鄭天丕，梁堅平，王水君，趙玲玲

(寧波福特繼電器有限公司，浙江寧波，315012)

綜述與簡介

繼電器的可靠性(壽命)表征及求解簡介

鄭天丕，梁堅平，王水君，趙玲玲

(寧波福特繼電器有限公司，浙江寧波，315012)

本文介紹兩種可靠性表征及求解法。其中詳細介紹Weibull函數的圖解法及最大似然估計法，并列舉三個典型的折線Weibull的圖解法，著重介紹Weibull分布的兩個參數、形狀參數(m)、和征壽命(η)及使用壽命B10的置信度區(qū)間的求解辦法，并指出累計危險方格繪圖紙圖解及最大似然估計法的缺陷。

使用壽命；失效率；折線Weibull；最大似然估計法；置信度

1 引言

用戶常問：“既然廠家給了使用壽命(額定壽命)，為什么在使用壽命次數內還會有產品失效？使用壽命期間，每動作一次的失效幾率有多少?”“廠家是如何確定產品的使用壽命？靠得住嗎？有多少可信度?”為此，我們在這里介紹產品壽命的可靠性表征及其解(包括置信度)，起著拋磚引玉作用。

2 可靠性的表征

早期壽命的可靠性被定為額定壽命區(qū)間的最大失效率。以MIL 為例，其出發(fā)點是假設壽命區(qū)間的失效率是恒定的，與動作次數無關。軍方也承認恒定失效率的假設有時是不對的，但它提供一個合適的比較數據。其代表M6106 、M39016、M83536等。而IEC則是瞬間時失效率來表示，失效率與動作次數(時間)有關。其代表為IEC255-0-20、IEC60255-23。 MIL規(guī)定：鑒定時置信度取90%，維持鑒定取60%。置信度：“估計是正確的概率”(即可信度)。IEC沒明確規(guī)定是置信度，一般為60% 左右。

本世紀初出現用使用壽命來表示可靠性。使用壽命(useful Life)：“連續(xù)循環(huán)次數或時間，直到確定的失效百分數為止?！盜EC61810-2：2005、2015規(guī)定：“這個百分數本標準定為10%?！盡IL-PRF-32140：2004規(guī)定：“這個百分數最大為1%”。換句話說，在使用壽命期間(額定壽命)會有10%或1%的產品失效?；蚯艺fIEC規(guī)定壽命的可靠性為90%，MIL規(guī)定壽命的可靠性至少為99%。若是有可靠性指標的產品，還要加上置信度進行修改。IEC為90%，MIL為95%。可靠性的兩個典型表征如表1所示。

是否提供有可靠性指標的產品，MIL 與IEC截然不同。MIL 規(guī)定是強制性的，廠家必須滿足軍方提出的各項指標，包括壽命次數、失效率及置信度。IEC卻規(guī)定可靠性指標是非強制性的，由廠家自己決定，提出來供用戶使用。但一旦提出，其置信度必須是90%。

表1 壽命可靠性的兩種表征

3 求解

3.1 Weibull分布的有關符合號及表達式

f(t ) 概率密度函數

(1)

F(t) 累計分布函數(失效的概率)

(2)

R(t ) 可靠性函數(存在的概率)

(3)

h(t) 危險函數(瞬時失效率)

(4)

H(t) 累計危險函數

(5)

t次數或時間

mWeibull函數的形狀參數

ηWeibull函數的尺度參數(又稱特征壽命)

3.2 weilbull函數的求解

IEC和MIL都是用Weibull函數來求得使用壽命。

3.2.1 圖解法

3.2.1.1Weibull概率紙

3.2.1.2Weibull圖解原理

圖解的關鍵是求F(ti),即中位秩的求法，有：

(6)

這里n為試驗樣品數，i為失效序數。因為F(ti )是服從自由度為(n +1-i)的β分布，中位秩實際是置信度為50%的β0.5(n+1-i)的分位點的值，(6)式是它的高度近似值。

