或不等式求解，就能感受到“消元法”的威力，下面我們用消元法來(lái)探討兩個(gè)三角應(yīng)用題.

1.如圖1，某地有三個(gè)村莊，分別位于等腰直角三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)處，已知AB=AC=6 km，現(xiàn)計(jì)劃在BC邊的高AO上一點(diǎn)P處建造一個(gè)變電站.記P到三個(gè)村莊的距離之和為y.變電站建于何處時(shí)，它到三個(gè)小區(qū)的距離之和最??？

拿到題目乍一看，有點(diǎn)摸不著頭腦，不知該如何下手.此題并沒有給出明確的白變量，需要我們自己選擇適當(dāng)?shù)淖宰兞縼?lái)進(jìn)行建模求解.這時(shí)先不要急于考慮如何選擇自變量，而是應(yīng)該先考慮題目究竟讓我們求什么.

這道題求的是變電站到三個(gè)小區(qū)距離之和的最小值，也就是點(diǎn)P到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和的最小值.那么先把距離之和寫成數(shù)量關(guān)系，即

V=AP+BP+CP=AP+2BP，

①

表達(dá)式雖然寫出來(lái)了，但存在多個(gè)未知量，我們圍繞著①式中的未知量，再深入分析這個(gè)三角形中各個(gè)量之間的關(guān)系，

由題意知

這里一共有y，AP，BP，PO，∠PBO五個(gè)未知量和四個(gè)等式，我們可以用消元的思想把y表示成其余四個(gè)變量中任意一個(gè)變量的表達(dá)式，然后根據(jù)該變量定義域的范圍求解y的最小值.

這時(shí)我們還需要再思考一下，AP，BP，PO，∠PBO中選擇哪個(gè)作為自變量最合適呢？看到這，也許有同學(xué)會(huì)有疑問(wèn)：為何要寫出④式，由前三個(gè)式子不就可以把y化為PO的表達(dá)式了嗎？