有了F(ti)就可以列出(ti-F(ti)的對照表，同時應填上失效模式，然后在Weibull概率紙上描點(ti-F(ti)的點，最后回歸成一直線。

∴A1n(t)+B=m1n(t)-m1n(η)=Y

當y=0(F(to)=0.32)時，x軸與回歸線的交點為(tη0),則有:

Y=m1n(tη)-m1n(η)=0

∴1n(tη)=1n(η)η=tη

回歸線與x軸的交點所對應的tη即為η值。

平移回歸線過(1,0)點,其斜率不變,則其與y軸的交點所對應的y值即為(-m)。

找出F(t10)=10%的橫線，它與回歸線的交點，所對應的t10值即為B10。

3.2.2 累計危險方格繪圖紙圖解

累計危險方格繪圖紙如圖2所示。正常坐標：(t-H(t))為對數劃分，無(0 0)點。中間坐標x[ln(t)]-y[ln(H(t))]等分，無劃分線，僅在上方及右側刻上等分標尺，表示(xy)值。

結果是累計危險方格繪圖紙的x-y坐標與Weibull概率紙的x-y坐標完全一樣，故m，η的求解也與Weibull概率紙的求解一樣。

圖2 累計危險方格繪圖紙

B10的求解，按定義B10所對應的t10有F(t10)=10%

所以，累計危險方格繪圖紙圖解中，H(t10)=10.54%的橫線與回歸線交點所對應的t10便是B10的值。

3.2.3 折線Weibull(DoglegWeibull)

當試驗所得的數據在Weibull概率紙上(或在累計危險方格繪圖紙上)不能回歸成一直線時，即是折線Weibull。其原因是有多個失效模式或失效因素引起的。所以在列出ti-F(ti)或ti-H(ti)時，在其表格中應填上對應的失效模式。出現折線Weibull時，可按不同的失效模式各自回歸成直線。也可以重新調整失效細節(jié)，失效原因加以分析，改進后重新進行試驗。

3.2.4 例舉

我們在這里列舉三個典型折線Weibull圖解的例子，供參考。

例1 某產品阻性負載：16A/120VAC，循環(huán)率速1800次/h，負載比：1：1。n=13c=9。具體數據列入表2。按表2的數據，在Weibull概率紙上不能回歸成一直線(見圖3中的“x”點)。去掉“架化”的產品，重新列表，如表3所列。再在Weibull概率紙上描點(圖3中的“·”)，回歸成一直線。求得m=2.3 、η=14.0×104、B10=4.9×104次。

表2 例1 某產品的試驗表格

表3 例1中觸點失效的數據

圖3 阻性，16A×120VAX試驗的成布爾圖

圖4 阻性負載試驗的成布爾圖

例2 某產品的試驗,n=15c=10。具體數據如表4所列，在Weibull概率紙上描點，回歸成兩條直線，直線Ⅰ和直線Ⅱ，如圖4所示。

對直線Ⅰ有：m1=3.4η1=27.2×105B10=14.5×105

對直線Ⅱ有:m2=2.1η2=32.4×105

此例在經典教科書中取Weibull位置參數γ=8.0×105次。取Ti=ti-8×105，結果也把Ti填入表4，并在Weibull概率紙上描點,回歸成直線Ⅲ(如圖4所示)。結果有m3=1.6,η3=24.5×105。這是值得討論的。

這里必須指出，按經典的Weibull理論，當t0≤γ時，有F(t0)=0，λ(t0)=0！對此例來講，t0取8×105時，有F(8×105)=0，λ(8×105)=0。這個結果是值得討論的。任何一個負責的廠家都不會說自己的產品在使用壽命的某一區(qū)段，其失效率為零。沒有產品會失效。其實，從概率統計理論的觀點來看，任何產品在其使用期內的任何一個區(qū)段都有可能發(fā)生失效，只是概率多少不同而已。同時就本例來講，當t0=8×105時，對直線Ⅰ有Fi(8×105)=1.2%；直線Ⅱ有F2(8×105)=5.5%；直線Ⅲ有：F3(8×105)=15.0%。顯然與F(8×105)=0自相矛盾，故位置參數不可取。

就本例來講，我們認為應取直線Ⅰ的數據為該產品的可靠性參數，即m=3.2、η=27.2×105次、B10=14.5×105次。因為直線Ⅱ的因素要等到工作22×105次之后才起作用，大大超過使用壽命期。換句話說因素Ⅱ要到產品壽終正寢之后才起作用，才影響產品，所以不予考慮。

表4 例2 產品的試驗數據

例3 累計危險方格繪圖紙圖解

本例摘自IEC61810-2:2015(3)征求意見第二稿(符號有所更改)。圖解步驟如下：

1)秩的評定估計 Ki=n+1-i

2) 危險值h(ti) h(ti)=1/Ki=1/(n+1-i)

(7)

(8)

4) 在累計危險方格繪圖紙上描上[ti(H(ti)]的點。

5)按不同的失效模式各自回歸成一直線。本例有兩個失效模式，回歸線成兩條直線，如圖5所示。

本例具有試驗數據為：n=30，c=27 ，失效模有兩個，具體數據見表5。結果有：m1=3.55η1=10.66×105，B101=5.60×105次；m2=7.46η2=2.25×105B102=6.10×105次。

表5 數據及處理結果

圖5 累計危險圖

以下幾點值得商榷：

c)IEC61810-2：2015的一項主要任務是求產品的使用壽命，即B10。盡管本例中求得兩個B10，但它們都不是該產品的B10。因為取其中的任何一個B10，另一個因素也在起作用，綜合起來的累計失效百分數自然大于10%。對于兩個及以上影響因素的產品的可靠度，按概率統計理論，產品的可靠度R=R1·R2…RN。即串聯因素的可靠度，R=∏NRi。就本例來講，有R=R1·R2。故取B10=5.2×105次。則有:R=R1·R2=92%×97%=89.3%。產品的累計失效百分數F(5.2×105)=1-R(5.2×105)=1-0.893=10.7%。所以，本例產品的B10應為5.2×105次。

d)在累計危險方格繪圖圖解中，B10是H(t10)=10.54%的橫線與回歸線相交的點所對應的t10值。具體操作時，H(t10)=10.54%的確定比較難，且誤差較大。

3.3 最大似然估計法

用最大似然估計法求解Weibull函數有兩個公式,下列第一個式子(9)式是用來求m的,然后用m及第二個式子(10)式來求η。

(9)

這里，n為樣品數，c為失效數，T為試驗終止時的循環(huán)次數。

(10)

(11)

(12)

IEC61810-2:2005、IEC61810-2:2015注明：任何一臺能解方程的計算機都可用來求解(9)式的m，并能很快地收斂到一個簡單的值(asinglevalue)?？梢娮畲笏迫还烙嫹?MIL)的解只有一個m。這意味著是直線Weibull。但實際上許多場合是折線Weibull。要判定一組試驗數據是否是直線Weibull，按M32140:2004的規(guī)定，其線性系數γ應≥0.8。即

就是等于首先要用Weibull概率紙圖解法求得Xi,Yi，方能判斷一組數能否滿足(13)式要求。既然如此，用Weibull概率紙圖解也已完成大半，何必終止。其實只要做過幾次圖解法之后，自然不必去求線性系數，憑經驗就可判明所描出的(Xi,Yi)的點能否回歸成一直線。

4 置信度區(qū)間

4.1 m的置信度區(qū)間

q=c/n，k=2.14628-1.361119q

β1=Χ2[(c-1)kα]

β2=Χ2[(c-1)k(1-α)

]這里，Χ2[(c-1)kα]是自由度為(c-1)k的Χ2分布的α分位點。

修正系數:

那么，m的置信度區(qū)間:[w1mw2m]

這里，m用(9)式求得。筆者認為也可用圖解法求的。

4.2 η的置信度區(qū)間

a)c

A5=0.2445(1.78-q)(2.25+q)

A6=0.029-1.083ln(1.325q)

A3=-A6Χ2

x=μ(1-α)是正態(tài)分布的(1-α)分位點。μ(1-α)=-μa.

表6 正態(tài)分布的分位點

b)c=nd3=t(1-α)(n-1)

這里，t(1-α)(n-1)是自由度為(n-1)的t分布的(1-α)分位點的值。

η的置信度區(qū)間為:(A1ηA2η)

這里的m用(9)式求之，η用(10)式求得。筆者以為也可用圖解法求之。

4.3 B10的下限

B10L=QB10

B10用(9)計算。筆者以為也可以用作圖法求得。按IEC61810-2：2005的規(guī)定，置信度(1-α)取90%。

5 MIL的求解

5.1 用Weibull 分布求解

由于軍方已規(guī)定使用壽命次數(ti)及置信度為95%。所以，置信度是用修正F(t)的辦法來求解。要求廠家滿足(14)式要求。即：

(14)

這里，3.0是置信度為95%的修正系數。試驗數據是用Weibull概率紙圖解，找出ti的縱線與回歸線相交點所對應的F(ti),要求F(ti)滿足(14)式規(guī)定。注意，M32140:2004規(guī)定做圖時線性系數γ≥0.8。

5.2 按指數分布求解

指數分布是Weibull分布中m =1的特例。它是假設壽命期間失效率(λ)與時間或動作次數無關。其失效率λ有：

i=1.2…n

(15)

(1-α)為置信度，c為失效數，n 為試驗樣品數，T0為試驗總次數。試驗是按額定壽命次數定時截尾進行，無替換。

為了便于試驗人員操作，GJB65B(idtM39016E)特地列出置信度為90%和60%兩個C與T0的對照表。這樣就可以不必去查Χ2表進行計算就可以判定產品合格與否。

6 總結

以上的介紹可知繼電器的壽命是用Weibull函數來求解。Weibull分布有兩種情況：直線Weibull和折線Weibull。以前一般用直線Weibull來求解，但大多數場合是折線Weibull。

1)直線Weibull的求解

a)用Weibull概率紙和累計危險方格繪圖圖解，求得m η和B10。對于可靠性指標的產品應按置信度大小加以修正。來求得m η的置信度區(qū)間及B10的下限B10L。IEC為90%的置信度。

b)最大似然估計法，因為最大似然估計法只求得一個m值，即直線Weibull。這就要求在一組試驗數據的求解之前要判定它是否是直線Weibull ，即它的線性系數γ≥0.8。這就得借助圖解法方可求得。這是最大似然估計法的缺點之一。

2)折線Weibull的求解

求解的第一步，在列出ti-F(ti)表格時，務必填上相應的失效模式，以便回歸。

a)多個零部件失效：可按各自的ti-F(ti)進行回歸，求解。然后，對相應的零部件進行分析。改進之后再進行試驗。

b)不同時期起作用的因素：在圖解時按不同因素回歸，只對含使用壽命(額定壽命)期限內的點進行回歸，求得m、η、B10和B10L。

c)同時起作用的因素分別求得各因素的mη。但其使用壽命B10，則要用串聯可靠度的方法求產品的R。 ,此時t10即是B10。

3)MIL的求解

由于軍方已定好使用壽命t1及置信度，故按M32140的做法，只用Weibull概率紙圖解。求得m、η后應滿足3.0F(t1)≤1%。3.0為95%置信度的修正系數。

4)筆者認為，在求解時最好用Weibull概率紙圖解，在列ti-F(ti)表格時應加上對應的失效模式以便回歸分析。

參考資料:

[1] IEC61810-2:2005；IEC61810-2:2015[S].

[2] MIL-PRF-39016F:2005；MIL-PRF32140:2004[S].

[3] 陸儉國. 電工產品可靠性 [M]，北京：機械工業(yè)出版社，1991.

[4] 鄭天丕，方珍. "使用Weibull函數的一點體會"[J] 機電元體, 2001(2).

2015-09-21

10.3969/j.issn.1000-6133.2015.05.011

TN784

A

1000-6133(2015)05-0039-08